基礎(chǔ)套餐練01一、多選題1．在某次高中學(xué)科競賽中，4000名考生的參賽成績統(tǒng)計如圖所示，60分以下視為不及格，若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值為代表，則下列說法中正確的是（）A．成績在分的考生人數(shù)最多B．不及格的考生人數(shù)為1000C．考生競賽成績的平均分約為70.5分D．考生競賽成績的中位數(shù)為75分【詳解】解：由頻率分布直方圖可得，成績在內(nèi)的頻率最高，因此考生人數(shù)最多，故正確；由頻率分布直方圖可得，成績在的頻率為0.25，因此，不及格的人數(shù)為，故正確；由頻率分布直方圖可得，平均分為，故正確；因為成績在內(nèi)的頻率為0.45，的頻率為0.3，所以中位數(shù)為，故錯誤，故選：.2．若函數(shù)的圖象過點，則結(jié)論不成立的是（）A．點是的一個對稱中心B．直線是的一條對稱軸C．函數(shù)的最小正周期是D．函數(shù)的值域是【詳解】由函數(shù)的圖象過點,可得,即,,,,故,當(dāng)時,,故A、B都不正確；的最小正周期為,故C不正確；顯然,,故D正確,故選:ABC3．已知雙曲線的左、右焦點分別為為雙曲線上一點，且，若，則對雙曲線中的有關(guān)結(jié)論可能正確的是（）A． B． C． D．【詳解】由雙曲線的定義有,又,故,.又,所以.在焦點三角形中,,即,化簡得或,即或.當(dāng)時即.當(dāng)時即.綜上,ABCD均可能正確.4．如圖，正方體的棱長為1，動點E在線段上，F(xiàn)、M分別是AD、CD的中點，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．平面C．存在點E，使得平面平面 D．三棱錐的體積為定值【詳解】在A中,因為分別是的中點,所以,故A正確;在B中,因為,,故,故.故,又有,所以平面,故B正確；在C中,與平面有交點,所以不存在點,使得平面平面,故C錯誤.在D中,三棱錐以面為底,則高是定值,所以三棱錐的體積為定值,故D正確.故選：ABD.二、解答題5．正項數(shù)列的前n項和Sn滿足：(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，證明：對于任意的n∈N*，都有Tn＜.【詳解】（1）因為數(shù)列的前項和滿足：，所以當(dāng)時，，即解得或，因為數(shù)列都是正項，所以，因為，所以，解得或，因為數(shù)列都是正項，所以，當(dāng)時，有，所以，解得，當(dāng)時，，符合所以數(shù)列的通項公式，;（2）因為，所以，所以數(shù)列的前項和為：，當(dāng)時，有，所以，所以對于任意，數(shù)列的前項和.6．在中，角所對的分別為，向量，向量，且.（1）求角的大小；（2）求的最大值.【詳解】（1）因為，所以由正弦定理知:，，，又為三角形內(nèi)角，故，所以，，即，為三角形內(nèi)角，故；（2）由（1）知:，則所以，，則，故，即時，取最大值2.7．如圖，矩形所在的平面垂直于平面，為的中點，，，，.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值.【詳解】矩形所在的平面垂直于平面，為的中點，在平面內(nèi)過作的垂線交于，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，同理在平面內(nèi)過作的垂線交于，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，所以兩兩互相垂直，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，因為，所以，易得，（1）由上述點坐標(biāo)可知，，所以直線與所成角的余弦值；（2）因為，設(shè)平面的法向量為，則解得，取，可得，設(shè)平面的法向量為，則解得，取，可得，設(shè)二面角的平面角為，則，所以.8．追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)保局隨機抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的檢測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計如表：AQI空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染天數(shù)61418272510（1）從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0，50]，（50，100]的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；（2）已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失y（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為，假設(shè)該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴(yán)重污染的概率分別為.9月每天的空氣質(zhì)量對應(yīng)的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.（i）記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失為X元，求X的分布列；（ii）試問該企業(yè)7月、8月、9月這三個月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失總額的數(shù)學(xué)期望是否會超過2.88萬元？說明你的理由.