本文格式為Word版，下載可任意編輯——物理誤差說(shuō)明

1測(cè)量誤差與試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

1.1測(cè)量與測(cè)量誤差1.1.1測(cè)量

用試驗(yàn)的方法找出物理量量值的過(guò)程叫測(cè)量。量值是指用數(shù)和適合的單位表示的量，例如：1.5m，17.5℃，3.5kg等。從測(cè)量方法出發(fā)來(lái)分類，可將測(cè)量分為直接測(cè)量和間接測(cè)量。直接測(cè)量凡使用量?jī)x或量具直接測(cè)得（讀出）被測(cè)量數(shù)值的測(cè)量，叫做直接測(cè)量，如用米尺測(cè)量長(zhǎng)度，用溫度計(jì)測(cè)量溫度，用秒表測(cè)量時(shí)間以及用電表測(cè)量電流和電壓等。

間接測(cè)量好多物理量沒(méi)有直接測(cè)量的儀器，往往需要根據(jù)一些物理原理、公式，由直接測(cè)量量計(jì)算出所要求的物理量，這種用間接的方法得到被測(cè)量數(shù)值的測(cè)量，稱為間接測(cè)量。如測(cè)量鋼球的密度時(shí)，由直接測(cè)量測(cè)出鋼球的直徑D和質(zhì)量M，然后根據(jù)公式??M?6

3D計(jì)算出密度ρ。鋼球密度的測(cè)量即為間接測(cè)量。

等精度測(cè)量和不等精度測(cè)量用同一個(gè)儀器在一致條件下對(duì)某一個(gè)物理量進(jìn)行屢屢重復(fù)測(cè)量時(shí)，我們沒(méi)有理由認(rèn)為某一次測(cè)量比其它次測(cè)量更為確切，因此可以說(shuō)這些測(cè)量是具有一致精度的，稱為等精度測(cè)量，反之，就是不等精度測(cè)量。我們?cè)谠囼?yàn)中進(jìn)行屢屢重復(fù)測(cè)量時(shí)應(yīng)盡量保持精度相等。1.1.2測(cè)量誤差

測(cè)量結(jié)果都具有誤差，誤差自始至終存在于一切科學(xué)試驗(yàn)和測(cè)量的過(guò)程之中。任何測(cè)量?jī)x器、測(cè)量方法、測(cè)量環(huán)境、測(cè)量者的觀測(cè)力等都不可能做到絕對(duì)嚴(yán)密，這些就使測(cè)量不可避免地伴隨有誤差產(chǎn)生。因此，分析測(cè)量中可能產(chǎn)生的各種誤差，盡可能地消除其影響，并對(duì)測(cè)量結(jié)果中未能消除的誤差做出估計(jì)，就是物理試驗(yàn)和大量科學(xué)試驗(yàn)中必不可少的工作。

我們首先來(lái)了解一下誤差的概念。測(cè)量誤差就是測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量的真值（或約定真值）的差值。測(cè)量誤差的大小反映了測(cè)量結(jié)果的確鑿性，測(cè)量誤差可以用絕對(duì)誤差表示，也可以用相對(duì)誤差表示。

絕對(duì)誤差?測(cè)量結(jié)果-被測(cè)量的真值(1-2)

測(cè)量的絕對(duì)誤差（用百分?jǐn)?shù)表示）(1-3)

被測(cè)量的真值被測(cè)量的真值是一個(gè)理想概念，一般說(shuō)來(lái)真值是不知道的。在實(shí)際測(cè)量中常用被測(cè)量的實(shí)際值或修正過(guò)的算術(shù)平均值來(lái)代替真值，稱為約定真值。由于真值一般來(lái)說(shuō)是不知道的，因此一般狀況下是不能計(jì)算誤差的，只有在少數(shù)狀況下可以用足夠確鑿的實(shí)際值作為量的約定真值，這時(shí)才能計(jì)算誤差。

在測(cè)量工作中，人們當(dāng)然希望所進(jìn)行的測(cè)量是確切的，但這并不意味著測(cè)量結(jié)果越確切越好。由于高確切度的測(cè)量結(jié)果必然要對(duì)測(cè)量?jī)x器和測(cè)量環(huán)境條件等提出相應(yīng)的高要求，這從經(jīng)濟(jì)上考慮是不利的。因此，不能對(duì)任何一項(xiàng)測(cè)量都要求高確切度，而是應(yīng)當(dāng)根據(jù)被測(cè)量的精度要求，在最經(jīng)濟(jì)的條件下，選擇最適合的測(cè)量方法、測(cè)量?jī)x器和測(cè)量環(huán)境條件，盡可能消除和減小誤差，選擇最適合的數(shù)據(jù)處理方法，得出在該條件下被測(cè)量的最可信賴

相對(duì)誤差?

