考點14四邊形

課標(biāo)對考點的要求

對考點14四邊形問題，中考命題需要滿足下列要求：

(1)了解多邊形的定義，多邊形的頂點、邊、內(nèi)角、外角、對角線等概念；探索并掌握多邊形內(nèi)角和與外

角和公式。

(2)理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它們之間的關(guān)系；了解四邊形的不穩(wěn)定性。

(3)探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理：平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分；探索并證

明平行四邊形的判定定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平

行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

(4)了解兩條平行線之間距離的意義，能度量兩條平行線之間的距離。

(5)探索并證明矩形、菱形、正方形的性質(zhì)定理：矩形的四個角都是直角，對角線相等；菱形的四條邊相

等，對角線互相垂直；以及它們的判定定理：三個角是直角的四邊形是矩形，對角線相等的平行四邊形是

矩形；四邊相等的四邊形是菱形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。正方形具有矩形和菱形的一切性

質(zhì)。

(6)探索并證明三角形的中位線定理。

重要考點知識解函

一、多邊形問題

1.多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。

2.多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。

3.多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫多邊形的外角。

4.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。

5.正多邊形：在平面內(nèi)，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。

6.多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)-180°

7.多邊形的外角和：多邊形的內(nèi)角和為360°。

8.多邊形對角線的條數(shù)：

(1)從n邊形的一個頂點出發(fā)可以引(n-3)條對角線，把多邊形分成(n-2)個三角形。

(2)n邊形共有B(n-3)條對角線。

2

二、平行四邊形問題

1.平行四邊形定義

有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形用符號"C7ABCD”表示，讀作“平行四邊形ABCD”。

2.平行四邊形的性質(zhì)

(1)平行四邊形的對邊平行且相等；

(2)平行四邊形的對角相等；

(3)平行四邊形的對角線互相平分。

3.平行四邊形的判定

(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

(3)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

(4)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

(5)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。

4.平行四邊形的面積：S作四皿舷=底邊長義高=ah

三、矩形問題

1.矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。

2.矩形的性質(zhì)

(1)矩形的四個角都是直角；

(2)矩形的對角線平分且相等。

3.矩形判定定理

(1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形；

(2)對角線相等的平行四邊形是矩形；

(3)有三個角是直角的四邊形是矩形。

4.矩形的面積：S=ab(a、b分別表示矩形的長、寬)

四、正方形問題

1,正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。

2.正方形的性質(zhì)：

(1)具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)；

(2)正方形的四個角都是直角，四條邊都相等；

(3)正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角；

(4)正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸；

(5)正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，兩條對角線把正方形分成四個全等的

小等腰直角三角形；

(6)正方形的一條對角線上的一點到另一條對角線的兩端點的距離相等。

3.正方形的判定

判定一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：

一是先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等。即有一組鄰邊相等的矩形是正方形。

二是先證它是菱形，再證有一個角是直角。即有一個角是直角的菱形是正方形。

4.正方形的面積：設(shè)正方形邊長為a,對角線長為b,S=a2=—

2

五、菱形問題

1.菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

2.菱形的性質(zhì)

(1)菱形的四條邊都相等；

(2)菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。

3.菱形的判定定理

(1)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

(2)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

(3)四條邊相等的四邊形是菱形。

4.菱形的面積：S=ah=mn/2(菱形底邊長為a,高為h,兩條對角線長分別為m和n)

六、三角形中位線問題

1.三角形中位線的定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。

2.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。

3.對三角形中位線的深刻理解

(1)三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.

(2)三角形的三條中位線把原三角形分成可全等的4個小三角形.因而每個小三角形的周長為原三角形周

長的每個小三角形的面積為原三角形面積的

24

(3)三角形的中位線不同于三角形的中線.

七、平行線間的距離

1.定義：同時垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線的線段的長度，叫做這兩條平行線的距離.

2.性質(zhì)：兩平行線間的距離處處相等，夾在兩平行線間的平行線段相等.

重要問題解題思維方法總結(jié)

一、幾種特殊四邊形的常用判定方法

條件

1.定義：兩組對邊分別平行2.兩組對邊分別相等

平行

3.兩組對角分別相等4.對角線互相平分

四邊形5.一組對邊平行且相等

1.定義：有一個角是直角的平行四邊形

矩形2.對角線相等的平行四邊形

3.有三個角是直角的四邊形

菱形1.定義：一組鄰邊相等的平行四邊形2對角線互相垂

直的平行四邊形3四條邊都相等的四邊形

定義：一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形

正方形L

2.有一組鄰邊相等的矩形3.有一個角是直角的菱形

注意：1.平行四邊形的性質(zhì)與判定中要是出現(xiàn)角平分線，常與等腰三角形的性質(zhì)和判定結(jié)合起來考查，當(dāng)邊

指向不明時需要分類討論，常見的的模型如下：

/7+角平分線一等腰4

2.正方形的判定方法：①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；②先判定四邊形是菱形,

再判定這個矩形有一個角為直角；③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用①或②進行判定.

