本文格式為Word版，下載可任意編輯——無(wú)窮級(jí)數(shù)總結(jié)無(wú)窮級(jí)數(shù)總結(jié)

一、概念與性質(zhì)1.定義：對(duì)數(shù)列u1,u2,，?un稱為無(wú)窮級(jí)數(shù)，un稱為一般項(xiàng)；若部分和

n?1?,un數(shù)列{Sn}有極限S，即limSn?S，稱級(jí)數(shù)收斂，否則稱為發(fā)散.

n??2.性質(zhì)

①設(shè)常數(shù)c?0，則?un與?cun有一致的斂散性；

n?1n?1

??

②設(shè)有兩個(gè)級(jí)數(shù)?un與?vn，若?un?s，?vn??，則?(un?vn)?s??；

n?1n?1n?1n?1n?1?????若?un收斂，?vn發(fā)散，則?(un?vn)發(fā)散；

n?1?n?1n?1???若?un，?vn均發(fā)散，則?(un?vn)斂散性不確定；

n?1n?1n?1??③添加或去掉有限項(xiàng)不影響一個(gè)級(jí)數(shù)的斂散性；

④設(shè)級(jí)數(shù)?un收斂，則對(duì)其各項(xiàng)任意加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和．

n?1?注：①一個(gè)級(jí)數(shù)加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)發(fā)散，則原級(jí)數(shù)發(fā)散；

②一個(gè)級(jí)數(shù)加括號(hào)后收斂，原級(jí)數(shù)斂散性不確定．⑤級(jí)數(shù)?un收斂的必要條件：limun?0；

n?1?n??注：①級(jí)數(shù)收斂的必要條件，常用判別級(jí)數(shù)發(fā)散；

②若limun?0，則?un未必收斂；

n??n?1?③若?un發(fā)散，則limun?0未必成立．

n?1?n??二、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法

①定義：若un?0，則?un稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).

n?1?②審斂法：（i）

充要條件：正項(xiàng)級(jí)數(shù)?un收斂的充分必要條件是其部分和數(shù)列有界.

n?1?（ii）

比較審斂法：設(shè)?un①與?vn②都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且un?vn(n?1,2,)，

n?1n?1??則若②收斂則①收斂；若①發(fā)散則②發(fā)散.

A.若②收斂，且存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n?N時(shí)有un?kvn(k?0)成立，則①收斂；若②發(fā)散，且存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n?N時(shí)有un?kvn(k?0)成立，則①發(fā)散；

1B.設(shè)?un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若有p?1使得un?p(n?1,2,nn?1?)，則?un收斂；若

n?1?1un?(n?1,2,n?)，則?un發(fā)散.

n?1??C.極限形式：設(shè)?un①與?vn②都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若limn?1n?1un?l(0?l???)，則n??vn?un?1??n與?vn有一致的斂散性.

n?1?注：常用的比較級(jí)數(shù)：①幾何級(jí)數(shù)：?arn?1n?1?a???1?r?發(fā)散?r?1r?1；

②p?級(jí)數(shù)：?n?1?1?收斂?np?發(fā)散?p?1時(shí)p?1時(shí)；

③調(diào)和級(jí)數(shù)：??1?1nn?111?????發(fā)散．2n??（iii）比值判別法（達(dá)郎貝爾判別法）設(shè)?an是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若

n?1????an?1an?1?r?1，則?r?1，則①liman收斂；②liman發(fā)散．

n???an???annn?1n?1??nan?1?1，或liman?1，推不出級(jí)數(shù)的斂散.例注：若limn???an???n?n?1????11與，雖然2nn?1n?????an?111lim?1，limnan?1，但?發(fā)散，而?2收斂.

n???n???ann?1n?1nn??（iv）根值判別法（柯西判別法）設(shè)?an是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，liman??，若??1，

n?1nn???級(jí)數(shù)收斂，若??1則級(jí)數(shù)發(fā)散．

（v）極限審斂法：設(shè)un?0，且limnpun?l，則①limnpun?l?0且p?1，則級(jí)

n??n??數(shù)?un發(fā)散；②假使p?1，而limnpun?l(0?l???),則其收

n?1n????斂．（書上P317-2-（1））

注：凡涉及證明的命題，一般不用比值法與根值法，一般會(huì)使用比較判別法．正

項(xiàng)級(jí)數(shù)的比（根）值判別法不能當(dāng)作收斂與發(fā)散的充要條件，是充分非必要條件．

2.交織級(jí)數(shù)及其審斂法

①定義：設(shè)un?0(n?1,2,)，則?(?1)n?1un稱為交織級(jí)數(shù).

n?1?②審斂法：萊布尼茲定理：對(duì)交織級(jí)數(shù)?(?1)n?1un，若un?un?1且limun?0，

n?1n???則?(?1)n?1un收斂.

