第8講離散型隨機(jī)變量的期望方差及其性質(zhì)3種題型【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：離散型隨機(jī)變量的期望①期望的含義：一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為……P……則稱為ξ的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值.數(shù)學(xué)期望又簡稱期望.數(shù)學(xué)期望反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.②隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：ξ01Pqp③單點(diǎn)分布：其分布列為：.④兩點(diǎn)分布：，其分布列為：（p+q=1）⑤二項(xiàng)分布：其分布列為～.（P為發(fā)生的概率）⑥幾何分布：其分布列為～.（P為發(fā)生的概率）考點(diǎn)二：離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差①當(dāng)已知隨機(jī)變量ξ的分布列為時(shí)，則稱為ξ的方差.顯然，故為ξ的根方差或標(biāo)準(zhǔn)差.隨機(jī)變量ξ的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量ξ取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度.越小，穩(wěn)定性越高，波動越小.②方差的性質(zhì).⑴隨機(jī)變量的方差.（a、b均為常數(shù)）③期望與方差的關(guān)系.⑴如果和都存在，則⑵設(shè)ξ和是互相獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，則⑶期望與方差的轉(zhuǎn)化：⑷（因?yàn)闉橐怀?shù)）.【題型目錄】題型一：離散型隨機(jī)變量的期望題型二：離散型隨機(jī)變量的方差題型三：離散型隨機(jī)變量的期望方差的性質(zhì)【典型例題】題型一：離散型隨機(jī)變量的期望【例1】在采用五局三勝制（先取得三局勝利的一方，獲得最終勝利）的籃球總決賽中，當(dāng)甲隊(duì)先勝2場時(shí)，因疫情暴發(fā)不得不中止比賽.已知甲?乙兩隊(duì)水平相當(dāng)，每場甲?乙勝的概率都為，總決賽的獎(jiǎng)金為80萬元，總決賽的勝者獲得全部獎(jiǎng)金.根據(jù)我們所學(xué)的概率知識，甲隊(duì)?wèi)?yīng)分得的獎(jiǎng)金為（

）萬元.A．80 B．70 C．50 D．40【答案】B【分析】獎(jiǎng)金額的值為0和80，計(jì)算出概率后由期望公式計(jì)算出期望即得．【詳解】設(shè)甲隊(duì)?wèi)?yīng)分得的獎(jiǎng)金為萬元，則，80，.故選：B．【例2】一個(gè)袋子中裝有大小相同的5個(gè)小球，其中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，小明從中無放回地取出3個(gè)小球，摸到一個(gè)白球記1分，摸到一個(gè)紅球記2分，則小明總得分的數(shù)學(xué)期望等于（

）A．3.8分 B．4分 C．4.2分 D．4.4分【答案】C【分析】確定的取值，求出概率，由期望公式計(jì)算期望．【詳解】由題意的取值是3，4，5，，，，，故選：C．【例3】從一批含有6件正品和4件次品的10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品進(jìn)行檢測，記隨機(jī)變量X為抽檢結(jié)果中含有的次品件數(shù)，則隨機(jī)變量X的期望________．【答案】##【分析】根據(jù)題意，確定隨機(jī)變量X的可能取值，再求出每個(gè)變量對應(yīng)的概率即可求解.【詳解】由題意可知：X的可能取值為，，，，所以，故答案為：.【例4】某公司有5萬元資金用于投資開發(fā)項(xiàng)目，如果成功，一年后可獲利12%，一旦失敗，一年后將喪失全部資金的50%，下表是過去200例類似項(xiàng)目開發(fā)的實(shí)施結(jié)果：投資成功投資失敗192次8次則該公司一年后估計(jì)可獲收益的期望是____________（元）．【答案】4760【分析】設(shè)可獲收益為x萬元，先求出投資成功與失敗的概率和收益，再計(jì)算收益的期望即得.