概率與統(tǒng)計課件第1頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五2序言?概率論是研究什么的？隨機現(xiàn)象：不確定性與統(tǒng)計規(guī)律性概率論——研究和揭示隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的科學第2頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五3第一章概率論的基本概念第一節(jié)樣本空間、隨機事件第二節(jié)概率、古典概型第三節(jié)條件概率、全概率公式第四節(jié)獨立性第3頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.

“太陽不會從西邊升起”,(1)確定性現(xiàn)象

“同性電荷必然互斥”,“水從高處流向低處”,實例自然界所觀察到的現(xiàn)象:確定性現(xiàn)象隨機現(xiàn)象4第4頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五在一定條件下，試驗有多種可能的結(jié)果，但事先又不能預測是哪一種結(jié)果的現(xiàn)象稱隨機現(xiàn)象。實例1

在相同條件下擲一枚均勻的硬幣，觀察正反兩面出現(xiàn)的情況.(2)隨機現(xiàn)象結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.5第5頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五結(jié)果有可能為:1,2,3,4,5或6.實例3

拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).實例2

用同一門炮向同一目標發(fā)射同一種炮彈多發(fā),觀察彈落點的情況.結(jié)果:彈落點會各不相同.6第6頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五實例4

從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個產(chǎn)品.其結(jié)果可能為:

正品

、次品.實例5

過馬路交叉口時,可能遇上各種顏色的交通指揮燈.7第7頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五實例6

出生的嬰兒可能是男,也可能是女.實例7

明天的天氣可能是晴

,也可能是多云或雨.8第8頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五

隨機現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性,但在大量試驗或觀察中,這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性

,概率論就是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律性的一門數(shù)學學科.隨機現(xiàn)象是通過隨機試驗來研究的.問題什么是隨機試驗?如何來研究隨機現(xiàn)象?說明9第9頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五一、隨機試驗在概率論中,把具有以下三個特征的試驗稱為隨機試驗。（1）可以在相同的條件下重復地進行；（2）每次試驗的可能結(jié)果不止一個,并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果；（3）進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。10第10頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五說明

隨機試驗簡稱為試驗,是一個廣泛的術語.它包括各種各樣的科學實驗,也包括對客觀事物進行的“調(diào)查”、“觀察”或“測量”等.11第11頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五實例“拋擲一枚硬幣,觀察正面、反面出現(xiàn)的情況”.分析(1)試驗可以在相同的條件下重復地進行;(2)試驗的所有可能結(jié)果:正面、反面;(3)進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).故為隨機試驗.12第12頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五(1)拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).(2)從一批產(chǎn)品中,依次任選三件,記錄出現(xiàn)正品與次品的件數(shù).同理可知下列試驗都為隨機試驗.(3)記錄某公共汽車站某時刻的等車人數(shù).13第13頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五樣本空間與隨機事件隨機事件（簡稱事件）：在隨機試驗中，可能發(fā)生也可能不發(fā)生,而在大量試驗中具有某種規(guī)律性的事件稱為隨機事件（或偶然事件）。通常用大寫字母A、B,…表示?；窘Y(jié)果：（1）每次試驗必然出現(xiàn)且只能出現(xiàn)其中一個基本結(jié)果。（2）任何結(jié)果，都是由其中一些基本結(jié)果組成，每個基本結(jié)果稱樣本點。14第14頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五隨機事件中有兩個極端情況：每次試驗中都必然發(fā)生的事件，稱為必然事件

。每次試驗中都不發(fā)生的事件，稱為不可能事件?；臼录菢颖究臻g的單點集。復合事件是由多個樣本點組成的集合。必然事件包含一切樣本點，它就是樣本空間。不可能事件不含任何樣本點，它就是空集。樣本空間：隨機試驗的全體基本事件組成的集合稱為樣本空間。記為。15第15頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五1．事件的包含事件發(fā)生事件發(fā)生設、為兩個事件，如果中的基本事件都是的基本事件，則稱包含于，記為，或包含，記為.

事件之間的關系和運算實例

A=“長度不合格”必然導致B=“產(chǎn)品不合格”所以事件之間的關系（事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生）16第16頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五welcome172.事件的相等=若兩個事件和相互包含，則稱這兩個事件相等。記為.和同時發(fā)生或者同時不發(fā)生即A與B中的樣本點完全相同第17頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五3.事件的和（并）將事件的基本事件和的基本事件合在一起組成的一個新事件，稱為和的和事件，記為，可讀成并或加.有時也可記為.

實例

某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度與直徑是否合格所決定,因此

C=“產(chǎn)品不合格”是A=“長度不合格”與B=“直徑不合格”的并，即A和B兩個事件至少有一個發(fā)生A∪B第18頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五194.事件的積（交）將事件的和共有基本事件合在一起組成的一個新事件，稱為和的和事件，記為，可讀成交或乘.有時也可記為.