二、通過幾種特殊四邊形的轉(zhuǎn)化可以掌握判定方法

中考典例解析

【例題1】（2021四川瀘州）如圖，在平行四邊形A8CC中，AE平分NBA。且交BC于點E,ZD=58°,

則NAEC的大小是（）

A.61°B.109°C.119°D.122°

【答案】C

【解析】由平行四邊形的性質(zhì)可得/54。=122°,NB=/O=58°,由角平分線的性質(zhì)和外角性質(zhì)可求解.

?.?四邊形ABC。是平行四邊形，NQ=58°,

：.ZBAD=\22°,NB=ND=58°,

平分NBA。，

...N8AE=61°,

AZAEC=ZB+ZBAE=119°.

【例題2】（2021遼寧營口）如圖，OE是AABC的中位線，F(xiàn)為QE中點，連接AF并延長交BC于點G,

AS&EFG=1，則S&ABC=?

D.

B

【答案】24

【解析】取AG的中點歷，連接DM,根據(jù)ASA證△DW絲ZXEG凡得出MF=GF=L1M,根據(jù)等高關(guān)系

2

求出△ADW的面積為2,根據(jù)△4DM和△A8G邊和高的比例關(guān)系得出S“/W=ZAA8G,從而得出梯形

4

力MBG的面積為6,進而得出△BOE的面積為6,同理可得SABDE=JLSAABC,即可得出△ABC的面積.

4

解：是△48C的中位線，

.3E分別為A8、8c的中點,

如圖過D作DM//BC交AG于點M,

'：DM//BC,

:.NDMF=NEGF,

?.?點尸為OE的中點，

：.DF=EF,

在尸和AEGF中，

，ZDMF=ZEGF

<DF=EF>

ZDFM=ZGFE

:.ADM/AEGFCASA),

:.S八DMF=S&EGF=1,GF=FM,DM=GE,

?.?點。為48的中點，且OM〃BC,

2

S^ADM=2S^\DMF=2f

???OM為△ASG的中位線，

…而~2

SAABG=4S.^ADM=4X2=8,

=

**?S梯形QMG3=SA45G_S^ADM&-2=6,

S/、BDE=S梯形￡>MGB=6,

?力E是△ABC的中位線,

:.SAABC=4S&BDE=4X6=24,

故答案為:24.

【答案】360.

【解析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理和鄰補角的關(guān)系即可求出四邊形的外角和.

解：?.?四邊形的內(nèi)角和為(4-2)*180°=360°,

而每一組內(nèi)角和相鄰的外角是?組鄰補角，

二四邊形的外角和等于4X180°-360°=360°.

【例題4](2021浙江紹興)圖1是一種矩形時鐘，圖2是時鐘示意圖，時鐘數(shù)字2的刻度在矩形ABCD

的對角線8。上，則BC長為—cm(結(jié)果保留根號).

【解析】根據(jù)題意即可求得N尸。。=2/。0￡,即可求得/OOE=3(T,由矩形的性質(zhì)結(jié)合平行線的性質(zhì)可

求得/Q8C=3(T,利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求解.

解：過。點作OE_LCD,OFLAD,F,

圖2

VZFOD+ZDOE=90°,

：.ZDOE=30°,ZFOD=60°,

在矩形ABC。中，/C=90°,

J.OE//BC,

；.NDBC=NDOE=30°,

:.BC=4^CD=30/3.

【例題5】（2021新疆）在矩形A8CD中，點E在邊BC上，點尸在BC的延長線上，且BE=C尸.

求證：（1）△A8E/△DCF；

（2）四邊形AEFD是平行四邊形.

【解析】（1）由矩形的性質(zhì)可得A8=C￡>,ZABC=ZDCB=90°,AD=BC,AD//BC,由“SAS”可證

△ABE注ADCF；

（2）由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證四邊形AEFD是平行四邊形.

證明：（I）???四邊形A8CO是矩形，

：.AB=CD,NABC=NDCB=90°,AD=BC,AD//BC,

...NA8E=N￡>CF=90°,

在△A8E和△OC尸中，

fAB=DC

<ZABE=ZDCF-

BE=CF

.?.△ABE四△￡>b（SAS）,

（2）;BE=CF,

：.BE+EC=CF+EC,

：.BC=EF=AD,

又?.?AOZ/BC,

???四邊形AEFD是平行四邊形.

