上海期末真題精選50題（大題壓軸版）

1.（2018?上海八年級(jí)期末）某藥研究所開發(fā)了一種新藥，在實(shí)際用藥時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果成人按

規(guī)定劑量服用，那么每毫升血液中含藥量y（毫克）隨時(shí)間x（小時(shí)）的變化情況如圖所示.

（1）服藥后小時(shí)，血液中含藥量最高，達(dá)到每毫升毫克，接著逐漸減弱.

（2）服藥后5小時(shí)，血液中含藥量為每毫升______毫克.

（3）當(dāng)0WxW2時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是.

（4）如果每毫升血液中含藥量3毫克或3毫克以上時(shí)，治療疾病最有效，那么這個(gè)最有效時(shí)間

x（小時(shí)）的范圍是

【答案】（1）2,6；（2）3；（3）y=3x；（4）1WXW5.

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以解答本題；

（2）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以解答本題；

（3）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以求得相應(yīng)的函數(shù)解析式：

（4）根據(jù)函數(shù)圖象和（3）中的函數(shù)解析式可以解答本題.

【詳解】解：（1）由圖象可得，服藥后2小時(shí)，血液中含藥量最高，達(dá)到每毫升6毫克，接

著逐漸減弱，故答案為2,6；

（2）由圖象可得，服藥后5小時(shí)，血液中含藥量為每毫升3毫克，故答案為3：

（3）當(dāng)0WxW2時(shí)，設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx,2k=6,得k=3,

即當(dāng)0WxW2時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=3x,故答案為y=3x；

（4）將y=3代入y=3x,得x=l,由圖象可知，當(dāng)x=5時(shí)，y=3,

故這個(gè)最有效時(shí)間x（小時(shí)）的范圍是1WXW5,故答案為1WXW5.

【點(diǎn)睛】考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)

合的思想解答.

2.（2018?上海八年級(jí)期末）小明的爸爸和媽媽上山游玩，爸爸步行，媽媽乘坐纜車，相約

在山頂纜車的終點(diǎn)會(huì)合.已知爸爸步行的路程是纜車所經(jīng)線路長(zhǎng)的2.5倍，媽媽在爸爸出發(fā)后

50分鐘才坐上纜車，纜車的平均速度為每分鐘180米.圖中的折現(xiàn)反映了爸爸行走的路程y

（米）與時(shí)間》（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系.

(1)爸爸行走的總路程是米，他途中休息了分鐘；

(2)當(dāng)0WXW30時(shí)，y與X之間的函數(shù)關(guān)系式是；

(3)爸爸休息之后行走的速度是每分鐘米；

(4)當(dāng)媽媽到達(dá)纜車終點(diǎn)是，爸爸離纜車終點(diǎn)的路程是米.

【答案】(1)3600；20；(2)y=70x；(3)50；(4)1200

【分析】根據(jù)圖象獲取信息：

(1)爸爸到達(dá)山頂用時(shí)80分鐘，中途休息了20分鐘，行程為3600米；

(2)利用待定系數(shù)法解答正比例函數(shù)解析式即可；

(3)休息前30分鐘行走2100米,休息后30分鐘行走(3600-2100)米，利用路程、時(shí)間得出

速度即可.

(4)先求媽媽到達(dá)纜車終點(diǎn)的時(shí)間，再計(jì)算爸爸行走路程，從而求出爸爸離纜車終點(diǎn)的路程.

【詳解】解：(1)根據(jù)圖象知：爸爸行走的總路程是3600米，他途中休息了20分鐘.

故答案為：3600,20;

(2)設(shè)函數(shù)關(guān)系式為丫=1?,圖像過(guò)(30,2100)

可得：2100=30k,解得：k=70,所以解析式為：y=70x,故答案為：y=70x；

(3)爸爸休息之后行走的速度是(3600-2100)+(80-50)=50米/分鐘，故答案為：50；

(4)媽媽到達(dá)纜車終點(diǎn)的時(shí)間：3600+2.5+180=8(分)，

此時(shí)爸爸比媽媽遲到80-50-8=24(分)，

???爸爸到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，媽媽離纜車終點(diǎn)的路程為：50X24=1200(米)，故答案為：1200.

【點(diǎn)睛】此題考查一次函數(shù)及其圖象的應(yīng)用，從圖象中獲取相關(guān)信息是關(guān)鍵，有一定的難度.

3.(2018?上海八年級(jí)期末)甲、乙兩車分別從A地將一批物資運(yùn)往B地，兩車離A地的距離s(千

米)與其相關(guān)的時(shí)間t(小時(shí))變化的圖象如圖所示.讀圖后填空：

(1)A地與B地之間的距離是多少千米；

(2)甲車由A地前往B地時(shí)所對(duì)應(yīng)的s與t的函數(shù)解析式及定義域：

(3)甲車由A地前往B地比乙車由A地前往B地多用了多少小時(shí).

【答案】(1)A地與B地之間的距離是60千米；(2)s=20t(0WtW3),(3)甲車由A地前往B

地比乙車由A地前往B地多用了2小時(shí).

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以解答本題：

(2)根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以求得甲車由A地前往B地時(shí)所對(duì)應(yīng)的s與t的函數(shù)解析式及定義

域；

(3)根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以求得甲車由A地前往B地比乙車由A地前往B地多用的時(shí)間.

【詳解】(1)由圖象可得，A地與B地之間的距離是60千米，

(2)設(shè)甲車由A地前往B地時(shí)所對(duì)應(yīng)的s與t的函數(shù)解析式為$=代，

60=3k,得k=20,

甲車由A地前往B地時(shí)所對(duì)應(yīng)的s與t的函數(shù)解析式是s=20t(0WtW3),

(3)由圖象可得，甲車由A地前往B地比乙車由A地前往B地多用了：3-(2-1)=2(小時(shí)).