【詳解】設(shè)可獲收益為x萬元，如果成功，x的取值為5×12%，如果失敗，x的取值為，一年后公司成功的概率估計(jì)為＝，失敗的概率估計(jì)為＝，所以一年后公司收益的期望為（元）.故答案為：4760.【例5】電機(jī)（或變壓器）繞組采用的絕緣材料的耐熱等級也叫絕緣等級，電機(jī)與變壓器中常用的絕緣材料耐熱等級分為如下7個(gè)級別：耐熱等級YAEBFHC絕緣耐溫（℃）某絕緣材料生產(chǎn)企業(yè)為測試甲、乙兩種生產(chǎn)工藝對絕緣耐溫的影響，分別從兩種工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取50件，測量各件產(chǎn)品的絕緣耐溫（單位：℃），其頻率分布直方圖如下：(1)若10月份該企業(yè)采用甲工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品為65萬件，估計(jì)其中耐熱等級達(dá)到C級的產(chǎn)品數(shù)；(2)若從甲、乙兩種工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機(jī)選擇1件，用頻率估計(jì)概率，求2件產(chǎn)品中耐熱等級達(dá)到C級的產(chǎn)品數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)52萬件；(2)分布列見解析；期望為【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知耐熱等級達(dá)到C級的頻率，從而可估計(jì)65萬件產(chǎn)品中達(dá)到C級的產(chǎn)品數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖可知甲、乙兩種產(chǎn)品耐熱等級達(dá)到C級的概率，各隨機(jī)選擇1件產(chǎn)品可能為兩個(gè)都達(dá)到C級，恰有一個(gè)達(dá)到C級，兩個(gè)都沒達(dá)到C級，分別計(jì)算它們的概率，列出分布列，計(jì)算期望.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，65萬件產(chǎn)品中，耐熱等級達(dá)到C級的產(chǎn)品數(shù)為（萬件），故耐熱等級達(dá)到C級的產(chǎn)品數(shù)約為52萬件．（2）設(shè)采用甲工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品中耐熱等級達(dá)到C級的產(chǎn)品數(shù)為X，采用乙工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品中耐熱等級達(dá)到C級的產(chǎn)品數(shù)為Y，則耐熱等級達(dá)到C級的產(chǎn)品總數(shù)為X＋Y．由頻率分布直方圖可知，隨機(jī)選擇1件采用甲工藝的產(chǎn)品耐熱等級達(dá)到C級的概率為，隨機(jī)選擇1件采用乙工藝的產(chǎn)品耐熱等級達(dá)到C級的概率為．X＋Y所有可能的取值為0，1，2，則且，且且，且．分布列如下表所示：X＋Y012P．【例6】現(xiàn)有甲、乙、丙、丁等6人去參加新冠疫苗的接種排隊(duì)，有A、B、C、D4個(gè)不同的窗口供排隊(duì)等候接種，每個(gè)窗口至少有一位同學(xué)等候．(1)求甲、乙兩人在不同窗口等候的概率；(2)設(shè)隨機(jī)變量X表示在窗口A排隊(duì)等候的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的期望．【答案】(1)；(2)【分析】（1）先利用排列組合求出事件得總數(shù)及甲乙排在一起的情況得數(shù)量，再根據(jù)古典概型及對立事件得概率公式即可得解；（2）先寫出隨機(jī)變量的取值，再求出對應(yīng)隨機(jī)變量的概率，再根據(jù)期望公式進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：總數(shù)為，其中甲乙排在一起的情況為：，故甲、乙兩人在不同窗口等候的概率為；（2）解：可取，，，，所以.【題型專練】1．甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對方多2分或打滿6局時(shí)停止，設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)X的期望為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知，根據(jù)題意設(shè)出事件，求出對應(yīng)的概率，然后直接求解期望即可.