第20講概率與統(tǒng)計[2018·全國卷Ⅰ]某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交托用戶以前要對產(chǎn)品作查驗,如查驗出不合格品,則改換為合格品.查驗時,先從這箱產(chǎn)品中任取20件作查驗,再根據(jù)查驗結果斷定能否對余下的所有產(chǎn)品作查驗.設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1),且各件產(chǎn)品能否為不合格品互相獨立.(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點p0.現(xiàn)對一箱產(chǎn)品查驗了20件,結果恰有2件不合格品,以(1)中確立的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的查驗花費為2元,如有不合格品進入用戶手中,則工廠要對每件不合格品支付25元的補償花費.(i)若不對該箱余下的產(chǎn)品作查驗,這一箱產(chǎn)品的查驗花費與補償花費的和記為X,求EX.(ii)以查驗花費與補償花費和的希望值為決議依照,能否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作查驗?[試做]2.[2018·全國卷Ⅱ]圖M6-20-1是某地域2000年至2016年環(huán)境基礎設備投資額y(單位:億元)的折線圖.為了展望該地域2018年的環(huán)境基礎設備投資額,成立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型.依據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值挨次為1,2,,17)成立模型①:=-30.4+13.5t;依據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值挨次為1,2,,7)成立模型②:=99+17.5t.圖M6-20-1(1)分別利用這兩個模型,求該地域2018年的環(huán)境基礎設備投資額的展望值.(2)你以為用哪個模型獲取的展望值更靠譜?并說明原因.[試做]3.[2017·全國卷Ⅱ]海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對照,收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱,丈量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg),其頻次分布直方圖如圖M6-20-2所示:圖M6-20-2(1)設兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量互相獨立,記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”,預計A的概率;填寫下邊列聯(lián)表,并依據(jù)列聯(lián)表判斷能否有99%的掌握以為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關;舊養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量≥50kg新養(yǎng)殖法(3)依據(jù)箱產(chǎn)量的頻次分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的預計值(精準到0.01).附:,K2=.[試做]命題角度概率與統(tǒng)計的實質問題①求隨機變量分布列的主要步驟:a.明確隨機變量的取值,并確立隨機變量聽從何種概率分布;b.求隨機變量取每一個值的概率;c.列成表格.:②求失散型隨機變量均值的一般步驟a.理解隨機變量X的意義,寫出X可能獲得的所有值;b.求X取每個值的概率;c.寫出X的分布列;d.由均值定義求出E(X).,一般是依據(jù)最小二乘法求出線性回歸方程,再依據(jù)所③解決線性回歸方程的求解與應用問題給變量求出展望值.注意:回歸直線方程=x+必過樣本點的中心(,).④由頻次分布直方圖進行有關計算時,要注意:a.頻次分布表中各組的頻次之和為1;b.×組距=頻次;c.=頻次.⑤獨立性查驗就是觀察兩個分類變量能否有關系,并能較為正確地給出這類判斷的可信度.具體做法是依據(jù)公式K2=計算隨機變量的觀察值k,k越大,說明“兩個變量有關系”的可能性越大.解答1以互斥或獨立事件為背景的希望與方差1某智能共享單車企業(yè)備有A,B兩種車型,采納分段計費的方式運營:A型單車每30分鐘收費0.5元(不足30分鐘的部分按30分鐘計算),B型單車每30分鐘收費1元(不足30分鐘的部分按30分鐘計算).現(xiàn)有甲、乙、丙三人,分別互相獨立地到租車點租車騎行(各租一車一次).已知甲、乙、丙不超出30分鐘還車的概率分別為,,,且這三人每人租車的時間都不會超出60分鐘,甲、乙均租用A型單車,丙租用B型單車.(1)求甲、乙兩人所付花費之和等于丙所付花費的概率;(2)設甲、乙、丙三人所付花費之和為隨機變量ξ,求ξ的分布列和數(shù)學希望.[聽課筆錄]【考場點撥】求解與獨立事件有關的希望或方差問題,重點是計算相應事件的概率,往常聯(lián)合題意,并利用互斥事件的概率加法公式和互相獨立事件的概率計算公式求解.【自我檢測】經(jīng)銷商第一年購置某工廠商品的單價為a(單位:元),在下一年購置時,購置單價與其上年度銷售額(單位:萬元)相聯(lián)系,銷售額越多,獲取的優(yōu)惠力度越大,詳細狀況以下表:上一年度銷[0,[100,[200,[300,[400,[500,售額/萬元100)200)300)400)500)+∞)商品單價/元a0.9a0.85a0.8a0.75a0.7a為了研究該商品購置單價的狀況,檢查并整理了50個經(jīng)銷商一年的銷售額,獲取如圖M6-20-3所示的統(tǒng)計圖.圖M6-20-3已知某經(jīng)銷商下一年購置該商品的單價為X(單位:元),且以經(jīng)銷商在各段銷售額的頻次作為概率.(1)預計X的均勻值h.(2)該工廠針對此次的檢查擬訂了以下獎賞方案:經(jīng)銷商購置單價不高于h的獲取兩次抽獎時機,高于h的獲取一次抽獎時機.每次抽獎的獲獎金額和對應的概率為獲獎金額/元500010000概率記Y(單位:元)表示某經(jīng)銷商參加此次抽獎活動獲獎的金額,求Y的分布及數(shù)學希望.解答2以二項分布為背景的希望與方差2為了認識校園噪音狀況,學校環(huán)保協(xié)會對校園噪音值(單位:分貝)進行了50天的監(jiān)測,獲取以下統(tǒng)計表:噪音值[55,(57,(59,(61,(63,(65,(單位:分貝)57]59]61]63]65]67]頻數(shù)14122085依據(jù)該統(tǒng)計表,求這50天校園噪音值的樣本均勻數(shù)(同一分組的數(shù)據(jù)用該分組區(qū)間的中點值代表).(2)依據(jù)有關規(guī)定,“環(huán)境噪音值超出65分貝,視為重度噪音污染;環(huán)境噪音值不超出59分貝,視為輕度噪音污染.”假如把由上述統(tǒng)計表計算獲取的頻次視作概率,回答以下問題:①求周一到周五的5天中恰有兩天校園出現(xiàn)重度噪音污染而其余3天都是輕度噪音污染的概率.②學校要舉行為期3天的“漢字聽寫大賽”校園選拔賽,把這3天校園出現(xiàn)的重度噪音污染天數(shù)記為X,求X的分布列和方差D(X).[聽課筆錄]【考場點撥】利用二項分布解題的一般步驟