【詳解】（1）設(shè)ξ為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)，則P（ξ＝2），P（ξ＝3），則這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率為；（2）（i），，，X的分布列如下：X02201480P（ii）由（i）可得：E（X）＝02201480302（元），故該企業(yè)9月的經(jīng)濟損失的數(shù)學(xué)期望為30E（X），即30E（X）＝9060元，設(shè)7月、8月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失為Y元，可得：，，，E（Y）＝02201480320（元），所以該企業(yè)7月、8月這兩個月因空氣質(zhì)量造成經(jīng)濟損失總額的數(shù)學(xué)期望為320×（31+31）＝19840（元），由19840+9060＝28900＞28800，即7月、8月、9月這三個月因空氣質(zhì)量造成經(jīng)濟損失總額的數(shù)學(xué)期望會超過2.88萬元.9．如圖，已知點F為拋物線C：（）的焦點，過點F的動直線l與拋物線C交于M，N兩點，且當(dāng)直線l的傾斜角為45°時，.（1）求拋物線C的方程.（2）試確定在x軸上是否存在點P，使得直線PM，PN關(guān)于x軸對稱？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【詳解】解：（1）當(dāng)直線l的傾斜角為45°，則的斜率為1，，的方程為.由得.設(shè)，，則，∴，，∴拋物線C的方程為.（2）假設(shè)滿足條件的點P存在，設(shè)，由（1）知，①當(dāng)直線l不與x軸垂直時，設(shè)l的方程為（），由得，，，.∵直線PM，PN關(guān)于x軸對稱，∴，，.∴，∴時，此時.②當(dāng)直線l與x軸垂直時，由拋物線的對稱性，易知PM，PN關(guān)于x軸對稱，此時只需P與焦點F不重合即可.綜上，存在唯一的點，使直線PM，PN關(guān)于x軸對稱.10．已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.（1）求a，b的值；（2）若對恒成立，求m的取值范圍.【詳解】解：（1）,因為在處的切線方程為,即,此時切線斜率,則,解得,所以,所以,則,解得（2）由（1）知,,設(shè)函數(shù),則,所以在為增函數(shù),因為,令,得；令,得,所以當(dāng)時,；當(dāng)時,,所以,從而,即基礎(chǔ)套餐練02一、多選題1．空氣質(zhì)量指數(shù)AQI是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，AQI指數(shù)值越小，表明空氣質(zhì)量越好，其對應(yīng)關(guān)系如表：AQI指數(shù)值0~5051~100101~150151~200201~300空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染如圖是某市12月1日-20日AQI指數(shù)變化趨勢：下列敘述正確的是（）A．這20天中AQI指數(shù)值的中位數(shù)略高于100B．這20天中的中度污染及以上的天數(shù)占C．該市12月的前半個月的空氣質(zhì)量越來越好D．總體來說，該市12月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)折線圖和AQI指數(shù)與空氣質(zhì)量對照表，結(jié)合選項，進行逐一分析即可.【詳解】對A：將這20天的數(shù)據(jù)從小到大排序后，第10個數(shù)據(jù)略小于100，第11個數(shù)據(jù)約為120，因為中位數(shù)是這兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，故中位數(shù)略高于100是正確的，故A正確；對B：這20天中，AQI指數(shù)大于150的有5天，故中度污染及以上的天數(shù)占是正確的，故B正確；對C：由折線圖可知，前5天空氣質(zhì)量越來越好，從6日開始至15日越來越差，故C錯誤；對D：由折線圖可知，上旬大部分AQI指數(shù)在100以下，中旬AQI指數(shù)大部分在100以上，故上旬空氣質(zhì)量比中旬的要好.故D正確.故選：ABD.【點睛】本題考查統(tǒng)計圖表的觀察，屬基礎(chǔ)題；需要認真看圖，并理解題意.2．已知，，下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷；由作差法和不等式的性質(zhì)可判斷；可根據(jù)換底公式，取，，運用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，可判斷；運用作差法和不等式的性質(zhì)，可判斷.【詳解】由，，可得，故正確；由，，可得，，故錯誤；由，，，，則，則，可得，故正確；由，，可得，故正確.故選:【點睛】本題考查不等式基本性質(zhì)和利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.3．已知定義域為R的奇函數(shù)，滿足，下列敘述正確的是（）A．存在實數(shù)k，使關(guān)于x的方程有7個不相等的實數(shù)根B．當(dāng)時，恒有C．若當(dāng)時，的最小值為1，則D．若關(guān)于的方程和的所有實數(shù)根之和為零，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，寫出其解析式，畫出該函數(shù)的圖像，再結(jié)合選項，數(shù)形結(jié)合解決問題.【詳解】因為該函數(shù)是奇函數(shù)，故在R上的解析式為：繪制該函數(shù)的圖像如下所示：對A：如圖所示直線與該函數(shù)有7個交點，故A正確；對B：當(dāng)時，函數(shù)不是減函數(shù)，故B錯誤；對C：如圖直線，與函數(shù)圖交于，故當(dāng)?shù)淖钚≈禐?時，，故C正確；對D：時，若使得其與的所有零點之和為0，則，或，如圖直線，故D錯誤.故選：AC.【點睛】本題考查由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式，以及判斷方程的根的個數(shù)，以及函數(shù)零點的問題，涉及函數(shù)單調(diào)性，屬綜合性基礎(chǔ)題；另，本題中的數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的重要手段，值得總結(jié).4．