二次根式基礎(chǔ)知識(shí)1．二次根式的定義一般地，我們把形如eq\r(a)(a≥0)的式子叫做二次根式，“eq\r()”稱為二次根號(hào)，a叫做被開方數(shù)．【例1－1】下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？eq\r(2)，eq\r(3,3)，eq\f(1,x)，eq\r(x2＋1)，eq\r(0)，eq\r(4,2)，－eq\r(2)，eq\f(1,x＋y)，eq\r(x＋y).解：二次根式有：eq\r(2)，eq\r(x2＋1)，eq\r(0)，－eq\r(2)；不是二次根式的有：eq\r(3,3)，eq\f(1,x)，eq\r(4,2)，eq\f(1,x＋y)，eq\r(x＋y).析規(guī)律二次根式的條件二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：第一，有二次根號(hào)“eq\r()”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0.【例1－2】當(dāng)x是多少時(shí)，eq\r(3x－1)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？分析：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0，所以3x－1≥0時(shí)，eq\r(3x－1)才有意義．解：由3x－1≥0，得x≥eq\f(1,3).因此當(dāng)x≥eq\f(1,3)時(shí)，eq\r(3x－1)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義．點(diǎn)技巧二次根式有意義的條件二次根式有意義的條件是，被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即被開方數(shù)一定要大于或等于0.2．積的算術(shù)平方根用“＞，＜或＝”填空．eq\r(4×9)______eq\r(4)×eq\r(9)，eq\r(16×25)______eq\r(16)×eq\r(25)，eq\r(100×36)______eq\r(100)×eq\r(36).根據(jù)上面的計(jì)算我們可得出：eq\x(\r(ab)＝\r(a)·\r(b)(a≥0，b≥0))即：積的算術(shù)平方根，等于各算術(shù)平方根的積．【例2】化簡(jiǎn)：(1)eq\r(9×16)；(2)eq\r(16×81)；(3)eq\r(81×100)；(4)eq\r(54).分析：利用eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)直接化簡(jiǎn)即可．解：(1)eq\r(9×16)＝eq\r(9)×eq\r(16)＝3×4＝12.(2)eq\r(16×81)＝eq\r(16)×eq\r(81)＝4×9＝36.(3)eq\r(81×100)＝eq\r(81)×eq\r(100)＝9×10＝90.(4)eq\r(54)＝eq\r(9×6)＝eq\r(32)×eq\r(6)＝3eq\r(6).點(diǎn)評(píng)：利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)可對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)，使其不含能開得盡方的因數(shù)或因式．3．商的算術(shù)平方根填空：(1)eq\f(\r(9),\r(16))＝__________，eq\r(\f(9,16))＝__________；(2)eq\f(\r(16),\r(36))＝__________，eq\r(\f(16,36))＝__________；(3)eq\f(\r(4),\r(16))＝__________，eq\r(\f(4,16))＝__________；(4)eq\f(\r(36),\r(81))＝__________，eq\r(\f(36,81))＝__________.規(guī)律：eq\r(\f(9,16))______eq\f(\r(9),\r(16))；eq\r(\f(16,36))______eq\f(\r(16),\r(36))；eq\r(\f(4,16))______eq\f(\r(4),\r(16))；eq\r(\f(36,81))______eq\f(\r(36),\r(81)).通過計(jì)算容易得出上面的式子都是相等的．因此，eq\x(\r(\f(a,b))＝\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b>0))即：商的算術(shù)平方根等于各算術(shù)平方根的商．【例3】化簡(jiǎn)：(1)eq\r(\f(3,64))；(2)eq\r(\f(64b2,9a2))；(3)eq\r(\f(9x,64y2))；(4)eq\r(\f(5x,169y2)).