第三章晶格動(dòng)力學(xué)和晶體的熱學(xué)性質(zhì)第1頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第一節(jié)一維單原子鏈振動(dòng)3.2.1運(yùn)動(dòng)方程及其解3.2.2格波特性本節(jié)主要內(nèi)容:第2頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一運(yùn)動(dòng)方程

考慮N個(gè)質(zhì)量為m的同種原子組成的一維單原子鏈。設(shè)平衡時(shí)相鄰原子間距為a（即原胞大?。趖時(shí)刻第n個(gè)原子偏離其平衡位置的位移為n

。第3頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一為了建立起運(yùn)動(dòng)方程，我們首先要對(duì)原子之間的相互作用力做些討論，設(shè)在平衡時(shí)，兩原子的相互作用勢(shì)為V(a)，產(chǎn)生相對(duì)位移（例如）后勢(shì)能發(fā)生變化是V(a+δ)，將它在平衡位置附近做泰勒展開：首項(xiàng)是常數(shù)，可取為能量零點(diǎn)，由于平衡時(shí)勢(shì)能取極小值，第二項(xiàng)為零，簡(jiǎn)諧近似下，我們只取到第三項(xiàng)，即勢(shì)能展開式中的二階項(xiàng)（δ2項(xiàng)），而忽略三階及三階以上的項(xiàng)。第4頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一顯然，這只適用于微振動(dòng)，即δ值很小的情況。此時(shí)，恢復(fù)力：β稱為恢復(fù)力常數(shù)相當(dāng)于把相鄰原子間的相互作用力看作是正比于相對(duì)位移的彈性恢復(fù)力。振動(dòng)很微弱時(shí)，勢(shì)能展開式中忽略掉（r）二次方以上的高次項(xiàng)，只保留到(r)2項(xiàng)---簡(jiǎn)諧近似。(忽略掉作用力中非線性項(xiàng)的近似---簡(jiǎn)諧近似。)第5頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一如只考慮最近鄰原子間的相互作用，第n個(gè)原子受到的力：于是第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程可寫為：

一維原子鏈上的每個(gè)原子，忽略邊界原子的區(qū)別，應(yīng)有同樣的方程，所以它是和原子數(shù)目相同的N個(gè)聯(lián)立的線性齊次方程。第6頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一方程的解：這樣的線性齊次方程應(yīng)有一個(gè)波形式的解：A是振幅，ω是角頻率，q是波數(shù)，λ是波長(zhǎng)，naq是第n個(gè)原子的位相因子，將試解代入方程求解。解得——色散關(guān)系Dispersioncurves（利用歐拉公式）第7頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一這個(gè)結(jié)果與n無(wú)關(guān)，說(shuō)明N個(gè)方程都有同樣結(jié)果，即所有原子都同時(shí)以相同的頻率ω和相同的振幅A在振動(dòng)，但不同的原子間有一個(gè)相差，相鄰原子間的相差是。該結(jié)果還表示：只要ω和q滿足上述關(guān)系，試解就是聯(lián)立方程的解。通常把ω和q的關(guān)系稱作色散關(guān)系。解的物理意義：格波原子振動(dòng)以波的方式在晶體中傳播。當(dāng)兩原子相距的整數(shù)倍時(shí)，兩原子具有相同的振幅和位相。第8頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一都是整數(shù)）。如：有：該解表明：晶體中所有原子共同參與的振動(dòng)，以波的形式在整個(gè)晶體中傳播，稱為格波。從形式上看，格波與連續(xù)介質(zhì)彈性波完全類似，但連續(xù)介質(zhì)彈性波中的x

是可以連續(xù)取值的；而在格波中只能取na格點(diǎn)位置這樣的孤立值。第9頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第一布里淵區(qū)里的色散關(guān)系：★分離原子集體振動(dòng)形成的格波與連續(xù)介質(zhì)中的彈性波相比，色散關(guān)系發(fā)生了變化，偏離了線性關(guān)系，而且具有周期性和反射對(duì)稱性。

★從解的表達(dá)式中可以看出：把a(bǔ)q改變2π的整數(shù)倍后，所有原子的振動(dòng)實(shí)際上沒(méi)有任何區(qū)別，因此有物理意義的q取值范圍可以限制在第一布里淵區(qū)內(nèi)。在波矢空間第10頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一這種性質(zhì)稱作格波的簡(jiǎn)約性。一維單原子鏈的倒格矢：這就避免了某一頻率的格波有很多波長(zhǎng)與之對(duì)應(yīng)的問(wèn)題。第11頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

