球面上的距離和角第1頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日導(dǎo)入新課歐式幾何中，用距離和角度（方位）來(lái)刻畫(huà)位置間的關(guān)系，對(duì)于球面的學(xué)習(xí)，從球面上的距離和角兩個(gè)基本概念開(kāi)始．第2頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日球面上的距離和角第3頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日一、球面上的距離我們知道，在平面上，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)可以連一條直線，且只可連一條直線．平面上兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短，這條線段的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)之間的距離．第4頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日平面上的兩條直線有兩種位置關(guān)系：平行和相交，如果相交，那么只有一個(gè)交點(diǎn)．平面上的直線可以無(wú)限延長(zhǎng)等等．這些都是平面上直線的性質(zhì)．在平面上可以畫(huà)出直線，但球面是一個(gè)曲面，球面上的線是彎曲的，不存在直線．第5頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日球面上有沒(méi)有某種曲線可以“扮演”平面上直線的角色呢？連結(jié)球面上任意兩點(diǎn)有無(wú)數(shù)條曲線，而且它們的長(zhǎng)短不一，其中是否存在一條最短的曲線？探究第6頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日如下圖，一架飛機(jī)從北京首都國(guó)際機(jī)場(chǎng)起飛，目的地是美國(guó)紐約肯尼迪國(guó)際機(jī)場(chǎng)，北京與紐約大致都在北緯40°上，如果不考慮其他因素，飛機(jī)如何飛行才能使航程最短？第7頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日A

BBOAB、A兩點(diǎn)的距離是多少？第8頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日NBO北京S舊金山O′T北南第9頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日如上圖，我們用點(diǎn)B代表北京、點(diǎn)N代表紐約，點(diǎn)O表示球心．用經(jīng)過(guò)B點(diǎn)、N點(diǎn)、O點(diǎn)的平面去截球面，得到一個(gè)大圓（由于平面過(guò)球心），那么B點(diǎn)、N點(diǎn)就把這個(gè)大圓分成兩段圓弧，長(zhǎng)的一段叫優(yōu)弧，短的一段叫劣?。踊〉拈L(zhǎng)度就是球面上兩點(diǎn)間的最短距離，簡(jiǎn)稱之為球面上兩點(diǎn)間的距離。第10頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日再回到上圖，很容易得到，飛機(jī)沿著大圓從北京向北經(jīng)極地飛行到達(dá)紐約，航程最短，它比飛機(jī)向東沿北緯40°的小圓，經(jīng)舊金山到達(dá)紐約的航程要短．第11頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日如果我們把圖中的大圓弧和小圓弧畫(huà)到同一個(gè)平面，如下圖．TSBNOO′r′r第12頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日觀察圖形可知，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓弧，比以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓弧要短．也就是說(shuō)，平面上經(jīng)過(guò)任意兩點(diǎn)的劣弧中，半徑越大，劣弧越短．因此過(guò)球面上兩點(diǎn)一定可以連一條且只可以連一條大圓弧——劣弧．第13頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例1