考點問題綜合訓(xùn)練

一、選擇題

1.（2021重慶）如圖，把含30°的直角三角板放置在正方形ABC。中，NPMN=30：直角頂點尸

在正方形ABC。的對角線8。上，點M,N分別在AB和CD邊上，MN與BD交于點、O,且點。為MN的

中點，則NAMP的度數(shù)為（）

A.60°B.65°C.75°D.80°

【答案】C

【解析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知：OM=OP,從而得出/OPM=150°,利用四

邊形內(nèi)角和定理即可求得.

解：在中，NMPN=90",

為MN的中點，

'"=加=0『

■:NPMN=30°,

：.ZMPO=30°,

.'.ZDPM=\50°,

在四邊形AQPM中，

?.?/4=90°,/A￡）B=45°,NOPM=150°,

ZAMP=360a-ZA-ZADB-ZDPM

=360°-90°-45°-150°

=75。.

2.（2020?濟寧）一個多邊形的內(nèi)角和是1080°,則這個多邊形的邊數(shù)是（）

A.9B.8C.7D.6

【答案】B

【分析】多邊形的內(nèi)角和可以表示成（n-2）-180°,依此列方程可求解.

【解析】設(shè)所求正“邊形邊數(shù)為小

則1080°=（〃-2）780°,

解得“=8.

3.（2020?衡陽）如圖，在四邊形A3CD中，對角線AC和3。相交于點O,下列條件不能判斷四邊形A8CD

是平行四邊形的是（）

A,D

/

BC

A.AB//DC,AD//BCB.AB=DC,AD=BC

C.AB//DC,AD=BCD.OA=OC,OB=OD

【答案】C

【分析】根據(jù)平行四邊形的定義，可以得到選項A中的條件可以判斷四邊形ABCD是平行四邊形；根據(jù)兩

組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可以得到選項B中的條件可以判斷四邊形ABCD是平行四邊形；

根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可以得到選項D中的條件可以判斷四邊形ABCD是平行四邊

形；選項C中的條件，無法判斷四邊形ABCO是平行四邊形.

【解析】,：AB//DC,AD//BC,

：.四邊形ABCD是平行四邊形，故選項A中條件可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；

"：AB=DC,AD=BC,

二四邊形ABCD是平行四邊形，故選項8中條件可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；

?：AB//DC,AD=BC,則無法判斷四邊形ABC。是平行四邊形，故選項C中的條件，不能判斷四邊形A8CO

是平行四邊形；

"：OA=OC,OB=OD,

，四邊形ABCD是平行四邊形，故選項。中條件可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；

4.（2020?荊門）如圖，菱形ABCD中，E,P分別是AO,8。的中點，若E尸=5,則菱形A8CZ）的周長

為（）

A.20B.30C.40D.50

【答案】C

【解析】由三角形中位線定理可求45=10,由菱形的性質(zhì)即可求解.

VE,f分別是AD,84的中點，

...EF是△48。的中位線，

.*.EF=1AB=5,

：.AB=Wf

???四邊形ABO是菱形，

：.AB=BC=CD=AD=10,

；?菱形A3。。的周長=4A5=40

5.（2020?鹽城）如圖，在菱形A8CD中，對角線AC、B。相交于點O,H為BC中點,AC=6,BD=8.則

線段?！ǖ拈L為（）

125

A.——B.-C.3D.5

52

【答案】B

【解析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC,8。，OB=OD=^BD=4,OC=OA='c=3,再利用勾股定理計算

出BC,然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到OH的長.

?.?四邊形48CO為菱形，

J.ACLBD,08=00=池=4,OC=OA=

在RtZ\8OC中，BC=V32+42=5,

為8c中點，

15

--

22

6.（2020?黑龍江）如圖，菱形ABCQ的對角線AC、相交于點。，過點。作?！癓AB于點”，連接

OH,若OA=6,S差形ABCO=48,則。”的長為（）

B

A.4B.8C.V13D.6

【答案】A

【解析】由菱形的性質(zhì)得出。4=OC=6,（）B=OD,ACLBD,則4c=12,由直角三角形斜邊上的中線性

質(zhì)得出再由菱形的面積求出9=8,即可得出答案.

?.?四邊形A8C。是菱形，

：.0A=0C=6,OB=OD,AC-LBD,

：.AC=\2,

\'DHLAB,

:.NBHD=90°,

0H=加,

,菱形ABC。的面積=1xACX8。=，12X80=48,

：.BD=S,

：.0H=^BD=4；

7.（2020?綏化）如圖，四邊形A8C￡＞是菱形，E、尸分別是BC、CD兩邊上的點，不能保證aABE和4

AOF一定全等的條件是（）

A.ZBAF=ZDAEB.EC=FCC.AE=AFD.BE=DF

【答案】C

【解析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB=AD,NB=ND,再根據(jù)所添加條件，與這個兩個條件是否能最終得到

全等三角形的判定條件，進而得出結(jié)論.