由圖明顯看出兩個(gè)不同波長(zhǎng)的格波只表示晶體原子的一種振動(dòng)狀態(tài)，q只需要在第一布里淵區(qū)內(nèi)取值即可，這是與連續(xù)介質(zhì)彈性波的重大區(qū)別。

由白線所代表的波不能給出比黑虛線更多的信息，為了表示這個(gè)運(yùn)動(dòng)，只需要大于2a的波長(zhǎng)。第12頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一周期性邊界條件（Born－Karman邊界條件）

上面求解假定原子鏈無(wú)限長(zhǎng)，這是不現(xiàn)實(shí)的，確定何種邊界條件才既能使運(yùn)動(dòng)方程可解，又能使結(jié)果符合實(shí)際晶體的測(cè)量結(jié)果呢？Born－Karman最早利用周期性邊界條件解決了此問(wèn)題，成為固體理論的一個(gè)典范。所謂周期性邊界條件就是將一有限長(zhǎng)度的晶體鏈看成無(wú)限長(zhǎng)晶體鏈的一個(gè)重復(fù)單元，即：n=任意整數(shù)，但考慮到q值的取值范圍，n取值數(shù)目是有限的：只有布里淵區(qū)內(nèi)的N個(gè)整數(shù)值。第13頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一周期性邊界條件并沒(méi)有改變方程解的形式，只是對(duì)解提出一定的條件，q只可取N個(gè)不同的值，每個(gè)q對(duì)應(yīng)著一個(gè)格波。

引入周期性邊界條件后，波數(shù)q不能任意取值，只能取分立的值。在q軸上，相鄰兩個(gè)q的取值相距，即在q軸上，每一個(gè)q的取值所占的空間為：第14頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一L＝Na為晶體鏈的長(zhǎng)度。第一布里淵區(qū)中波數(shù)q的取值總數(shù)等于晶體鏈的原胞個(gè)數(shù)，即：晶格振動(dòng)格波的總數(shù)=N·1=晶體鏈的總自由度數(shù)。至此，我們可以有把握的說(shuō)找到了原子鏈的全部振動(dòng)模。所以，q值的分布密度（單位長(zhǎng)度上的模式數(shù)目）：第15頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一維原子鏈第一布里淵區(qū)內(nèi)的色散關(guān)系：在長(zhǎng)波長(zhǎng)極限區(qū)，即時(shí)，格波就是彈性波。和彈性波的結(jié)果一致。第16頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一隨著q的增長(zhǎng)，ω?cái)?shù)值逐漸偏離線性關(guān)系，變得平緩，在布里淵區(qū)邊界，格波頻率達(dá)到極大值。相速和群速：相速度是單色波單位時(shí)間內(nèi)一定的振動(dòng)位相所傳播的距離。群速度是平均頻率為ω，平均波矢為q的波包的傳播速度，它是合成波能量和動(dòng)量的傳播速度。在的長(zhǎng)波極限下：即聲速。第17頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一在布里淵區(qū)邊界處：群速度為零，這是因?yàn)榇藭r(shí)近鄰原子散射的子波與入射波位相相差π，由B原子反射的子波到達(dá)近鄰A原子處時(shí)恰好和A原子反射的子波同位相，對(duì)所有原子的散射波都滿足上述條件，所以當(dāng)時(shí)，散射子波之間發(fā)生相長(zhǎng)干涉，結(jié)果反射達(dá)到最大值，并與入射波相結(jié)合，形成駐波，群速度為零。這和X射線衍射的Bragg條件是一致的，也同樣顯示了布里淵區(qū)邊界的特征。它們都是由于入射波的波動(dòng)性和晶格的周期性所產(chǎn)生的結(jié)果。第18頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一入射波反射波

所以一維單原子就像一個(gè)低通濾波器，它只能傳播的彈性波，高于頻率的彈性波被強(qiáng)烈衰減。第19頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一該圖表明了波矢的等價(jià)性，是以移動(dòng)一個(gè)倒格矢量為準(zhǔn)。第20頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

