微專題21圓錐曲線經(jīng)典難題之一類探索性問題的通性通法研究【秒殺總結(jié)】1、基本思路（1）探索性問題，一般先對(duì)結(jié)論作肯定存在的假設(shè)，然后由此肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理論證.（2）若導(dǎo)出矛盾，則否定先前假設(shè)（否定型）；若推出合理的結(jié)論，則說明假設(shè)正確（肯定型），由此得出問題的結(jié)論.（3）“假設(shè)一推證一定論”是解答此類問題的三個(gè)步驟.2、技巧總結(jié)（1）解決是否存在常數(shù)的問題時(shí)，應(yīng)首先假設(shè)存在，看是否能求出符合條件的參數(shù)值，如果推出矛盾就不存在，否則就存在.（2）解決是否存在點(diǎn)的問題時(shí)，可依據(jù)條件，直接探究其結(jié)果；也可以舉特例，然后再證明.（3）解決是否存在直線的問題時(shí)，可依據(jù)條件尋找適合條件的直線方程，聯(lián)立方程消元得出一元二次方程，利用判別式得出是否有解（存在）.（4）解決是否存在最值問題時(shí)，可依據(jù)條件，得出函數(shù)解析式，依據(jù)解析式判定其最值是否存在，然后得出結(jié)論.【典型例題】例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l1是拋物線C：x2＝2py（p＞0）的準(zhǔn)線，直線l2：，且l2與拋物線C沒有公共點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線C上，點(diǎn)P到直線l1和l2的距離之和的最小值等于2．(1)求拋物線C的方程；(2)點(diǎn)M在直線l1上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為P1，P2，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)N，使得MN⊥P1P2恒成立？若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓E的方程為（a＞1），點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)M在線段AB上，滿足，直線OM的斜率為．(1)求橢圓E的方程；(2)若斜率為k的直線l交橢圓E于C，D兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)（t≠1），問是否存在實(shí)數(shù)t使得以CD為直徑的圓恒過點(diǎn)B？若存在，求t的值，若不存在，說出理由．例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)為.(1)求雙曲線的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)與軸不重合的直線與雙曲線交于兩個(gè)不同點(diǎn)，點(diǎn)，直線與雙曲線分別交于另一點(diǎn).①若直線與直線的斜率都存在，并分別設(shè)為.是否存在實(shí)常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.②證明：直線恒過定點(diǎn).例4．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知橢圓是左、右焦點(diǎn)．設(shè)M是直線l：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，交橢圓Γ于N（）．直線l與x軸的交點(diǎn)為P，且M不與P重合．(1)若M的坐標(biāo)為，求四邊形的面積；(2)若PN與橢圓Γ相切于N且，求的值；(3)作N關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，是否存在直線，使得上的任一點(diǎn)到的距離為，若存在，求出直線的方程和N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：，長軸是短軸的3倍，點(diǎn)在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程；(2)若過點(diǎn)且不與y軸垂直的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，在x軸的正半軸上是否存在點(diǎn)，使得直線TM，TN斜率之積為定值？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：（）的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在過點(diǎn)的直線，交橢圓于，兩點(diǎn)，使得？若存在，求直線的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由.例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）圓：與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)滿足(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線交于，兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，試問：是否存在一個(gè)定點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，為等腰三角形【過關(guān)測試】1．（2023春·河北邯鄲·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P到點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)F且不與x軸重合的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，求證：在曲線C上存在點(diǎn)P，使得直線的斜率成等差數(shù)列.2．（2023秋·江西吉安·高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線：（，）與雙曲線的漸近線相同，點(diǎn)在上，為的右焦點(diǎn)．(1)求的方程；(2)已知是直線：上的任意一點(diǎn)，是否存在這樣的直線，使得過點(diǎn)的直線與相切于點(diǎn)，且以為直徑的圓過點(diǎn)？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線（，）的漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)，是雙曲線右支上不同的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交AB于，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則是否存在半徑為1的定圓，使得被圓截得的弦長為定值，若存在，求出圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．4．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知橢圓：的長軸為4，離心率為(1)求橢圓的方程；(2)如圖，過點(diǎn)的直線與交于，，過，作直線：的垂線，垂足分別為，，記，，的面積分別為，，，問：是否存在實(shí)數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：（）的左右焦點(diǎn)為，，上、下端點(diǎn)為，.若從，，，中任選三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形均為面積等于2的直角三角形.(1)求橢圓的方程；(2)如圖，過點(diǎn)作兩條不重合且，斜率之和為2的直線分別與橢圓交于，，，四點(diǎn)，若線段，的中點(diǎn)分別為，，試問直線是否過定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不是，請(qǐng)說明理由.6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓過點(diǎn)，且離心率是.