計(jì)算方法

第一章設(shè)某量的準(zhǔn)確值為X,近似值為X*,則稱啜少x-x*為近似值x*的絕對(duì)誤差；/e(x*)|=|x-x*|W8,稱8為x*的絕對(duì)誤差限；稱匕仃)=-(魚=蟲至為x*的相對(duì)誤差；巧心火卜占氽r氣為x*的相對(duì)誤差限。x對(duì)數(shù)學(xué)問題而言，如果輸入數(shù)據(jù)有微小擾動(dòng)，引起輸出數(shù)據(jù)(即數(shù)學(xué)問題的解)有很大擾動(dòng)，則稱數(shù)學(xué)問題是病態(tài)問題，否則稱為良態(tài)問題。設(shè)兩個(gè)不同的數(shù)據(jù)x,x,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為f(x)，f(x),假設(shè)x尹0,f(x)尹0.相對(duì)誤差e==,R=f(x)~f(x),如果能找到一個(gè)數(shù)祖滿足&<merxIf(x)r則稱m為該問題的條件數(shù)，記為Cond((f(x))。定義：一個(gè)算法如果輸入數(shù)據(jù)有擾動(dòng)(即有誤差)，而計(jì)算過程中舍入誤差不增長，則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的，否則稱此算法為不穩(wěn)定的。(誤差的定性分析法：即研究算法的數(shù)值穩(wěn)定性)數(shù)值計(jì)算中值得注意的問題：(1)防止相近的兩數(shù)相減(2)防止大數(shù)吃小數(shù)(3)防止接近零的數(shù)做除數(shù)(4)注意計(jì)算步驟的簡化,減小運(yùn)算次數(shù)誤差的來源：1、模型誤差2、觀測誤差3、截?cái)嗾`差4、舍入誤差實(shí)際問題的真解與數(shù)學(xué)模型之間有誤差，這種誤差稱為模型誤差(描述誤差)由于測量工具的精度、觀測方法或客觀條件的限制,使數(shù)據(jù)含有測量誤差，這類誤差叫做觀測誤差或數(shù)據(jù)誤差在數(shù)值求解數(shù)學(xué)問題時(shí)，常常用有限過程逼近無限過程，用能計(jì)算的問題代替不能計(jì)算的問題。這種精確公式用近似公式代替時(shí)，所產(chǎn)生的誤差叫截?cái)嗾`差。由于計(jì)算機(jī)字長有限，一般實(shí)數(shù)不能精確存儲(chǔ)，于是產(chǎn)生舍入誤差。第二章如果在區(qū)間［g加內(nèi)方程f(x)=0只有一個(gè)根，稱［g加為隔根區(qū)間。求隔根區(qū)間有兩種方法有描圖法和逐步搜索法。二分法就是將方程的有根區(qū)間對(duì)分，然后再選擇比原來區(qū)間縮小一半的有根區(qū)間，如此繼續(xù)下去，直到得到滿足精度要求的根為止的一種簡單的區(qū)間方法。定理2.1：f(x)在［a,加內(nèi)連續(xù)，a是方程f(x)在隔根區(qū)間［a,加內(nèi)的根，則由二分法產(chǎn)生的數(shù)列｛x｝收斂于方程的根a,且有誤差估計(jì)式Ix-a|<穿(n=0,1,)“n2nb—a二分法控制誤差8常用的方法有(1)先計(jì)算對(duì)分次數(shù)再對(duì)分。由亍<^計(jì)算得n>log2j得到滿足誤差要求的最少對(duì)分次數(shù)。(2)事后誤差估計(jì)法,先對(duì)分再判斷所得中點(diǎn)是否滿足誤b—a差要求(3)由于Ix,-aI<Ixn-xn］I=—故可用Ixn-xn1I<￡來判斷誤差。迭代法的求解步驟(1)建立迭代公式。由公式f(x)=0出發(fā)將其分解為等價(jià)形式x=0(x),式中0(x)叫做方程的迭代函數(shù).⑵進(jìn)行迭代計(jì)算。由初值x0出發(fā)，按迭代函數(shù)進(jìn)行計(jì)算

