備戰(zhàn)2012中考：矩形菱形正方形精華試題

-選擇題

1、（2011浙江杭州模擬14）下列命題中的真命題是（）.

A.對角線互相垂直的四邊形是菱形B.中心對稱圖形都是軸對稱圖形

C.兩條對角線相等的梯形是等腰梯形I）.等腰梯形是中心對稱圖形

答案：C

2、（2011浙江杭州模擬16）下列圖形中，周長不是32的圖形是（）

答案：B

3.（2011浙江省杭州市8模）如圖，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上,直線BE、DG交于H,

且HE?HB=4-2&,BD、AF交于M,當E在線段CD（不與C、D重合）上運動時，下

列四個結論：①BE1GI）；②AF、GD所夾的銳角為45°；③GD=JL4M：④若BE平

分/DBC,則正方形ABCD的面積為4。其中正確的結論個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

答案:D

4、（2011年黃岡中考調(diào)研六）矩形ABCO中，AB=1,AD=2,M是CO的中點，點P

在矩形的邊上沿A-87C7M運動，則的面積y與點尸經(jīng)過的路程x之間的

ABE

第5題圖

線段DF的中點，連結PG,PC。若NABC=NBEF=60°,則——=()

PC

后

B.V3

AC.后

一

2D.立

B3

6、（2011年浙江杭州八模）如圖，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，直線BE、DG交于H,

且HE?HB=4—20\BD、AF交于M,當E在線段C1）（不與C、

D重合）上運動時，下列四個結論：①BE±GD；②AF、GD所

夾的銳角為45°；③GD=JL4M；④若BE平分/DBC,則正

方形ABCD的面積為4。其中正確的結論個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個,D.4個

答案：D

B組

1.（2011浙江慈吉模擬）如圖，將一個正方體分割成甲、乙、丙三個長方體，且三個長

方體的長和寬均與正方體的棱長相等；若已知甲、乙、丙三個長方體的表面積之比為2：3：

4,則它們的體積之比等于（）

A.2：3：4B.2：5：7C.1：10：23D.1：6：11

答案：D第1題圖

2、（2011北京四中一模）下列命題中，真命題是（）

（A）有兩邊相等的平行四邊形是菱形（B）有一個角是直角的四邊形是矩形

（C）四個角相等的菱形是正方形（D）兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

3（2011深圳市中考模擬五）下列命題中，真命題是（）

A.兩條對角線相等的四邊形是矩形

B.兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

D.兩條對.角線互相平分的四邊形是平行四邊形

答案：D

4.（2011深圳市全真中考模擬一）如圖，順次連結圓內(nèi)接矩形各

邊的中點，得到菱形ABCD,若BD=10,DF=4,則菱形ABCD的邊

長為

z\

(A)4

\z

zx

?B)5

\z

zC\

t

\76.

D9.

z\

()

xz

（第4題）

答案：D

5.（安徽蕪湖2011模擬）如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45度后得到正

方形AB'C'。'，邊9C與DC交于點0,則四邊形的周R是（）

A.272B.3C.V2D.1+72

6.（浙江杭州金山學校2011模擬）（原創(chuàng)）如圖，把一個長方形的紙片對折兩次，然后剪下

一個角，為了得到一個銳角為60。的菱形，剪口與折痕所成的角a的度數(shù)應為（▲）

A.15。或30。B.30?；?5。C.45。或60。D.30°或60°

答案：D

7.（浙江杭州金山學校2011模擬）（引黃岡市2010年秋期末考試九年級數(shù)學模擬試題）

正方形A8C。、正方形8EFG和正方形HKPF的位置如圖所示，點G在線段OK

上，正方形8EFG的邊長為4,則的面積為（）

D、16

答案：D

sinA.——

8..（河南新鄉(xiāng)2011模擬）如圖，菱形ABCD的周長為40cm,05,48,垂足為七，5,

則下列結論正確的有（）

①。E=6cm②BE=2cm

③菱形面積為60cm2④80=4而cm

A.1個B.2個C.3個D.4個

答案：C

9.（浙江杭州進化2011—模）下列命題中的真命題是（）.

