線性代數(shù)第一章節(jié)第1頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二注1：性質(zhì)1表明，行列式的行和列地位相同。對行成立的性質(zhì)，對列也成立。性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號.例如推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有第2頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式.推論1

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．推論2如果行列式中有一行(列)元素全為零，則此行列式的值為零.第3頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二推論3

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．證明第4頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二性質(zhì)4

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.則D等于下列兩個行列式之和：例如第5頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二性質(zhì)5

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變．例如第6頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二二、應(yīng)用舉例我們將應(yīng)用行列式性質(zhì)來計算行列式，我們約定：第7頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二例１計算例2計算第8頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二例3

計算階行列式解將第都加到第一列得第9頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二第10頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二例4證明第11頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二證明第12頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二第13頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二同理：第14頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二例5反對稱行列式的形式為：由性質(zhì)1第15頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二1.5行列式按行（列）展開定義1：在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．1.5.1余子式，代數(shù)余子式定義例如第16頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二1.5.2行列式按行（列）展開法則定理1行列式D等于其任意一行（列）的元素與它的代數(shù)余子式的乘積之和，即

推論

行列式的某一行（列）的各元素與另外一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零。第17頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二綜上所述，可得到代數(shù)余子式的一個重要結(jié)論：例1設(shè)第18頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二例2證明范德蒙（Vandermonde）行列式

證用數(shù)學歸納法第19頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二第20頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二n-1階范德蒙德行列式第21頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二1.5.3拉普拉斯定理定義2第22頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二第1行第3行第2列第4列第23頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二定理2

拉普拉斯(Laplace)定理注：行列式按行（列）展開就是拉普拉斯定理k=1時的特殊情形。第24頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二例3

用拉普拉斯定理計算行列式解：選取第1，2行，只有三個非零二階子式，對應(yīng)的代數(shù)余子式為第25頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二例4證明第26頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二例5

計算2n階行列式第27頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二設(shè)線性方程組則稱此方程組為非

齊次線性方程組;此時稱方程組為齊次線性方程組.1.非齊次與齊次線性方程組的概念1.6克萊姆法則第28頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二定理1(Cramer法則)如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即第29頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二其中是把系數(shù)行列式中第列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的階行列式，即那么線性方程組有解，并且解是唯一的，解可以表為第30頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二證明在把個方程依次相加，得第31頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二由代數(shù)余子式的性質(zhì)可知,于是當時,方程組有唯一的一個解第32頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二由于方程組與方程組等價,故也是方程組的解.第33頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二二、重要推論定理1

如果線性方程組的系數(shù)行列式則一定有解,且解是唯一的.定理2

如果線性方程組無解或有無窮多個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.第34頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二齊次線性方程組的相關(guān)定理定理3

如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式

,則齊次線性方程組只有零解.第35頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二定理4

如果齊次線性方程組

有非零解,則它的系數(shù)行列式必為零.有非零解.系數(shù)行列式第36頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二例1

用克萊姆則解方程組解第37頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二第38頁，共42頁，2023年，2月20日，星期二第39頁，共42頁，202