xn+1=中(xn)(n=°,1,2,一)稱為迭代公式。數(shù)列｛xn｝,稱為迭代序列。該過程稱為迭代過程.9若從任何可取的初值出發(fā)都能保證收斂，則稱它為大范圍收斂。如若為了保證收斂性必須選取初值充分接近于所要求的根，則稱它為局部收斂。定理2.2(收斂定理)：設(shè)方程x=^(x)，如果設(shè)方程xw(x)，如果(1)迭代函數(shù)0(x)在區(qū)間［a,加可導(dǎo)；(2)當(dāng)xe［a,b］時(shí)，^(x)e［a,b］；(3)對(duì)于任意的xe［a,b］，有I中'(x)!<LV1。則有①方程x=^(x)在區(qū)間［a,b］上有唯一的根a；②對(duì)于任意的初值x0e［a,b］，由迭代公式x=中(x)(n=0,1,2…)產(chǎn)生的數(shù)列｛x｝收斂于方程的根a。③Ix-a|<一久Ix-xIn+1nnn1-Lnn-1④誤差估計(jì)Ix-aI<~~L'x-xI定理2.3(迭代法的局部收斂定理)：設(shè)a是方程x=(p(x)的根，如果(1)迭代函數(shù)0(x)在a的鄰域可導(dǎo)；(2)在a的某個(gè)鄰域S=｛x:|x-a|W5｝，對(duì)于任意的xgS有1b(x)I<LV1則對(duì)于任意的初值x0eS，迭代公式xn+1=0(xn)產(chǎn)生的數(shù)列｛xn｝，收斂于方程的根a。(這時(shí)稱a的S領(lǐng)域具有局部收斂性。)收斂法控制誤差￡的方法有：(1)先計(jì)算滿足誤差要求的迭代次數(shù)n，再迭代。由,Ie(1—L)LlnLIx-aI<Ix-x性可得n>Ix1-x0I⑵事后誤差估計(jì)法。由于Ix—a<—Ix-xI因n1-L10n>lr；L°n1-Lnn-1而可用Ixnxn_1|<￡來控制迭代過程。~~n+110.迭代-加速公式：彳xn+1*(x)(n=0,1,2,…)~1W(x)(n=。以…)=￡~-，x埃特金加速公式：匚禎頊1-qn+11-qnxx一~2x=n+2―nn+1——n+1x一2~+xn+2n+1nlim^n+1=c(0VcV1),e=|x-ax—se""n定理2.4:如果由迭代公式xn+1w(xn)產(chǎn)生的數(shù)列｛xn｝滿足⑴收斂于根a；⑵|。0(n=0,1,2?.?)則由埃特金加速公式產(chǎn)生的數(shù)列｛xn｝比數(shù)列｛x｝較快地收斂于根a，即lim二竺=0nx*xn-a~~n+110.迭代-加速公式：彳xn+1lim^n+1=c(0VcV1),e=|x-ax—se""n定理2.5(牛頓迭代法的局部收斂定理)設(shè)a是方程f(x)=0的根，如果(1)函數(shù)f(x)=0在a的鄰域有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)(2)在a的鄰域f’(x)約則存在a的某個(gè)鄰域S=｛x:Ix-aI<8｝，對(duì)于任意的初始值x。eS，由牛頓迭代公式產(chǎn)生的數(shù)列收斂于根a。定理2.6(牛頓迭代法收斂定理)設(shè)a是方程f(x)=0在隔根區(qū)間［a,b］內(nèi)的根，且滿足Vxe",b］f(x),f〃(x)連續(xù)且不變號(hào)；⑵選取初始值xe",對(duì)使/(x°)/rr(x0)>0。則由牛頓迭代公式產(chǎn)生的數(shù)列收斂于根a。12.定義:設(shè)數(shù)列｛七｝收斂于a,令誤差en=七-a，如果存在某個(gè)實(shí)數(shù)p>1及正常數(shù)C，使lim=C則稱數(shù)列｛x｝p階收斂，也稱相應(yīng)的迭代法為p階方法。當(dāng)p=1且0<C<1n-」eIpnn時(shí)，稱數(shù)列｛七｝為線性收斂.當(dāng)p=2時(shí)，稱數(shù)列｛七｝平方收斂(或二階收斂).當(dāng)p>1時(shí)，稱數(shù)列｛x｝為超線性收斂。n定理2.7:(1)在定理2.3的條件下，且在根a的某個(gè)鄰域內(nèi)有中"x)尹0，則迭代法是線性收斂的。(2)在定理2.6的條件下，牛頓迭代法是平方收斂的。13.單點(diǎn)弦截法迭代公式:xn+1—―n—藝一13.單點(diǎn)弦截法迭代公式:xn+1TOC\o"1-5"\h\z/(x)-/(x)0n0x=x-L-1/(x)=xn-1f(xn)—f(氣-1)(n=1,2,...)n+1n/(x)—/(x)n/(x)—/(x)nn-1nn-1定理2.8:設(shè)a是方程f(x)=0在隔根區(qū)間［a,b］內(nèi)的根，且滿足(1)Vxe",b］/'(x),/"(x)連續(xù)且不變號(hào)；(2)選取初始值xe",認(rèn)使/(x)/"(x)>0。選定a，b中的一個(gè)，則x0001為另一個(gè)。則有單點(diǎn)弦截迭代法公式產(chǎn)生的數(shù)列收斂于根a。(單點(diǎn)弦截法的收斂階為1)。定理2?9:設(shè)方程f(x)=0，如果(1)f(x)在根a的某個(gè)鄰域具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且7(小0;(2)任取x0,x1屬于該鄰域。則由雙點(diǎn)弦截迭代法公式產(chǎn)生的數(shù)列收斂于根a。(雙點(diǎn)弦截法是超線性收斂，收斂階為()第三章高斯消元法的求解過程可大致分為兩個(gè)階段:(1)把原方程組化為上三角形方程組,稱之為“消元”過程；(2)用逆次序逐一求出上三角方程組(原方程組的等價(jià)方程組)的解,稱之為“回代”過程.定義3.1:設(shè)A為n階矩陣，L為n階下三角陣，U為n階上三角陣。如果A=LU，則說明矩陣A實(shí)行了三角分解或LU分解。定義3.2:如果L為單位下三角陣，U為上三角陣，則稱該三角分解為杜里特(Doolittle)分解；如果L為下三角陣，U為單位上三角陣，則稱A=LU為克勞特(Crout)分解。定理3.1：n階(n>2)矩陣A有唯一杜里特分解(或克勞特分解)的充要條件是A的前n-1個(gè)順序主子式都不為零。定理3.2:設(shè)A為對(duì)稱正定矩陣，則有非奇異下三角陣L，使A=LLt;當(dāng)限定L的對(duì)角元全為正時(shí)，這種分解是唯一的。