A.對角線互相垂直的四邊形是菱形B.中心對稱圖形都是軸對稱圖形

C.兩條對角線相等的梯形是等腰梯形D.等腰梯形是中心對稱圖形

答案:C

10、（2011年黃岡市流水縣）如圖所示，將邊長為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使點D落

在BC中點E處，點A落在F處，折痕為MN,則線段CN的長是…（）

A.2B.3C.4D.5

答案：B

11、（2011年北京四中33模）如圖，四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它變?yōu)榱庑危?/p>

要添加的條件是（）

A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=BD

答案C

12.（2011年杭州市上城區(qū)一模）如圖，順次連結圓內(nèi)接矩形各邊

的中點，得到菱形/版，若

BD=6,DF=\,則菱形的邊長為（）

A.472B,372C.5D.7

答案：D

13.（2011年杭州市上城區(qū)一模）已知下列命題：①若。＞0,1＞0,

則。+。＞0；②若則③角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等；④平

行四邊形的對角線互相平分；⑤直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.其中原命題與逆

命題均為真命題的是（）

A.①③④B.①②④C.③④⑤D.②③⑤

答案：C

14.（2011年杭州市模擬）如圖，矩形的長與寬分別為。和

b,在矩形中截取兩個大小相同的圓作為圓柱的上下

底面，剩余的矩形作為圓柱的側面，剛好能組合成一

個沒有空隙的圓柱，則。和｝要滿足的數(shù)量關系是

aa1B-=2

A.—第14題

b2萬+1b2萬+1

a1a2

c.一D.-=

b2乃+2b萬+1

答案:：D

15.（2011年海寧市鹽官片一模）如圖所示，正方形A8CO的面積4

為12,△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABC。內(nèi)，在對角

線AC上有一點P,使PO+PE的和最小，則這個最小值為

（）6

第15題圖）

A.273B.2瓜C.3D.76

答案：A

二填空題

1、（2011浙江杭州模擬16）同學們在拍照留念的時候最喜歡做一個“V”字型的動作。我們

將寬為2cm的長方形如圖進行翻折，便可得到一個漂亮的“V”。如果“V”所成的銳角為60°,

那么折痕的長是o

gcfa4-\/3

答案：——

3

2.（2011.河北廊坊安次區(qū)一模）如圖6,菱形ABCD的對角線相交于點O,

請你添加一個條件：，使得該菱形為正方形.

答案：定義或判定

3.（2011.河北廊坊安次區(qū)一模）如圖8,依次連結第一個矩形各邊的中點得到一個菱形，再

依次連結菱形各邊的中點得到第二個矩形，按照此方法繼續(xù)下去.已知第一個矩形的

面積為1,則第n個矩形的面積為..

第3題圖

小2*-2

答案：

4.（2011湖北省天門市一模）如圖4（1）,已知小正方形/質(zhì)的面積為1,把它的各邊延

長一倍得到新正方形484〃；把正方形45G4邊長按原法延長一倍得到正方形&KG〃（如

5.（浙江杭州金山學校2011模擬）（原創(chuàng)）如圖所示，正方形A8CO的面積為12,/XABE

是等邊三角形，點E在正方形ABC。內(nèi)，在對角線AC上有一點P,使PO+PE的和最

小一，則這個最小值為▲.

答案：273

答案：625

6.（2011浙江杭州模擬7）如圖,在矩形ABCD中,AD=6,AB=4,點E、G、H、F分別在

AB、BC、CD、AD±,且AF=CG=2,BE=DH=1,點P是直線EF、GH之間任意一點，連結

PE、PF、PG、PH,則aPEF和△PGH的面積和等于.

（第6題圖）

7.（2011年寧夏銀川）如圖，己知正方形ABCD的邊長為3,E為CD邊上一點,DE=1.以

點4為中心，把^ADE順時針旋轉(zhuǎn)90°,得^ABE',連接EE',則EE'的長等

于_______________

答案:275

8.（20H年青島二中）如圖，將兩張長為8,寬為2的矩形紙條交叉,

使重疊部分是一個菱形，容易知道當兩張紙條垂直時，菱形的周

長有最小值8,那么菱形周長的最大值是.