(1)求橢圓的方程和短軸長；(2)已知點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，問：是否存在直線，使得是以點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.7．（2023秋·江西贛州·高三統(tǒng)考期末）已知圓上的動(dòng)點(diǎn)P在y軸上的投影為Q，動(dòng)點(diǎn)M滿足．(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程C；(2)動(dòng)直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，問：是否存在定點(diǎn)D，使得為定值，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)及該定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．8．（2023秋·北京房山·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓：經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為8.(1)求橢圓的方程；(2)直線：與橢圓分別相交于兩點(diǎn)，直線，分別與軸交于點(diǎn)，.試問是否存在直線，使得線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)，如果存在，寫出一條滿足條件的直線的方程，并證明；如果不存在，請(qǐng)說明理由.9．（2023秋·山東煙臺(tái)·高三山東省煙臺(tái)第一中學(xué)校考期末）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A是C的右頂點(diǎn)，，P是橢圓C上一點(diǎn)，M，N分別為線段的中點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OMPN的周長為4．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)若不過點(diǎn)A的直線l與橢圓C交于D，E兩點(diǎn)，且，判斷直線l是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．10．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高三?？奸_學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為A，鈍角三角形的面積為，斜率為的直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)直線經(jīng)過，A兩點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)直線的縱截距不為零時(shí)，試問是否存在實(shí)數(shù)k，使得為定值?若存在，求出此時(shí)面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由.11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為.(1)以為圓心的圓經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，求橢圓的離心率；(2)已知，設(shè)點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且位于軸的上方，若是等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)已知，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓在軸上方的交點(diǎn)記作，若動(dòng)直線也過點(diǎn)且與橢圓交于兩點(diǎn)（均不同于），是否存在定直線，使得動(dòng)直線與的交點(diǎn)滿足直線的斜率總是成等差數(shù)列？若存在，求常數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為為橢圓上任意一點(diǎn)，且的最大值的取值范圍是，其中(1)求橢圓的離心率的取值范圍(2)設(shè)雙曲線以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，是雙曲線在第一象限上任意一點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，試問是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.13．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知曲線，過點(diǎn)作直線和曲線交于A、B兩點(diǎn)．(1)求曲線的焦點(diǎn)到它的漸近線之間的距離；(2)若，點(diǎn)在第一象限，軸，垂足為，連結(jié)，求直線傾斜角的取值范圍；(3)過點(diǎn)作另一條直線，和曲線交于、兩點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)，使得和同時(shí)成立？如果存在，求出滿足條件的實(shí)數(shù)的取值集合，如果不存在，請(qǐng)說明理由．14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為，(1)求軌跡的方程；(2)若直線過點(diǎn)且法向量為，直線與軌跡交于、兩點(diǎn)．①過、作軸的垂線、，垂足分別為、，記，試確定的取值范圍；②在軸上是否存在定點(diǎn)，無論直線繞點(diǎn)怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，使恒成立？如果存在，求出定點(diǎn)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的焦距為4，以原點(diǎn)為圓心，實(shí)半軸長為半徑的圓和直線相切．(1)求雙曲線的方程；(2)已知點(diǎn)為雙曲線的左焦點(diǎn)，試問在軸上是否存在一定點(diǎn)，過點(diǎn)任意作一條直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，使為定值？若存在，求出此定值和所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，其左、右焦點(diǎn)分別為，，短軸長為．點(diǎn)在橢圓上，且滿足△的周長為6．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得恒為定值？若存在，求出該定值及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與該雙曲線交于點(diǎn)，，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為．(1)求曲線的方程；(2)動(dòng)點(diǎn)，在曲線上，已知點(diǎn)，直線，分別與軸相交的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)在直線上，，證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)，，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓的右焦點(diǎn)是，其右準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：；(3)設(shè)點(diǎn)是橢圓的長軸上某一點(diǎn)（不為長軸頂點(diǎn)及坐標(biāo)原點(diǎn)），是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立？只需寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，無需證明．19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，橢圓，離心率為，右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為2，直線過右焦點(diǎn)且與橢圓交于、兩點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線