【詳解】由題意，隨機(jī)變量X的可能取值是2，4，6，設(shè)每兩局比賽為一輪，則該輪比賽停止的概率為，若該輪結(jié)束時(shí)比賽還要繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得1分，此時(shí)該輪比賽結(jié)果對下一輪比賽是否停止沒有影響，所以，,，所以期望為．故選：B．2．某車間打算購買2臺設(shè)備，該設(shè)備有一個(gè)易損零件，在購買設(shè)備時(shí)可以額外購買這種易損零件作為備件，價(jià)格為每個(gè)120元.在設(shè)備使用期間，零件損壞，備件不足再臨時(shí)購買該零件時(shí)，價(jià)格為每個(gè)280元.在使用期間，每臺設(shè)備需更換的零件個(gè)數(shù)X的分布列為：X678P0.40.50.1若購買2臺設(shè)備的同時(shí)購買易損零件13個(gè)，則在使用期間，這2臺設(shè)備另需購買易損零件所需費(fèi)用的期望為（

）A．1716.8元 B．206.5元 C．168.6元 D．156.8元【答案】D【分析】由題意2臺設(shè)備使用期間需更換的零件數(shù)可能取值為12、13、14、15、16，再求出它們對應(yīng)的概率，進(jìn)而求2臺設(shè)備另需購買易損零件所需費(fèi)用可能值及其概率，最后求期望即可.【詳解】記Y表示2臺設(shè)備使用期間需更換的零件數(shù)，則Y的可能取值為12，13，14，15，16，，，，，.若購買2臺設(shè)備的同時(shí)購買易損零件13個(gè)，在使用期間，記這2臺設(shè)備另需購買易損零件所需費(fèi)用為Z元，則Z的可能取值為0，280，560，840，，，，，.故選：D.3．袋中裝有大小與質(zhì)地相同的5個(gè)紅球、m個(gè)白球，現(xiàn)從中任取2個(gè)球．若取出的兩球都是紅球的概率為，記取出的紅球個(gè)數(shù)為X，則______．【答案】##【分析】由題意可知即可求m，由，利用古典概型的概率求法求、、，即可求.【詳解】由題意知：，整理得，∴，由，則，，，∴.故答案為：.4．農(nóng)歷五月初五是我國的傳統(tǒng)節(jié)日——端午節(jié)，為紀(jì)念偉大的愛國詩人屈原，民間有吃粽子的習(xí)慣，粽子也就成為了我們生活中的一種美食.設(shè)一盤中裝有6個(gè)粽子，其中豆粽、肉粽、白粽各2個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同．小明從中任取2個(gè)吃，吃完這2個(gè)，若是吃到了肉粽就不再吃了；若是還沒吃到肉粽，就再從剩下的4個(gè)中任取1個(gè)吃，吃完這個(gè)不管是否吃到肉粽都不再吃了.(1)求小明吃到肉粽的概率；(2)設(shè)X表示取到的肉粽個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)；(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)先吃的兩個(gè)有無肉粽計(jì)算出遲到肉粽的概率.（2）根據(jù)吃到肉粽的個(gè)數(shù)以及古典概型概率計(jì)算公式計(jì)算出分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）小明吃到肉粽的概率為.（2）∵X的所有可能取值為0，1，2，且，，．∴X的分布列為Ｘ012．5．某人花了元預(yù)定2023年杭州亞運(yùn)會開幕式門票一張，另外還預(yù)定了兩張其他門票，根據(jù)亞奧理事會的相關(guān)規(guī)定，從所有預(yù)定者中隨機(jī)抽取相應(yīng)數(shù)量的人，這些人稱為預(yù)定成功者，他們可以直接購買門票，另外，對于開幕式門票，有自動降級規(guī)定，即當(dāng)這個(gè)人預(yù)定的元門票未成功時(shí)，系統(tǒng)自動使他進(jìn)入b元開幕式門票的預(yù)定.假設(shè)獲得a元開幕式門票的概率是0.1，若未成功，仍有0.2的概率獲得b元開幕式門票的機(jī)會，獲得其他兩張門票中的每一張的概率均是0.5，且獲得每張門票之間互不影響.(1)求這個(gè)人可以獲得亞運(yùn)會開幕式門票的概率；(2)假設(shè)這個(gè)人獲得門票總張數(shù)是，求的分布列及數(shù)學(xué)期.【答案】(1)；(2)分布列見解析；【分析】（1）由獨(dú)立事件概率乘法公式即可求得獲得開幕式門票的概率；（2）由題意確定的可能取值，再利用獨(dú)立事件概率乘法公式求得每個(gè)取值對應(yīng)的概率，從而求得的分布列，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期.