（第8題圖）

答案：17

9（2011年浙江仙居）如圖在△A8C中，點D、E、F分別在邊AB、8C、CA上，且。E〃C4,

DF//BA.下列四種說法：

①四邊形AEDF是平行四邊形；

②如果NA4c=90°,那么四邊形AEDE是矩形；

③如果AO平分NBAC,那么四邊形AEDF是菱形；

④如果ADJ.BC且AB=AC,那么四邊形AEO廠是菱形.

其中，正確的有.（只填寫序號）

答案：①②③④

10、（2011山西陽泉盂縣月考）如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AD、BC的中點，G、II

在DC邊上，且GH=，DC,AB=10,BC=12,則陰影部分的面積為

2

35?

11.（2011年江蘇鹽都中考模擬）如圖所示，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D,C分別

落在D',C的位置.若NEFB=65°,則NAED'等于°.

答案顯

12、（2011年北京四中中考模擬19）在正方形的截面中，最多可以截出邊形

答案幺

13、（2011年浙江杭州三模）如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點E是對角線BD上的一

點，且BE=BC,點P在EC上，PM_LBD于M,PN_LBC于N,則PM+PN-

14、（2011年浙江杭州七模）如圖，在矩形49切中，49=6,AB=4,點E、G、H、尸分別

EAB.BC、CD、”上，且力尸=夕=2,BE=DQ\,點、P是直線EF、陽之間任意一點，連

舌PE、PF、PG、PH,則△慟和的面積和等于

答案：7

B組

1.（2011安徽中考模擬）如圖，菱形/!及力的兩條對角線分別長6和8,點尸是對角線力。

上的一個動點，點M、"分別是邊16、玄的中點，則月附QV的最小值是

答案，：5

2.（20H湖北武漢調(diào)考模擬二）如圖，菱形ABCD中，AB=2,ZC=60°,第1題圖

菱形ABCD在直線1上向右作無滑動的翻滾，每繞著一個頂點旋轉(zhuǎn)60°叫

一次操作，則經(jīng)過36次這樣的操作菱形中心D所經(jīng)過的路徑總長為（結果保留乃）

答案：（88，+4）71

3、（北京四中2011中考模擬14）要使一個平行四邊形成為正方形,則需添加的條件為

（填上一個正確的結論即可）.

答案：對角線垂直且相等

4.（2011年杭州市模擬）菱形0ABe在平面直角坐標系中的位置如圖y

所示，ZAOC=45°,OC=2q，則點B的坐標為_________

答案：（272+2,2）

5.（2011年海寧市鹽官片一模）如圖，有一塊邊長為4的正方形

塑料摸板ABCD,將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點落

在A點，兩條直角邊分別與CO交于點尸，與C8延長線交于

（第5題）

點E.則四邊形AECF的面積是.

答案：16

6、（趙州二中九年七班模擬）若菱形48。0的對角線4。=24,BD=10,則菱形的周長

為?

答案：52

7、（趙州二中九年七班模擬）用含30。角的兩塊同樣大小的直角三角板拼圖形，下列五種圖

形：①平行四邊形，②菱形，③矩形，④直角梯形，⑤等邊三角形。其中可以被拼成的圖形

是（只填正確答案的序號）。

答案：①③⑤

三解答題

1、（2011浙江杭州模擬15）

如圖（1）矩形紙片ABCD,把它沿對角線折疊，會得到怎么樣的圖形呢?