如圖，矩形，為的中點，將沿直線翻折成，連接，為的中點，則在翻折過程中，下列說法中所有正確的是()A．存在某個位置，使得 B．翻折過程中，的長是定值；C．若，則； D．若，當(dāng)三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積是.【答案】BD【解析】【分析】對于A取的中點為，連接交于點，則，由，則，從而判斷A，對于B，由判斷A的圖以及余弦定理可判斷B；對于C由線面垂直的性質(zhì)定理即可判斷；對于D根據(jù)題意知，只有當(dāng)平面平面時，三棱錐的體積最大，取的中點為，連接，再由線面垂直的性質(zhì)定理即可判斷；【詳解】對于A，取的中點為，連接交于點，如圖則，如果，則,由于，則,由于三線共面且共點，故這是不可能的，故不正確；對于B，如圖，由,且，在中，由余弦定理得：，也是定值，故是定值，故正確；對于C，如圖，即,則若，由于，且平面，平面，平面，，則,由于，故不成立，故不正確；對于D，根據(jù)題意知，只有當(dāng)平面平面時，三棱錐的體積最大，取的中點為，連接，如圖，則，且，平面平面，平面平面，平面，則，,,從而,易知的中點就是三棱錐的外接球的球心，球的半徑為，表面積是，故D正確；故選：BD【點睛】本題主要考查了立體幾何中的翻折問題，考查了學(xué)生的空間想象能力以及立體幾何中的垂直性質(zhì)定理，余弦定理，綜合性比較強，屬于難題.二、解答題5．的內(nèi)角的對邊分別為，已知，.（1）求角C；（2）延長線段到點D，使，求周長的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用余弦定理化簡整理再用角的余弦定理即可.也可以用正弦定理先邊化角,再利用和差角公式求解.(2)易得的周長等于,再利用正弦定理將用角表示,再利用三角函數(shù)的值域方法求解即可.【詳解】解法一：（1）根據(jù)余弦定理得整理得，，（2）依題意得為等邊三角形，所以的周長等于由正弦定理，所以，，，，，所以的周長的取值范圍是．解法二：（1）根據(jù)正弦定理得,,，，，（2）同解法一【點睛】本題主要考查了正余弦定理求解三角形的問題,同時也考查了邊角互化求解邊長的取值范圍問題等.屬于中等題型.6．已知等差數(shù)列中，為其前項和,;等比數(shù)列的前項和(1)求數(shù)列的通項公式;(2)當(dāng)各項為正時,設(shè),求數(shù)列的前項和.【答案】（1）或，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式與求和公式即可求；由與的關(guān)系可求.（2）利用錯位相減法即可求和.【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為則當(dāng)時，當(dāng)時，也滿足上式所以（2）由題可知，故【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、求和公式，已知求以及錯位相減法，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.7．在中（圖1），，，為線段上的點，且.以為折線，把翻折，得到如圖2所示的圖形，為的中點，且，連接.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)條件先證明平面，然后結(jié)論可證.

(2)以為原點，、、所在的直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：在圖1中有：，，所以在中，，，，所以在圖2中有：在中，，為的中點，在中，，，，所以翻折后仍有又、平面，，平面平面，所以（2）解：由（1）可知、、兩兩互相垂直.以為原點，、、所在的直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，平面的法向量為二面角的余弦值為【點睛】本題考查線面垂直，線線垂直，二面角，立體幾何中求角或距離常用向量法，屬于中檔題.8．某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率．【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】（1）由前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，求出最高氣溫位于區(qū)間[20，25）和最高氣溫低于20的天數(shù)，由此能求出六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率．（2）當(dāng)溫度大于等于25℃時，需求量為500，求出Y＝900元；當(dāng)溫度在[20，25）℃時，需求量為300，求出Y＝300元；當(dāng)溫度低于20℃時，需求量為200，求出Y＝﹣100元，從而當(dāng)溫度大于等于20時，Y＞0，由此能估計估計Y大于零的概率．【詳解】解：（1）由前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得到最高氣溫位于區(qū)間[20，25）和最高氣溫低于20的天數(shù)為2+16+36＝54，根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶，如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶，如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶，∴六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率p．（2）當(dāng)溫度大于等于25℃時，需求量為500，Y＝450×2＝900元，當(dāng)溫度在[20，25）℃時，需求量為300，Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，當(dāng)溫度低于20℃時，需求量為200，Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，當(dāng)溫度大于等于20時，Y＞0，由前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得當(dāng)溫度大于等于20℃的天數(shù)有：90﹣（2+16）＝72，∴估計Y大于零的概率P．