實例某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度與直徑是否合格所決定,設Ｃ＝“產(chǎn)品合格”,Ａ＝“長度合格”,Ｂ＝“直徑合格”．第19頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五20第20頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五21和事件與積事件的運算性質(zhì)第21頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五225.事件的差從事件中將屬于事件的基本事件除去,剩下的基本事件組成的新事件稱為和的差事件,記為.事件發(fā)生而事件不發(fā)生實例設Ｃ＝“長度合格但直徑不合格”,Ａ＝“長度合格”,Ｂ＝“直徑合格”.第22頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五23事件、不可能同時發(fā)生6.事件的互斥（互不相容）若事件和沒有共同的基本事件，則稱和互斥，也稱互不相容，記為.注意基本事件是兩兩互斥的.第23頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五247.事件的逆（對立事件）稱必然事件和事件的差為的逆事件，記為，如果和互逆，則也可稱和互為對立事件事件不發(fā)生實例

“骰子出現(xiàn)1點”“骰子不出現(xiàn)1點”對立第24頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五若事件A1,A2,……An為兩兩互不相容

的事件，并且A1+A2+,……+An=Ω，

稱A1,A2,……An構(gòu)成一個完備事件組。25第25頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五26事件的運算規(guī)律由集合的運算律，易給出事件間的運算律.設為同一隨機試驗中的事件，則有(1)交換律(2)結(jié)合律(3)分配律第26頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五27(4)自反律(5)對偶律注：上述各運算律可推廣到件的情形.有限個或可數(shù)個事第27頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五28(6)吸收律(7)替換律第28頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五29例1.1

設A,B,C為3個事件，用A,B,C的運算式表示下列事件：（1）A發(fā)生而B與C都不發(fā)生：（2）A，B都發(fā)生而C不發(fā)生：（3）A，B，C至少有一個事件發(fā)生：（4）A，B，C至少有兩個事件發(fā)生：（5）A，B，C恰好有兩個事件發(fā)生：（6）

A，B，C恰好有一個事件發(fā)生：（7）A，B至少有一個發(fā)生而C不發(fā)生：（8）A，B，C都不發(fā)生：第29頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五例1.2

從一批產(chǎn)品中每次取出一個產(chǎn)品進行檢驗（每次取出的產(chǎn)品不放回），事件Ai表示第i次取到合格品（i=1,2,3）。試用事件的運算符號表示下列事件：三次都取到了合格品；三次中至少一次取到合格品；三次中恰有兩次取到合格品；三次中至多有一次取到合格品。30第30頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五解：三次中全取到合格品：A1A2A3;三次中至少一次取到合格品:A1+A2+A3;三次中恰有兩次取到合格品:三次中至多有一次取到合格品。

31第31頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五32練習甲,乙,丙三人各射一次靶,記“甲中靶”,“乙中靶”,“丙中靶”,則可用上述三個事件的運算來分別表示下列各事件:(1)(3)(4)(2)“甲未中靶”“甲中靶而乙未中靶”“三人中只有丙未中靶”“三人中恰好有一人中靶”(5)“三人中至少有一人中靶”或第32頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五33(10)(9)(8)“三人中至少有兩人中靶”“三人中均未中靶”“三人中至多一人中靶”(11)“三人中至多兩人中靶”或(6)(7)“三人中至少有一人未中靶”“三人中恰有兩人中靶”或第33頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五34注:用其它事件的運算來表示一個事件,方法往往不唯一,如本例中的(6)和(11)實際上是同一事件,大家應學會特別在解決具體問題時,往往要更具需要方法.用不同方法表達同一事件,選擇一種恰當?shù)谋硎?6)“三人中至少有一人未中靶”(11)“三人中至多兩人中靶”第34頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五35一、概率的統(tǒng)計意義三、概率的幾何定義二、概率的古典定義1.2

隨機事件的概率五、概率的性質(zhì)四、概率的公理化定義第35頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五36

研究隨機現(xiàn)象，不僅關心試驗中會出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是事件的概率.概率是隨機事件發(fā)生可能性大小的度量

事件發(fā)生的可能性越大，概率就越大！第36頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五37一、概率的統(tǒng)計意義定義顯然次數(shù)為頻率.若在相同條件下進行次試驗，其中發(fā)生的則稱為事件發(fā)生的第37頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五試驗序號12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502實例將一枚硬幣拋擲5次、50次、500次,各做

7遍,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.隨n的增大,頻率

fn(A)呈現(xiàn)出穩(wěn)定性38第38頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五從上述數(shù)據(jù)可得(2)拋硬幣次數(shù)n較小時,頻率fn(A)的隨機波動幅度較大,但隨n