（1）在圖（2）中用實線畫出折疊后得到的圖形（要求尺規(guī)作圖,保留作圖軌跡,只需畫出

其中一種情況）

（2）折疊后重合部分是什么圖形？試說明理由。

答案：

（1）圖略（4分）

（2）等腰三角形（1分）

ABOE是ABOC沿3。折疊而成

/.ABDE=\BDC

NFDB=ZCDB

???AOCB是矩形

(2分)

.-.ABODC

ZCDB=NABD

NFDB=ZABD

重疊部分，即AB。尸是等腰三角形

2、(2011浙江杭州模擬15)

如圖(1),AABC中，AD為BC邊上的的中線，則S1Mm=).(模擬改編)

實踐探究

(1)在圖⑵中，E、F分別為矩形ABCD的邊AD、BC的中點，則S陰影和S矩形ABC。之間滿

足的關系式/A.

B/l\Cz'

工，圖(1P圖⑵圖⑶BFC

&________________:圖⑷

(2)在圖⑶中，E、F分別為平行四邊形ABCD的邊AD、BC的中點，則s陰影和s平行四邊形ABCD

之間滿足的關系式為__________________;

(3)在圖(4)中，E、F分別為任意四邊形ABCD的邊AD、BC的中點,則S陰影和S四邊形ABCD

之間滿足的關系式為____________________;

解決問題：

(4)在圖(5)中，E、G、F、H分別為任意四邊形ABCD的邊AD、AB：、BC、CD的中點，并且

圖中陰影部分的面積為20平方米，求圖中四個小三角形的面積和，即Si+S2+S3+S產(chǎn)?

D

手

S：

答案:

（DS陰影二53矩形480。（2分）

（2）S陰影=5S平行四邊形A8co（2分）

（3）S陰影=5s四邊形ABC。（2分）

（4）由上得S四邊形BEDF=力$四邊形ABCD'S四邊形AKG=^S四邊形ABCD?

N乙

Sj+x+Sz+Sa+y+Si=—S；|四邊形ABCD?Si+m+S4+S2+n+S3=四邊形人腳，

(Si+x+Sz+Ss+y+S,i)

+(Si+m+S4+S2+n+S3)=S四邊形,皿?

(Si+x+Sz+Sa+y+Si)+(Si+m+S,i+Sz+n+Ss)=S?+x+S2+n+Ss+y+S.i+m+S陰

/.Si+Sz+Ss+S^SI?J=20.

（4分）

3.（10分）（2011武漢調(diào)考模擬）如圖，四邊形ABCD為正方形，ABEF為等腰直角三角形（N

BFE=90°,點B、E、F,按逆時針排列），點P為DE的中點，連PC,PF

（1）如圖①，點E在BC上，則線段PC、PF的數(shù)量關系為一，位置關系為（不

證明）.

（2）如圖②，將aBEF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)a（0<a<45°）,則線段PC,PF有何數(shù)量關系和位

置關系？請寫出你的結論，并證明.

（3）如圖③，4AEF為等腰直角三角形，且NAEF=90",Z\AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)過程

中，能使點F落在BC上，且AB平分EF,直接寫出AE的值是

24.W：(1)PC=PF,PCXPF.

⑵延長FP至G使PG=PF,連DC.GC、FC.DB,延長EF交BD于N.

由APDG絲APEF,，DG=EF=BF.

ZPEF=ZPDG,AEN//DG,AZBNE=ZBDG=450+ZCDG=900-ZNBF=900-(450-ZFBC)

AZFBC=ZGDC.,.△BFC絲△DGC,；.FC=CG,ZBCF=ZDCG.

AZFCG=ZBCD=900.，Z\FCG為等腰RtZ\,VPF=PG,PCIPF,PF=PC.

⑶必

22.（2011年寧夏銀川）（6分）如圖，在［JABCD中,BE平分NABC交AD于點E,DF

平分/AOC交于點尸.

求證：（1）AABE名CDF；

（2）若BD工EF,則判斷四邊形EBFO是什么特殊四邊形，請證明你的結論.

證明：(1)?.?四邊形ABC。是平行四邊，

NA=NC,AB=CD,ZABC=ZADC

BE平分ZABC,DF平分ZADC,

：.ZABE=ZCDF..