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

4.(2017?上海八年級(jí)期末)A,B兩地盛產(chǎn)柑桔，A地有柑桔200噸，8地有柑桔300噸.現(xiàn)

將這些柑桔運(yùn)到C、曬個(gè)冷藏倉(cāng)庫(kù)，已知C倉(cāng)庫(kù)可儲(chǔ)存240噸，。倉(cāng)庫(kù)可儲(chǔ)存260噸；從A地運(yùn)

往G麗處的費(fèi)用分別為每噸20元和25元，從8地運(yùn)往C、曬處的費(fèi)用分別為每噸15元和18元.設(shè)

從A地運(yùn)往C倉(cāng)庫(kù)的柑桔重量為x噸，4、曬地運(yùn)往兩倉(cāng)庫(kù)的柑桔運(yùn)輸費(fèi)用分別為0元和y“元.

(1)請(qǐng)?zhí)顚懴卤砗蠓謩e求出小，氏之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

3f?層一CD總計(jì)

AX噸200噸

B300噸

總計(jì)240噸260噸500噸

(2)試討論A,B兩地中，哪個(gè)運(yùn)費(fèi)較少；

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)當(dāng)％=40時(shí)，〃=%即兩地運(yùn)費(fèi)相等；當(dāng)x<40時(shí)，yA>yB

即8地運(yùn)費(fèi)較少；當(dāng)40<x4200時(shí)，為<%即A地費(fèi)用較少.

【解析】分析：(1)、首先根據(jù)題意填表，然后由題意結(jié)合表格找到等量關(guān)系，繼而求得力，

力與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)、分別從當(dāng)心=為時(shí)，當(dāng)力>力時(shí)，當(dāng)〃<九時(shí)去分析，

利用一元一次方程與一元一次不等式的知識(shí)，即可求得答案.

詳解：(1)解：

地產(chǎn)庫(kù)CD總計(jì)

AX噸（200—x）噸200噸

B（240-x）噸（60+x）噸300噸

總計(jì)240噸260噸500噸

yA--5%+5000(0<x<200),yK=3%+4680(0<x<200).

(2),當(dāng)以=為時(shí)，—5x+5000=3x+4680,x=40：

當(dāng)時(shí)，-5x+5000>3x+4680,x<40；

當(dāng)為<>B時(shí),,一5x+5000(3x+4680,x)4O.

???當(dāng)x=40時(shí)，即兩地運(yùn)費(fèi)相等；當(dāng)0Wx<40時(shí)，力>%即3地運(yùn)費(fèi)較少；

當(dāng)40<xW200時(shí),力<力即A地費(fèi)用較少.

點(diǎn)睛：此題考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，考查了一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不

等式的關(guān)系.此題難度適中，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到等量關(guān)系求得函數(shù)解析式.

5.(2017?上海市廊下中學(xué)八年級(jí)期末)如圖，是小王和小李在一次跑步比賽中的時(shí)間和路程

圖.

(1)這次比賽的路程是米；

(2)小王的平均速度是米/秒；

(3)他們先到達(dá)終點(diǎn)的是；

(4)小李跑步的路程S(米)與時(shí)間f(秒)的函數(shù)關(guān)系式是.

【答案】⑴100：⑵個(gè)25；⑶小李；⑷S=10"

試題分析：(I)觀察一次函數(shù)圖象易得到甲乙都跑了100米；

(2)由速度=路程+時(shí)間即可得到結(jié)論；

(3)這次賽跑中先到達(dá)終點(diǎn)的是用時(shí)較少的；

(4)先根據(jù)圖象得出小李跑100米用了10秒，再根據(jù)速度=路程+時(shí)間，計(jì)算出小李的速度，

即可得到結(jié)論.

試題解析：解：(1)根據(jù)圖象可以得到路程s的最大值是100米，因而這次賽跑的賽程為100

米；

25

(2)從圖象可知，小王跑完全程用時(shí)12秒，所以小王的速度為：100:12=7；

(3)從圖象可知，小李跑完全程用時(shí)10秒，小王跑完全程用時(shí)12秒，所以先到達(dá)終點(diǎn)的是小

李；

(4):小李跑100米用了10秒,二小李的速度=100+10=10(米/秒)；A^lOf.

點(diǎn)睛：木題主要考查了觀察一次函數(shù)圖象，從中獲取信息的能力，以及路程、速度與時(shí)間的

關(guān)系.

6.(2017?上海八年級(jí)期末)已知把直線y=kx+b(k#0)沿著y軸向上平移3個(gè)單位后，得到直

線丫=-2x+5.

(1)求直線y=kx+b(kWO)的解析式：

(2)求直線y=kx+b(k#0)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的周長(zhǎng).

【答案】3+V5.

【解析】（1）根據(jù)題意求出平移后解析式；

（2）根據(jù)解析式進(jìn)而得出圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，再利用勾股定理得出斜邊長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案.

解：（1）直線y=kx+b（kWO）沿著y軸向上平移3個(gè)單位后，得到直線y=-2x+5,

可得:直線y=kx+b的解析式為：y=-2x+5-3=-2x+2；

（2）在直線y=-2x+2中,當(dāng)x=0,則y=2,當(dāng)y=0,則x=L

直線1與兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形的周長(zhǎng)為：2+1+代=3+灰.

7.（2018?上海八年級(jí)期末）某大型物件快遞公司送貨員每月的工資由底薪加計(jì)件工資兩部

分組成，計(jì)件工資與送貨件數(shù)成正比例.有甲乙兩名送貨員，如果送貨量為M牛時(shí)，甲的工資

是弘（元），乙的工資是%（元），如圖所示，己知甲的每月底薪是800元，每送一件貨物，

甲所得的工資比乙高2元

（1）根據(jù)圖中信息，分別求出％和%關(guān)于x的函數(shù)解析式；（不必寫定義域）

（2）如果甲、乙兩人平均每天送貨量分別是12件和14件，求兩人的月工資分別是多少元？（一

個(gè)月為30天）

【答案】（1）必=20x+800；%=18x+1200；（2）乂=8000元；%=8760元.