假設(shè)地球的半徑為R，如圖，在北緯45°的緯線上有A，B兩點(diǎn)，且所對(duì)的圓心角∠AO′B=90°，求球面上A，B兩點(diǎn)間的距離．ABOO′第14頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日ABOO′解：如圖，連結(jié)OA，OB，AB，OO′.由緯度的意義，可得同理，因?yàn)椤螦O′B=90°．所以又因?yàn)镺A=OB=R，所以∠AOB=60°，因此，球面上A，B兩點(diǎn)間的距離等于第15頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日由于不在同一條直線上的三點(diǎn)唯一確定一個(gè)圓，因此過(guò)球面上兩點(diǎn)必可連一條大圓弧—劣弧．這類似平面上經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)可以連一條直線，且只可能連一條直線；平面上兩點(diǎn)之間的最短路徑是線段．因此，球面上的大圓可以“扮演”平面上直線的角色．第16頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日盡管球面上的大圓可以“扮演”平面上直線的角色，但是兩者之間也有很大的不同．平面上的兩條直線可以相交：只有一個(gè)交點(diǎn)；也可以不相交（平行）：沒(méi)有交點(diǎn)．但是球面上任意兩個(gè)大圓（類似平面上的兩條直線）必定相交，且有兩個(gè)交點(diǎn)．第17頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日思考為什么兩個(gè)大圓必定相交，且有兩個(gè)交點(diǎn)？AA′O第18頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日如上圖，因?yàn)榍蛎嫔系膬蓚€(gè)大圓所在的平面都經(jīng)過(guò)球心O．所以這兩個(gè)大圓所在的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，因此這兩個(gè)平面必有一條過(guò)球心O的相交直線，這條相交直線顯然是球面的直徑所在的直線，兩個(gè)大圓的交點(diǎn)是這條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)A，A′．我們把球的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)A，A′稱為對(duì)徑點(diǎn)．因此，兩個(gè)大圓相交于對(duì)徑點(diǎn)A，A′．第19頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日在平面上過(guò)一點(diǎn)A，做兩條射線AB、AC，構(gòu)成的圖形叫做角記作∠BAC——平面上角的定義．二、球面上的角ABC第20頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日過(guò)球面上一點(diǎn)A，做兩條大圓弧、，它們構(gòu)成圖形是球面角．仍記為∠BAC,點(diǎn)A叫球面角的頂點(diǎn)，大圓弧、叫球面角的邊，記為AB、AC．（結(jié)合下圖）類似地，我們可以定義球面上的角：第21頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日如何度量角∠BAC的大??？AA′OBC第22頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日如右圖，球面角∠BAC的兩邊AB，AC延長(zhǎng)后相交于點(diǎn)A的對(duì)徑點(diǎn)A′．AB，AC所在大圓的半平面構(gòu)成一個(gè)二面角B-AA′-C．顯然，球面角∠BAC與二面角B-AA′-C唯一對(duì)應(yīng)．A′AC′B′BOCED第23頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日我們用二面角B-AA′-C來(lái)度量球面角∠BAC，而二面角B-AA′-C的大小可以用它的平面角來(lái)度量，這樣球面角∠BAC的大小可以用平面上的角度來(lái)度量了．即在二面角B-AA′-C棱AA′上，如果我們?cè)谇蛐腛處，分別作OD⊥AA′，OE⊥AA′，且他們分別交球面角∠BAC的兩邊AB，AC于D，E兩點(diǎn)，那么∠DOE為二面角B-AA′-C的平面角。這時(shí)，用∠DOE的大小度量球面角∠BAC．第24頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日從另外一個(gè)角度看，如果點(diǎn)A處分別作大圓弧和得切線AB′和AC′，顯然AB′⊥AA，OD⊥OA，且AB′和OD在同一個(gè)平面內(nèi)，所以AB′‖OD．同理，AC′‖OE.所以，∠B′AC′=∠DOE.也就是說(shuō)，∠DOE等于點(diǎn)A處分別與球面角∠BAC的兩邊AB和AC相切的射線AB′和AC′所成的角∠B′AC′．第25頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日由球面角的定義，我們?cè)倏匆幌陆?jīng)線經(jīng)度的意義．如下圖，地球球面上一點(diǎn)的經(jīng)線是過(guò)該點(diǎn)的經(jīng)線（半個(gè)大圓）所在半平面與過(guò)格林尼治天文臺(tái)的經(jīng)線所在半平面組成的二面角的大?。畬?shí)際上，為了考慮問(wèn)題方便，二面角B-AA′-C平面角通常取為大圓的圓心角∠DOE．第26頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日點(diǎn)A在東經(jīng)90°的經(jīng)線上，東經(jīng)90°的意義就是球面角∠BNC=90°．這個(gè)角我們也通常取為赤道所在大圓的圓心角，即∠BOC=90°．