^ABE^ACDF(ASA)3分

(2)由AABE之△COR得AE=Cb....................................4分

在平行四邊形ABC。中，AD//BC,AD^BC

：.DE//BF,DE=BF

???四邊形EBFD是平行四邊形.................................5分

若BDJ.EF,則四邊形EBFD是菱形..........................6分

1.（2011年興華公學九下第一次月考）如圖，四邊形ABCD是矩形，NEDC=NCAB,/DEC=90°。

⑴求證:AC/7DE；

（2）過點B作BFLAC于點F,連結EF,試判別四邊形BCEF的形狀，并說明理由。

答案:證明：（1）???四邊形4a?是矩形,C.CD//AB：.ZDCA=ZCAB

又,：乙EDO乙CAB：./EDO4DCA

AC//DE.

-（3分）

（2）四邊形犯字是平行四邊形

證明：龐攔90°,BFLAC

.?.在Rt△〃笫與RtZ\〃T中

ZDEC=AAFB,AEDOAFAB,CD-AB

:.RtXDECa^/\AFC

：.CB^BF-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

一（6分）

又：然〃AC：.ADEC+ZJ6^180°

又,：NDEC=90°彥90°

:.NACE=/AFB

C.CE//BF

，四邊形犯空是平行四邊形.

2.（2011年北京四中中考全真模擬17）如圖，菱形公園內(nèi)有四個景點，請你用兩種不同的

方法，按下列要求設計成四個部分：⑴用直線分割；⑵每個部分內(nèi)各有一個景點；⑶各部分

的面積相等。（可用鉛筆畫，只要求畫圖正確，不寫畫法）

1.（2011年江蘇連云港）（13分）在正方形1靦中，點尸是切邊上一動點，連接為，分別

過點反D作BELPA、DFLPA,垂足分別為氏F,如圖①.

（D請?zhí)骄刻?、DF、跖這三條線段的長度具有怎樣的數(shù)量關系？若點P在加的延長線

上，如圖②，那么這三條線段的長度之間又具有怎樣的數(shù)量關系？若點尸在切的延

長線上呢，如圖③，請分別直接寫出結論；

（2）就（1）中的三個結論選擇一個加以證明.

P

圖①圖②圖③

解：(1)圖①的結論是：BE=EF+DF,……2分

圖②的結論是：DF=BE+EF,..........4分

圖③的結論是：EF=BE+DF,..........6分

(2)圖①的結論是：8后=防+。產(chǎn)的證明：

VZBAE+ZDAF=90°,ZBAE+ZABC=90°,

ZDAF=ZABE?....8分

在4DAF和4BAE中，

VZDAF=ZABE,ZDFA=ZAEB=90°,AD=BA

AADAF^AABE....10分

；.AF=BE,AE=DF

即BE=EF+DF.....13分

圖②與圖③的證明與圖①的證明方法類似，可參考圖①的證明評分。

23.(2011年江蘇鹽城)(本題滿分10分)如圖，矩形46繆的周長為20cm,兩條對角線相

交于點。，過點。作然的垂線防，分別交49、6c于點區(qū)F.連接".

(1)求△。應的周長；

(2)連接】/?；四邊形"助'是什么特殊的四邊形？

說明你的理由.F

AD

答案.(1)得到加上約…“1’,得到。=4￡?.....2',解得△碗1的

周長為10cm.......4'°

⑵四邊形/的是菱形....................5',說明理由___________________

RDprC

(略)......................8'

27.(2011年江蘇鹽城)(本題滿分12分)如圖(1)，點機"分別是正方形/靦的邊/反

49的中點，連接或DM.

(1)判斷或例/的關系，并說明理由；

(2)設CK〃獷的交點為〃，連接做如圖(2),求證：△&7/是等腰三角形；

(3)將△/〃"沿"/翻折得到DM,延長物'交加的延長線于點￡,如圖(3),求

tanNDEM.

圖⑴圖②圖⑶

27.解：⑴◎/=〃〃，CN1D油1證得△匐糜△〃憶?2

證得CN=DM.......................3'證得CN1DM-...............4'

(2)延長〃V、獷交于點A證得和=8C.....7'證得△比〃是等腰三角形.......8'

(3)設/34衣,解得〃6=5衣.............10'解得4E=3k................