【分析】（1）設(shè)外關(guān)于x的函數(shù)解析式為％=kx+800,將（200,4800）代入，利用待定系數(shù)法

即可求出％=20x+800；根據(jù)每送一件貨物，甲所得的工資比乙高2元，可設(shè)”關(guān)于x的函數(shù)解析

式為%=18x+b,將（200,4800）代入，利用待定系數(shù)法即可求出w=18x+1200；

（2）根據(jù)甲、乙兩人平均每天送貨量分別是12件和14件，得出甲、乙兩人一個(gè)月送貨量分別

是12X30=360件和14X30=420件.再把x=360代入yF20x+800,x=420代入y2=18x+1200,計(jì)算

即可求解.

【詳解】（1）設(shè)%關(guān)于皿函數(shù)解析式為％=2800,

將（200,4800）代入，

得4800=200^800,解得A=20,

即B關(guān)于型函數(shù)解析式為%=20A+800；

???每送一件貨物，甲所得的工資比乙高2元，

而每送一件貨物，甲所得的工資是20元，

二每送一件貨物，乙所得的工資比乙高18元.

設(shè)匕關(guān)于承函數(shù)解析式為％=18戶6,

將（200,4800）代入，

得4800=18X200+6,解得6=1200,

即分關(guān)于淵函數(shù)解析式為％=18*+1200；

（2）如果甲、乙兩人平均每天送貨量分別是12件和14件，

那么甲、乙兩人一個(gè)月送貨量分別是12X30=360件和14X30=420件.

把x=360代入％=20戶800,得必=20X360+800=8000（元）；

把x=420代入％=18戶1200,得％=18X420+1200=8760（元）.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，利用待定系數(shù)法求直線的解析式，以及代數(shù)式求值，

讀懂題目信息，理解函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵.

8.（2018?上海八年級(jí)期末）已知直線尸A廣盛過(guò)點(diǎn)/（-20,5）、8（10,20）兩點(diǎn).

（1）求直線的表達(dá)式；

（2）當(dāng)x取何值時(shí)，y>5.

【答案】（1）尸1戶15；（2）x>-20時(shí)，y>5.

2

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；

（2）解不等式^x+15>5即可.

2

[-20%+。=5

【詳解】（1）根據(jù)題意得,”，解得<

[10%+。=20

b=15

所以直線解析式為y=g產(chǎn)15；

（2）解不等式一#15>5得x>-20,

2

即%>-20時(shí)，y>5.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式：先設(shè)出函數(shù)的?般形式，如求一次函數(shù)

的解析式時(shí)，先設(shè)y=kx+b；再將自變量x的值及與它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的值代入所設(shè)的解析式，

得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組：然后解方程或方程組，求出待定系數(shù)的值，進(jìn)而寫出函

數(shù)解析式.

9.（2018?上海八年級(jí)期末）已知彈簧在一定限度內(nèi)，它的長(zhǎng)度y（厘米）與所掛重物質(zhì)量x

（千克）是一次函數(shù)關(guān)系.

下表中記錄的是兩次掛不同重量重物的質(zhì)量（在彈性限度內(nèi)）與相對(duì)應(yīng)的彈簧長(zhǎng)度：

所掛重物質(zhì)量X（千克）2.55

彈簧長(zhǎng)度y（厘米）7.59

求不掛重物時(shí)彈簧的長(zhǎng)度.

【答案】不掛重物時(shí)彈簧的長(zhǎng)度為6厘米

【分析】彈簧總長(zhǎng)丫=掛上xkg的重物時(shí)彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度+彈簧原來(lái)的長(zhǎng)度，把相關(guān)數(shù)值代入即

可.

【詳解】設(shè)長(zhǎng)度y（厘米）與所掛重物質(zhì)量x（千克）的一次函數(shù)關(guān)系式是：y=kx+b（k#O）

將表格中數(shù)據(jù)分別代入為：仁/：■，解得：一5,

5K+/?=9.

i[0=6

..y=—x+6,當(dāng)*=0時(shí)，y=6.

答：不掛重物時(shí)彈簧的長(zhǎng)度為6厘米

【點(diǎn)睛】此題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于列出方程

10.（2020?上海八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形4。比的頂點(diǎn)球）坐標(biāo)是

（273.6）,動(dòng)點(diǎn)班點(diǎn)/出發(fā)，沿線段力晌終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)6出發(fā)，沿線段6C向

終點(diǎn)施動(dòng).點(diǎn)只亦運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為力（0</<6）秒，過(guò)點(diǎn)雁必工

4餃A阡點(diǎn)E.

（1）求直線力碓解析式；

（2）設(shè)△外渤面積為S,求當(dāng)0<t<3時(shí)，S與珀勺函數(shù)關(guān)系；

（3）在動(dòng)點(diǎn)只德動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)力是矩形/阪內(nèi)（包括邊界）一點(diǎn)，且以8、0、E、〃為頂

點(diǎn)的四邊形是菱形，直接寫出t值和與其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)砸坐標(biāo).