17.直接三角分解法公式(Doolittle)：uu=a(17.直接三角分解法公式(Doolittle)：uu=a(j=1,2,…n)l,=a./u(i=2,3,…,n)=a-如lunakjkjkmmjkjm=1[a,k-如"mJm=1(j=k,k+1,…，n)likukkna^(i=k+1,…,n)(k=2,3,.,n)=Ja七11<lkk、=aJl11(k=2,3,...,n)m=<lkk(j=k+1,k+2,…，n;k=2,3,…(j=k+1,k+2,…，n;k=2,3,…，n)jkljkkmjmkkm=119.追趕法的分解形式及公式:b1a2c1b2an-1bnb1a2c1b2an-1bn-1ancn-1bn52p.5n-11L=b5=￡11,1Lp=a,y=b-p5(i=23,…,n)ii1iii-15=y(i=23,…,n-1)i20.定義3.3設(shè)迭代矩陣B為n階矩陣，人(B)i為矩陣B的特征值，稱P(B)=max|七(B)|為1<i<n矩陣B的譜半徑。定理3.3：設(shè)簡單迭代公式為x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,2，…)對(duì)于任意的初始向量x(0)和g，該簡單迭代法都收斂的充要條件是：P(B)<1定理3.4:設(shè)簡單迭代公式為X(k+1)=B劉k)+g(k=0,1,2,…)如果||B||1=max]1|bj<1或IBII8=定理3.4:設(shè)簡單迭代公式為X(k+1)=B劉k)+g(k=0,1,2,…)如果||B||1=max]1|bj<1或IBII8=maxb<1，則簡單迭代法對(duì)任意初始向量x(0)和g都收斂。1<i<nijj=121.定義3.4設(shè)A=(a)，如果矩陣A滿足條件\a\a|(i=1,2,…,n)或者i=1j力iax+axHFax=b1111221nn1ax+ax++ax=b定理3.5：如果線性方程組211222.2nn2的系數(shù)矩陣A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩ax+ax++ax=bn11n22nnnn陣則雅克比迭代法對(duì)任意的初始向量x(0)和g都收斂。定理3.6：設(shè)有賽德爾迭代公式x(k+1)=Bx(k+1)+Bx(k)+g記矩陣B=B+B=(b)。如1212ijnxn果||b||果||b||=max§|b|<1或||B||=max11<j<ni=1司s1<i<nj=1§|bj<1則簡單迭代法對(duì)任意初始向量x(0)和g都收斂。22.定義：設(shè)22.定義：設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間，VxgV，若存在唯一實(shí)數(shù)||x||與其對(duì)應(yīng)，且滿足以下三條公理，(1)正定性：I|x||>0,且同|=0=x=0(2)齊次性:||kx||=|k|||x||,VkgF⑶三角不等式：I|x+y<x+y,Vx,ygV則實(shí)數(shù)I|x||稱為向量X的范數(shù)。把定義了范數(shù)的線性空間稱為賦范線性空間。23.Rn:Vx=(七,x2，…,x)TgRn,常用的范數(shù)有如下三種。(1)向量的1-范數(shù):||x||]=才I||x||]=才Ixj；(2)向量的2-范數(shù):i=1均可表示為p范數(shù)的形式：||x||pI|x||=(§|x|)2；(3)向量的8范數(shù)：I|x||=max|x2、is1<i<nii=11一=(§|x」p)p,p=1,2,s,一般可表示為||.1。(定理：有限i=1維空間中的范數(shù)等價(jià)。)24.定義：設(shè)向量序列｛匕站1*，若存在UGV，使得如(U,Un)=^^n~U=0稱向量序列｛匕｝：_產(chǎn)箕收斂于UEmUnT825.定義：基本迭代法x(k+1)=Bx)+g產(chǎn)生的迭代序列｛x(k)｝，如果對(duì)任取初始向量x(0)都有l(wèi)imx(k)=x，則稱此迭代法是收斂的，否則是發(fā)散的。(在Rn中，點(diǎn)列的收斂等價(jià)于每kT8個(gè)分量的收斂。即對(duì)琲)=(x(k),x(k),…,x(k))t，X*=(X*，X*，…，X*)TGRn，