【點睛】本題考查概率的求法，考查利潤的所有可能取值的求法，考查函數(shù)、古典概型等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．9．已知過拋物線的焦點，斜率為的直線交拋物線于兩點，且.（1）求拋物線的方程;（2）O為坐標(biāo)原點，C為拋物線上一點，若，求的值.【答案】（1）y2＝8x.（2）λ＝0，或λ＝2.【解析】【詳解】試題分析：第一問求拋物線的焦點弦長問題可直接利用焦半徑公式，先寫出直線的方程，再與拋物線的方程聯(lián)立方程組，設(shè)而不求，利用根與系數(shù)關(guān)系得出，然后利用焦半徑公式得出焦點弦長公式，求出弦長，第二問根據(jù)聯(lián)立方程組解出的A、B兩點坐標(biāo)，和向量的坐標(biāo)關(guān)系表示出點C的坐標(biāo)，由于點C在拋物線上滿足拋物線方程，求出參數(shù)值.試題解析：(1)直線AB的方程是y＝2（x-），與y2＝2px聯(lián)立，消去y得8x2－10px＋2＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝.由拋物線定義得|AB|＝＋p＝9，故p=4(2)由(1)得x2－5x＋4＝0，得x1＝1，x2＝4，從而A(1，－2)，B(4，4)．設(shè)＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.【點睛】求弦長問題，一般采用設(shè)而不求聯(lián)立方程組，借助根與系數(shù)關(guān)系，利用弦長公式去求；但是遇到拋物線的焦點弦長問題時，可直接利用焦半徑公式，使用焦點弦長公式，求出弦長.遇到與向量有關(guān)的問題，一般采用坐標(biāo)法去解決，根據(jù)聯(lián)立方程組解出的A、B兩點坐標(biāo)，和向量的坐標(biāo)關(guān)系表示出點C的坐標(biāo)，由于點C在拋物線上滿足拋物線方程，求出參數(shù)值.10．已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的所有零點；（2）若，證明函數(shù)不存在的極值.【答案】(1)(2)見證明【解析】【分析】（1）首先將代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的定義域，之后對函數(shù)求導(dǎo)，再對導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)，得到（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），從而得到函數(shù)在單調(diào)遞增，至多有一個零點，因為，是函數(shù)唯一的零點，從而求得結(jié)果；（2）根據(jù)函數(shù)不存在極值的條件為函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，結(jié)合題中所給的參數(shù)的取值范圍，得到在上單調(diào)遞增，從而證得結(jié)果.【詳解】（1）解：當(dāng)時，，函數(shù)的定義域為，且．設(shè)，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．即當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．所以函數(shù)在單調(diào)遞增，至多有一個零點.因為，是函數(shù)唯一的零點.所以若，則函數(shù)的所有零點只有．（2）證法1：因為，函數(shù)的定義域為，且．當(dāng)時，，由（1）知．即當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增．所以不存在極值．證法2：因為，函數(shù)的定義域為，且．設(shè)，則．設(shè)，則與同號．當(dāng)時，由，解得，．可知當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．由（1）知．則．所以，即在定義域上單調(diào)遞增．所以不存在極值．【點睛】該題考查的是有關(guān)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題，涉及到的知識點有求函數(shù)的零點，函數(shù)的極值存在的條件，屬于中檔題目.基礎(chǔ)套餐練03一、多選題1．已知等比數(shù)列的公比，等差數(shù)列的首項，若且，則以下結(jié)論正確的有（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】【分析】由等比數(shù)列的公比，可知，又由條件且，判斷和中至少有一個數(shù)是負數(shù)，公差，再判斷其他選項.【詳解】等比數(shù)列的公比，和異號，，故A正確；但不能確定和的大小關(guān)系；故B不正確；和異號，且且，和中至少有一個數(shù)是負數(shù)，又，，故D正確，一定是負數(shù)，即，故C不正確；故選：AD【點睛】本題考查等差和等比數(shù)列的性質(zhì)的判斷和綜合應(yīng)用，意在考查推理和判斷能力，屬于中檔題型.2．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E為BC邊上一點，且，F(xiàn)為AE的中點，則（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】【分析】利用向量加法的三角形法則、數(shù)乘運算及平面向量基本定理進行解題．【詳解】解：∵AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，由向量加法的三角形法則得，A對；∵，∴，∴，又F為AE的中點，∴，B對；∴，C對；∴，D錯；故選：ABC．【點睛】本題主要考查向量加法的三角形法則、數(shù)乘運算，考查平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題．