11，

4

解得tan/應物=一...........................................................1,

3

(2011杭州模擬25)如圖，梯形ABCD中,AD〃BC,BC=2AD,F、G分別為邊BC、CD的中點,

連接AF,FG,過D作DE〃GF交AF于點E。

(1)證明△AEDgz^CGF

(2)若梯形ABCD為直角梯形，判斷四邊形DEFG是什么特殊四邊形？并證明你的結論。(原

創(chuàng))

（1）證明；：BC=2AD、點F為BC中點

；.CF=AD（1分）

：AD〃CF四邊形AFCD為平行四邊形

.\ZFAD=ZC（1分）

VDE//FGAZDEA=ZAFG

VAF/7CDZAFG=ZFGC（1分）

AZDEA=ZFGC（1分）

AAAED^ACGF（1分）

（2）連結DF

VDE=-AF\FG=-DC

22

DE=FGDE〃FG

四邊形DEFG為平行四邊形（3分）

XVZDFC=90°

點G為DC中點

AFG=DG(2分)

???平行四邊形DEFG為菱形

2、

1、(2011年浙江杭州七模如圖：把一張給定大小的矩形卡片ABCD放在寬度為10mm的橫格

紙中，恰好四個頂點都在橫格線上，已知Q=25°,求長方形卡片的周長。(精確到Inun,參

考數(shù)據(jù)：sin25°^0,cos25°^0.9,tan25°^0.5).

答案：解：作AF,"交心于E,交4于F

則4ABE和4AFD均為直角三角形.........1分

在RtZXABE中，ZABE=Za=25°

sinZABE=..................1分

AB

20

AB=——=50.........1.分

0.4

VZFAD=90°-ZBAE,Na=900-ZBAE

ZFAD=Za=25°

在RtZXAFD中，cosZFAD=—................1分

AD

AF

AD=-------^44.4.........................1分

cos25°

，長方形卡片ABCD的周長為(44.4+50)X2=190(mm).......1分

B組

1.(2011天一實驗學校二模)如圖，在正方形A5c。中，E、尸分別是邊A。、CD上的

點,AE=ED,DF=，DC,連結EF并延長交5c的延長線于點G「n

(1)求證：△ABEs△DEF:

(2)若正方形的邊長為4,求BG的長。/F、

答案：

⑴證明：在正方形ABCD中，ZA=ZD=90°,AB=AD=CD

BCG

又AE=DE,DF=-DC

4

.AE_1DF_1.AE_DF

"AB-2，DE_2，"^B-DE

AABE^ADEF

⑵BG=10（過程略）

2.（2011年三門峽實驗中學3月模擬）如圖，將正方形ABCD中的4ABD繞對稱中心0旋轉(zhuǎn)

至4GEF的位置，EF交AB于M,GF交BD于N.請猜想BM與FN有怎樣的數(shù)量關系？并證明

你的結論.

答案：BM=FN

證明：在正方形ABCD中，BD為對角線，0為對稱中心，

.,.B0=D0,ZBDA=ZDBA=45°.

「△GEF為aABD繞0點旋轉(zhuǎn)所得，.?.F0=D0,ZF=ZBDA

.".0B=0FZOBM=ZOFN

ZOBM=ZOFN

在ZXOMB和AONF中；OB=OF

ZBOM=ZFON

.,.△OBM^AOFN

，BM=FN

3.（2011北京四中二模）（本題滿分6分）如圖,有一塊三角形土地，它的底邊BC=100米,

高AH=80米，某單位要沿著地邊BC修一座底面是矩形DEFG的大樓，D、G分別在邊AB、

AC上.若大樓的寬是40米，求這個矩形的面積.