A.?..四邊形4BC。是菱形，

：.AB=AD,NB=ND,

"：ZBAF=ZDAE,

：.ZBAE^ZCAF,

：.(AAS),

故選項A不符合題意；

?四邊形A8C￡)是菱形，

：.AB=AD,NB=ND,BC=BD,

EC=FC,

：.BE=DF,

：.AABE^AADF(SAS),

故選項8不符合題意；

C」.?四邊形4BCD是菱形，

：.AB=AD,NB=ND,

'：AE=AF,

...△A8E和△4￡)/只滿足兩邊和?邊的對角相等，兩個三角形不一定全等，

故選項C符合題意；

。.二?四邊形A8CD是菱形，

：.AB=AD,ZB=ZD,

,;BE=DE,

：./\ABE^^,ADF(SAS),

故選項。不符合題意.

8.(2020?貴陽)菱形的兩條對角線長分別是6和8,則此菱形的周長是()

A.5B.20C.24D.32

【答案】B

【解析】根據(jù)題意畫出圖形，由菱形的性質(zhì)求得OA=4,08=3,再由勾股定理求得邊長，繼而求得此菱形

的周長.如圖所示：

:四邊形4BCO是菱形，AC=8,BD=6,

：.AB=BC=CD=AD,0A=|^C=4,0B=^BD=3,AC1BD,

：.AB=\OA2+OB2=v4:+32=5,

???此菱形的周長=4X5=20

9.（2020?遵義）如圖，在菱形ABC。中，45=5,AC=6,過點。作。ELBA,交84的延長線于點E,

則線段DE的長為（）

BC

121824

A.-B.-C.4D.一

555

【答案】D

【解析】由在菱形A8CO中，AB=5,AC=6,利用菱形的性質(zhì)以及勾股定理,求得。8的長，繼而可求得

80的長，然后由菱形的面積公式可求得線段DE的長.如圖.

???四邊形4BCO是菱形，AC=6,

：.ACLBD,04=8。=3,BD=2OB,

'：AB=5,

：.OB=vAB2-OA2=4,

J80=208=8,

"."S爰形ABCD=AB?DE=3AC?BD,

^AC'BD^x6x824

???DE=2—=——=J—=等

E.

AD

BC

10.（2020?懷化）在矩形ABC。中，AC、BO相交于點O,若△408的面積為2,則矩形A8C。的面積

為（）

D.10

【答案】C

【解析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OA=OB—OC—OD,推出S&ADO—S^BCO—S^CDO—SMBO—2,即可求出矩

形ABCD的面積.

.四邊形ABCO是矩形，對角線AC、8。相交于點。，

：.AC^BD,且OA=OB=OC=OO,

S^ADOS&BCOSACDO-SA.ABO2,

矩形ABCD的面積為4s^80=8,

11.（2020?泰安）如圖，矩形4BCZ）中，AC,3。相交于點。，過點B作4c交CD于點F,交AC

于點M,過點。作。E〃8F交A3于點E,交4c于點N,連接FMEM.則下列結(jié)論：

①DN=BM；

@EM//FN；

（3）AE=FC；

④當(dāng)4O=A￡＞時，四邊形。EB尸是菱形.

其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）

E

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【解析】證(AAS),得出DN=BM,NADE=NCBF,故①正確；證△/!￡>￡絲△CB/?

(ASA),得出AE=FC,DE=BF,故③正確；證四邊形NEMF是平行四邊形，得出EM〃FN,故②正

確；證四邊形。EBF是平行四邊形，證出NO￡W=/A8O,則。E=BE,得出四邊形。EBF是菱形；故

④正確：即可得出結(jié)論.

:四邊形A8C￡>是矩形，

：.AB=CD,AB//CD,N￡ME=/8CF=90°,OD=OB=OA=OC,AD=BC,AD//BC,

：.ZDAN=ZBCM,

'：BF±AC,DE//BF,

：.DE1.AC,

：.ZDNA=ZBMC=9()°,

^7)AN=^BCM

在△LWA和△BMC中，JWA=LBMC，

AD=BC

:?叢DNAm叢BMC(A4S),

:,DN=BM,/ADE=/CBF,故①正確；

^ADE=/CBF

在△ADE1和△C8產(chǎn)中，lAD=BC,

、zJJ4E=LBCF

/.^ADE^ACBF(ASA),

：.AE=FC9DE=BF,故③正確；

/.DE-DN=BF-BM,即NE=MF,

■:DE〃BF,

???四邊形NEMF是平行四邊形，

:.EM〃FN,故②正確；

VAB=CD,AE=CF,

:?BE=DF,

,:BE〃DF,

，四邊形OEBb是平行四邊形，

?：AO=AD,

：.AO=AD=OD,

/\AOD是等邊二角形,

:?NADO=NDAN=6U0,

AZABD=9O0-ZADO=30°,

VDEIAC,

AZADN=ODN=30°,

：.ZODN=ZABD,

:.DE=BE,

???四邊形DEB”是菱形；故④正確；

正確結(jié)論的個數(shù)是4個.