1

值，以及對(duì)它的確切度做出正確的估計(jì)。1.2誤差的分類

測(cè)量中的誤差主要分為兩類：系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。兩類誤差的性質(zhì)不同，處理方法也不同。1.2.1系統(tǒng)誤差

系統(tǒng)誤差是在每次測(cè)量中都具有一定大小，一定符號(hào)，或按一定規(guī)律變化的測(cè)量誤差分量。它來(lái)源于：儀器構(gòu)造上的不完善，儀器未經(jīng)很好校準(zhǔn)，測(cè)量時(shí)外部條件的改變，以及測(cè)量者的固有習(xí)慣和測(cè)量所依據(jù)的理論的近似、測(cè)量方法和測(cè)量技術(shù)的不完善等等。系統(tǒng)誤差的減少和消除是個(gè)繁雜的問(wèn)題，只有在很好地分析了整個(gè)試驗(yàn)所依據(jù)的原理、方法以及測(cè)量過(guò)程的每一步和所用的各件儀器，從而找出產(chǎn)生誤差的各個(gè)原因，才有可能設(shè)法在測(cè)量結(jié)果中消除或減少它的影響。盡管如此，在某些可能的狀況下也存在一些消除系統(tǒng)誤差（固定的和變化的）的方法。

（1）對(duì)測(cè)量結(jié)果引入修正值

這尋常包括兩方面內(nèi)容，一是對(duì)儀器或儀表引入修正值，這可通過(guò)與確鑿度級(jí)別高的儀器或儀表作比較而獲得；二是根據(jù)理論分析，導(dǎo)出補(bǔ)正公式，例如，縝密稱衡的空氣浮力補(bǔ)正，量熱學(xué)試驗(yàn)中的熱量補(bǔ)正等。

（2）選擇適當(dāng)?shù)臏y(cè)量方法，使系統(tǒng)誤差能夠被抵消，從而不將其帶入測(cè)量結(jié)果之中。常用的方法有：

1）對(duì)換法就是將測(cè)量中的某些條件（例如：被測(cè)物的位置）相互交換，使產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因?qū)y(cè)量的結(jié)果起相反的作用，從而抵消系統(tǒng)誤差。如用滑線電橋測(cè)量電阻時(shí)把被測(cè)電阻與標(biāo)準(zhǔn)電阻交換位置進(jìn)行測(cè)量，以及天平使用中的復(fù)秤法等。

2）補(bǔ)償法如量熱試驗(yàn)中采用加冰降溫的方法使系統(tǒng)的初溫低于室溫以補(bǔ)償升溫時(shí)的散熱損失，又如用電阻應(yīng)變片測(cè)量磁致伸縮時(shí)的熱補(bǔ)償?shù)取?/p>

3）替代法即在一定的條件下，用某一已知量替換被測(cè)量以達(dá)到消除系統(tǒng)誤差的目的。例如，用電橋確切測(cè)量電阻時(shí)，為了消除儀器誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，就可以采用替代法，不過(guò)這里要求“指零〞儀器應(yīng)有較高的靈敏度。

4）半周期偶數(shù)測(cè)量法按正弦曲線變化的周期性系統(tǒng)誤差（如測(cè)角儀的偏心差）可用半周期偶數(shù)測(cè)量法予以消除。這種誤差在0°，180°，360°處為零，而在任何差半個(gè)周期的兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)處誤差的絕對(duì)值相等而符號(hào)相反，因此，若每次都在相差半個(gè)周期處測(cè)兩個(gè)值，并以平均值作為測(cè)量結(jié)果就可以消除這種系統(tǒng)誤差，在測(cè)角儀器（如分光儀，量糖計(jì)等）上廣泛使用此種方法。1.2.2隨機(jī)誤差