【詳解】（1）依題意得，獲得元開幕式門票的概率為0.1，則未獲得元開幕式門票的概率為0.9，獲得b元開幕式門票概率為0.2，則獲得開幕式門票的概率為.（2）依題意得，的可能取值為，則，，，，故的分布列為：則.6．中國男子籃球職業(yè)聯(lián)賽“簡稱CBA”半決賽采用“五局三勝制”，具體規(guī)則為比賽最多進(jìn)行五場，當(dāng)參賽的兩方有一方先贏得三場比賽，就由該方獲勝而比賽結(jié)束，每場比賽都需分出勝負(fù).同時(shí)比賽采用主客場制，比賽先在A隊(duì)的主場進(jìn)行兩場比賽，再移師B隊(duì)主場進(jìn)行兩場比賽（有必要才進(jìn)行第二場），如果需要第五場比賽，則回到A隊(duì)的主場進(jìn)行，已知A隊(duì)在主場獲勝的概率為，在客場獲勝的概率為，假設(shè)每場比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.(1)第一場比賽B隊(duì)在客場通過全隊(duì)的努力先贏了一場，賽后B隊(duì)的教練鼓勵(lì)自己的隊(duì)員說“勝利的天平已經(jīng)向我們傾斜”，試從概率大小的角度判斷B隊(duì)教練的話是否客觀正確；(2)每一場比賽，會給主辦方在門票，飲食，紀(jì)念品銷售等方面帶來綜合收益300萬元，設(shè)整個(gè)半決賽主辦方綜合收益為，求的分布列與期望，【答案】(1)從概率大小的角度判斷B隊(duì)教練的話是客觀正確的.(2)分布列見解析，萬元.【分析】（1）計(jì)算B隊(duì)獲勝的情況的概率判斷即可；（2）由題知的可能取值為，再計(jì)算概率求解分布列，期望即可.【詳解】（1）由題知，B隊(duì)獲勝的情況有三種，第一種情況，比賽三場獲勝，其概率為；第二種情況，比賽四場獲勝，則第二場或第三場B隊(duì)失敗，故其概率為；第三種情況，比賽五場獲勝，則B隊(duì)在第二場，第三場，第四場中贏得一場比賽，第五場比賽獲勝，其概率為，所以，B隊(duì)在第一場比賽獲勝的情況下，贏得比賽的概率為，所以，從概率大小的角度判斷B隊(duì)教練的話是客觀正確的.（2）由題知，至少舉辦3場球賽，至多舉辦5場球賽，所以的可能取值為，所以，當(dāng)舉辦3場球賽時(shí)，A隊(duì)獲勝的概率為，B隊(duì)獲勝的概率為，所以，；當(dāng)舉辦4場球賽時(shí)，A隊(duì)獲勝的概率為，B隊(duì)獲勝的概率為，，所以，，所以，的分布列為：所以，萬元7．某工廠質(zhì)檢部門要對該廠流水線生產(chǎn)出的一批產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，如果檢查到第4件仍未發(fā)現(xiàn)不合格品，則此次檢查通過且認(rèn)為這批產(chǎn)品合格，如果在尚未抽到第4件時(shí)已檢查到不合格品，則拒絕通過且認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格.且每件產(chǎn)品質(zhì)檢費(fèi)用為80元.設(shè)這批產(chǎn)品的數(shù)量足夠大，并認(rèn)為每次檢查中查到不合格品的概率都為，即每次抽查的產(chǎn)品是相互獨(dú)立的.(1)求這批產(chǎn)品能夠通過檢查的概率；(2)記對這批產(chǎn)品的質(zhì)檢個(gè)數(shù)記作，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)已知100批此類產(chǎn)品，若，則總平均檢查費(fèi)用至少需要多少元？（總平均檢查費(fèi)用=每批次平均檢查費(fèi)用×批數(shù)）【答案】(1)；(2)分布列見解析，；(3)27512元【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式運(yùn)算；（2）由題可知，分別求概率，可得分布列和期望；（3）設(shè)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）記事件A為“這批產(chǎn)品能夠通過檢查”，則由題意知：.（2）由題可知，，，，，所以的分布列為：1234故的數(shù)學(xué)期望為：.（3）設(shè)，則，因?yàn)?，且開口向下，則當(dāng)時(shí)恒成立，所以在單調(diào)遞減，所以，所以每批次平均檢查費(fèi)用至少為（元），故100批次此類產(chǎn)品總平均檢查費(fèi)用至少需要（元）.題型二：離散型隨機(jī)變量的方差【例1】若隨機(jī)變量X的概率分布表如下：X01P0.4則（