則limx(k)=x*0limx(k)=%*,(i=1,2，…，n)。)TOC\o"1-5"\h\zk*k*1126.迭代終止標(biāo)準(zhǔn)：(1)絕對(duì)誤差標(biāo)準(zhǔn)。給出容許誤差界J當(dāng)IF*—X(kT)||-8時(shí),p=1,2,8,P終止迭代，解取為%-%(k)。常取p=8,(2)相對(duì)誤差標(biāo)準(zhǔn)。給出容許誤差界8,x(k)-%(k—i)<80maxx(k)-%(k-1)8iX(k)一終止迭代，解取為%-%(k)。常取p=8,(2)相對(duì)誤差標(biāo)準(zhǔn)。給出容許誤差界8,X(k)11P迭代終止，給出失敗信息。(3)給出最大迭代次數(shù)kmax，當(dāng)k>kmax特征值上界定理：設(shè)AERnx，對(duì)于||?||,(P=1,2,8)有p(A)=||A||定理：如果迭代格式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,2，…)的迭代矩陣B滿足|網(wǎng)<1,則有以下的誤差估計(jì)式:X(k)一X<X(迭代終止，給出失敗信息。誤差估計(jì)式:X(k)一X<X(k)一X(k-1)B|FX(k)一X|<-_L|x(1)一X(0)ln(.27.估計(jì)迭代次數(shù)的方法:B|k..?!!—x⑴—x(0)<￡1-lB111-1BIIX⑴一X(0)m||B||28.Jacobi迭代的矩陣格式：x(k+1)=Bx(k)+g,B=D-1(L+U),g=D-1b(k=0,1,2,…)；分量形式:JJ形式:rX(k+1)a=一一^2-X(k)a-^3X(k)a—…一一1nX(k)+b—1-1a112a113a11na11X(k+1)a=一^1X(k)a-^3X(k)a—…一一2n-X(k)+b—2-!2a221:a223a22na22X(k+1)a=——n1X(k)a——n2-X(k)a——…———nn—1X(k)b+—n-na1a2an-1annnnnnnnx(k+1)=(b-^nax(k))/a,i=1,2,…,niiijjiij=1j圭i29.Gauss-Seidel迭代的矩陣形式：x(k+i)=Bx(k)+g,B4D-L)-1U,g4D-L)-1b(k=0,1,2,…)；GG分量形式：x.(k+1)=(b-舊ax(k+1)-Ea^x(k))/a,i=1,2,…,nj=1j=i+j=1raaabx(k+1)=-^2x(k)-^3x(k)?——1nx(k)+—1—1a2a3ana11111111aaabx(k+1)=-^1x(k+1)—2^x(k)..-——Ax(k)+—2-d2a1a3ana2222:2222aaabx(k+1)=——n1x(k+1)-—n2x(k+1)—…——nn1x(k+1)+n—na1a2an-1annnnnnnnp(B)<1。30.p(B)<1。30.收斂準(zhǔn)則：一般收斂原則：Jacobi收斂B』<1°實(shí)用準(zhǔn)則：由A來直接判斷(充分準(zhǔn)則)｛準(zhǔn)則1：^bjL<1°Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法收斂。Gauss-Seidel收斂GIBgII<1nGA嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)°Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法收斂；準(zhǔn)則2：準(zhǔn)則3：A對(duì)稱正定°Gauss-Seidel迭代法收斂；準(zhǔn)則4：若A對(duì)稱正定，則2D-A是對(duì)稱正定=Jacobi迭代法收斂。｝注意：對(duì)一個(gè)任意給定的系數(shù)矩陣1.Jacobi迭代法和Gaussss-Seidel迭代法可能同時(shí)收斂，或同時(shí)不收斂，或者一個(gè)收斂而另一個(gè)不收斂。2在都收斂的情況下，其收斂的速度也不一定是哪一種一定快o3.A對(duì)稱正定，Gauss-Seidel一定收斂，但2D-A不一定也是對(duì)稱正定，所以Jacobi法未必收斂。31.SOR迭代的矩陣形式成+1)=Bx(k)+g,B=(D-wL)-i(wU+(1-w)D),g=w(D-wL)-1bwwaiijjiij=1分量形式：x(k+1)=x(k+1)+—(b-舊ax(k+1)-l^ax(k)),i=1,2，…,naiijjiij=1w=1，為Gauss-seidel迭代法；w>1，超松弛迭代法；w<1低松弛迭代法。x(k+1)1x(k+1)d2w+——(ba111w+(ba222-ax(k)a111x(w=1，為Gauss-seidel迭代法；w>1，超松弛迭代法；w<1低松弛迭代法。x(k+1)1x(k+1)d2w+——(ba111w+(ba222-ax(k)a111x(k))1nn—ax(k+1)—???—ax(k))2112nnx(k+1)

nw

+——(b

ann-ax(k+1)ax(k+1)-ax(k))n11nn-1nnnn-132.SOR迭代收斂準(zhǔn)則｛一般準(zhǔn)則:p(B)<1。..wSOR收斂BII<1°w，實(shí)用準(zhǔn)則：用w加速，收斂性第五章定理5.1：在n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)xk處滿足插值條件pn閔)=f閔)的次數(shù)不高于n的多項(xiàng)式

p(x)存在且唯一。33.定義5.1：若n次多項(xiàng)式I.(x)(k=0，1，…，n)在n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)x0<xi<…Vx上滿足插值條件：匕(xi)電上的n次插值基函數(shù)。(i,k=0,1，…，n)則稱這n+1個(gè)n次多項(xiàng)式l(x),l(x),—,l(x)為插值節(jié)點(diǎn)x,x,01n0134.插值基函數(shù)的性質(zhì)插值條件：匕(xi)電上的n次插值基函數(shù)。34.插值基函數(shù)的性質(zhì)：性質(zhì)一」k(%)=i=ki。k；性質(zhì)二：七(x)是由插值節(jié)點(diǎn)x0,V??，xn唯一確定的n次函數(shù)；性質(zhì)三:插值基函數(shù)與插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)相同。35.Language插值:空(H二)y