上面求解可以推廣到平面點(diǎn)陣，但有縱波和橫波之分，它們的原子位移狀況是不同的，橫波情形可用同樣方法求解，也將得到類似結(jié)果。第21頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例.求由5個(gè)原子組成的一維單原子晶格的振動(dòng)頻率。設(shè)原子質(zhì)量為m，恢復(fù)力常數(shù)為

(只考慮近鄰原子間的相互作用)。第22頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一由玻恩---卡門周期性邊界條件:解:設(shè)最近鄰原子間的恢復(fù)力系數(shù)為，則:將試探解代入振動(dòng)方程得色散關(guān)系:S為整數(shù)第23頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第24頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一由色散關(guān)系式可畫圖如下:2.色散關(guān)系是波矢q的周期性函數(shù),且

(-q)=(q)。0m第25頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一且第26頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一故取簡(jiǎn)約布里淵區(qū)且3.玻恩---卡門周期性邊界條件及波矢q的取值

(1)玻恩---卡門周期性邊界條件設(shè)在實(shí)際晶體外，仍然有無(wú)限多個(gè)完全相同的晶體相連接，各晶體中相對(duì)應(yīng)的原子的運(yùn)動(dòng)情況都一樣。第27頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一晶體中任一個(gè)原子，當(dāng)其原胞標(biāo)數(shù)增加N（N為晶體中原胞的個(gè)數(shù)）后，其振動(dòng)情況復(fù)原。由N個(gè)原胞組成的單原子鏈，由玻恩---卡門周期性邊界條件:對(duì)于一維布拉維晶格(原胞標(biāo)數(shù)與原子標(biāo)數(shù)相同):整數(shù)(2)波矢q的取值第28頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(共N個(gè)值)晶格振動(dòng)波矢只能取分立的值波矢的數(shù)目(個(gè)數(shù))=晶體原胞的數(shù)目4.長(zhǎng)波極限:波矢也只能取N個(gè)不同的值。第29頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一在長(zhǎng)波近似的情況下，晶體可視為連續(xù)介質(zhì)，格波可視為彈性波。由連續(xù)介質(zhì)波的傳播速度：第30頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一模型運(yùn)動(dòng)方程試探解色散關(guān)系波矢q范圍一維無(wú)限長(zhǎng)原子鏈，m，a，晶格振動(dòng)波矢的數(shù)目=晶體的原胞數(shù)B-K條件波矢q取值n-2nn+1n+2n-1amm第31頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第二節(jié)一維雙原子鏈振動(dòng)1運(yùn)動(dòng)方程及其解聲學(xué)波和光學(xué)波玻恩——馮卡門邊界條件本節(jié)主要內(nèi)容:第32頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一運(yùn)動(dòng)方程及其解：(1)模型:一維無(wú)限長(zhǎng)原子鏈，原子質(zhì)量為m和M，且m<M。相鄰原子間距均為a，恢復(fù)力系數(shù)為。(晶格常量為2a)2n2n-12n+12n+22n-2mM質(zhì)量為M的原子編號(hào)為2n-2、2n、2n+2、···質(zhì)量為m的原子編號(hào)為2n-1、2n+1、2n+3、···第33頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一設(shè)晶格常數(shù)為2a，平衡時(shí)相鄰兩原子的間距為a，原子間的力常數(shù)為。在t時(shí)刻，兩種原子的位移分別為：第34頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一若只考慮近鄰原子間的彈性相互作用，則運(yùn)動(dòng)方程為：試解：③代入方程得：②①第35頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一有解條件是久期方程為零：解得:④⑤⑥解的三種表達(dá)式④⑤⑥是等價(jià)的，下面討論時(shí)可任選其一。第36頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一帶隙稱約化質(zhì)量。一維雙原子鏈晶體可作帶通濾波器。圖中一維雙原子鏈得到了兩個(gè)解，兩種色散關(guān)系，它們都是q的周期函數(shù)，和一維單原子相同的討論可知，q取值范圍也在第一布里淵區(qū)（）內(nèi)。此時(shí)點(diǎn)陣基矢是2a，倒易點(diǎn)陣基矢是第37頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一零點(diǎn)和布里淵邊界數(shù)值的確定：利用④式討論。結(jié)果繪在上圖中。第38頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一兩支格波的物理意義的討論：由③－2式可以得到：由色散關(guān)系可以看出：由于波數(shù)被限制在第一布里淵區(qū)內(nèi)，故：相鄰原子的振動(dòng)方向相同第39頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一這表明，在長(zhǎng)波極限下，原胞內(nèi)兩種原子的運(yùn)動(dòng)完全一致，振幅和位相均相同，這時(shí)的格波非常類似于聲波，所以我們將這種晶格振動(dòng)稱為聲學(xué)波或聲學(xué)支。事實(shí)上，在長(zhǎng)波極限下，晶格可以看成連續(xù)的彈性介質(zhì)，格波類似于聲波。有：在長(zhǎng)波極限第40頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一相鄰兩種不同原子的振幅都有相同的正號(hào)或負(fù)號(hào)，即對(duì)于聲學(xué)波，相鄰原子都是沿著同一方向振動(dòng)的，其振動(dòng)概括如下圖所示，當(dāng)波長(zhǎng)相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)，聲學(xué)波實(shí)際上代表元胞質(zhì)心的振動(dòng)。聲學(xué)支原子振動(dòng)模型第41頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一而從色散關(guān)系可以看到：相鄰原子的振動(dòng)方向相反由③－1式可以得到：