）A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16【答案】C【分析】根據(jù)分布列的數(shù)學(xué)期望和方差公式直接求解.【詳解】根據(jù)概率的性質(zhì)可得，所以，所以，故選:C.【例2】已知隨機(jī)變量的分布列如下表所示：012若，則（

）A．>，> B．<，>C．>，< D．<，<【答案】A【分析】通過計(jì)算期望和方差來求得正確答案.【詳解】，，由于，所以.，同理可得.，所以.故選：A【例3】（多選題）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列為：0m1P則當(dāng)m在（0，1）上增大時(shí)，（

）A．減小 B．增大C．先增后減，最大值為 D．先減后增，最小值為【答案】BD【分析】首先根據(jù)分布列的性質(zhì)求，再分別求期望和方差，根據(jù)函數(shù)特征判斷選項(xiàng).【詳解】由題意得，，得，，，增大；，當(dāng)實(shí)數(shù)m在上增大時(shí)，先減小后增大，當(dāng)時(shí)，取最小值.故選：BD.【例4】從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量表示所選3人中女生的人數(shù).求：(1)的分布；(2)的期望與方差.【答案】(1)答案見解析；(2)，【分析】（1）由題，根據(jù)超幾何分布求解即可；（2）根據(jù)期望與方差公式求解即可.【詳解】（1）解：所選女生人數(shù)的所有可能取值為，；；.所以，選3個(gè)人中女生人數(shù)的概率分布為：012（2）解：由（1）知，【例5】某種水果按照果徑大小可分為四類：標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果.某采購商從采購的一批水果中隨機(jī)抽取100個(gè)，利用水果的等級分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下：等級標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果個(gè)數(shù)10304020(1)若將頻率視為概率，從這100個(gè)水果中有放回地隨機(jī)抽取5個(gè)，求恰好有2個(gè)水果是禮品果的概率（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）；(2)用樣本估計(jì)總體，果園老板提出兩種購銷方案給采購商參考，方案1：不分類賣出，單價(jià)為21元；方案2：分類賣出，分類后的水果售價(jià)如下：等級標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果售價(jià)（元16182224從采購商的角度考慮，應(yīng)該采用哪種方案？(3)用分層抽樣的方法從這100個(gè)水果中抽取10個(gè)，再從抽取的10個(gè)水果中隨機(jī)抽取3個(gè)，表示抽取的是精品果的數(shù)量，求的分布列及方差.【答案】(1)；(2)應(yīng)該采用第二種方案，理由見詳解；(3)分布列見詳解，【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)分布運(yùn)算求解；（2）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)求方案二的平均單價(jià)，結(jié)合題意分析判斷；（3）先根據(jù)分層抽樣求各層應(yīng)抽取的樣本個(gè)數(shù)，再結(jié)合超幾何分布求分布列和方差.【詳解】（1）記“從這100個(gè)水果中隨機(jī)抽取1個(gè)，這個(gè)水果是禮品果”為事件A，則，從這100個(gè)水果中有放回地隨機(jī)抽取5個(gè)，設(shè)禮品果的個(gè)數(shù)為，則，故恰好有2個(gè)水果是禮品果的概率.（2）方案2：每公斤的單價(jià)為（元），∵，故從采購商的角度考慮，應(yīng)該采用第二種方案.（3）用分層抽樣的方法從這100個(gè)水果中抽取10個(gè)，則標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果應(yīng)抽取的個(gè)數(shù)分別為，即4個(gè)精品果，6個(gè)非精品果，由題意可得：的可能取值有：，則有：,的分布列如下：0123P則，.【例6】為迎接2022年北京冬奧會，推廣滑雪運(yùn)動，某滑雪場開展滑雪促銷活動．