/a12

【答案】（l）y=-6廣6；⑵當(dāng)0<￡V3時(shí)，S=-業(yè)/+6匕⑶力的值為二或24

35

-12石，點(diǎn)座標(biāo)為（述，-）或（86-12.6）

55

【分析】（1）先求出點(diǎn)4點(diǎn)6坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求直線/砸解析式；

（2）先求出點(diǎn)￡坐標(biāo)，再利用二角形面積公式可求解；

（3）分兩種情況討論，利用菱形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】解：（1）???矩形比的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（26，6）,

：.0A=BC=6,0B=AC=26，???點(diǎn)/（°，6）,點(diǎn)6（26，0）,

b=61%=—y/3

設(shè)直線仍解析式為：y=kx^b,r解得：,

直線的解析式為：尸-百*+6：

（2）；點(diǎn)只施勺運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位，：.AP=BQ=t,：.OP=6-3

,：PELAO,；.點(diǎn)戚坐標(biāo)為6-t,.\6-t=-y/3x+6,

：.x=^-t,.?.點(diǎn)￡（3367）,

33

.,.當(dāng)0<￡<3時(shí)，5=—X2^t（6-2O=--t-+y/3t；

233

（3）如圖，當(dāng)四邊形R幽是菱形時(shí)，延長(zhǎng)跳交比于八

y/OB2+AO2=V12+36=4^/3，：.OB=^AB,：.ZBAO=iO°,

'：AO//BC,PELAO,：.ZBAO=30°,PELBC,

:四邊形EHB混菱形，：.BQ=EQ=t,EH//BQ,：.4QEB=/EBQ=3Q：

.'.Zfif^=30°,：.FQ=—EQ=—t,：,BC=t+t+-t=6,

222

1212-4>/3184X/36

；?1=—,**.BQ=——EH,點(diǎn)、E(------,—),:?點(diǎn)、H(------,一)；

555555

如圖，若四邊形與幻8是菱形，延長(zhǎng)娛比于反

?..四邊形呢?是菱形，:.BE=BQ=t,EH//BQ,

8c=30°,EFLBC,:.BE=2EF,：.t=2（273-—H.,"=24-126，

3

，點(diǎn)E（8班）-12,1273-18）,點(diǎn)〃（8g-12,6）；

綜上所述：f的值為9或24-126，點(diǎn)勝標(biāo)為（迪，!）或（85/3-12.6）.

555

【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，待定系數(shù)法

求解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)；利用分類討論思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

11.（2019?上海八年級(jí)期末）某校初二數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，碰到這樣一道題：

“己知正方形AD,點(diǎn)E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，若EG工FH,則EG=FH”.

經(jīng)過(guò)思考，大家給出了以下兩個(gè)方案：

（甲）過(guò)點(diǎn)A作AM〃而交BC于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)B作BN〃EG交CD于點(diǎn)N；

（乙）過(guò)點(diǎn)A作AM〃HF交BC于點(diǎn)M,作AN〃EG交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N；

（1）對(duì)小杰遇到的問(wèn)題，請(qǐng)?jiān)诩?、乙兩個(gè)方案中任選一個(gè)，加以證明（如圖1）

（2）如果把條件中的“EG上FH”改為“EG與FH的夾角為45°”，并假設(shè)正方形ABCD的邊

長(zhǎng)為1,FH的長(zhǎng)為逝（如圖2）,試求EG的長(zhǎng)度.

2

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）EG=巫.

3

【分析】（1）無(wú)論選甲還是選乙都是通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)求解..甲中，通過(guò)證△AMBg4

BNC來(lái)得出所求的結(jié)論.乙中，通過(guò)證△AMB^^ADN來(lái)得出結(jié)論；

（2）按（1）的思路也要通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)求解，可過(guò)點(diǎn)A作AM〃HF交BC于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)A作

AN〃EG交CD于點(diǎn)N,將aAND繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到aAPB,不難得出AAPM和aANM全等，那么可得出

PM=MN,而MB的長(zhǎng)可在直角三角形ABM中根據(jù)AB和AM（即IIF的長(zhǎng)）求出.如果設(shè)DN=x,那么

NM=PM=BM+x,MC=BC-BM=1-BM,因此可在直角三角形MNC中用勾股定理求出DN的長(zhǎng)，進(jìn)而可在

直角三角形AND中求出AN即EG的長(zhǎng).

【詳解】（1）選甲：證明：過(guò)點(diǎn)A作AM〃"交BC于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)B作BN〃EG交CD于點(diǎn)N

.\AM=HF,BN=EG

?.?正方形ABCD,

.*.AB=BC,ZABC=ZBCN=90°,

VEG±FH

AAM±BN

二ZBAM+ZABN=90°

,/ZCBN+ZABN=90°

ZBAM=ZCBN

在aABM和ACBN中，ZBAM=ZCBN,AB=BC,ZABM=ZBCN

二AABM^ACBN,

.*.AM=BN

即EG=FH；

選乙：證明：過(guò)點(diǎn)A作AM〃HF交BC于點(diǎn)M,作AN〃EG交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N

AAM-IIF,AN=EG

?正方形ABCD,

???AB=AD,ZBAD=ZADN=90°,

VEG±FH

???ZNAM-900

JZBAM=ZDAN

在△ABM和aADN中，NBAM二NDAN,AB=AD,ZABM-ZADN

JAABM^AADN,

JAM=AN

即EG二FH：

(2)解:過(guò)點(diǎn)A作AM〃HF交BC于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)A作AN〃EG交CD于點(diǎn)N,

...在RtZ\ABM中，BM--

2

將AAND繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△APB,

'.,EG與FH的夾角為45°,

AZMAN=45",

.,.ZDAN+ZMAB=45°,

即NPAM=NMAN=45°,

從而△APMgZ\ANM,

，PM=NM,

設(shè)DN=x,則NC=l-x,NM=PM=-+x

2

在RtaCMN中，(L+x)2=1+(i-x))

24

解得x=g,

.,.EG=AN=71+x2=—.

答：EG的長(zhǎng)為巫.

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似二角形的判定和性

質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí).通過(guò)輔助線或圖形的旋轉(zhuǎn)將所求的線段與已知的線段構(gòu)建到一

對(duì)全等或相似的三角形中是本題的基本思路.

12.(2018?上海市民辦揚(yáng)波中學(xué))如圖，在。ABCD中，E,F為對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AE=CF,

連接DE,BF,求證：四邊形EBFD是平行四邊形.