答案：2000米z

4.（2011浙江杭州育才初中模擬）（本小題滿分10分）如圖，梯形ABCD中，AD〃BC,BC=2AD,

F、G分別為邊BC、CD的中點，連接AF,FG,過D作DE〃GF交AF于點E。

（1）證明aAED絲ZXCGF

（2）若梯形ABCD為直角梯形，判斷四邊形DEFG是什么特殊

四邊形？并證明你的結論。（原創(chuàng)）D

答案：（1）證明；：BC=2AD、點F為BC中點

BC

；.CF=AD（1分）

?；AD〃CF，四邊形AFCD為平行四邊形

.\ZFAD=ZC（1分）

VDE/7FGZ.ZDEA=ZAFG

?；AF〃CD/.ZAFG=ZFGC（1分）

ZDEA=ZFGC（1分）

AAAED^ACGF（1分）

（2）連結DF

VDE=-AF>FG=-DC

22

DE=FGDE〃FG

四邊形DEFG為平行四邊形（3分）

又；NDFC=90°

點G為DC中點

；.FG=DG（2.分）

，平行四邊形DEFG為菱形（1分）

5.（2011廣東南塘二模）4ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點，當/B與

NC滿足怎樣的關系時，四邊形AEDF是菱形。并證明你的結論。

答案：NB=N（:時，四邊形AEDF為菱形。

證明：VZB=ZC,；.AB=AC,

VAD±BC,；.BD=DC,

■E、F分別為AB、AC中點,：.DF〃AB、DE〃AC、DE=DF,

???四邊形AEDF為菱形。

6.（2011廣東南塘二模）如圖，矩形OABC的長0A=g,AB=1,將AAOC沿AC翻折得△APC。

（1）填空：ZPCB=度，P點坐標為

（2）若P、A兩點在拋物線

4,

y=--JT+Z?X+C上，求拋物線的解析

3

式，并判斷點C是否在這拋物線上。

（3）在（2）中的拋物線CP段上（不含

C、P點）是否存在一點M,使得四邊形MCPA

的面積最大？若存在，求這個最大值和M

點坐標，若不存在，說明理由。

答案：（1）連0M、MC、AB,設MC交x軸于D?

：NA0B=90°,；.AB為（DM直徑，

；0A為0M的』，；./0MA=120°,N0MC=60°,

3

：0M=2,/.DM=1,0D=有，（6，1）,

VZBA0=ZM0A=30°,.,.0B=2,.\B（0,2）

（2）V0A=2?OD,:.A（2上,0）,C（石，-1）,

把0、A、C三點坐標代入y=as?+bx+c得：y—-x2-x,

33

(3)VZAOC=ZOAC=-Z0MC=30q,NBA0=/A0C=30°

2

...若存在，則P必為拋物線與直線AB或與直線OM的交點。求得直線AB為:

y=

3

y—x+2,由，

3125/3

y=-x---x

3

解得：Pi（—G3）,p2（2V3,3）

：PQ=0A=AP2=26，；.P1、Pz合題意。

7.(2011深圳市中考模擬五)如圖，在一塊如圖所示的三角形余料上裁剪下一個正方形,

如果為直角三角形，且NACB=90°,AC=4,BC=3,正方形的四個頂點D、E、F、

G分別在三角形的三條邊上.

求正方形的邊長.

答案：解：作CHLAB于H,

四邊形DEFG為正方形，，CM_LGF

由勾股定理可得AB=5

12

根據(jù)三角形的面積不變性可求得CH=—.............2分

5

設GD=x

VGF〃AB

ZCGF=ZA,ZCFG=ZB

/.△ABC^AGFC

12

-------X

.CMGF即至k=±.............6分

125

5

整理得：12-5x=—x

5

答：正方形的邊長為一10分

37

8.(2011深圳市中考模擬五)已知：如圖所示的一張矩形紙片ABC。(AD>AB),將

紙片折疊一次，使點A與C重合，再展開，折痕所交AO邊于E,交BC邊于F,分別

連結AF和CE.

(1)求證：四邊形AFCE是菱形；

(2)若AE=10cm,△AB/的面積為24cm2,求△AB尸的周長；

(3)在線段AC上是否存在一點P,使得2AE2=AC?AP?

若存在，請說明點P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由.