是相鄰原子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)方向相反。長(zhǎng)波極限下質(zhì)心不動(dòng)，我們稱作光學(xué)支。第42頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

稱作光學(xué)支振動(dòng)的說(shuō)明：如果原胞內(nèi)為兩個(gè)帶相反電荷的離子(如離子晶體)，那么正負(fù)離子的相對(duì)振動(dòng)必然會(huì)產(chǎn)生電偶極矩，而這一電偶極矩可以和電磁波發(fā)生相互作用。在某種光波的照射下，光波的電場(chǎng)可以激發(fā)這種晶格振動(dòng)，因此，我們稱這種振動(dòng)為光學(xué)波或光學(xué)支。實(shí)際晶體的長(zhǎng)光學(xué)波的對(duì)應(yīng)遠(yuǎn)紅外的光波，因此離子晶體的長(zhǎng)光學(xué)波的共振能夠引起遠(yuǎn)紅外光在附近的強(qiáng)烈吸收，正是基于此性質(zhì)，支被稱作光學(xué)支。第43頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

長(zhǎng)波極限下：q很小，cos(qa)≈1，又第44頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一因此對(duì)于波長(zhǎng)很長(zhǎng)的光學(xué)波(長(zhǎng)光學(xué)波)，mA+MB=0，即元胞的質(zhì)心保持不動(dòng)，由此可定性地看出，光學(xué)波是代表元胞中兩個(gè)原子的相對(duì)振動(dòng)。光學(xué)波的振動(dòng)概括如下圖所示。光學(xué)支原子振動(dòng)模型第45頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一兩種振動(dòng)模式原子位移更細(xì)致的示意圖（縱波情形）第46頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一周期性邊界條件周期性邊界條件：n=整數(shù)，N為晶體鏈的原胞數(shù)。q的分布密度：第一布里淵區(qū)內(nèi)波數(shù)q的總數(shù)就是晶體鏈原胞的數(shù)目N。每個(gè)q值對(duì)應(yīng)著兩個(gè)頻率，所以第47頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三節(jié)三維晶格的振動(dòng)本節(jié)主要內(nèi)容:1色散關(guān)系2波矢q的取值和范圍第48頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三維晶格的振動(dòng)：

雖然一維晶格振動(dòng)問(wèn)題簡(jiǎn)單可解，但三維晶格的振動(dòng)卻是一個(gè)十分復(fù)雜的問(wèn)題，幸好一維晶格振動(dòng)解已經(jīng)反映出三維晶格振動(dòng)的基本特點(diǎn)，因此我們可以把一維求解的方法和結(jié)論推廣到三維情況。

考慮原胞內(nèi)含有n個(gè)原子的復(fù)式晶格，n個(gè)原子的質(zhì)量分別為：原胞的位置表示為：第49頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一原胞中各原子的平衡位置記做：偏離平衡位置的位移：一個(gè)原胞中原子的運(yùn)動(dòng)方程：

代表原胞中的某個(gè)原子。代表原子的三個(gè)位移分量。第50頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

作用力的表示十分復(fù)雜，因?yàn)橐婕暗缴舷伦笥业慕彙＿@里我們只作定性討論，就不具體寫出了。它也是一組線性齊次方程，其解應(yīng)和一維相同：指數(shù)函數(shù)表示各種原子的振動(dòng)都具有共同的平面波的形式，該表達(dá)式中