3．已知點為曲線C的焦點，則曲線C的方程可能為（）A． B．C．（） D．（）【答案】AD【解析】【分析】依次計算每個曲線方程的焦點判斷得到答案.【詳解】A.，拋物線的焦點為，滿足；B.，拋物線的焦點為，不滿足；C.（），焦點為，或或曲線表示圓不存在焦點，，則，均不滿足；D.（），雙曲線的焦點為，滿足；故選：.【點睛】本題考查了曲線的焦點，意在考查學(xué)生對于圓錐曲線知識的綜合應(yīng)用.4．已知函數(shù)，，則以下結(jié)論錯誤的是（）A．任意的，且，都有B．任意的，且，都有C．有最小值，無最大值D．有最小值，無最大值【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)與的單調(diào)性逐個判定即可.【詳解】對A,中為增函數(shù),為減函數(shù).故為增函數(shù).故任意的,且,都有.故A錯誤.對B,易得反例,.故不成立.故B錯誤.對C,當(dāng)因為為增函數(shù),且當(dāng)時,當(dāng)時.故無最小值,無最大值.故C錯誤.對D,,當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.當(dāng)時.故有最小值,無最大值.故選：ABC【點睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與最值的判定,需要根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析.屬于基礎(chǔ)題.二、解答題5．a(chǎn)，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊.已知a＝3，，且B＝60°.（1）求△ABC的面積；（2）若D，E是BC邊上的三等分點，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理，可得△ABC為直角三角形，然后可計算b，可得結(jié)果.（2）計算，然后根據(jù)余弦定理，可得，利用平方關(guān)系，可得結(jié)果.【詳解】（1）△ABC中，由csinC＝asinA+bsinB，利用正弦定理得c2＝a2+b2，所以△ABC是直角三角形.又a＝3，B＝60°,所以；所以△ABC的面積為.（2）設(shè)D靠近點B，則BD＝DE＝EC＝1.，所以所以.【點睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.6．已知等差數(shù)列的前項和為，若，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，根據(jù)題意列出方程組，求出首項與公差，即可得出結(jié)果；（2）由裂項相消法，直接求解，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，因為，，則：，解得，所以．（2）由于，所以．則．【點睛】本題考查求等差數(shù)列的通項公式，以及求數(shù)列的和，熟記等差數(shù)列的通項公式與求和公式，以及裂項相消法求數(shù)列的和即可，屬于基礎(chǔ)題型．7．在四棱錐中，，，，，分別為的中點，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)，若平面與平面所成銳二面角，求的取值范圍.【答案】(1)詳見解析;(2).【解析】【詳解】（Ⅰ），分別為的中點，為矩形，∵DE=EC，∴DC⊥EF，又AB∥CD，∴AB⊥EF∵BF∩EF=F，∴AB⊥面BEF，又AE?面ABE，∴平面ABE⊥平面BEF．(Ⅱ),又，又,所以面,法一：建系為軸，為軸，為軸,，,平面法向量，平面法向量·，可得.法二：連交于點,四邊形為平行四邊形，所以為的中點，連,則,面,,作于點，所以面,連,則,即為所求在中，,解得.8．為了響應(yīng)國家號召，某校組織部分學(xué)生參與了“垃圾分類，從我做起”的知識問卷作答，并將學(xué)生的作答結(jié)果分為“合格”與“不合格”兩類與“問卷的結(jié)果”有關(guān)？不合格合格男生1416女生1020（1）是否有90%以上的把握認為“性別”與“問卷的結(jié)果”有關(guān)？（2）在成績合格的學(xué)生中，利用性別進行分層抽樣，共選取9人進行座談，再從這9人中隨機抽取5人發(fā)送獎品，記拿到獎品的男生人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：0．1000．0500．0100．0012．7033．8416．63510．828【答案】（1）沒有90%的把握認為“性別”與“問卷的結(jié)果”有關(guān)；（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)獨立性檢驗的思想即可判斷.（2）依題意，成績合格的男生抽取4人，成績合格的女生抽取5人，X的可能取值為，求出各隨機變量的概率，列出分布列即可求出期望.【詳解】（1）完善列聯(lián)表如下所示：不合格合格合計男生141630女生102030合計243660，故沒有90%的把握認為“性別”與“問卷的結(jié)果”有關(guān)．（2）依題意，成績合格的男生抽取4人，成績合格的女生抽取5人，故X的可能取值為，,,,,，故X的分布列為：01234所以.【點睛】本題考查了獨立性檢驗以及數(shù)學(xué)期望，解題的關(guān)鍵是列出列聯(lián)表和分布列，屬于基礎(chǔ)題.9．順次連接橢圓：的四個頂點恰好構(gòu)成了一個邊長為且面積為的菱形．（1）求橢圓C的方程；（2）過點的直線與橢圓交于，兩點，，其中為坐標(biāo)原點，求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用已知建立a，b的方程，解出a，b即可.（2）先考慮斜率不存在時，則與不存在，可設(shè)直線為，與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理結(jié)合條件解得k，再利用弦長公式計算即可.【詳解】（1）由題可知，，解得，.所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，，當(dāng)直線斜率不存在時，明顯不符合題意，故設(shè)的方程為，代入方程，整理得.