一般狀況下，在一致條件下，對(duì)同一物理量進(jìn)行屢屢重復(fù)測(cè)量時(shí)，在全力消除或改正一切明顯的系統(tǒng)誤差之后，每次測(cè)量結(jié)果仍會(huì)出現(xiàn)一些無(wú)規(guī)律的隨機(jī)性變化（實(shí)際上系統(tǒng)誤差未消除時(shí)，這種隨機(jī)性變化也同樣會(huì)表現(xiàn)出來(lái)）。假使測(cè)量的靈敏度或分辯能力足夠高，就可以觀測(cè)到這種變化，我們將這種隨機(jī)性變化歸結(jié)于隨機(jī)誤差的存在。和系統(tǒng)誤差不同的是，隨機(jī)誤差的出現(xiàn)，從表面上看是毫無(wú)規(guī)律的，似乎是偶然的，但假使測(cè)量次數(shù)好多，結(jié)果中就顯現(xiàn)出明顯的規(guī)律。例如，誤差值一定的數(shù)值出現(xiàn)的幾率是一致的，絕對(duì)值小的誤差較絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的幾率大，其算術(shù)平均值隨著測(cè)量次數(shù)的增加而越來(lái)越趨近于

2

零等。

綜上所述，隨機(jī)誤差是在對(duì)同一被測(cè)量在重復(fù)性條件下進(jìn)行屢屢測(cè)量的過(guò)程中，絕對(duì)值與符號(hào)以不可預(yù)知的方式變化著的測(cè)量誤差的分量。這里，重復(fù)性條件包括：一致的測(cè)量程序；一致的觀測(cè)者；在一致的條件下使用一致的測(cè)量?jī)x器；一致地點(diǎn)；在短時(shí)間內(nèi)重復(fù)測(cè)量等。這種誤差是由試驗(yàn)中各處因素的微小變動(dòng)性引起的。例如試驗(yàn)裝置和測(cè)量機(jī)構(gòu)在各次測(cè)量調(diào)整操作上的變動(dòng)性，測(cè)量?jī)x器指示數(shù)值上的變動(dòng)性，以及觀測(cè)者本人在判斷和估計(jì)讀數(shù)上的變動(dòng)性等等。這些因素的共同影響就使測(cè)量值圍圍著測(cè)量的平均值發(fā)生漲落變化，這種變化量就是各次測(cè)量的隨機(jī)誤差。

隨機(jī)誤差的出現(xiàn)，就某一次測(cè)量值來(lái)說(shuō)是沒(méi)有規(guī)律的，其大小和方向都是不可預(yù)知的，但對(duì)于一個(gè)量進(jìn)行足夠?qū)覍业臏y(cè)量時(shí)，則會(huì)發(fā)現(xiàn)隨機(jī)誤差是按一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律分布的。常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)分布有正態(tài)分布、ｔ分布、平均分布等。

隨機(jī)誤差的分布特性與處理：

（1）在屢屢測(cè)量時(shí)，正負(fù)隨機(jī)誤差大致可以抵消，因而用屢屢測(cè)量的算術(shù)平均值表示測(cè)量結(jié)果可以減小隨機(jī)誤差的影響；

（2）測(cè)量值的分散程度直接表達(dá)隨機(jī)誤差的大小，測(cè)量值越分散，測(cè)量的隨機(jī)誤差就越大。因此，必需對(duì)測(cè)量的隨機(jī)誤差做出估計(jì)才能表示出測(cè)量的縝密度。1.2.3粗差

粗差是由試驗(yàn)當(dāng)中的過(guò)錯(cuò)造成的，例如：讀錯(cuò)數(shù)，記錯(cuò)數(shù)或不正確的操作儀器等。為防止粗差出現(xiàn)，試驗(yàn)時(shí)要注意理論上的約束條件，明確觀測(cè)對(duì)象，安排儀器時(shí)要防止相互干擾，并注意作好數(shù)據(jù)表格和記錄好原始數(shù)據(jù)。含有粗差的測(cè)量值稱為壞值或異常值，在試驗(yàn)測(cè)量過(guò)程中或數(shù)據(jù)處理時(shí)應(yīng)盡量剔除，剔除的依據(jù)參閱1.3.1節(jié)中的簡(jiǎn)單介紹。1.2.4隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差的關(guān)系