是波矢，代表了傳播方向。振幅也是矢量。表示各原子位移分量的振幅有區(qū)別第51頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一代入方程后同樣可以證明有解條件是的一個(gè)3n次方程式，從而給出了3n個(gè)解：即3n支色散曲線。分析表明，其中有3支，在且原胞內(nèi)n個(gè)原子的振幅趨于相同，就是說(shuō)在長(zhǎng)波極限下整個(gè)原胞一起移動(dòng)，所以這三個(gè)解類似彈性波，稱聲學(xué)支。另外3n－3支的解在長(zhǎng)波極限下描述原胞內(nèi)原子的相對(duì)振動(dòng)，是光學(xué)支振動(dòng)。這和一維計(jì)算討論結(jié)果是符合的。第52頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三維結(jié)果同樣要使用周期性邊界條件，q同樣在第一布里淵區(qū)內(nèi)取N個(gè)（原胞數(shù)）值。因此在波矢空間，每個(gè)q占據(jù)的體積是：N分之一的倒格子體積：即每個(gè)q

占據(jù)的體積為：其倒數(shù)是分布密度。第53頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

結(jié)論：

N個(gè)原胞每個(gè)原胞有n個(gè)原子的三維晶體，晶體中格波的支數(shù)＝原胞內(nèi)的自由度數(shù)：3n

其中

3支為聲學(xué)支（1支縱波、2支橫波）

3n－3支為光學(xué)支（也有縱波、橫波之分）晶格振動(dòng)的波矢數(shù)＝晶體的原胞數(shù)

N

晶格振動(dòng)的模式數(shù)＝晶體的自由度數(shù)3nN思考Cu，金剛石，NaI晶體應(yīng)該分別有幾支色散關(guān)系？以上結(jié)論是否正確，只能依據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)判定。第54頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Pb的振動(dòng)譜Cu的振動(dòng)譜fccfcc第55頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一金剛石的振動(dòng)譜第56頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第四節(jié)離子晶體的長(zhǎng)光學(xué)波主要內(nèi)容：一、離子晶體中長(zhǎng)光學(xué)波晶格振動(dòng)產(chǎn)生的內(nèi)場(chǎng)二、長(zhǎng)光學(xué)波的宏觀運(yùn)動(dòng)方程三、離子晶體長(zhǎng)光學(xué)波的本征頻率ωTO和ωLO四、極化激元第57頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一在離子晶體中，長(zhǎng)光學(xué)模代表元胞內(nèi)正、負(fù)離子的反向運(yùn)動(dòng)，它將伴隨著晶體的極化并產(chǎn)生內(nèi)場(chǎng)。不僅影響長(zhǎng)光學(xué)模的頻率，同時(shí)與電磁波有強(qiáng)烈的相互作用，從而對(duì)離子晶體的電學(xué)和光學(xué)性質(zhì)有重要的影響。類似于長(zhǎng)聲學(xué)波可以看作連續(xù)介質(zhì)中的彈性波，在宏觀彈性理論上求解運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)于長(zhǎng)光學(xué)波也可以宏觀理論的基礎(chǔ)上進(jìn)行討論。第58頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一、離子晶體中長(zhǎng)光學(xué)波晶格振動(dòng)產(chǎn)生的內(nèi)場(chǎng)離子晶體長(zhǎng)光學(xué)晶格振動(dòng)，正、負(fù)離子相對(duì)位移u+-u-，導(dǎo)致極化強(qiáng)度矢量其中q*為離子有效電荷，Ω為元胞體積。因?yàn)闃O化強(qiáng)度矢量正比于相對(duì)位移，它將以格波的頻率ω(q)和波矢q在時(shí)間和空間上周期變化，產(chǎn)生極化波第59頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一根據(jù)電動(dòng)力學(xué)，可以得到極化產(chǎn)生的宏觀內(nèi)場(chǎng)：其中c和ε0分別為真空中的光速和介電常量。晶格振動(dòng)存在縱模和橫模，它們將產(chǎn)生性質(zhì)截然不同的內(nèi)場(chǎng)。1.縱振動(dòng)產(chǎn)生的內(nèi)場(chǎng)對(duì)于縱振動(dòng)，P‖q，由上式得到：第60頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一可見場(chǎng)矢量平行于波矢，因此縱模伴隨的電場(chǎng)是縱向的，這是一種沒(méi)有磁場(chǎng)伴隨的無(wú)旋場(chǎng)，類似于靜電場(chǎng)。該電場(chǎng)的存在使晶體中的離子除了受近程彈性恢復(fù)力外，還要受到與相對(duì)位移反向的長(zhǎng)程庫(kù)侖力的作用，使之總的恢復(fù)力變大，必然提高縱振動(dòng)模的頻率ωL。2.橫振動(dòng)產(chǎn)生的內(nèi)場(chǎng)對(duì)于縱振動(dòng)，P⊥q，由上式得到：第61頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一可見場(chǎng)矢量垂直于波矢，因此橫模伴隨的內(nèi)場(chǎng)是一種有磁場(chǎng)相伴的有旋場(chǎng)，即電磁場(chǎng)。由于有這種電磁場(chǎng)的存在，使外電磁波與晶格振動(dòng)的橫模之間發(fā)生耦合，從而改變電磁波在晶體中的傳播性質(zhì)。當(dāng)電磁波的波矢和頻率與橫光學(xué)模的波矢和頻率相等，即ω=cq時(shí)，發(fā)生共振，耦合最強(qiáng)。第62頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一在共振區(qū)以外，若ω>cq，E⊥與位移方向相反，將增加橫振動(dòng)的恢復(fù)力，特別當(dāng)q≈0時(shí)，與縱場(chǎng)EL形式相等。若ω<cq，E⊥與位移方向相同將減小橫振動(dòng)的恢復(fù)力，使共振頻率降低，特別當(dāng)ω?cq，E⊥→0，共振頻率僅由彈性恢復(fù)力決定，ω=ωTO。第63頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二、長(zhǎng)光學(xué)波的宏觀運(yùn)動(dòng)方程1、運(yùn)動(dòng)方程為了簡(jiǎn)單起見，設(shè)每個(gè)元胞中只含有電荷大小相等，符號(hào)相反，質(zhì)量為M