由，解得，所以，.，解得..【點睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，設(shè)而不求，利用韋達定理是解決此類問題的常見方法，考查運算能力，屬于中檔題．10．已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）若曲線在點處的切線與軸平行，求的值；（2）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（Ⅰ），由題設(shè)知，求得的值；（Ⅱ）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點，則方程在內(nèi)由兩個不等實根,可列不等式組,即可求a的范圍【詳解】解：（Ⅰ），由題設(shè)知，故（Ⅱ）由題知，在內(nèi)由兩個不等實根，.【點睛】本題考查了函數(shù)在一點處導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)在極值中的應(yīng)用,利用極值求參數(shù)的范圍.基礎(chǔ)套餐練04一、多選題1．下列判斷正確的是（）A．若隨機變量服從正態(tài)分布，，則；B．已知直線平面，直線平面，則“”是“”的必要不充分條件；C．若隨機變量服從二項分布：，則；D．已知直線經(jīng)過點，則的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性可判斷A選項；B選項為充分不必要條件；根據(jù)二項分布均值公式求解可判斷C選項；由題意知，根據(jù)基本不等式求出的范圍即可判斷D選項.【詳解】A選項，若隨機變量服從正態(tài)分布，，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性有，所以，A選項正確；B選項，因為，直線平面，所以直線平面，又直線平面，所以，充分性成立；設(shè)，在內(nèi)取平行于的直線，則且，但是與相交，必要性不成立，B不正確；C選項，因為，所以，C正確；D選項，由題意知，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故D正確.故選：ACD【點睛】本題考查正態(tài)分布曲線的對稱性，二項分布的期望，線、面之間的位置關(guān)系，均值不等式，屬于中檔題.2．對于函數(shù)（其中），下列結(jié)論正確的是（）A．若，，則的最小值為；B．若，則函數(shù)的圖象向右平移個單位可以得到函數(shù)的圖象；C．若，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；D．若函數(shù)的一個對稱中心到與它最近一條對稱軸的距離為，則.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，周期，最值，平移依次判斷每個選項判斷得到答案.【詳解】，則，當(dāng)時，.故，正確；的圖象向右平移個單位可以得到函數(shù)，故錯誤；，則，函數(shù)先增后減，故錯誤；函數(shù)的一個對稱中心到與它最近一條對稱軸的距離為，則，故，，正確；故選：.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的平移，最值，單調(diào)性，周期，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用.3．已知，，記，則()A．的最小值為 B．當(dāng)最小時，C．的最小值為 D．當(dāng)最小時，【答案】BC【解析】【分析】將所求最小值轉(zhuǎn)化為為函數(shù)圖象上的點到直線上的點的距離的最小值的平方；利用導(dǎo)數(shù)可求得與直線平行的函數(shù)的切線，由此可求得切點坐標(biāo)，則切點到直線距離的平方即為所求最小值，利用點到直線距離公式求得最小值；求得過切點且與垂直的直線方程，兩直線方程聯(lián)立即可求得最小時，的值.【詳解】由得：的最小值可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象上的點到直線上的點的距離的最小值的平方由得：與直線平行的直線的斜率為則令，解得：切點坐標(biāo)為到直線的距離即函數(shù)上的點到直線上的點的距離的最小值為的最小值為過與垂直的直線為即由，解得：，即當(dāng)最小時，故選：【點睛】本題考查兩點間距離的最小值的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過等價轉(zhuǎn)化將問題轉(zhuǎn)化為曲線上的點到直線距離的最小值的求解問題，可知與直線平行并和曲線相切的直線所形成的切點到直線的距離最小.4．在棱長為1的正方體中，點M在棱上，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線與平面平行B．平面截正方體所得的截面為三角形C．異面直線與所成的角為D．的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)線面平行，異面直線夾角，截面圖形，線段最值的計算依次判斷每個選項得到答案.【詳解】如圖所示：易知平面平面，平面，故直線與平面平行，正確；平面截正方體所得的截面為為四邊形，故錯誤；連接，，易知，故異面直線與所成的角為，，故，故正確；延長到使，易知，故，當(dāng)為中點時等號成立，故正確；故選：.【點睛】本題考查了異面直線夾角，截面圖形，線面平行，最短距離，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.二、解答題5．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a、b、c，且2acosC=2b-c．（1）求角A的大??；（2）若AB=3，AC邊上的中線BD的長為，求△ABC的面積．【答案】（1）A=；（2）6【解析】【分析】（1）先根據(jù)正弦定理化邊為角，再利用三角形內(nèi)角關(guān)系以及兩角和正弦公式化簡得cosA=，即得結(jié)果，（2）根據(jù)余弦定理求AD，再根據(jù)三角形面積公式得結(jié)果.