【分析】根據(jù)題意直接利用平行四邊形的性質(zhì)可得DC=AB,DC〃AB,進(jìn)而可證出NCAB=NDCA,

然后再證明△DECgABFA(SAS),可得NDEF=NBFA,然后可根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行以

及全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可求證.

【詳解】解：證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

；.DC=AB,DC〃AB,

ZCAB=ZDCA,

VAE=CD,

/.AF=CE,

在aDEC和4BFA中

DC=AB

<ZDCA=ZCAB,

AF=CE

.?.△DECg△BFA(SAS),

AZDEF=ZBFA,DE〃BF且DE=BF

四邊形DEBF是平行四邊形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確證明aDEC04BFA以及

熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì).

13.(2018?上海八年級(jí)期末)如圖1,在矩形紙片4%沖，AB=icm,A^cm,折疊紙片使

6點(diǎn)落在邊［〃上的￡處，折痕為掰，過(guò)點(diǎn)附乍反力加咬收于凡連接以：

(D求證：四邊形用因?yàn)榱庑危?/p>

(2)當(dāng)點(diǎn)解邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)尸、0也隨之移動(dòng)；

①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)（如圖2）,求菱形BFEP的邊長(zhǎng)；

②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動(dòng)，求出點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)的最大距離.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①菱形BFEP的邊長(zhǎng)為gem；②點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)的最大距離為

2cm.

【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得出PB=PE,BF=EF,/BPF=NEPF,由平行線的性質(zhì)得出/BPF

=ZEFP,證出/EPF=/EFP,得出EP=EF,因此BP=BF=EF=EP,即可得出結(jié)論；

（2）①由矩形的性質(zhì)得出BC=AD=5cm,CD=AB=3cm,NA=ND=90°,由時(shí)稱的性質(zhì)得出

CE=BC=5cm,在RtZXCDE中，由勾股定理求出DE=4cm,得出AE=AD-DE=4cm：在RtZkAPE中，

2（）

由勾股定理得出方程，解方程得出EP=§CM即可；

②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)E離點(diǎn)A最近，由①知，此時(shí)AE=4cm；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)E離點(diǎn)A

最遠(yuǎn)，此時(shí)四邊形ABQE為正方形，AE=AB=3cm,即可得出答案.

【詳解】

（1）證明：:?折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處，折痕為PQ,

.?.點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱，

.?.PB=PE,BF=EF,ZBPF=ZEPF,

又：EF〃AB,

...NBPF=NEFP,

.".ZEPF=ZEFP,

；.EP=EF,

，BP=BF=EF=EP,

四邊形BFEP為菱形；

(2)①：四邊形ABCD是矩形，

；.BC=AD=5cm,CD=AB=3cm,/A=ND=90°,

?.?點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱，

.,.CE=BC=5cm,

在RtACDE中，DE=7CE2-CZ)2=4cm,

AE=AD-DE=5cm-4cm=1cm；

在RtZ^APE中,AE=1,AP=3-PB=3-PE,

AEP2=12+(3-EP)2,

解得：EP=-cm,

3

???菱形BFEP的邊長(zhǎng)為g。%；

②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖2：

點(diǎn)E離點(diǎn)A最近，由①知，此時(shí)AE=lcm；

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖3所示：

E

A（p）r；\D

\?

、I

'、、：

圖3

點(diǎn)E離點(diǎn)A最遠(yuǎn)，此時(shí)四邊形ABQE為正方形，AE=AB=3cm,

二點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)的最大距離為2cm.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、菱形的判定、平行線的

性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有?定難度.

14.（2018?上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)）如圖，在直角梯形ABCD中，AB〃DC,ZB=90°,AB=16,

BC=12,CD=21.動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CD方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N從B出發(fā),

在線段BA上，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M、N分別從C、B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到

點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)M隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）.

（1）設(shè)AAMN的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定t的取值范圍；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以A、M、N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

D

【答案】（1）S=96—6f（0<r<16）：（2）t=3.5或t=2

3

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)M作\IH_LAB,垂足為H,用含f的代數(shù)式表示AN的長(zhǎng)，再利用三角形面積

公式即可得到答案.（2）先用含，的代數(shù)式分別表示AN,的長(zhǎng)，進(jìn)行分類討論，利

用腰相等建立方程求解.

【詳解】⑴如圖，過(guò)點(diǎn)M作MH_LAB,垂足為H,則四邊形BCMH為矩形.

.\MH=BC=12.

VAN=16-t,

AS=12x(16-z)^-2=96-6r(0<r<16)；

(2)由(1)可知：BH=CM=2t,BN=t,MH=12.

以A、M、N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可以分三種情況:

①若MN=AN.因?yàn)椋?/p>

在RtAMNH中，MN2=MH2+HN2,所以：MN'l+lZ：

由MN'AN?得/+12J(16-t)%

7

解得右彳.

2

②若AM=AN.

在RtZ\MNH中，在J(i6-2t)2+122.

由AMMN2得:(16-2/)2+122=(16-02,

即3t2-32t+144=0.

由于△=-704V0,

...3/-321+144=0無(wú)解，

：.AMAN.

③若MA=MN.

由MAJMM,得/+12J(16-2t)2+122

整理，得3tJ64t+256=0.

解得%=3,

t2=16（舍去）

綜合上面的討論可知：當(dāng)土=工秒或t=3秒時(shí)，以A、M、N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.

23

【點(diǎn)睛】本題考察的是梯形通過(guò)作輔助線化成直角三角形的問(wèn)題與等腰三角形存在性問(wèn)題，

掌握分類討論是解題的關(guān)鍵.