12.（2020?福建）如圖，面積為1的等邊三角形力戊、中，D,E,尸分別是/昆BC,。的中點，則△應(yīng)尸的

面積是（）

111

A.1B.-C.一D.-

23

【答案】D

【解析】根據(jù)三角形的中位線定理和相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

???〃，E,/分別是49,BC,。的中點，

:?DE=,AC,DF=WBC,ETAB,

DFEFDE1

"BCAB~AC2

:、l\DEFs[\ABC,

.S-DEF_DEy2_2_1

??—(\)---(.)=~79

S^ABCAC24

二,等邊三角形的面積為1,

..?△龍尸的面積是2

13.（2022內(nèi)蒙古赤峰模擬）如圖，菱形48徵周長為20,對角線M相交于點。，￡是切的中點，則

在的長是（）

A.2.5B.3C.4D.5

【答案】A.

【解析】???四邊形4及力為菱形，

但仁型=5,且。為即的中點，

4

為面的中點,

為△砥?的中位線，

：.OE=LCB=2.5。

2

【點撥】掌握菱形特點，根據(jù)三角形中位線定理解決問題。

二、填空題

1.（2021云南〉如圖，在AABC中，點。，E分別是BC,4c的中點，AO與BE相交于點尸.若BF=6,

則BE的長是.

【解析】由題意可知，OE是△A8C的中線，KODE//AB,且￡）E=工A8,可得匹=巨=」，代入8尸的

2ABBF2

長，可求出EF的長，進而求出8E的長.

解：如圖，

在"BC中，點￡）,E分別是8C,AC的中點,

ADE//AB.KDE=-AB,

2

.DE_EF

??-f

ABBF2

,:BF=6,

；.BE=BF+EF=9.

【點評】本題主要考查三角形中位線，平行線分線段成比例等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題基礎(chǔ).

2.（2021四川瀘州）如圖，在邊長為4的正方形A8C。中，點E是BC的中點，點F在C。上，且CF=

3DF,AE,8/相交于點G,則AAGF的面積是.

【答案】園.

11

【解析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，可以得到GN的長，然后通過圖形可知，AAGF的面積

=AABF的面積-AABG的面積，代入數(shù)據(jù)計算即可.

解：作于點M,作GNLAB于點M如右圖所示,

?正方形A8CO的邊長為4,點E是BC的中點，點尸在C。匕且CF=3。凡

；.8E=2,M尸=4,8M=CF=3,

?:GNLAB,FMLAB,

J.GN//FM,

：.4BNGs叢BMF,

..BNBM3,

"NG

設(shè)8N=3x,則NG=4x,AN=4-3x,

?:GNLAB,EB1.AB,

：.XANGsXABE,

?ANNG

??,

ABBE

即4-3x_4x,

42

解得x=_L,

11

GN=4x->

11

4X此

.?.△AGF的面積是：皿吸尸_AB?GN=4X4____11=56,

222211

故答案為：56.

3.（2021遼寧營口）如圖，矩形A8CO中，AB=5,BC=4,點E是4B邊上一點，AE=3,連接力E,點

尸是BC延長線上一點，連接AF,且NF=^NEDC,則CF=

2

【答案】6

【解析】如圖，連接EC,過點。作DH_LEC于從證明CE〃/1F,利用平行線分線段成比例定理，解決問

題即可.

解：如圖，連接EC,過點。作?！盠EC于，.

,四邊形ABC。是矩形,

...NBAZ)=/8C￡)=9(r,AD=8C=4,AB=CD=5,

9：AE=3,

???DE=VAD2+AE2=V42+32=5'

：.DE=DC,

'：DHLEC,

:.NCDH=NEDH,

'：ZF=^-ZEDC,ZCDH=^ZEDC,

22

：.ZCDH=ZF,

；NBCE+/DCH=90”,ZDCH+ZCDH=90°,

NBCE=NCDH,

:.NBCE=NF,

：.EC//AF,

?BE=CB

"AECf'

?2=_L

'~3CP'

...b=6,

故答案為：6.

4.（2020?湘西州）若一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的兩倍，則該多邊形的邊數(shù)是—.

【答案】6

【解析】任何多邊形的外角和是360°,內(nèi)角和等于外角和的2倍則內(nèi)角和是720°邊形的內(nèi)角和是（〃

-2）780°,如果已知多邊形的內(nèi)角和，就可以得到一個關(guān)于邊數(shù)的方程，解方程就可以求出多邊形的邊

數(shù).