x-xk

k=0i=0kii豐k、V(x-x)(x-x)...(x-x)(x-x)...(x-x)Ln(x)(x)yk=Ox-x)0x-x')...xM1)(x*)...(x-x)ykk=0k=0kV①(x)=^^n^1y(x-x)3’(x)kk=0kn+1k0k1kk-1kk+1kn,3(x)=H(x-x)3’(x)=H(x-x)i=0i=0云k定理5.2：若f(n)(x)在區(qū)間［a,加上連續(xù)，f(n+i)(x)在(以)存在，Ln(x)為在節(jié)點(diǎn)a<x0<x1<......<xn<b上滿足插值條件Ln(氣)=yk插值余項(xiàng)為(k=0,1,…,n)的插值多項(xiàng)式，則對(duì)于任意的xg(a,b上滿足插值條件Ln(氣)=yk插值余項(xiàng)為Rn(x)=f(x)-Ln(x)=f(n+￡)3n+1(x)3(x)=H(x-x),&g(a,b)。i=036.定義5.2：給定函數(shù)f(x)在互異節(jié)點(diǎn)x0<x1<......<xn處的函數(shù)值分別f(x0),f(x1),......,f(xn),稱f(x)-f(x)f[x,x]=——ij-(i豐j)為f(x)在x,x處的一階差商。稱ijx-x,ijf[x,x]-f[x,x]f[x,x,x]=——i一jj~J(i豐j豐k)為f(x)在x,x,x處的二階差商。一般ijkx-xijkf[x,x,…，x]-f[x,x，…，x]、地，稱f[x,x，…，x]=——0_1k-1_2k為f(x)在x,x，…,x上的01kx—x01kk階差商。即f(x)的k-1階差商的差商稱為k階差商(差商也常稱為均差)。37.差商的性質(zhì)：1.f[x,x,…,x]可表示為f(x),f(x),…,f(x)的線性組合，即01k01kflx,x，…,x]二寸f"、2.差商與插值節(jié)點(diǎn)的排列順序無關(guān)，即01kO'(x)j=0k+1jf[x,x]=f[x,x]，f[x,x,x]=f[x,x,x]=f[x,x,x]一般地，在k階差商ijjiijkjikkjif[x0,氣,…,xk]中，任意調(diào)換節(jié)點(diǎn)的次序，其值不變。3.差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：f(n)(&)f[x,x,...,x]=；6(x,x)TOC\o"1-5"\h\z01nn!0n38.差商表：牛頓插值：N(x)=N(x)+f[x,x，…,x]x(x-x)(x-x)…(x-x)k+1k01k+101k定義5.3：設(shè)a=xVx<xV,??<xVx=b，y=f(x)為等距節(jié)點(diǎn)012n-1niix=x+ih(i=0,1,…,n)上的函數(shù)值，其中h=-~a稱為步長，貝i0n△y=y-y(i=。,1,…,n)稱為f(x)在x處以h為步長的一階向前差分。ii+1ii△2y=Ay一△=y—2y+y(i=0,1,…,n)稱為f(x)在x處以h為步長的二階ii+1ii+2i+1ii向前差分。一般地，Amy=Am-1y一△婦y(i=0,1,…，n)稱為f(x)在x處以h為步長ii+1ii的m階向前差分。41.差分的性質(zhì)：性質(zhì)1：各階差分可用函數(shù)值線性表示，其計(jì)算公式為：Any=y-C1y+C2y++(-1)sCsy++(-1)ny其中：in+inn+i-1nn+i一2nn+i一siCs=n(n1)一(^_土9；性質(zhì)2：差分與差商滿足下述關(guān)系f[x,x,…,x]=^掙ns!01nn!hn;Any=hnf(n)(g)(g6(X,X))性質(zhì)3:差分與導(dǎo)數(shù)滿足關(guān)系：y0f(0,n"。42.等距節(jié)點(diǎn)插值：TOC\o"1-5"\h\zN(x)=f(X)+生0(X-X)+△y0(x-X)(X-X)H卜△y0(x-X)(X-X)?…(X-X)n0h02!h201n!hn01n-143-埃爾米特插值：H(x)=￡[1-2(x-x)￡]/2(x)y+￡(x-x)l2(x)m2n+1jx—Xjjjjjj=0k=0JkJ=0定理5.3若f(x)在［o,b］上存在2n+2階導(dǎo)數(shù)，則其插值余項(xiàng)氣n+1⑴=f⑴-H2n+1(x)=^n+l1"+1⑴，式中g(shù)gb),且氛有關(guān)44-定義5-4：設(shè)在區(qū)間［。，b］上取n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)。=X0VX1<X2V...<%-1<x廣b若函數(shù)S(x)滿足(1)在整個(gè)區(qū)間［o,b］上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；⑵在每個(gè)小區(qū)間［n，x,］(i=1,2,…,n)上是x的三次多項(xiàng)式；⑶S(x「=y,(i=0,1,…,n)。則稱S(x)為f(x)的三次樣條插值函數(shù)。45.用節(jié)點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)表示的三次樣條插值函數(shù)的構(gòu)造步驟：用公式人=h+1(h=X-X)ih+hi+1i+1ihU，f。由公式:日=1—人=ii=1,2，…,n—1U，f。由公式:iih+h1i-/y—yeV—y'f=3U—i+1——+入———i-1"ih1ih)人m+2m+um=f(i=1,2,…,n-1)，以及第一類邊界條件:ii-1iii+1iS'(X。)=m0,S'(x〃)=mn或第二類邊界條件：Sn(x)=M,S"(x)=M計(jì)算出m^(i=0,1,…,n)。計(jì)算公式如下:U2Xn—2Xn—1m1m:2mn—2mn—1」fn一2f1-Um(第一類邊界條件)或12X2日n-12Ym0m1m2f3—0-Km}20h1f1f2（第二類邊界條件）mn-1m7n13^hnf