該滑雪場的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過1小時(shí)免費(fèi)，超過1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)．有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場運(yùn)動，設(shè)甲、乙不超過1小時(shí)離開的概率分別為；1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)離開的概率分別為；兩人滑雪時(shí)間都不會超過3小時(shí)．(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與均值E(ξ)，方差D(ξ)．【答案】(1)；(2)答案見解析【分析】（1）由題意兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為0，40，80元，然后求出相應(yīng)的概率即可；（2）確定ξ的所有可能取值，計(jì)算相應(yīng)的概率，得出分布列，進(jìn)一步求解均值和方差即可．【詳解】（1）兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為0，40，80元，甲、乙兩人2小時(shí)以上且不超過3小時(shí)離開的概率分別為1－－＝，1－－＝．兩人都付0元的概率為P1＝×＝，兩人都付40元的概率為P2＝×＝，兩人都付80元的概率為P3＝×＝，則兩人所付費(fèi)用相同的概率為P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝．（2）ξ的所有可能取值為0，40，80，120，160，則P(ξ＝0)＝×＝，P(ξ＝40)＝×＋×＝，P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，P(ξ＝120)＝×＋×＝，P(ξ＝160)＝×＝．所以ξ的分布列為ξ04080120160PE(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80，D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝．【題型專練】1.（多選題）已知下表為離散型隨機(jī)變量X的分布列，其中，下列說法正確的是（

）X012PA． B．C．有最大值 D．有最小值【答案】AC【分析】利用分布列的性質(zhì)以及期望與方差公式，列出表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)判斷選項(xiàng)的正誤即可.【詳解】由題意可知，即，所以A正確.，所以B不正確.，是開口向下的二次函數(shù).所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有最大值，無最小值.所以C正確，D不正確.故選：AC.2．（多選題）2022年冬奧會在北京舉辦，為了弘揚(yáng)奧林匹克精神，某市多所中小學(xué)開展了冬奧會項(xiàng)目科普活動．為了調(diào)查學(xué)生對冰壺這個(gè)項(xiàng)目的了解情況，在該市中小學(xué)中隨機(jī)抽取了10所學(xué)校，10所學(xué)校中了解這個(gè)項(xiàng)目的人數(shù)如圖所示：若從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校進(jìn)行這個(gè)項(xiàng)目的科普活動，記為被選中的學(xué)校中了解冰壺的人數(shù)在30以上的學(xué)校所數(shù)，則（

）A．的可能取值為0，1，2，3 B．C． D．【答案】BD【分析】由題知的可能取值為0，1，2，且服從超幾何分布，進(jìn)而求分布列，計(jì)算期望方差即可判斷.【詳解】解：根據(jù)題意，的可能取值為0，1，2，其中了解冰壺的人數(shù)在30以上的學(xué)校有4所，了解冰壺的人數(shù)在30以下的學(xué)校有6所，所以，，，所以，的概率分布列為：所以，，，所以，BD選項(xiàng)正確，AC選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BD．3．已知一個(gè)隨機(jī)變量的分布為，且，則______.【答案】0.4##【分析】根據(jù)和分布列的性質(zhì)求得的值,再利用方差的公式即可求解.【詳解】由題意得,解得,故答案為:0.44．