設(shè)該多邊形的邊數(shù)為小

根據(jù)題意，得，（”-2）780°=720°,

解得：n—6.

故這個多邊形的邊數(shù)為6.

5.（2020?天津）如圖，平行四邊形ABC。的頂點C在等邊△BEF的邊B尸上，點E在AB的延長線上，G

為。E的中點，連接CG.若AO=3,AB=CF=2,則CG的長為.

【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，可以得到8尸和8E的長，然后可以證明△。。仃和4

EHG全等,然后即可得到CG的長.

?.?四邊形A38是平行四邊形，

:?AD=BC,CD=AB.DC//AB,

VAD=3,AB=CF=2,

:?CD=2,BC=3,

；?BF=BC+CF=5,

,.,△3。是等邊三角形，G為。E的中點,

:?BF=BE=5,DG=EG,

延長CG交BE于點、H,

YDC//AB,

:?/CDG=NHEG,

在△DCG和△EHG中，

'/CDG=NHEG

DG=EG9

VLDGC=LEGH

:?△DCGQAEHG(ASA),

:?DC=EH,CG=HG,

VCD=2,BE=5,

:?HE=2,BH=3,

?；NCBH=60°,BC=BH=3,

是等邊三角形，

:?CH=BC=3,

13

:.CG=3CH=4

6.（2020?涼山州）如圖，平行四邊形4BCO的對角線AC、BO相交于點O,OE〃AB交AO于點E,若

OA=1,ZiAOE的周長等于5,貝加A8C。的周長等于.

【答案】16.

【解析】由平行四邊形的性質(zhì)得A8=C￡）,AD^BC,OB=OD,證OE是△48。的中位線，貝UA8=2OE,

AD=2AE,求出AE+OE=4,則A8+AD=2AE+2OE=8,即可得出答案.

???四邊形ABCD是平行四邊形，

.'.AB=CD,AD=BC,OB=OD,

'JOE//AB,

是△48。的中位線，

：.AB=2OE,AD=2AE,

???aAOE的周長等于5,

：.OA+AE+OE^5,

：.AE+OE^5-OA=5-1=4,

：.AB+AD=2AE+2OE=S,

二口ABC。的周長=2X（AB+AD）=2X8=16；

7.（2020?甘孜州）如圖，在平行四邊形4BC￡）中，過點C作CE1.4B,垂足為E,若NE4￡>=40°,則/

BCE的度數(shù)為.

B

【答案】50°.

【解析】由平行四邊形的性質(zhì)得出/8=/￡4。=40°,由角的互余關(guān)系得出/BCE=90°-ZB=500即

可.

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

C.AD//BC,

：.ZB=ZEAD=40°,

9：CELAB,

：.ZBCE=90°-ZB=50°

8.（2020?哈爾濱）如圖，在菱形A3CO中，對?角線AC、相交于點。，點E在線段5。上，連接AE,

若CD=2BE,NDAE=NDEA,EO=L則線段AE的長為.

【答案】20.

【解析】設(shè)則CQ=2r,根據(jù)菱形的性質(zhì)得45=4O=CO=2J:,OB=OD,ACLBD,再證明QE=

3

-解得

DA—2x,所以l+x=2然后利用勾股定理計算OA,再計算AE的長.

設(shè)BE=x,則CD=2x,

;四邊形A8CO為菱形，

：.AB=AD=CD=2xfOB=OD,ACVBD,

*：4DAE=/DEA,

：.DE=DA=2xf

：.BD=3xf

3

，OB=OD=?

■:OE+BE=BO,

3

-

2解得x=2,

即AB=4,0B=3,

在RtAAOB中，OA=、/42—32=y/7,

在RtAAOE中,AE=Jl2+(V7)2=2>/2.

9.(202()?無錫)如圖，在菱形ABC。中，/B=50°,點E在CO上，若AE=AC,貝

【答案】115.

【解析】由菱形的性質(zhì)得出4c平分N8C￡>,AB//CD,由平行線的性質(zhì)得出NB4E+/4EC=18（r,ZB+

N8CZ)=180°,求出N8CD=130°，則NACE=,NBCD=65°,由等腰三角形的性質(zhì)得出NAEC=/4CE

=65。，即可得出答案.

?.?四邊形/WCD是菱形，

...AC平分/BCD,AB//CD,

N8AE+NAEC=180°,ZB+ZBCD=180°,

/.ZBCD=1800-ZB=180°-50°=130°,

.,.ZACE=|ZBCD=65°,

"：AE=AC,

二NARM/ACE=65°,

.?.NR4E=180°-ZAEC=115°

10.（2020?淮安）菱形的兩條對角線長分別為6和8,則這個菱形的邊長為

【答案】5

【解析】首先根據(jù)題意畫出圖形，由菱形A8C。中,AC=6,8L>=8,即可得AC_L8。,OA=^AC=3,OB=，BD

=4,然后利用勾股定理求得這個菱形的邊長.