+、M

-的兩個(gè)離子，仍限于各向同性的連續(xù)模型。在長(zhǎng)波近似下，晶體中正、負(fù)離子的相對(duì)位移u+-u-幾乎一樣，因此可以用一個(gè)向量W來(lái)描述長(zhǎng)光頻支振動(dòng)：第64頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

光頻支的動(dòng)能密度為而勢(shì)能密度由兩部分組成：式中，F(xiàn)為彈性恢復(fù)力。在簡(jiǎn)諧近似下

而P是晶體的極化強(qiáng)度矢量，E為宏觀電場(chǎng)強(qiáng)度矢量。由于正、負(fù)離子相對(duì)位移導(dǎo)致極化并產(chǎn)生內(nèi)場(chǎng)，反過(guò)來(lái)電場(chǎng)又作用于離子影響其運(yùn)動(dòng)，并且使離子周圍的電子相對(duì)于核位移，產(chǎn)生電子極化，于是在線性近似下第65頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

將式子代入得到：式中，b11、b12、b22稱為動(dòng)力學(xué)系數(shù)。

系統(tǒng)的拉格朗日密度函數(shù)為：由此可確定位移W對(duì)應(yīng)的共軛動(dòng)量第66頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

系統(tǒng)的哈密頓量為：由正則方程，得到運(yùn)動(dòng)方程：式中第一項(xiàng)代表短程彈性恢復(fù)力，第二項(xiàng)代表與離子位移極化相關(guān)的作用力?？梢园褍墒椒旁谝黄?，寫成對(duì)稱形式，有第67頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一黃昆方程第一個(gè)方程：決定離子相對(duì)振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程第二個(gè)方程：極化方程可以證明：b12=b21

P：宏觀極化強(qiáng)度；E：宏觀極化電場(chǎng)：離子相對(duì)位移引起的短程彈性恢復(fù)力

：宏觀極化電場(chǎng)對(duì)離子的作用力第68頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2、介電函數(shù)與動(dòng)力學(xué)系數(shù)b11、b12、b22的關(guān)系