某網(wǎng)站規(guī)定：一個(gè)郵箱在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤，該郵箱將被鎖定24小時(shí).小王發(fā)現(xiàn)自己忘記了郵箱密碼，但是可以確定該郵箱的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試.若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該郵箱被鎖定.(1)求當(dāng)天小王的該郵箱被鎖定的概率；(2)設(shè)當(dāng)天小王嘗試該郵箱的密碼次數(shù)為，求的分布列及，的值.【答案】(1)；(2)的分布列見解析，，【分析】（1）“當(dāng)天小王的該郵箱被鎖定”即3次嘗試均錯(cuò)誤，進(jìn)而求解；（2）由題可能取到1，2，3，分別求得概率，列出分布列，根據(jù)期望和方差的公式求解即可.（1）設(shè)“當(dāng)天小王的該郵箱被鎖定”為事件，則（2）由題意，可能取到1，2，3，則，，，所以的分布列為：123所以，5．為了響應(yīng)大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)的號召，小李畢業(yè)后開了水果店，水果店每天以每個(gè)5元的價(jià)格從農(nóng)場購進(jìn)若干西瓜，然后以每個(gè)10元的價(jià)格出售．如果當(dāng)天賣不完，剩下的西瓜作贈品處理．(1)若水果店一天購進(jìn)16個(gè)西瓜，求當(dāng)天的利潤（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：個(gè)，）的函數(shù)解析式；(2)水果店記錄了100天西瓜的日需求量（單位：個(gè)），整理得下表：日需求量14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率．①若水果店一天購進(jìn)16個(gè)西瓜，表示當(dāng)天的利潤（單位：元），求的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；②若水果店計(jì)劃一天購進(jìn)16個(gè)或17個(gè)西瓜，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16個(gè)還是17個(gè)？請說明理由．【答案】(1)(2)①分布列見解析；期望為，方差；②應(yīng)購進(jìn)17個(gè)；理由見解析【分析】（1）分和兩種情況討論，分別求出所對應(yīng)的利潤，即可得解；（2）①依題意可得的可能取值為，，，求出所對應(yīng)的概率，即可得到分布列，從而求出數(shù)學(xué)期望與方差；②求出購進(jìn)個(gè)西瓜所對應(yīng)的利潤，即可判斷.（1）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.（2）解：①依題意可得的可能取值為，，，所以，，，所以的分布列為所以，．②購進(jìn)個(gè)時(shí)，當(dāng)天的利潤為，因?yàn)?，所以?yīng)購進(jìn)17個(gè)．6．冬奧會志愿者有名男同學(xué)，名女同學(xué).在這名志愿者中，三名同學(xué)來自北京大學(xué)，其余名同學(xué)來自北京郵電大學(xué)，北京交通大學(xué)等其他互不相同的所大學(xué).現(xiàn)從這名志愿者中隨機(jī)選取名同學(xué)，到機(jī)場參加活動.每位同學(xué)被選中的可能性相等.(1)求選出的名同學(xué)是來自互不相同的大學(xué)的概率；(2)設(shè)為選出的名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量的期望和方差．【答案】(1)(2)，【分析】（1）求出選出的名同學(xué)是來自互不相同大學(xué)的情況種類，除以從10名學(xué)生選出4名的情況種類即為答案；（2）求出X的可能取值，利用超幾何分布求概率公式求出對應(yīng)的概率，寫出分布列，求出期望和方差(1)設(shè)“選出的名同學(xué)是來自互不相同大學(xué)”為事件，

則，所以選出的名同學(xué)是來自互不相同大學(xué)的概率為；(2)隨機(jī)變量的所有可能值為，，，，4.，∴，，，，.所以隨機(jī)變量的分布列是：