系統(tǒng)誤差的特征是其確定性，而隨機(jī)誤差的特性則是其隨機(jī)性，二者經(jīng)常是同時(shí)存在于一切科學(xué)試驗(yàn)中的，它們之間也是相互聯(lián)系的，有時(shí)難于嚴(yán)格區(qū)分，我們經(jīng)常把一些不可定的系統(tǒng)誤差看作是隨機(jī)誤差，也往往把一些可定的但規(guī)律過(guò)于繁雜的系統(tǒng)誤差當(dāng)作隨機(jī)誤差來(lái)處理，即使系統(tǒng)誤差隨機(jī)化，從而使得部分誤差被抵償以得到較為確鑿的結(jié)果。有時(shí)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的區(qū)分還與空間和時(shí)間因素有關(guān)。時(shí)間因素有兩方面的涵義，一是指時(shí)間的長(zhǎng)短，例如校驗(yàn)儀表所用的標(biāo)準(zhǔn)，它的溫度在校驗(yàn)儀表所需的短時(shí)間內(nèi)可保持恒定或緩慢變化，但在長(zhǎng)時(shí)間中（例如一個(gè)月）它卻是在其平均值附近作不規(guī)則的變化，因而環(huán)境溫度對(duì)標(biāo)準(zhǔn)儀表的影響在短時(shí)間內(nèi)可看成是系統(tǒng)誤差，而在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)則為隨機(jī)誤差。另一方面涵義是指，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們對(duì)誤差來(lái)源及其變化規(guī)律認(rèn)識(shí)加深，就有可能把過(guò)去認(rèn)識(shí)不到而歸于隨機(jī)誤差的某些誤差確定為系統(tǒng)誤差。相反，由于沒(méi)有認(rèn)識(shí)到，也會(huì)把系統(tǒng)誤差當(dāng)作隨機(jī)誤差，并在數(shù)據(jù)上進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析處理。

測(cè)量中，常用縝密度來(lái)描述重復(fù)測(cè)量結(jié)果之間的離散程度，假使一個(gè)物理量在等精度測(cè)量時(shí)所得到的測(cè)量數(shù)據(jù)離散程度小，彼此接近，即隨機(jī)誤差小，則稱這種測(cè)量結(jié)果的縝密度高；常用測(cè)量的確鑿度來(lái)描述測(cè)量數(shù)據(jù)的平均值和真值偏離的程度，它是系統(tǒng)誤差的反映，假使測(cè)量的系統(tǒng)誤差小，則稱這種測(cè)量確鑿度高；測(cè)量的確切度是指測(cè)量數(shù)據(jù)集中于真值附近的程度，假使測(cè)量的平均值接近真值，且各次測(cè)量數(shù)據(jù)又比較集中，即測(cè)量的

3

系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都比較小，則稱其確切度高，說(shuō)明這種測(cè)量既確鑿又縝密。１.３隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)處理1.3.1正態(tài)分布

正態(tài)分布(又稱高斯分布)是誤差理論中最重要的一種分布。從概率論的“中心極限定理〞可知，一個(gè)隨機(jī)變量假使是大量相互獨(dú)立的、微小因素影響的總效果，這個(gè)隨機(jī)變量就近似地聽(tīng)從正態(tài)分布。物理測(cè)量中的隨機(jī)誤差，往往是觀測(cè)者不能控制的大量偶然因素作用的結(jié)果，所以大多數(shù)物理測(cè)量聽(tīng)從正態(tài)分布。

圖1-1為正態(tài)分布曲線。正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為

f(x)?12??xexp[?(x??)222?x](???x???)（1-4）

??lim?xin??n（1-5）

?x?limn??2??xi???（1-6）

n其中?和?x為分布參數(shù)，n為測(cè)量次數(shù)。?為正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望，表示x出現(xiàn)幾率最大的值，消除系統(tǒng)誤差后，?尋常就是x的真值。?x為正態(tài)分布的均方根差，它決定了分布線型的寬窄。?x直接反映了分布的離散程度，?x愈小，分布曲線愈陡，數(shù)據(jù)愈集中，重復(fù)性愈好。?x大，則正好相反。實(shí)際測(cè)量的任務(wù)就是通過(guò)測(cè)量數(shù)據(jù)求得μ和?x的值。

圖1-1正態(tài)分布曲線。

x2P??xf(x)dx是隨機(jī)變量x出現(xiàn)在[x1,x2]區(qū)間的概率，稱為置信概率。與置信概率對(duì)應(yīng)的區(qū)1間稱為置信區(qū)間。顯然，置信區(qū)間擴(kuò)大，置信概率將提高。對(duì)于正態(tài)分布，以下三個(gè)置信區(qū)間及其相應(yīng)的置信概率在試驗(yàn)誤差與數(shù)據(jù)處理中具有重要意義：

4

[???x,???x][??2?x,??2?x][??3?x,??3?x]P?0.6826P?0.9545(1-7)P?0.9974以上數(shù)據(jù)的涵義是，對(duì)聽(tīng)從正態(tài)分布的物理量進(jìn)行測(cè)量時(shí)，測(cè)量值將有68.26%的概率落在[???x,???x]區(qū)間，95.45%的概率落在[??2?x,??2?x]區(qū)間，而當(dāng)置