【詳解】（1）∵2acosC=2b-c，由正弦定理可得：sinAcosC+sinC=sinB，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC．∴sinC=cosAsinC，∵sinC≠0，∴cosA=，∴由A（0，π），可得角A=；（2）在△ABD中，AB=3，BD=，cosA=，由余弦定理可得：13=9+AD2-3AD，解得：AD=4（負值舍去），∵BD為AC邊上的中線，∴D為AC的中點，∴AC=2AD=8，∴S△ABC=AB?AC?sinA==6．【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理以及三角形面積公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.6．在公差為的等差數(shù)列中，，，，且.（1）求的通項公式；（2）若，，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）或.（2）【解析】【分析】（1）是自然數(shù)集，求出的值，寫出通項公式；（2）由，，成等比數(shù)列，確定通項公式，代入到中，是用裂項相消的方法求前項和．【詳解】解：（1）∵，，，且，∴或當(dāng)時，；當(dāng)時，.（2）∵，，成等比數(shù)列，∴，∴，則，故.【點睛】等差數(shù)列的通項公式為；當(dāng)通項公式為時，適合用裂項相消法求前項和．7．如圖，四棱錐E﹣ABCD的側(cè)棱DE與四棱錐F﹣ABCD的側(cè)棱BF都與底面ABCD垂直，，//，.（1）證明：//平面BCE.（2）設(shè)平面ABF與平面CDF所成的二面角為θ，求.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，可得DE//BF，然后根據(jù)勾股定理計算可得BF＝DE，最后利用線面平行的判定定理，可得結(jié)果.（2）利用建系的方法，可得平面ABF的一個法向量為，平面CDF的法向量為，然后利用向量的夾角公式以及平方關(guān)系，可得結(jié)果.【詳解】（1）因為DE⊥平面ABCD，所以DEAD，因為AD＝4，AE＝5，DE＝3，同理BF＝3，又DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，所以DE//BF，又BF＝DE，所以平行四邊形BEDF，故DF//BE，因為BE平面BCE，DF平面BCE所以DF//平面BCE；（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（4，0，0），C（0，4，0），F(xiàn)（4，3，﹣3），，設(shè)平面CDF的法向量為，由，令x＝3，得，易知平面ABF的一個法向量為，所以，故.【點睛】本題考查線面平行的判定以及利用建系方法解決面面角問題，屬基礎(chǔ)題.8．2018年是中國改革開放的第40周年，為了充分認識新形勢下改革開放的時代性，某地的民調(diào)機構(gòu)隨機選取了該地的100名市民進行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）現(xiàn)從年齡在內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人進行座談，用表示年齡在內(nèi)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若用樣本的頻率代替概率，用隨機抽樣的方法從該地抽取20名市民進行調(diào)查，其中有名市民的年齡在的概率為.當(dāng)最大時，求的值.【答案】（1）分布列見解析；；（2）7.【解析】【分析】（1）根據(jù)分層抽樣的方法判斷出年齡在內(nèi)的人數(shù)，可得的可能取值為0，1，2，結(jié)合組合知識，利用古典概型概率公式求出各隨機變量對應(yīng)的概率，從而可得分布列，進而利用期望公式可得的數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)年齡在內(nèi)的人數(shù)為，則，設(shè),可得若，則，；若，則，，從而可得結(jié)果.【詳解】（1）按分層抽樣的方法抽取的8人中，年齡在內(nèi)的人數(shù)為人，年齡在內(nèi)的人數(shù)為人，年齡在內(nèi)的人數(shù)為人.所以的可能取值為0，1，2，所以，，，所以的分布列為012.（2）設(shè)在抽取的20名市民中，年齡在內(nèi)的人數(shù)為，服從二項分布.由頻率分布直方圖可知，年齡在內(nèi)的頻率為，所以，所以.設(shè)，若，則，；若，則，.所以當(dāng)時，最大，即當(dāng)最大時，.【點睛】本題主要考查分層抽樣的定義、直方圖的應(yīng)用以及離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.求解數(shù)學(xué)期望問題，首先要正確理解題意，其次要準(zhǔn)確無誤的找出隨機變量的所有可能值，計算出相應(yīng)的概率，寫出隨機變量的分布列，正確運用均值、方差的公式進行計算，也就是要過三關(guān)：（1）閱讀理解關(guān)；（2）概率計算關(guān)；（3）公式應(yīng)用關(guān).9．已知橢圓的右焦點為，過的直線交橢圓于兩點(直線與坐標(biāo)軸不垂直)，若的中點為，為坐標(biāo)原點，直線交直線于.(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)求的最大值.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】(Ⅰ)聯(lián)立可得.設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為,再計算出的斜率為，的斜率為，即得.因此與垂直.(Ⅱ)先求出，再求，即得的最大值.【詳解】(Ⅰ)聯(lián)立可得.設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，則，.于是有.因為的中點為，所以.因此的斜率為.因為直線交直線于，所以.故的斜率為，即得.因此與垂直，.