15.（2018?上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)）以aABC的三邊在BC同側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形4ABD,

△BCE，AACF,試回答下列問(wèn)題:

（1）四邊形ADEF是什么四邊形？請(qǐng)證明:

（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEF是矩形？

（3）當(dāng)aABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEF是菱形？

（4）當(dāng)aABC滿足什么條件時(shí)，能否構(gòu)成正方形？

（5）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，無(wú)法構(gòu)成四邊形？

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）當(dāng)△ABC中的/BAC=150°時(shí)，四邊形ADEF是矩形；（3）當(dāng)AABC

中的AB=AC時(shí)，四邊形ADEF是菱形；（4）當(dāng)NBAC=150°且AB=AC時(shí)，四邊形ADEF是正方形；

（5）當(dāng)/BAC=60°時(shí)，D、A、F為同一直線，與E點(diǎn)構(gòu)不成四邊形，即以A、D、E、F為頂點(diǎn)的

四邊形不存在.

【分析】（1）通過(guò)證明△DBE0ZXABC,得到DE=AC,利用等邊三角形ACF,可得DE=AF,

同理證明AEFC與AABC全等，利用等邊三角形48。，得AD=EF,可得答案.（2）利用平行

四邊形ADEF是矩形，結(jié)合已知條件等邊三角形得到NB4c=150。即可.（3）利用平行四邊

形ADEF是菱形形，結(jié)合已知條件等邊三角形得到A8=AC即可.（4）結(jié)合（2）（3）問(wèn)可

得答案.（5）當(dāng)四邊形ADEF不存在時(shí)，即出現(xiàn)三個(gè)頂點(diǎn)在一條直線上，因此可得答案。

【詳解】解：（1）VABCE.△ABD是等邊三角形，

AZDBA=ZEBC=60°,AB=BD,BE=BC,

，ZDBE=ZABC,

/.△DBE^AABC,

.?.DE=AC,

又AACF是等邊三角形，.-.AC=AF,

，DE=AF,

同理可證：AD=EF,

四邊形ADEF是平行四邊形.

(2)假設(shè)四邊形ADEF是矩形，則NDAF=90°,

又/DAB=NFAC=60°,ZDAB+ZFAC+ZDAF+ZBAC=360°

AZBAC=150°.

因此當(dāng)△ABC中的/BAC=150°時(shí)，四邊形ADEF是矩形.

(3)假設(shè)四邊形ADEF是菱形，則AD=DE=EF=AF

VAB=AD,AC=AF,；.AB=AC

因此當(dāng)aABC中的AB=AC時(shí)，四邊形ADEF是菱形.

(4)結(jié)合(2)(3)問(wèn)可知當(dāng)NBAC=150°且AB=AC時(shí),

四邊形ADEF是正方形.

(5)由圖知道：ZDAB+ZFAC+ZDAF+ZBAC=360°

...當(dāng)/BAC=60°時(shí)，D、A、F為同一直線，與E點(diǎn)構(gòu)不成四邊形，

即以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，菱形，矩形，正方形的性質(zhì)與判定，全等三角形的

判定，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，是一道綜合性比較強(qiáng)的題目，掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)

是解題的關(guān)鍵.

16.(2018?上海市民辦揚(yáng)波中學(xué))如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=DC,點(diǎn)M,N分別是AD,BC

的中點(diǎn)，點(diǎn)E,F分別是BM,CM的中點(diǎn).(1)求證：四邊形MENF是菱形；(2)當(dāng)四邊形MENF

是正方形時(shí)，求證：等腰梯形ABCD的高是底邊BC的一半.

【分析】(1)利用等腰梯形的性質(zhì)證明會(huì)ADCM,利用全等三角形性質(zhì)及中點(diǎn)概念，

中位線的性質(zhì)證明四邊形MEN/的四邊相等得結(jié)論.(2)連接MN,利用三線合一證明MN

是等腰梯形的高，再利用正方形與直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】(1)四邊形ABCD為等腰梯形，??.AB=CD,

所以NA=NO,

為AO中點(diǎn)，AM=DM.

：.MBMmMXJM,

:.BM=CM.

?；E,F為MB、CM中點(diǎn)，BE=EM,MF=FC,

所以：ME=MF,

(3^^為8。的中點(diǎn)，；昆尸為兒出,?！爸悬c(diǎn)

:.EN=MF,FN=ME,：.EN=FN=FM=EM

四邊形ENFM是菱形.

(2)連結(jié)MN,VBM=CM,BN=CN,

.-.MN±BC,VAD/7BC,/.MN1AD,

是梯形ABCD的高，

又；四邊形MENF是正方形，

...△BMC為直角三角形，

又：N是BC的中點(diǎn)，；.MN=LBC,

2

即等腰梯形ABCD的高是底邊BC的一半.

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰梯形的性質(zhì)，等腰直角二角形的性質(zhì)，二角形的全等的判定，菱

形的判定，正方形的性質(zhì)等，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

17.(2019?上海)在AA6C中，點(diǎn)Q是BC邊上的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作與線段8c相交的直線/,

過(guò)點(diǎn)B作BNAJ于N,過(guò)點(diǎn)C作CMJJ于M.

(1)如圖1,如果直線/過(guò)點(diǎn)Q,求證：QM=QN.

(2)如圖2,若直線/不經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q，聯(lián)結(jié)。用，QN,那么第⑴問(wèn)的結(jié)論是否成立？若成立,

給出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】⑴由“AAS”可證△BQNOACQM,可得QM=QN：

(2)延長(zhǎng)NQ交CM于E,由“ASA”可證△BQN絲aCQE,可得QE=QN,由直角三角形的性質(zhì)可得

結(jié)論.