分析：直接利用eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b＞0)就可以達(dá)到化簡(jiǎn)之目的．解：(1)eq\r(\f(3,64))＝eq\f(\r(3),\r(64))＝eq\f(\r(3),8).(2)eq\r(\f(64b2,9a2))＝eq\f(\r(64b2),\r(9a2))＝eq\f(8|b|,3|a|).(3)eq\r(\f(9x,64y2))＝eq\f(\r(9x),\r(64y2))＝eq\f(3\r(x),8|y|).(4)eq\r(\f(5x,169y2))＝eq\f(\r(5x),\r(169y2))＝eq\f(\r(5x),13|y|).4．最簡(jiǎn)二次根式最簡(jiǎn)二次根式應(yīng)滿足以下兩個(gè)條件：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．所以，化簡(jiǎn)二次根式時(shí)，要求最終結(jié)果中分母不含有根號(hào)，而且各個(gè)二次根式是最簡(jiǎn)二次根式．【例4】把下列根式化成最簡(jiǎn)二次根式：(1)eq\r(12)，(2)eq\r(40)，(3)eq\r，(4)eq\r(\f(4,3)).解：(1)eq\r(12)＝eq\r(4×3)＝2eq\r(3).(2)eq\r(40)＝eq\r(4×10)＝2eq\r(10).(3)eq\r＝eq\r(\f(3,2))＝eq\f(\r(3),\r(2))＝eq\f(\r(3)×\r(2),\r(2)×\r(2))＝eq\f(\r(6),2).(4)eq\r(\f(4,3))＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3).點(diǎn)評(píng)：化簡(jiǎn)二次根式時(shí)，要求最終結(jié)果中分母不含有根號(hào)，應(yīng)利用二次根式的有關(guān)性質(zhì)化掉分母中的根號(hào)．5．二次根式的乘除二次根式的乘法：eq\x(\r(a)·\r(b)＝\r(ab)(a≥0，b≥0))二次根式的除法：eq\x(\f(\r(a),\r(b))＝\r(\f(a,b))(a≥0，b>0))即：二次根式相乘除，只把被開方數(shù)相乘除，結(jié)果仍然作為被開方數(shù)．【例5】計(jì)算：(1)eq\r(5)×eq\r(7)；(2)eq\r(\f(1,3))×eq\r(9)；(3)eq\r(\f(1,4))÷eq\r(\f(1,16))；(4)eq\f(\r(64),\r(8)).分析：直接利用eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)和eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b＞0)計(jì)算即可．解：(1)eq\r(5)×eq\r(7)＝eq\r(35).(2)eq\r(\f(1,3))×eq\r(9)＝eq\r(\f(1,3)×9)＝eq\r(3).(3)eq\r(\f(1,4))÷eq\r(\f(1,16))＝eq\r(\f(1,4)÷\f(1,16))＝eq\r(\f(1,4)×16)＝eq\r(4)＝2.(4)eq\f(\r(64),\r(8))＝eq\r(\f(64,8))＝eq\r(8)＝2eq\r(2).6．二次根式的加減計(jì)算下列各式：(1)2x＋3x；(2)2x2－3x2＋5x2；(3)x＋2x＋3y；(4)3a2－2a2＋a上面的題目，實(shí)際上為同類項(xiàng)合并．同類項(xiàng)合并就是字母不變，系數(shù)相加減．計(jì)算下列各式：(1)2eq\r(2)＋3eq\r(2)；(2)2eq\r(8)－3eq\r(8)＋5eq\r(8)；(3)eq\r(7)＋2eq\r(7)＋eq\r(9×7)；(4)3eq\r(3)－2eq\r(3)＋eq\r(2).分析：(1)如果我們把eq\r(2)當(dāng)成x，不就轉(zhuǎn)化為上面的問題了嗎？2eq\r(2)＋3eq\r(2)＝(2＋3)eq\r(2)＝5eq\r(2).(2)把eq\r(8)當(dāng)成y；2eq\r(8)－3eq\r(8)＋5eq\r(8)＝(2－3＋5)eq\r(8)＝4eq\r(8)＝8eq\r(2).(3)把eq\r(7)當(dāng)成z；eq\r(7)＋2eq\r(7)＋eq\r(9)·eq\r(7)＝eq\r(7)＋2eq\r(7)＋3eq\r(7)＝(1＋2＋3)eq\r(7)＝6eq\r(7).(4)把eq\r(3)看為x，eq\r(2)看為y.3eq\r(3)－2eq\r(3)＋eq\r(2)＝(3－2)eq\r(3)＋eq\r(2)＝eq\r(3)＋eq\r(2).因此，二次根式的被開方數(shù)相同的話是可以合并的．二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并．