n-1-yn~1+h2Mn匕7(x-x)2h+2(x-x)](x-x)2h+2(x-x)]最后將m(i=0,1,…,n)代入S(x)=i——hJ〉?]+i—1―'iy,i1-1h3i(x—x)2(x—x)(x—x)2(x—x)+im+i—i—m，式中xgW，x」(i=1,2，…,n)。a——:i~^m+—ii46.用節(jié)點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)表示的三次樣條插值函數(shù)的構(gòu)造步驟：用公式i-1+日=——匕(h=x一x)ih+hi+1i+1ihX=1一日=―i+—(i=1,2,…,n-1)計(jì)算出X，日，f。由公式:iih+hiiify—yy—y、i+1-—iIh.+1hi7f=h+rii+1日M+2M+XM=f(i=1,2,…,n-1)以及第一類邊界條件:ii-1iii+1iS⑶=m0,S邕）=m或第二類邊界條件：S〃（x）=M,而）=M計(jì)算出0nM.(i=0,1,…,n)。計(jì)算公式如下:M0M1Mn-1MnM0M1Mn-1Mnf1（第一類邊界條件）或■n'n1h72X1P22X2P23?-X3Pn-2VM、=1M2M3:Mn-2/Mn-1Xn-22rf-^1M0f2f3n-1f-2-XMn-1（第二類邊界條件）(""M6hii最后將Mi(i=0,1,—,n)代入S,(x)=片3Mi-1+i(""M6hiir+〔*1x一x—ihix一xi一1hi式中工e[x.「x.](i=1,2,—,n)。47.定義:當(dāng)線性方程組〈第六章xax+ax++ax2112222nn+—+ax=b=b2的系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩不ax+ax+—+ax=blN11N22NnnN等時(shí)，方程組無解，這時(shí)次方程組稱為矛盾方程組。稱5j=Wajxj-bj（i=1,2,—,n）為i=1偏差。定理6.1：設(shè)n元實(shí)函數(shù)f（x,花,一,x）在點(diǎn)p0（a,?！?a）的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且有一12n階二階連f8xkP0=0(k=1,2,…,n)(2)矩陣r旦8x282f8x8x12P0I*

\1nP082f8x8x282f8x22P082f8x8xnP0元實(shí)函數(shù)/（氣,%,…,氣）的極小82f8x8xn82f8x8xn82f

dx2nP0P0（大）值。是正（負(fù)）定矩陣，則/（a1,a2,…,叩是n，ijNxn定理6.2：設(shè)非齊次線性方程組Ax=8的系數(shù)矩陣A=（a）.，若rankA=n，則：（i）矩陣ATA是對(duì)稱正定矩陣；（2）n階線性方程組AtAx=A，ijNxnax+ax++ax=b1111221nn1定理6.3：設(shè)矛盾方程組〈ax+ax++定理6.3：設(shè)矛盾方程組〈21.122.22nn2的系數(shù)矩陣A的秩為n,則二次ax+ax+—Fax=blN11N22NnnN函數(shù)Q=f(x,x，…,x)=(2Lax—b)2一定存在最小值。函數(shù)Q12nijjii=1j=148.定義:48.定義:線性方程組AtAx=Arb稱為正則方程組。定理6.4：設(shè)氣,七,…,Xn互異，且N>m+1，則正則方程組aN+ai=1頭定理6.4：aN+ai=1TOC\o"1-5"\h\zi=1i=1aEx+a乙2+—+a?m+1=?y有唯一的解。0i1imiiii=1i=1i=1i=1aExm+a&+1+—+aEx2m=Exmy0i1imiiii=1i=1i=1i=149.通常用均方差毛tp49.通常用均方差毛tp(x)—yl與最大偏差maxI中(x)—y111<i<N11I來判斷擬合曲線的優(yōu)劣。i=1第七章50.定義：在積分區(qū)間50.定義：在積分區(qū)間［a,b］上取一系列的點(diǎn)xkU，2,…，n)，設(shè)a<x<x<x<—<x<b，用被積函數(shù)f(x)在這些點(diǎn)上的函數(shù)值f(x)的線性組合來TOC\o"1-5"\h\z012nk作為積分的近似值：j；f割xMaj(號(hào)‘此式稱為數(shù)值求積公式，其中的〃+1個(gè)k=0點(diǎn)xk(k=0J,2,—,n)稱為節(jié)點(diǎn)，Ak(k=o,1,2,一,n)稱為求積系數(shù)。R[f]=jbf(x)dx—￡aJ(xk)稱為求積公式j(luò)bf(x)dxMaj(xk)的截?cái)嗾`差。ak=0ak=051.牛頓科-特斯求積公式：j：f(x)dx機(jī)(b-樞/f(號(hào)’"稱為科特斯系數(shù)。k=0R(f)=二jbf(〃+1)(&)?(X)dX稱為牛頓-科特斯公式的截?cái)嗾`差。n(n+1)!an+152.梯形公式(n=1)：jbf(x)dx?^-^-[f(a)+f(b)]a2