黃昆方程組中的系數(shù)取決于材料性質(zhì)的參數(shù)，它們可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)確定?？紤]極端情況，若E為恒定的靜電場(chǎng)，它表示正、負(fù)離子僅僅產(chǎn)生靜態(tài)相對(duì)位移W，并不振動(dòng)，則＝0，由方程組一式得到它表示彈性恢復(fù)力與宏觀電場(chǎng)產(chǎn)生的力大小相等，方向相反。第69頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解得W，代入方程組二式，有由于晶體被靜電極化，根據(jù)靜電學(xué)有式中是真空介電常量，是靜電介電函數(shù)；第70頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一再考慮相反的極端情況，若E為高頻電場(chǎng)，E的振動(dòng)頻率遠(yuǎn)高于晶格振動(dòng)的頻率。此時(shí)晶格跟不上外場(chǎng)的變化，W＝0，由方程組二式得到此時(shí)，晶體中只存在電子極化。根據(jù)電動(dòng)力學(xué)，有式中是高頻介電函數(shù)；對(duì)比上兩式，得到第71頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一下面將證明其中TO是無(wú)耦合橫長(zhǎng)光學(xué)模頻率，記為0。綜上得到動(dòng)力系數(shù)與介電函數(shù)及TO的關(guān)系：其中ε(0)和ε(∞)可以由介電測(cè)量得到，而0可由晶格的紅外吸收譜測(cè)量得到。第72頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三、離子晶體長(zhǎng)光學(xué)波的本征頻率ωTO和ωLO在每個(gè)元胞中包含兩個(gè)原子或離子的晶體中，應(yīng)該有三支光頻支（二橫一縱）。對(duì)于各向同性的晶體，兩支橫振動(dòng)是簡(jiǎn)并的。在長(zhǎng)波情況下，ω與q幾乎無(wú)關(guān)，因此僅對(duì)應(yīng)兩個(gè)頻率ωTO和ωLO。一般對(duì)于非離子晶體，例如Ge，在長(zhǎng)波情況下，ωTO=ωLO。但對(duì)于離子晶體，縱振動(dòng)產(chǎn)生的類靜電場(chǎng)，增加了振子的恢復(fù)力，使得離子晶體長(zhǎng)光頻支頻率ωTO>ωLO。第73頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一在不考慮橫場(chǎng)耦合情況下，系統(tǒng)的本征振動(dòng)由黃昆方程和靜電方程聯(lián)合求解得到：

將W寫為橫向位移WT和縱向位移WL兩部分：W=WT+WL其中第74頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一橫振動(dòng)方程：解之得到無(wú)耦合橫波本征頻率它只與彈性恢復(fù)力有關(guān)。同樣對(duì)黃昆方程取散度，有第75頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一消去得到得到縱振動(dòng)方程：第76頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一——LST關(guān)系于是得到縱波的頻率：上式稱作為L(zhǎng)ST(Lyddane-Sachs-Teller)關(guān)系。第77頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一由于靜電介電函數(shù)ε(0)表示晶體中所有帶電粒子的響應(yīng)，而高頻介電函數(shù)ε(∞)僅僅是電子的響應(yīng)，所以一般而言，因此離子晶體中的長(zhǎng)光學(xué)波縱波頻率ωLO總是大于無(wú)耦合長(zhǎng)光學(xué)波橫波的頻率ωTO，這是由于離子晶體中縱振動(dòng)產(chǎn)生的極化電場(chǎng)，增加了縱波的恢復(fù)力。而對(duì)于非離子晶體，晶格振動(dòng)不產(chǎn)生位移極化，b12=0，可知ωLO=ωTO第78頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一縱波橫波第79頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第80頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一四、極化激元（電磁激元Polariton）橫光學(xué)模聲子與電磁波的相互作用。在共振條件下，聲子—光子耦合將導(dǎo)致全新的色散關(guān)系，完全改變電磁波的傳播特性。所謂共振是指聲子和光子的頻率和波矢均近似相等。由于長(zhǎng)橫光學(xué)模的頻率ωTO≈1013s-1，在遠(yuǎn)紅外區(qū)域，共振時(shí)，聲子和光子的波矢≈ωTO/c≈300cm-1，而布里淵區(qū)邊界波矢≈107cm-1，因此這些耦合過(guò)程發(fā)生在布里淵區(qū)中心附近小波矢的情況下。耦合聲子—光子場(chǎng)的量子稱為極化激元。第81頁(yè)，共90頁(yè)，2023年