n?1?注：比較un與un?1的大小的方法有三種：①比值法，即考察

un?1是否小于1；un②差值法，即考察un?un?1是否大于0；

③由un找出一個(gè)連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)f(x)，使un?f(n),(n?1,2,?)考察f?(x)是否小于0．3.一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法：①若?un絕對(duì)收斂，則?un收斂.

n?1n?1??②若用比值法或根值法判定?|un|發(fā)散，則?un必發(fā)散.

n?1n?1??三、冪級(jí)數(shù)

1.定義：?anxn稱為冪級(jí)數(shù).

n?0?2.收斂性

①阿貝爾定理：設(shè)冪級(jí)數(shù)?anxn在x0?0處收斂，則其在滿足x?x0的所

n?0??有x處絕對(duì)收斂．反之，若冪級(jí)數(shù)?anxn在x1處發(fā)散，則其在滿足x?x1n?0??的所有x處發(fā)散．②收斂半徑

（i）定義：若冪級(jí)數(shù)在x?x0點(diǎn)收斂，但不是在整個(gè)實(shí)軸上收斂，則必存在

一個(gè)正數(shù)R，使得①當(dāng)x?x0?R時(shí)，冪級(jí)數(shù)收斂；②當(dāng)

x?x0?R時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散；R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.

（ii）求法：設(shè)冪級(jí)數(shù)?anxn的收斂半徑為R，其系數(shù)滿足條件limn?0??n???an?1?l，an或limnn???1an?l，則當(dāng)0?l???時(shí)，R?；當(dāng)l?0時(shí)，R???，

l當(dāng)l???時(shí)，R?0．

注：求收斂半徑的方法卻有很大的差異．前一個(gè)可直接用公式，后一個(gè)則須分奇、偶項(xiàng)（有時(shí)會(huì)出現(xiàn)更繁雜的狀況）分別來(lái)求．在分成奇偶項(xiàng)之后，由于通項(xiàng)中出現(xiàn)缺項(xiàng)，由此仍不能用求半徑的公式直接求，須用求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的方法．

（iii）收斂半徑的類型A.R?0，此時(shí)收斂域僅為一點(diǎn)；B.R???，此時(shí)收斂域?yàn)???,??)；

C.R=某定常數(shù)，此時(shí)收斂域?yàn)橐粋€(gè)有限區(qū)間．3.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算（略）4.冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)

①若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R?0，則和函數(shù)S(x)??anxn在收斂區(qū)間(?R,R)內(nèi)連續(xù)．

n?0????②若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R?0，則和函數(shù)S(x)??anxn在收斂區(qū)間(?R,R)內(nèi)可導(dǎo)，

n?0且可逐項(xiàng)求導(dǎo)，即S?(x)?(?anx)???(anx)???nanxn?1，收斂半徑不變．

nnn?0n?0n?1??????③若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R?0，則和函數(shù)S(x)??anxn在收斂區(qū)間(?R,R)內(nèi)可積，

n?0??且可逐項(xiàng)積分，即?S(t)dt??(?ant)dt???antndt(x?(?R,R))，收斂半徑不

n00n?0n?00xx????x變．

5.函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)

①若f(x)在含有點(diǎn)x0的某個(gè)區(qū)間I內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，f(x)在x0點(diǎn)的n階泰勒公式

f??(x0)f(n)(x0)2(x?x0)???(x?x0)?為f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?2!n!f(n?1)(?)f(n?1)(?)(n?1)(x?x0)(x?x0)(n?1)，?介于x,x0之間，則f(x)在，記Rn(x)?(n?1)!(n?1)!I內(nèi)能展開成為泰勒級(jí)數(shù)的充要條件為limRn(x)?0,?x?I.

n???②初等函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)(x0?0)（i）e??xn?0??xn,x?(??,??)；n!??(?1)n?1x2n?1（ii）sinx??,x?(??,??)；

(2n?1)!n?1(?1)nx2n（iii）cosx?,x?(??,??)；

(2n)!n?0???(?1)nxn?1（iv）ln(1?x)??,x?(?1,1]；

n?1n?0???(??1)?(??n?1)n?（v）(1?x)?1??x,x?(?1,1),(??R)；

??n?1n!????11n（vi）?x,x?1；?(?1)nxn,x?1.

1?xn?01?xn?0??6.級(jí)數(shù)求和

①冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)解題程序

（i）求出給定級(jí)數(shù)的收斂域；

（ii）通過(guò)逐項(xiàng)積分或微分將給定的冪級(jí)數(shù)化為常見函數(shù)展開式的形式（或易看

出其假設(shè)和函數(shù)s(x)與其導(dǎo)數(shù)s?(x)的關(guān)系），從而得到新級(jí)數(shù)的和函數(shù)；注：系數(shù)為若干項(xiàng)代數(shù)和的冪級(jí)數(shù)，求和函數(shù)