的增大,頻率fn(A)呈現(xiàn)出穩(wěn)定性.即當n

逐漸增大時頻率fn(A)總是在0.5附近擺動,且逐漸穩(wěn)定于0.5.(1)頻率有隨機波動性,即對于同樣的n,所得的fn(A)不一定相同;39第39頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五實驗者德摩根蒲豐204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.500540第40頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五重要結(jié)論當實驗次數(shù)n

較小時,事件Ａ發(fā)生的頻率波動幅度比較大,當n逐漸增大時,頻率趨于穩(wěn)定值，這個穩(wěn)定值從本質(zhì)上反映了事件Ａ在試驗中出現(xiàn)可能性的大小.它就是事件的概率．41第41頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五概率的統(tǒng)計定義定義在相同條件下進行n次重復試驗,若事件A發(fā)生的頻率隨著試驗次數(shù)n的增大而穩(wěn)定地在某個常數(shù)P附近擺動,則稱P為事件A的概率，記為P(A).42第42頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五2、概率的古典定義定義1.4：

設隨機試驗E滿足如下條件:試驗的樣本空間只有有限個樣本點，即(2)每個樣本點的發(fā)生是等可能的，即則稱試驗為古典概型，也稱為等可能概型。古典概型中事件A的概率計算公式為43第43頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五例1一個袋子中裝有10個大小相同的球,其中3個黑球,7個白球,求:(1)從袋子中任取兩球,剛好一個白球一個黑球的概率解以及兩個球全是黑球的概率.(1)10個球中任取兩球的取法有種,其中剛好一個白球,一個黑球的取法有種取法,兩個球均是黑球的取法有種,記為好取到一個白球一個黑球”,為為黑球”,則事件“剛事件“兩個球均44第44頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五例2

12名新生中有3名優(yōu)秀生，將他們隨機地平均分配到三個班中去，試求：（1）每班各分配到一名優(yōu)秀生的概率；（2）

3名優(yōu)秀生分配到同一個班的概率.解

12名新生平均分配到三個班的可能分法總數(shù)為

（1）設A表示“每班各分配到一名優(yōu)秀生”45第45頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五（2）

設B表示“3名優(yōu)秀生分到同一班”，故3名優(yōu)秀生分到同一班共有3種分法，其他9名學生分法總數(shù)為，故由乘法原理，B包含樣本總數(shù)為

46第46頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五例3

兩封信隨機地向標號為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的4個郵筒投寄，求第二個郵筒恰好被投入1封信的概率。解：設事件A表示第二個郵筒只投入1封信。兩封信隨機地投入4個郵筒共有42種等可能的投法，而組成事件A的不同投法只有C21C31種。有古典概型公式P(A)=C21C31/42=3/847第47頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五3、幾何概型若試驗具有如下特征:48第48頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五例

兩人相約在某天下午2∶00~3∶00在預定地方見面，先到者要等候20分鐘，過時則離去.如果每人在這指定的一小時內(nèi)任一時刻到達是等可能的，求約會的兩人能會到面的概率.

解

設x,y為兩人到達預定地點的時刻，那么，兩人到達時間的一切可能結(jié)果落在邊長為60的正方形內(nèi)，這個正方形就是樣本空間Ω,而兩人能會面的充要條件是｜x-y｜≤20，即x-y≤20且y-x≤20.49第49頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五例兩人約定上午9:00——10:00在公園會面，求一人要等另一人半小時以上的概率。解：設兩人到達時刻分別為X、Y，則

0≤X、Y≤60，事件一人要等另一人半小時以上等價于

如圖陰影部分所示

50第50頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五練習甲、乙兩艘輪船駛向一個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭停泊，它們在一晝夜到達的時刻是等可能的，如果甲船的停泊時間是1小時，乙船的停泊時間是2小時，求它們中的任何一艘船都不需要等候碼頭空出的概率。51第51頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五解：設甲、乙兩艘輪船到達碼頭的時刻分別是x、y，由題意0≤x≤24，0≤y≤24xy0212424設事件A表示兩艘輪船中的任何一艘都不需要等候碼頭空出，等價以下2種可能情況（1）若甲先到碼頭（即x＜y）,則有y-x＞1;（2）若乙先到碼頭（即y＜x）,則有x-y＞2；事件A包含的基本事件可以用圖中陰影部分表示52第52頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五在學習幾何和代數(shù)時，我們已經(jīng)知道公理是數(shù)學體系的基礎.數(shù)學上所說的“公理”，就是一些不加證明而公認的前提，然后以此為基礎，推演出所討論對象的進一步的內(nèi)容.4、概率的公理化定義53第53頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五即通過規(guī)定概率應具備的基本性質(zhì)來定義概率.

下面介紹用公理給出的概率定義.

1933年，前蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫給出了概率的公理化定義.柯爾莫哥洛夫提出的公理為數(shù)很少且極為簡單，但在此基礎上建立起了概率論的宏偉大廈.54第54頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五定義:設E是隨