【詳解】(1)?.?點(diǎn)。是8C邊上的中點(diǎn)，，3Q=CQ,

-,-BNll,CM1.1，

ZBNQ=NCMQ=90°,且6。=CQ,/BQN=NCQM,

：.^BQN三kCQM(A4S),:.QM=QN；

(2)仍然成立，

理由如下：如圖，延長(zhǎng)N0交CM于E，

???點(diǎn)。是8C邊上的中點(diǎn),

BQ=CQ,

?：BN工I,CM口,

BNUCM，

:.NNBQ=NQCM,且BQ=CQ,NBQN=NCQE,

：.MQN"CQE(ASA),

：.QE=QN,且/WE=90。，

：.QM=NQ=QE.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角二角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全

等三角形是本題的關(guān)鍵.

18.(2018?上海八年級(jí)期末)已知，如圖在中，AD,BE分別是BC,AC邊上的高，AD、

BE交于H,DA=DB,BH=AC,點(diǎn)F為BH的中點(diǎn)，NABE=15°.

(1)求證：△ADC^^BDH

(2)求證:DC=DF

【分析】(1)由全等三角形的判定定理HL證得結(jié)論即可；

(2)結(jié)合(1)中全等二角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到DC=DH,然后根據(jù)含30度角的直角二角形的性

質(zhì)以及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)證明即可；

【詳解】證明：(1)VAD1BC,BEJ-AC,

.,.ZADC=ZBDH=90°,

在RtZ\ADC和RtZXBDH中，

AC=BH

AD=BD

.,.△ADC^ABDH(HL).

(2)VDB=DA,

；.NDBA=NDAB=45°,

VZABE=15°,

/.ZDBH=30°,

1

r.DH=-BH,

2

VBF=FH,

，DF--BH,

2

.*.DF=DH,

「△ADC也△BDH；

，CD=DH,

.\DC=DF.

【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，全等二角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練

掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

19.（2018?上海八年級(jí)期末）如圖，RtA/lOT,NAC490。，〃是邊比上一點(diǎn)，點(diǎn)區(qū)F分

別是線段被血沖點(diǎn)，聯(lián)結(jié)區(qū)CF、EF.

（1）求證：叢CEg叢AEF；

（2）聯(lián)結(jié)班；當(dāng)劭=2功時(shí)，求證：AD=2DE.

【分析】（1）在直角三角形ABC中，E為斜邊AB的中點(diǎn),利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到

CE=AE,在直角三角形ACD中,F為斜邊AD的中點(diǎn),利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AF=CF,

再由EF=EF,利用SSS即可得證；

⑵由EF為三角形ABD的中點(diǎn),利用中位線定理得到EF與BD平行,EF等于BD的一半,再由BD=2DC,

等量代換得到EF=CD,再由EF與CD平行,得到四邊形CEFD為平行四邊形,可得出DE=CF,再由

CF=AF,等量代換得到DE=AF.

【詳解】證明：（1）???/[⑦=90°,且段段/腫點(diǎn)，

1

：.CE=-AB=AE,

2

VZACD=90°,7?為線段點(diǎn)，

：.AF=CF=-AD,

在△渤n△曲中,

CF=AF

，EF=EF,

CE=AE

：./\CEF^/\AEF(.SSS｝；

(2)連接切?，

?..點(diǎn)反段別是線段力限4舛點(diǎn),

：.EF^-BD,EF//BC,

2

,：BD^2CD,

：.EF=CD.

又,：EF〃BC,

：.四邊形〃腿是平行四邊形，

：.DE=CF,

'：CF=AF=FD,

：.AD^2DE.

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，中位線定理,直角三角形斜邊上的中線等于斜

邊的一半，以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)

鍵.

20.(2018?上海八年級(jí)期末)如圖，在比中，NC=90°,媯邊6c上一點(diǎn)，￡為邊/第J

中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)4作加〃3C,交班的延長(zhǎng)線于點(diǎn)人連結(jié)的

(1)求證：四邊形孫是平行四邊形；

(2)當(dāng)M邊比的中點(diǎn)，且6C=2/印寸，求證：四邊形/切為正方形.

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NAFE=/BDE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=BD,于是

得到結(jié)論；

(2)首先證明四邊形ACDF是矩形，再證明CA=CD即可解決問(wèn)題；

【詳解】(1)證明：8G

：./AFE=/BDE,

在△飾與△曲中，

ZAFEZBDE

<ZAEF=ZBED,

AE=BE

:.XAE2XBED、

:?AF=BD,

U：AF//BD,

???四邊形力〃玨是平行四邊形；

(2)解：'：CD=DB,AE=BE,

C.DE//AC,

:./FDB=/C=90°,

?:AFHBC,

：.ZAFD=ZFDB=90°,

AZC=ACDF=Z.AFD=W,

???四邊形〃如是矩形，

■:BC=2A3CD=BD,

:?CA=CD,

???四邊形力期是正方形.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，矩形的判定和性質(zhì)，正

方形的判定，三角形中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

21.(2018?上海八年級(jí)期末)如圖，已知正方形2式》的邊長(zhǎng)為3,菱形夕&儆三個(gè)頂點(diǎn)反G、

粉別在正方形的邊被CD、加上，力〃=1,聯(lián)結(jié)CE

(1)當(dāng)〃G=1時(shí)，求證：菱形成筋為正方形；

(2)沒(méi)DG=x,說(shuō)勺面積為y,寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出x的取值范圍；

(3)當(dāng)加時(shí)，求NG照的度數(shù).

管用圖

10

【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)y——XH—(0<x<>/6)(3)60°

22

【分析】(1)先求出HG,再判斷出△AHEgADGH,得出NAHE=NDGH,進(jìn)而判斷出NGHE=90。，

即可得出結(jié)論；

(2)先判斷出/HEA=/FGM,進(jìn)而判斷出△AHEzZ\MFG.得出FM=HA=1,即可得出結(jié)論；

(3)利用勾股定理依次求出GH=型，AE=士叵，61匹，進(jìn)而判斷出GH=HE=GE,即可

333

得出結(jié)論

【詳解】解：(1)在正方形/8以中，?.?加/=1,，%2.