?菱形A8CD中，AC=6,BD=8,

：.ACA-BD,0A=^AC=3,0B=1fiD=4,

：.AB=vOA2+OB2=5.

即這個菱形的邊長為：5.

11.（2020?青島）如圖，在正方形4BC￡>中，對角線AC與8。交于點。，點E在C。的延長線上，連接

AE,點尸是AE的中點，連接。尸交A。于點G.若OE=2,OF=3,則點A到。尸的距離為.

4x,r5

【答案】一.

5

【解析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AO=DO,ZADC=90°,求得NAQE=90°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得

至ijCF=AF=EF=根據(jù)三角形中位線定理得到PG=1,求得AC=C￡>=4,過A作尸于

H,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論.

.在正方形ABC。中，對角線AC與50交于點O,

：.AO=DO,乙40c=90°,

AZADE=90°,

???點F是AE的中點，

：.DF=AF=EF=1AE,

：.。尸垂直平分40，

：.AG=DG,：.FG=^DE=1,

VOF=2,,??0G=2,

■:AO=CO,：.CD=2OG=4,：.AD=CD=4,

過4作A”_L。尸于H,AZW=ZA￡>E=90°,

u

\AF=DFf：.ZADF=ZDAE,：.AADH^/\AED,

AHAD

??二,

DEAE

：.AE=\AD2+DE2=V42+22=2v5,

.AH4

;"T=涓

4、后

即點A到。尸的距離為一

5

12.(2020?遼陽)如圖，在△/%中，M4分別是4?和〃'的中點，連接的V,點￡是GV的中點，連接監(jiān)

并延長，交回的延長線于點4若比1=4,則切的長為.

【答案】2

【解析】依據(jù)三角形中位線定理，即可得到小扭=2,拗'〃品依據(jù)△極心△旌"(A4S),即可得到

CD=MN=2.

,：M,、分別是和的中點,

二腑是歐的中位線，

：.^^BC=2,MN//BC,

：.NNME=/MNE=/DCE,

?.,點〃是av的中點，

：.NE=CE,

（A4S）,

:.CAMN=2.

三、解答題

1.（2021浙江紹興）問題：如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=8,ZDAB,/A8C的平分線AE,F,求

EF的長.

答案：EF=2.

探究：（1）把“問題”中的條件“AB=8”去掉，其余條件不變.

①當(dāng)點E與點F重合時，求48的長；

②當(dāng)點E與點C重合時，求EF的長.

（2）把“問題”中的條件“AB=8,AO=5"去掉，其余條件不變，D,E,尸相鄰兩點間的距離相等時，

求皎的值.

【解析】（1）①證/￡）EA=/D4E,得OE=AO=5,同理5c=CF=5,即可求解：

②由題意得/）E=OC=5,再由C尸=8C=5,即可求解；

（2）分三種情況，由（I）的結(jié)果結(jié)合點C,D,E,尸相鄰兩點間的距離相等，分別求解即可.

解：（1）①如圖1所示：

圖1

???四邊形ABCD是平行四邊形,

：.CD=AB=S,BC=AD=5,

：.ZDEA=ZBAE,

平分NZM8,

；.NDAE=/BAE,

：.ZDEA=ZDAE,

：.DE=AD=5,

同理：BC=CF=5,

:點E與點F重合,

：.AB=CD=DE+CF=\^

②如圖3所示：

?點E與點C重合,

:.DE=DC=5,

，：CF=BC=5,

...點F與點。重合,

.,.￡F=DC=5；

（2）分三種情況：

①如圖3所示：

同（1）得：AD=DE,

:點C,D,E,尸相鄰兩點間的距離相等,

：.AD=DE=EF=CF,

???AD=1.,

AB4

②如圖4所示：

圖4

同（1）得：AD=DE=CF,

*；DF=FE=CE,

..AD=_2.

AB6

③如圖5所示：

,:DF=DC=CE,

.?*=2；

AB

綜上所述，包?的值為或2.

AB35

2.（2021浙江紹興）如圖，矩形ABC。中，48=4,點F是對角線8。上一動點，NAD8=30°.連結(jié)EF

（1）若EFLBD,求。尸的長;

（2）若求。尸的長;

（3）直線PE交于點Q,若△QEQ是銳角三角形，求QF長的取值范圍.

【解析】（D由題意得點尸在上，根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)即可求解;

（2）由對稱可得△力EF是等腰三角形，分兩種情況畫出圖形，根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)即可求解；

（3）分兩種情況畫出圖形，根據(jù)中點的定義以及直角三角形的性質(zhì)分別求出EM、FM、OM的值，即可得

出QF的值，結(jié)合（2）中求得的。尸的值即可得出答案。

解：（1）???點。、點P關(guān)于直線EP的對稱，

...點P在上,

:四邊形ABC。是矩形，

.../BAO=90°,

"：AB=4,NAOB=30°.