:①依據(jù)題意設出隨機變量

,②剖析隨機變量聽從二項分布,③找到參數(shù)n,p,④寫出二項分布的概率表達式,⑤求解有關概率.【自我檢測】在某校舉行的航天知識比賽中,參加比賽的文科生與理科生人數(shù)之比為1∶3,且成績(單位:分)分布在[40,100]內,規(guī)定成績在80分以上(含80分)的同學獲獎,按文理科用分層抽樣的方法抽取了200人的成績作為樣本,獲取成績的頻次分布直方圖如圖M6-20-4所示.(1)填寫下邊的2×2列聯(lián)表,并判斷可否有超出95%的掌握以為能否獲獎與學生的文理科有關?將上述檢查所得的頻次視為概率,現(xiàn)從參賽學生中,隨意抽取3名學生,記“獲獎”學生的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學希望.文科生理科生總計獲獎5不獲獎總計200附:K2=,此中n=a+b+c+d.P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828圖M6-20-4[聽課筆錄]解答3以超幾何分布為背景的希望與方差3某高中組織高一年級學生睜開了一次“百里遠足”活動.本次遠足活動結束后,該校課外興趣小組在高一某班進行了對“本次遠足活動同學們的表現(xiàn)”的滿意度檢查(結果只有“滿意”和“不滿意”兩種),按分層抽樣的方法從被檢查的學生中隨機抽取了11人,詳細檢查結果以下表:滿意不滿意男生

2

3女生

4

2若該班女生人數(shù)比男生人數(shù)多4,求該班男生人數(shù)和女生人數(shù);在該班隨機抽取一名學生,依據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)預計該同學持滿意態(tài)度的概率;若從該班抽出的11名學生中任選2人,記選中的2人中對“本次遠足活動同學們的表現(xiàn)”滿意的人數(shù)為ξ,求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學希望.[聽課筆錄]【考場點撥】求超幾何分布的分布列的一般步驟:①確立參數(shù)N,M,n的值;②明確隨機變量的所有可能取值,并求出隨機變量取每一個值時對應的概率;③列出分布列.解答4統(tǒng)計與統(tǒng)計事例的交匯問題4為了響應中國大豆參加世界貿(mào)易的呼吁,農(nóng)科院踴躍研究此中一項基礎工作就是研究日夜溫差大小與大豆抽芽率之間的關系