又,：DG=\,：.HG=4i

在△力僻口△頌中，

?.?/4=/490°,AH=DG=\,EH=HG=^>,：./\AHE^/\DGH,:.NAHE=NDGH.

?：4DG第NDHG=90°,NAHE+NDHG=9Q°.：.ZGHE=9G

所以菱形甌沂是正方形；

(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)雇用1/1比交比所在直線于〃，除結(jié)GE.,:AB//CD,:.NAEG=NMGE.

'：HE//GF,:.NHEG=NFGE.:./HEA=NFGM,

在△/儂lZfUW沖，VZ/l=Z.^90°,EH=GF.：.^AHE^/\MFG.：.FM=HA=\.

即無(wú)論菱形仔'G力如何變化，點(diǎn)/U直線⑶fi勺距離始終為定值1，

?I]3

.*.y=—GC*掰=—(3-x)Xl=-----x+—(OWxW逐)；

2222

(3)如圖2,當(dāng)4=生5時(shí)，

3

在Rt△用%中，DH=2,根據(jù)勾股定理得，GH=

在Rt△月反沖，根據(jù)勾股定理得，AE=

過(guò)點(diǎn)灘就L力行,M

：.EN=AE-DG=昱

3

在口△￡%中，根據(jù)勾股定理得，位、=432+(立]二過(guò)紅

V33

:?GH=HE=GE,

???△G友為等邊三角形.

：?4GHE=6QQ.

【點(diǎn)睛】此題考查正方形的判定，全等三角形的性質(zhì)與判斷，勾股定理，解題關(guān)鍵在于作輔

助線

22.（2018?上海八年級(jí)期末）如圖，已知平行四邊形4?<力，BA-a,BC=b

（1）AC=;（用）石的式子表示）

（2）BD=;（用2,B的式子表示）

【答案】⑴—1+瓦（2）5+5,⑶2屈

【分析】（1）（2）根據(jù)平面向量的加法法則計(jì)算即可解決問(wèn)題;

（3）利用勾股定理計(jì)算即可；

【詳解】解：⑴品=瓶+肥=-a+5；

（2）BD=BC+CD=b+a；

（3）'：ACVBD,AC=4,I麗1=6,

AC+BDl=2V13.

故答案為-a+b'b+a>

【點(diǎn)睛】此題考查平面向量的加法法則，勾股定理，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則

23.（2018?上海八年級(jí)期末）如圖，四邊形/及現(xiàn)正方形，AC^BD,相交于點(diǎn)0,點(diǎn)反偎

邊42上兩動(dòng)點(diǎn)，且川?=加；龍與對(duì)角線/茂于點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)%DG交CF于點(diǎn)JI.

(1)求證：4ADG=4DCF；

(2)聯(lián)結(jié)的，試證明〃。平分NC盼.

>--------------C

【分析】(1)根據(jù)題意可得△DFC04AFB,AAGB^AADG,可得/ADG=/DCF

(2)由題意可證CF_LDG,由NCHD=/C0D=90°,則D,F,O,C四點(diǎn)共圓，可得NCD0=NCH0=45°,

可證OH平分/CHG.

【詳解】(1)二?四邊形/及渥正方形

:.AB=AD=CABC,NCDA=NDAB=9Q°,NZZ4C=NO6=45°,ACABD

<DC=AB,DF=AE,NCDA=NDAB=90°

:.4ABE=4DCF

'：AG^AG,AB=AD,/%UNOQ45°

:.△ADG^XABG

:.NADG=NABE

：./DCF=4ADG

(2)V4DCF=NADG,&NADG^NCDG=90°

：./DCF+/CDG=gy

：.ZC//D=ZC//G=90°

'：ACHD=ACOD

：.C,D,II,泗點(diǎn)共圓

：.4CH0=4CD0=43°

.*.NCW=NG%=45°

:.H閽分/CHG

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題

是本題的關(guān)鍵.

24.(2019?上海八年級(jí)期末)已知，梯形40中，AB//CD,BCLAB,AB=AD,連接加(如

圖a),點(diǎn)先臺(tái)梯形的邊，從點(diǎn)/移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)據(jù)動(dòng)的距離為x,BP=y.

(1)求證：NA=2NCBD；

（2）當(dāng)點(diǎn)0從點(diǎn)/移動(dòng)到點(diǎn)CB寸，y與x的函數(shù)關(guān)系如圖（b）中的折線也W所示，試求的長(zhǎng).

（3）在（2）的情況下，點(diǎn)映4-岳-jJ4移動(dòng)的過(guò)程中，廄否可能為等腰三角形？

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）1；（3）48%可能為等腰三角形，能使46%，為等腰三角形的x

20

的取值為：0或3或5-W或§或10或9+W.

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形兩個(gè)底角相等可以進(jìn)一步證明N/=2

（2）根據(jù)題意描述，可以確定AB=5,AB+BC=8,再通過(guò)作DELAB于來(lái)構(gòu)造直角三角形可以

求出CD長(zhǎng)度.

（3）根據(jù)題目描述分情況來(lái)討論哪個(gè)點(diǎn)為等腰三角形頂點(diǎn)，進(jìn)而列方程進(jìn)行求出P點(diǎn)位置情況.

【詳解】（1）證明：'：CD,BCVAB,AB=AD,

：./LABD=ACDB,//+//〃0=180°,NAB訃ZCBD=9G,NABD=NADB,

.?./力+2//即=180°,/儂=180°,

:./A=2NCBD；

（2）解：由圖（6）得：4?=5,A分BC=8,

:?BC=3,作DE_LA肝E,如圖所示：

則龐=%=3,CD=BE,

?：AD=AB=5,

???AE=7AB2-DE2=4，

：.CD=BE=AB-4￡=1；

（3）解：可能；理由如下：

分情況討論：

①點(diǎn)格也邊上時(shí)，

當(dāng)勿="時(shí)，鳴