.*.AO=4近，

,點E是邊AD的中點，

:.DE=20

'：EFLBD,

：.DF=S；

(2)①如圖2,

/.ZP￡D=60°,

由對稱可得，EF平分NPED,

:.NDEF=NPEF=3Q°,

二△￡>￡/="是等腰三角形，

：.DF=EF,

'：PE±BD,ZADB=300炳,

:3=近.

VZPEF=30°,

:.EF=2,

:.DF=EF=2；

②如圖5,

■:PE工BD,/A￡>B=30°.

：.ZPED=120°,

由對稱可得，PF=DF,EF平分NPED,

:.NDEF=NPEF=120°,

二NE尸。=30°,

...△OEF是等腰三角形，

'JPELBD,

；.QD=QF=￡DF,

"：PELBD,ZADB=30°娓,

:.QE=0QD=3

:.DF=1QD=6；

二。產(chǎn)的長為2或6

(3)由(2)得，當(dāng)N￡?QE=90°時,

當(dāng)NOEQ=90°時，

平分NPED,

:.NDEF=45°,

過點F作FMLAD于點M,設(shè)EM=a,DM=gi,

，a=8-百。F=6-8百

2&〃;。尸&〃;，^；

第二種情況，如圖5,

；.NMEF=45：

過點尸作FA/1AD丁點M,設(shè)EM=a,DM=0i,

u—5+,^3，/)F=6+6^3，

：6+5?>8,

二力廠最大值為5,

：.6<DFW8。

綜上，DF長的取值范圍為3&〃;&";6-2有&〃;。尸W8.

3.(2020湖南岳陽模擬)D、E分別是不等邊三角形ABC(即ABWBCWAC)的邊AB、AC的中點.0是4ABC

所在平面上的動點，連接OB、OC,點G、F分別是OB、OC的中點，順次連接點D、G、F、E.如圖，當(dāng)點0

在aABC的內(nèi)部時，求證：四邊形DGFE是平行四邊形.

【答案】見解析。

【解析】證明：???p、E分別是AB、AC邊的中點，

.,.DE〃BC,且DE=2BC,

2

同理，GF/7BC,且GF=』C,

2

；.DE〃GF且DE=GF,

二四邊形DEFG是平行四邊形。

4.（2020?孝感）如圖，在平行四邊形A8CQ中，點E在A8的延長線上，點尸在CD的延長線上，滿足

BE=DF.連接EF,分別與BC,AO交于點G,H.

求證：EG=FH.

【答案】見解析。

【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

證明：：四邊形A8C。是平行四邊形，

：.AB//CD,NABC=NFDH,

，4=公

在aBEG與中，（BE=DF，

、花BG=dDH

：./\BEG^/\DFH（ASA）,

：.EG=FH.

5.（2020?鄂州）如圖，在平行四邊形ABC。中，對角線AC與BD交于點。，點M,N分別為OA、OC

的中點，延長BM至點E,使連接OE.

(1)求證：△AMB4/\CND；

(2)若8O=2A8,且48=5,DN=4,求四邊形。EMN的面積.

【答案】見解析。

【分析】(1)依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可得到△AA/Bg△CWZ)；

(2)依據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得出四邊形OEMN是平行四邊形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可得到

NEMN是直角，進而得到四邊形。是矩形，即可得出四邊形。EMN的面積.

【解析】(1)???平行四邊形4BCO中，對角線AC與8。交于點。，

：.AO^CO,

又?點M,N分別為OA、0C的中點，

：.AM=CN,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB//CD,AB=CD,

：.ZBAM=ZDCN,

：.AAMB藝ACND(SAS');

(2)?：XAMB迫MCND,

：.BM=DN,NABM=NCDN,

又,；BM=EM,

:.DN=EM,

"JAB//CD,

：.ZABO^ZCDO,

，NMBO=NNDO,

：.ME//DN

四邊形DEMN是平行四邊形，

\'BD=2AB,3O=2BO,

：.AB=0B,

又是AO的中點,

,BM_LAO,

:?NEMN=90°,

J四邊形DEMN是矩形，

VAB=5,DN=BM=4,

.\AM=3=MO,

:?MN=6,

J矩形QEMN的面積=6X4=24.

6.(202()?揚州)如圖，平行四邊形A8CO的對角線AC、8力相交于點。，過點。作EFLAC,分別交A8、

DC于點、E、F,連接AECE.

(1)若OE=,求EF的長；

(2)判斷四邊形AEC尸的形狀，并說明理由.

【答案】見解析。

【分析】⑴判定△AOEg△COF(ASA),即可得OE=OF