,加大優(yōu)異大豆品種的培養(yǎng)工作,為此科研人員分別記錄了

,5天中每日日期溫差x(℃)抽芽數(shù)y(粒)

100粒大豆的抽芽數(shù)4月4日1023

,得以下數(shù)據(jù)4月5日1126

:

4月6日1332

4月7日1226

4月8日816科研人員確立的研究方案是從5組數(shù)據(jù)中選3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用求得的回歸方程對剩下的2組數(shù)據(jù)進行查驗.(1)求剩下的2組數(shù)據(jù)恰巧是不相鄰的2天數(shù)據(jù)的概率.(2)若選用的是4月5日、6日、7日三天的數(shù)據(jù),據(jù)此求y對于x的線性回歸方程=b+a.(3)若由線性回歸方程獲取的預計數(shù)據(jù)與實質數(shù)據(jù)的偏差的絕對值均不超出1,則以為獲取的線性回歸方程是靠譜的,請查驗(2)中獲取的線性回歸方程能否靠譜?注:[聽課筆錄]5為了實行“智慧講堂”教課,某老師分別用傳統(tǒng)教課和“智慧講堂”教課兩種不一樣的教課方式,在甲、乙兩個平行班級進行教課實驗,為了比較教課成效,期中考試后,分別從兩個班級中各隨機抽取20名學生的成績進行統(tǒng)計,結果以下表:分數(shù)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]甲班頻數(shù)56441乙班頻數(shù)13655記成績不低于70分者為“成績優(yōu)異”.(1)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下邊2×2列聯(lián)表,并判斷“成績能否優(yōu)異與教課方式能否有關”?甲班乙班總計成績優(yōu)異成績不優(yōu)異總計(2)現(xiàn)從上述40人中,按成績能否優(yōu)異采納分層抽樣的方法抽取8人進行查核.在這8人中隨機抽取3人,記成績不優(yōu)異的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學希望.2,此中n=a+b+c+d.附:K=P(K2≥k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635[聽課筆錄]【考場點撥】(1)解決回歸剖析問題要注意:①回歸直線恒過樣本點的中心(,);②利用回歸直線方程只能進行展望與預計,而得不到正確數(shù)值.(2)解決統(tǒng)計事例問題重點是過好三關:①假定關,即假定2兩個分類變量沒關;②應用公式關,把有關數(shù)據(jù)代入獨立性查驗公式求出K的觀察值k;③對照關,將k與臨界值進行對照,從而作出判斷.【自我檢測】某中學統(tǒng)計了甲、乙兩個班級一模的數(shù)學成績(單位:分,滿分150),獲取如圖M6-20-5所示的莖葉圖.圖M6-20-5依據(jù)莖葉圖分別求出甲、乙兩班學生數(shù)學成績的中位數(shù),并將乙班學生數(shù)學成績的頻次分布直方圖(如圖M6-20-6所示)填補完好;圖M6-20-6(2)依據(jù)莖葉圖比較在一?？荚囍屑?、乙兩班學生數(shù)學成績的均勻水平易成績的分別程度求計算出詳細值,給出結論即可);

(不要若規(guī)定分數(shù)在[100,120)內的成績?yōu)閮?yōu)異,分數(shù)在[120,150)內的成績?yōu)閮?yōu)異,現(xiàn)從甲、乙兩班成績?yōu)閮?yōu)異的學生中參加數(shù)學提優(yōu)培訓

,依照各班成績?yōu)閮?yōu)異的學生人數(shù)比率用分層抽樣的方法,共選出12位學生,求這12位學生中恰含甲、乙兩班所有140分以上的學生的概率.第20講

概率與統(tǒng)計典型真題研析1.解:(1)20

件產(chǎn)品中恰有

2件不合格品的概率為

f(p)=

p2(1-p)