53.辛浦生公式(n=2)：\bf(x)dx^b^a[f(a)+4f(導(dǎo))+f(b)]

a6253.辛浦生公式54.科特斯公式，\b54.科特斯公式，\bf(x)dx牝aba-90-[7f(x0)+32f(x1)+12f(x2)+32f(x3)+7f(x4)]55.科特斯系數(shù)表:k=0K=1K=2K=3K=4n=11/21/2n=21/64/616n=31/8383818n=479032/9012/9032/907/9056.定義7.1：如果求積公式f-f⑴dxj(%)對(duì)于任何不高于m次的代數(shù)多項(xiàng)式都k=0準(zhǔn)確成立(即Rn［f］三0)，而對(duì)某個(gè)m+1次的代數(shù)多項(xiàng)式不準(zhǔn)確成立(即R〃［f］豐0)測稱該求積公式具有m次代數(shù)精確度，簡稱代數(shù)精度。定理：n為偶數(shù)的牛頓-科特斯求積公式具有n+1次代數(shù)精度，n為奇數(shù)的牛頓-科特斯求積公式具有n次代數(shù)精度。定理7.1:設(shè)f(x)在區(qū)間［a,b］上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則梯形公式的截?cái)嗾`差為：R1[f]=一儀吾3f〃⑴加6(a,b)。JL」定理7.2:設(shè)f(x)在區(qū)間［a,b］上具有連續(xù)的四階導(dǎo)數(shù)，則辛浦生公式的截?cái)嗾`差為:R2[f]=-(2I0Ff(4)(n加6(a,b)。7f⑹⑴)m6(a,b7f⑹⑴)m6(a,b)57.科特斯公式的截?cái)嗾`差為：R4［f］=-頂558.待定系數(shù)法：給定n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)xk(k=0,1,2,…,n)，如果要構(gòu)造至少具有n次代數(shù)精度的求積公式，只要Ibf(x)dx^1Laf(x)對(duì)于1，x,x2,…,xn都準(zhǔn)確成立，則可得到含求-k.k=0積系數(shù)A*積系數(shù)A*(k=。只…,n)的代數(shù)方程組:A+A+…+A=b一aAx+Ax++Ax=—(b2—a2)0011nn2Axn+Axn++Axn=—^—^(bn+1一an+1)程組的系數(shù)行列式是范德蒙行列式，其值不為零，因而可求得唯一解Ak(k=0,1,2,…,n)。59.復(fù)化求積公式的基本思想：把積分區(qū)間分成若干小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上采用次數(shù)不高的插值公式，如梯形公式或拋物線公式，構(gòu)造出相應(yīng)的求積公式，然后再把它們加起來得到整個(gè)區(qū)間上的求積公式。復(fù)化求積公式克服了高次Newton-Cotes公式計(jì)算不穩(wěn)定的問題，其運(yùn)算簡單且易于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。常用的復(fù)化求積公式是復(fù)化梯形公式和復(fù)化拋物線公式。60.復(fù)化梯形公式：Jbf(x)dxnh[f(a)+2如f(x)+f(b)]=T,h=b—^a,x=a+kha2kNNkk=161.復(fù)化辛浦生公式：\bf(x)d61.復(fù)化辛浦生公式：\bf(x)dxnha6f(a)+4如f(x2k+1k=0)+2習(xí)f(x.)+f(b)|=Sk=1式中h=~a,x=a+k如,(k=1,2,,2N-1)Nk262.復(fù)化科特斯公式：h7f(a)+32藝f(x)+12藝f(x904k-34k-2Lk=1k=1式中h=~a,x=a+k如,(k=1,2，…,4N-1)Nk4Jbf(x)dxn?”a90)+32Zf(x4k-1)+14無1f(x4k)+7f(b)k=1k=1定理7.3：設(shè)f3)在區(qū)間［a,b］上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則復(fù)化梯形公式的截?cái)嗾`差為:b—b—aRN)[f]=----h2f7n)ne(a,b)。JLA(若maxlfn(x)l<M2，則有誤差估計(jì)式:a<x<bI"N)[川2M2=字M2。)bat—h4bat—h4f(4)(n),ne(a,b)，若2880<—h4M。2880464.復(fù)化柯特斯公式的截?cái)嗾`差：R(N)[f]=-2(b45a)(h)6f(6)(n),ne(a,b)，若,2(b-a),h、m-9454"6。63.復(fù)化辛浦生公式的截?cái)嗾`差：R2N)［f］maxIf(4)(x)!<M4則有誤差估計(jì)式：R;N)[f]|maxIf(6)(x)l<M6，則有誤差估計(jì)式：R4N)[f]|65.區(qū)間逐次半分求積法：(1)對(duì)于梯形公式：假定f7x)在區(qū)間［a,b］上變化不大，則有1/、1/、I牝T+-(T-T)=T+(T-T)。遞推公式為:2N32NN2N4-12NN號(hào)[f(a)+f(b)]=1t+也寸2n2Nj=1(N=2k-1;號(hào)[f(a)+f(b)]=1t+也寸2n2Nj=1(N=2k-1;k=1,2,…)]TOC\o"1-5"\h\z2N152NN2N42-12NN⑶對(duì)于科特斯公式，假定f(6)(^)在區(qū)間［a,b］變化不大，則有I牝C+—(C-C)=C+—^(C-C)2N632NN2N43-12NN66.外推法的幾個(gè)公式：S=T+1(T—T)=吃-TC=S+—(S—S)=42S2n一%，N2N32NN4-1N2N152NN42—1R=C+—(C-C)=*C2N—CNN2N632NN43-167.龍貝格求積公式:RN=67.龍貝格求積公式:RN=C2N+A、N-CN)=43C廣Cn43-1結(jié)論：由梯形序列外推得到辛浦生序列、由辛浦生序列外推得到科特斯序列以及由科特斯序列外推得到龍貝格序列，每次外推都可以使誤差階提高二階。龍貝格求積算法的計(jì)算步驟：(1)算出f(a)，f(b)，根據(jù)公式T=^-^-f(a)+f(b)]A計(jì)算T；(2)將［a,b］分半，算出f(a+b)后，根據(jù)公式T=1T+^T^￡fa+(2j-1)七^22N2N2N1k2NJ-1、4T—T計(jì)算T，再根據(jù)公式S=T+~(T—T)=—2Nn計(jì)算S；2N2N32NN4-11b-ab-a⑶再將區(qū)間對(duì)分，算出f(a+^^~)以及f(a+3?-^)，并根據(jù)T2N￡f［a+(2j-1)j=1k和SN14T-T=T+-(TT2N￡f［a+(2j-1)j=1k和SN14T-T=T+-(T-T)=2N__N算2N32NN4一142N2N152NN42一11⑷將區(qū)間再次分半，計(jì)算T,S,C，并由公式R=C+-^(C—C)=43C2N一CN計(jì)842N2N632NN43—1算q；⑸將區(qū)間再次分半，類似上述過程計(jì)算T6,S8,C4,R2。重復(fù)上述過程可計(jì)算得到