4=．7．甲、乙、丙進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則如下：賽前抽簽決定先比賽的兩人，另一人輪空：每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有人累計(jì)勝兩場，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙先比賽，丙輪空.設(shè)比賽的場數(shù)為，且每場比賽雙方獲勝的概率都為.(1)求和；(2)求的標(biāo)準(zhǔn)差.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）分析，兩種情況下的勝負(fù)關(guān)系，再根據(jù)概率的公式求解即可；（2）根據(jù)題意可得可能的取值為，再求解的概率，進(jìn)而根據(jù)均值和方差的公式求解即可(1)：甲勝乙，甲勝丙，結(jié)果甲勝；乙勝甲，乙勝丙，結(jié)果乙勝.；：甲勝乙，丙勝甲，丙勝乙，結(jié)果丙勝；乙勝甲，丙勝乙，丙勝甲，結(jié)果丙勝..(2)根據(jù)題意可得可能的取值為.：甲勝乙，丙勝甲，乙勝丙，甲勝乙，結(jié)果甲勝；甲勝乙，丙勝甲，乙勝丙，乙勝甲，結(jié)果乙勝；乙勝甲，丙勝乙，甲勝丙，甲勝乙，結(jié)果甲勝；乙勝甲，丙勝乙，甲勝丙，乙勝甲，結(jié)果乙勝；.，，所以標(biāo)準(zhǔn)差為.題型三：離散型隨機(jī)變量的期望方差的性質(zhì)【例1】已知隨機(jī)變量滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)求解【詳解】，得，，得，故選：B【例2】設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，,分別為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用分布列的性質(zhì)概率之和為1，得出，利用概率的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)，再利用均值方差定義公式以及其性質(zhì)逐項(xiàng)判斷BCD即可.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量的分布列為，由分布列的性質(zhì)可知，，解得，對于A，，故A不正確；對于B，，，故B不正確；對于C，，故C正確；對于D，，，故D不正確.故選：C【例3】（多選題）設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為：012340.40.10.20.2若離散型隨機(jī)變量滿足，則下列結(jié)果正確的有（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)求得參數(shù)，結(jié)合分布列求得，再結(jié)合期望和方差的性質(zhì)，即可判斷和選擇.【詳解】對A：由，解得，故A正確；對B：，，故B正確；對C：，故C正確；對D：，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【例4】已知離散型隨機(jī)變量X的取值為有限個(gè)，，，則______．【答案】##【分析】根據(jù)題意和方差公式，以及方差的線性公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，由，?故答案為：.【例5】某網(wǎng)約車司機(jī)統(tǒng)計(jì)了自己一天中出車一次的總路程X（單位：km）的可能取值是20，22，24，26，28，30，它們出現(xiàn)的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t．(1)求X的分布列，并求X的均值和方差；(2)若網(wǎng)約車計(jì)費(fèi)細(xì)則如下：起步價(jià)為5元，行駛路程不超過3km時(shí)，收費(fèi)5元，行駛路程超過3km時(shí)，則按每超出1km（不足1km也按1km計(jì)程）收費(fèi)3元計(jì)費(fèi)．試計(jì)算此人一天中出車一次收入的均值和方差．【答案】(1)分布列見解析，，；(2)均值為71元，方差為.【分析】（1）利用概率和為1求出的值，然后可得X的分布列，然后算出其期望方差即可；（2）設(shè)此人一天中出車一次的收入為Y元，則，然后利用期望方差的性質(zhì)可算出答案.【詳解】（1）由題意，得．∴．∴X的分布列為X202224262830P0.10.20.30.10.10.2∴，．（2）設(shè)此人一天中出車一次的收入為Y元，則，∴，．故此人一天中出車一次收入的均值為71元，方差為95.4．【題型專練】1．已知隨機(jī)變量X滿足，，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答