18,所以f'(p)=[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2p(1-p)17(1-10p).令f'(p)=0,得p=0.1.當p∈(0,0.1)時,f'(p)>0;當p∈(0.1,1)時,f'(p)<0.所以f(p)的最大值點為p0=0.1.(2)由(1)知,p=0.1.(i)令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù),依題意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y,所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.(ii)假如對余下的產(chǎn)品作查驗,則這一箱產(chǎn)品所需要的查驗花費為400元.因為EX>400,故應當對余下的產(chǎn)品作查驗.解:(1)利用模型①,該地域2018年的環(huán)境基礎設備投資額的展望值為=-30.4+13.5×19=226.1(億元).利用模型②,該地域2018年的環(huán)境基礎設備投資額的展望值為=99+17.5×9=256.5(億元).(2)利用模型②獲取的展望值更靠譜.原因以下:(i)從折線圖能夠看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點沒有隨機分布在直線y=-30.4+13.5t上下,這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)成立的線性模型①不可以很好地描繪環(huán)境基礎設備投資額的變化趨向.2010年相對2009年的環(huán)境基礎設備投資額有顯然增添,2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的鄰近,這說明從2010年開始環(huán)境基礎設備投資額的變化規(guī)律呈線性增添趨向,利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)成立的線性模型=99+17.5t能夠較好地描繪2010年此后的環(huán)境基礎設備投資額的變化趨向,所以利用模型②獲取的展望值更靠譜.(ii)從計算結果看,相對于2016年的環(huán)境基礎設備投資額220億元,由模型①獲取的展望值226.1億元的增幅顯然偏低,而利用模型②獲取的展望值的增幅比較合理,說明利用模型②獲取的預測值更靠譜.(以上給出了2種原因,答出此中隨意一種或其余合理原因均可)3.解:(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”,C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”.由題意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻次為(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62,故P(B)的預計值為0.62.新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg的頻次為(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66,故P(C)的預計值為0.66.所以,事件A的概率預計值為0.62×0.66=0.4092.(2)依據(jù)箱產(chǎn)量的頻次分布直方圖得列聯(lián)表:箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法34662≈15.705.K=因為15.705>6.635,故有99%的掌握以為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關.(3)因為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻次分布直方圖中,箱產(chǎn)量低于50kg的直方圖面積為(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5,箱產(chǎn)量低于55kg的直方圖面積為(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5,故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的預計值為50+≈52.35(kg).考點考法研究解答1例1解:(1)由題意,甲、乙、丙三人在30分鐘以上且不超出60分鐘還車的概率分別為,,.設“甲、乙兩人所付花費之和等于丙所付花費”為事件M,則P(M)=××+××=.(2)隨機變量ξ的所有可能取值為2,2.5,3,3.5,4.由題意知P(ξ=2)=××=,P(ξ=2.5)=××+××=,P(ξ=3)=××+××=,P(ξ=3.5)=××+××=,P(ξ=4)=××=,所以甲、乙、丙三人所付花費之和ξ的分布列為ξ22.533.54P所以E(ξ)=2×+2.5×+3×+3.5×+4×=.【自我檢測】解:(1)由題可知:商品單價/元a0.9a0.85a0.8a0.75a0.7a頻次0.20.30.240.120.10.04所以估計X的平均值h=a×0.2+0.9a×0.3+0.85a×0.24+0.8a×0.12+0.75a×0.1+0.7a×0.04=0.873a.經(jīng)銷商購置單價不高于h的概率為0.24+0.12+0.1+0.04=,高于h的概率為0.2+0.3=.Y的可能取值為5000,10000,15000,20000.則P(Y=5000)=×=,P(Y=10000)=×+××=,P(Y=15000)=×××=,P(Y=20000)=××=.所以Y的分布列為Y5000100001500020000PE(Y)=5000×+10000×+15000×+20000×=9375.解答2例2解:(1)由題意可知,樣本均勻值==61.8.(2)①由題意得,校園某天出現(xiàn)重度噪音污染的概率為,出現(xiàn)輕度噪音污染的概率為.設事件A為“周一至周五的五天中恰有兩天校園出現(xiàn)重度噪音污染而其余三天都是輕度噪音污染”,則P(A)=×=.②由題意得X~B,則P(X=k)=,k=0,1,2,3.故X的分布列為X0123PD(X)=np(1-p)=.【自我檢測】解:(1)完好的2×2聯(lián)表以下:文科生理科生總計獲獎53540不獲獎45115160總計50150200由表中數(shù)據(jù)可得K2的觀察值k==≈4.167>3.841,所以有超出95%的掌握以為能否獲獎與學生的文理科有關.由表中數(shù)據(jù)可知,抽到獲獎學生的概率為,將頻次視為概率,所以X可取0,1,2,3且X~B,則P(X=k)=(k=0,1,2,3),故X的分布列為X0123PE(X)=np=3×=.解答3例3解:(1)設該班男生人數(shù)為x,則女生人數(shù)為x+4,由條件可得=,解得x=20,故該班男生有20人,女生有24人.(2)由條件知在該班隨機抽取一名學生,預計該同學持滿意態(tài)度的概率為.由題意知ξ的可能取值為0,1,2,ξ聽從超幾何分布,則P(ξ=0)==,P(ξ=1)=故ξ的分布列為ξ