R1,R2,%,直算到龍貝格序列中前后兩項(xiàng)之差的絕對(duì)值不超過給定的誤差限為止。70.定義7.2:把具有n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的具有2n+1次代數(shù)精確度的插值型求積公式Ibf3)dxw￡aJ(x)稱為高斯型求積公式，節(jié)點(diǎn)七稱為高斯點(diǎn)，氣稱為高斯系數(shù)。ak=0定理7.4:對(duì)于插值型求積公式fbf(x)dx-ibp(x)dx=工人「()，其節(jié)點(diǎn)aak=0xk(k=0,1,…,n)為高斯點(diǎn)的充要條件是以這些點(diǎn)為零點(diǎn)的多項(xiàng)式①伸(x)=!!(x—x.)j=o與任意的次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式P(x)在區(qū)間［a,b］上正交，即^bP(x)?(x)dx=0。n+1a1dnn2nn!dxn71.n次勒讓德多項(xiàng)式：L(x)=一；-一(x2—1)n,xe[—1,1];n=0,1,..?其性質(zhì)有:(i)n次勒讓德多項(xiàng)式與任意的次數(shù)不超過n-1次的多項(xiàng)式在區(qū)間［-1,1〕上正交；(2)n次勒讓德多項(xiàng)式的n個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間n2nn!dxn72.結(jié)論：當(dāng)積分區(qū)間為［-1，1〕時(shí)，插值型求積公式的代數(shù)精確度為2n+1的充要條件是也+1(x)=H(x-x^)與任意次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式P(x)在區(qū)間［-1，1］上正交。j=073.高斯勒讓德求積公式：f1f(x)dx?^nAkf(x「巳(k=0,1,…,n)為n+1次勒讓德多TOC\o"1-5"\h\z-1k=0項(xiàng)式的零點(diǎn)。求積系數(shù)A可用待定系數(shù)法或按A=fbl(x)dx求出:kkakAk-(1-x2)[L'(x)]2)kn+1kafbb-a/.a+bb-a…Jf(x)dx=—^-J1f+——t)dt=a2-1222然后用高斯-勒讓德求積公式計(jì)算積分J1afbb-a/.a+bb-a…Jf(x)dx=—^-J1f+——t)dt=a2-1222然后用高斯-勒讓德求積公式計(jì)算積分J1中(t)dt。-1-^J中(t)dt，中(t)=f(^—+—-1)，

-122則高斯型求積公式的截?cái)嗾`差為j=0定理7.5：設(shè)f(x)在［a,b］內(nèi)具有2n+2階導(dǎo)數(shù)，，](x)=rf(x-x.)。f(2n+2)(?)「,/町〕=72^E；+1(x)dx，"[a,b]'①

TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"hhf(x+與-f(x-上)中點(diǎn)公式：f'(x)=――土二+O(h2)。h數(shù)值微分公式建立的一般原則：根據(jù)數(shù)值表構(gòu)造函數(shù)f(x)的插值多項(xiàng)式P(x)，并用插n值多項(xiàng)式在節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值P(x)作為f'(x)的近似值。則高斯型求積公式的截?cái)嗾`差為j=0，](x)=rf(x-x.)。nii數(shù)值微分在節(jié)點(diǎn)處的公式為：f(x)=P'(x)+f("+1)(?①'(x),(i=0,1,…,n)ini(n+1)!n+1i第八章78.對(duì)于一階常微分方程的初值問題：<78.對(duì)于一階常微分方程的初值問題：<#=f(x，y)dxy(x0)=y0x0Jx；等距節(jié)點(diǎn)下，歐拉法(折線法)的計(jì)算公式為：y=yn+1形法的計(jì)算公式為：y=yn+1+hf(x〃,y〃法)的計(jì)算公式為：y=yn+1形法的計(jì)算公式為