【例6】計(jì)算：(1)eq\r(8)＋eq\r(18)；(2)eq\r(16x)＋eq\r(64x)；(3)3eq\r(48)－9eq\r(\f(1,3))＋3eq\r(12)；(4)(eq\r(48)＋eq\r(20))＋(eq\r(12)－eq\r(5))．分析：第一步，將不是最簡(jiǎn)二次根式的項(xiàng)化為最簡(jiǎn)二次根式；第二步，將相同的最簡(jiǎn)二次根式進(jìn)行合并．解：(1)eq\r(8)＋eq\r(18)＝2eq\r(2)＋3eq\r(2)＝(2＋3)eq\r(2)＝5eq\r(2).(2)eq\r(16x)＋eq\r(64x)＝4eq\r(x)＋8eq\r(x)＝(4＋8)eq\r(x)＝12eq\r(x).(3)3eq\r(48)－9eq\r(\f(1,3))＋3eq\r(12)＝12eq\r(3)－3eq\r(3)＋6eq\r(3)＝(12－3＋6)eq\r(3)＝15eq\r(3).(4)(eq\r(48)＋eq\r(20))＋(eq\r(12)－eq\r(5))＝eq\r(48)＋eq\r(20)＋eq\r(12)－eq\r(5)＝4eq\r(3)＋2eq\r(5)＋2eq\r(3)－eq\r(5)＝6eq\r(3)＋eq\r(5).基本方法7．化簡(jiǎn)eq\r(a2)(1)計(jì)算：eq\r(42)＝4，eq\r＝，eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2)＝eq\f(4,5)，eq\r(202)＝20，觀察其結(jié)果與根號(hào)內(nèi)冪底數(shù)的關(guān)系，歸納得到：當(dāng)a＞0時(shí)，eq\r(a2)＝a.(2)計(jì)算：eq\r((－4)2)＝4，eq\r((－2)＝，eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))2)＝eq\f(4,5)，eq\r((－20)2)＝20，觀察其結(jié)果與根號(hào)內(nèi)冪底數(shù)的關(guān)系，歸納得到：當(dāng)a＜0時(shí)，eq\r(a2)＝－a.(3)計(jì)算：eq\r(02)＝0，當(dāng)a＝0時(shí)，eq\r(a2)＝0.(4)將上面做題過程中得到的結(jié)論綜合起來，得到二次根式的又一條非常重要的性質(zhì)：eq\r(a2)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a>0，,0，a＝0，,－a，a<0.))【例7－1】化簡(jiǎn)：(1)eq\r(9)；(2)eq\r((－4)2)；(3)eq\r(25)；(4)eq\r((－3)2).分析：因?yàn)?1)9＝32，(2)(－4)2＝42，(3)25＝52，(4)(－3)2＝32，所以都可運(yùn)用eq\r(a2)＝a(a≥0)去化簡(jiǎn)．解：(1)eq\r(9)＝eq\r(32)＝3.(2)eq\r((－4)2)＝eq\r(42)＝4.(3)eq\r(25)＝eq\r(52)＝5.(4)eq\r((－3)2)＝eq\r(32)＝3.【例7－2】先化簡(jiǎn)再求值：當(dāng)a＝9時(shí)，求a＋eq\r(1－2a＋a2)的值，甲、乙兩人的解答如下：甲的解答為：原式＝a＋eq\r((1－a)2)＝a＋(1－a)＝1；乙的解答為：原式＝a＋eq\r((1－a)2)＝a＋(a－1)＝2a－1＝17.兩種解答中，__________的解答是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因是__________．答案：甲甲沒有先判定1－a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)思維拓展8．二次根式的混合運(yùn)算計(jì)算：(1)6x·3y；(2)(2x＋y)·zx；(3)(2x2y＋3xy2)÷xy.(4)(2x＋3y)(2x－3y)；(5)(2x＋1)2＋(2x－1)2.如果把上面的x，y，z改寫成二次根式，以上的運(yùn)算規(guī)律是否仍成立？仍成立．整式運(yùn)算中的x，y，z是一種字母，它的意義十分廣泛，可以代表所有一切，當(dāng)然也可以代表二次根式，所以，整式中的運(yùn)算規(guī)律也適用于二次根式．【例8】計(jì)算：(1)(eq\r(6)＋eq\r(8))×eq\r(3)；(2)(4eq\r(6)－3eq\r(2))÷2eq\r(2)；(3)(eq\r(5)＋6)(3－eq\r(5))；(4)(eq\r(10)＋eq\r(7))(eq\r(10)－eq\r(7))．分析：因?yàn)槎胃饺匀粷M足整式的運(yùn)算規(guī)律，所以直接可用整式的運(yùn)算規(guī)律．解：(1)(eq\r(6)＋eq\r(8))×eq\r(3)＝eq\r(6)×eq\r(3)＋eq\r(8)×eq\