0

=,P(ξ=2)==,

1

2PE(ξ)=0×

+1×

+2×

=.解答4例4(2)

解:(1)

剩下的由

2組數(shù)據(jù)恰巧是不相鄰的已

2天數(shù)據(jù)的概率是知

數(shù)

1-

=.

據(jù)

得(3)當

x=10

時,

=3x-8=3

×10-8=22,|22-23|

≤1;當x=8時,

=3x-8=3×8-8=16,|16-16|≤1.故(2)中獲取的線性回歸方程是靠譜的

.例5解:(1)2×2列聯(lián)表以下:甲班乙班總計成績優(yōu)異91625成績不優(yōu)異11415總計202040依據(jù)表中的數(shù)據(jù),得K2的觀察值k=≈5.227>5.024,∴在出錯的概率不超出0.025的前提下以為“成績能否優(yōu)異與教課方式有關

”.(2)由表可知在8人中成績不優(yōu)異的人數(shù)約為

×8=3,則

X的可能取值為

0,1,2,3.P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.∴X的分布列為X

0

1

2

3PE(X)=0×

+1×

+2×

+3×

=.【自我檢測】解:(1)甲班學生數(shù)學成績的中位數(shù)為=118,乙班學生數(shù)學成績的中位數(shù)為=128.增補完好的乙班學生數(shù)學成績的頻次分布直方圖以下圖

.(2)由莖葉圖可知

,乙班學生數(shù)學成績的均勻水平高于甲班學生數(shù)學成績的均勻水平

.甲班學生數(shù)學成績的分別程度高于乙班學生數(shù)學成績的分別程度

.(3)由莖葉圖可知,甲、乙兩班數(shù)學成績?yōu)閮?yōu)異的人數(shù)分別為10,14.若從頂用分層抽樣的方法選出12人,則應從甲、乙兩班分別選出5人、7人.設“選出的12人中恰含有甲、乙兩班所有140分以上的學生”為事件A,則P(A)=×=×=.所以選出的12人中恰含有甲、乙兩班所有140分以上的學生的概率為.[備選原因]所給3個例題分別環(huán)繞二項分布的希望,超幾何分布的希望,統(tǒng)計與概率的綜合等知識睜開,旨在加強解題訓練,熟習試題題型與辦理方法.例1[配例1使用][2018·北京卷]電影企業(yè)隨機采集了電影的有關數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理獲取下表:電影種類第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指:一類電影中獲取好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.假定所有電影能否獲取好評互相獨立.(1)從電影企業(yè)采集的電影中隨機選用1部,求這部電影是獲取好評的第四類電影的概率;(2)從第四類電影和第五類電影中各隨機選用1部,預計恰有1部獲取好評的概率;(3)假定每類電影獲取人們喜愛的概率與表格中該類電影的好評率相等,用“ξk=1”表示第k類電影獲取人們喜愛,“ξ類電影沒有獲取人們喜愛(k=1,2,3,4,5,6).寫出方差k=0”表示第kDξ的大小關系.1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6解:(1)由題意知,樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000,第四類電影中獲取好評的電影部數(shù)是200×0.25=50.故所求概率為=0.025.設事件A為“從第四類電影中隨機選出的電影獲取好評”,事件B為“從第五類電影中隨機選出的電影獲取好評”.故所求概率為P(A+B)=P(A)+P(B)=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B).由題意知:P(A)預計為0.25,P(B)預計為0.2.故所求概率預計為0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.(3)Dξ1>Dξ4>Dξ2=Dξ5>Dξ3>Dξ6.n(n∈N*)個人口超出1000萬的超大例2[配例3使用]為發(fā)展業(yè)務,