答案：(1)證明：由題意可知0A=0C,EF±A0

VAD/7BC

/./AE0=/CFO,ZEA0=ZFCO

AAOE^ACOF

VAE=CE,又AE〃CF

...四邊形AECF是平行四邊形VAC±EF，四邊形AEFC是菱形

(2):四邊形AECF是菱形/.AF=AE=10............................4分

設AB=a,BF=b,「△ABF的面積為24

a2+b2=100,ab=48

(a+b)2=196a+b=14或a+b=—14(不合題意，舍去)

△ABF的周長為a+b+10=24...........................8分

(3)存在，過點E作AD的垂線，交AC于點P,點P就是符合條件的點

證明：?；NAEP=NA0E=90°,NEAO=NEAP

ArAn

AAOE^'AAEP——=——AE2=A0?AP

APAE

,四邊形AECF是菱形，.?/（）=■!■AC

2

AAE2=-1AC?AP

2

A2AE2=AC?AP..............12分

9.(2011深圳市全真中考模擬一)如圖1,已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點0,

E是AC上一點，連結EB,過點A作AM_LBE,垂足為M,AM交BD于點F.

(1)求證：0E=0F；

(2)如圖2,若點E在AC的延長線上，AM_1.BE于點M,交DB的延長線于點F,其它條

件不變，則結論"0E=0F”還成立嗎?如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由.

答案：（1）證明：?.?四邊形ABCD是正方形.

ZBOE=ZAOF=900.0B=0A............（1分）

又VAM1BE,，NMEA+NMAE=90°=NAF0+ZMAE

.?.ZMEA=ZAF0............（2分）

ARtABOE^RtAAOF............（3分）

.*.OE=OF............（4分）

（2）0E=0F成立............（5分）

證明：?四邊形ABCD是正方形，

AZB0E=ZA0F=90o.OB=OA............（6分）

又,NF+NMBF=90°=NB+N0BE

又?.?/MBF=NOBE

二NF=NE............（7分）

ARtABOE^RtAAOF............（8分）

A0E=0F............（9分）

10.(浙江杭州金山學校2011模擬)(10分)(根據(jù)2010年中考數(shù)學考前知識點回歸+鞏固

專題13二次函數(shù)題目改編)

如圖，以矩形OABC的頂點0為原點，0A所在的直線為x軸，0C所在的直線為y

軸，建立平面直角坐標系.已知0A=3,0C=2,點E是AB的中點，在0A上取一點D,

將aBDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處.

(1)直接寫出點E、F的坐標；

(2)設頂點為F的拋物線交y軸無半軸于點P,且以點E、F、P為頂點的三

角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式;

(3)在x軸、y軸上是否分別存在點M、N,使得四邊形MNFE的周長最??？如果存在，

求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由.

答案：解：(1)￡(3,1)；F(l,2).............................2分

(2)在RtZ\E3/中，ZB=90°,

EF=>JEB2+BF2=Vl2+22=V5.

設點P的坐標為(0,〃)，其中〃>0,

?.?頂點風1,2),

???設拋物線解析式為y=a(x—Ip+2(。H0).

(第3題圖①)(第3題圖②)(第2題圖③)

①如圖①，當EF=PF時，EF2=PF2,

12+(?-2)2=5.

解得〃1=0(舍去)；期=4.

/.尸(0,4).

.,.4=a(0-l)2+2.

解得a=2.

拋物線的解析式為y=2(x-lf+2...................................2

分

②如圖②，當時，EP2=FP-,

.-.(2-?)2+l=(l-n)2+9.

解得〃=—9(舍去)........2分

2

③當EF=EP時，EP=y[5<3,這種情況不存在...........................1分

綜上所述，符合條件的拋物線解析式是y=2(x-1)z+2.

(3)存在點M,N,使得四邊形MNFE的周長最小.

如圖③，作點E關于x軸的對稱點E'，作點/關于y軸的對稱點尸'，連接ER',分別與

x軸、y軸交于點M,N,則點M,N就是所求點.............................1分

.?.￡(3,-1),尸'(一1,2),NF=NF',ME=MEr.

.?.獷=4,BE'=3.

FN+NM+ME=FrN+NM