(Ⅱ)設(shè).令，則.由于，故.因此(當(dāng)時取到最大值，也即).綜上所述，的最大值為.【點睛】（1）本題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查直線和直線的位置關(guān)系，考查橢圓中的最值問題，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理轉(zhuǎn)化計算能力.(2)解答第2問的關(guān)鍵有兩點，其一是求出，其二是求函數(shù)的最大值.10．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，函數(shù)在上的最小值為，若不等式有解，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)的符號進行分類討論，并借助解不等式組的方法得到單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論求出當(dāng)時，函數(shù)在上的最小值，因此問題轉(zhuǎn)化為有解，即有解，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最小值即可得到所求．【詳解】（1）由，得，①當(dāng)時，令，得，所以，或，即或，解得或．令，得，所以或，即或，解得或．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為．②當(dāng)時，令，得，由①可知；令，得，由①可知或．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為，．綜上可得，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為．當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為，．（2）由（1）可知若，則當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以不等式有解等價于有解，即有解，設(shè)，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以的極小值也是最小值，且最小值為，從而，所以實數(shù)的取值范圍為．【點睛】（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，若函數(shù)解析式中含有字母、并且字母對結(jié)果產(chǎn)生影響時，需要對字母進行分類討論，討論時要選擇合適的標(biāo)準(zhǔn)，同時分類時要做到不重不漏．（2）解答不等式有解的問題時，常用的方法是分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值的問題，解題時要用到以下結(jié)論：在上有解；在上有解．若函數(shù)的最值不存在，則可利用函數(shù)值域的端點值來代替．基礎(chǔ)套餐練05一、多選題1．下列說法正確的是（）A．從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標(biāo)檢測，這樣的抽樣是分層抽樣B．某地氣象局預(yù)報：5月9日本地降水概率為，結(jié)果這天沒下雨，這表明天氣預(yù)報并不科學(xué)C．在回歸分析模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好D．在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個單位時，預(yù)報變量增加0.1個單位【答案】CD【解析】【分析】對A,根據(jù)分層抽樣的意義辨析即可.對B,根據(jù)概率的含義辨析即可.對C,根據(jù)回歸模型的性質(zhì)辨析即可.對D,根據(jù)線性回歸方程的實際意義分析即可.【詳解】對A,分層抽樣為根據(jù)樣本特征按比例抽取,從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上,質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標(biāo)檢測不滿足.故A錯誤.對B,降水概率為,但仍然有的概率不下雨,故B錯誤.對C,在回歸分析模型中,殘差平方和越小,說明模型的擬合效果越好正確.對D,回歸直線方程中的系數(shù)為0.1,故當(dāng)解釋變量每增加1個單位時,預(yù)報變量增加0.1個單位正確.故選：CD【點睛】本題主要考查了概率統(tǒng)計中分層抽樣、概率與回歸直線的基本概念與性質(zhì).屬于基礎(chǔ)題.2．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．函數(shù)以為周期且在處取得最大值B．函數(shù)以為周期且在區(qū)間單調(diào)遞增C．函數(shù)是偶函數(shù)且在區(qū)間單調(diào)遞減D．將的圖像向右平移1個單位得到【答案】AB【解析】【分析】利用二倍角公式化簡函數(shù)的解析式，然后根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)和絕對值的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】.A：，所以函數(shù)的周期為.當(dāng)時，，所以函數(shù)在處取得最大值，故本選項是正確的；B：，所以函數(shù)的周期為.當(dāng)時，，所以，故函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，因此本選項是正確的；C：，所以函數(shù)是偶函數(shù)，由上分析，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減是不正確的，故本選項是錯誤的；D：將的圖像向右平移1個單位得到，故本選項是錯誤,故選：AB【點睛】本題考查了余弦型函數(shù)的性質(zhì)，考查了二倍角的余弦公式，考查了絕對值的性質(zhì)，考查了余弦的誘導(dǎo)公式.3．已知函數(shù)，若的最小值為，則實數(shù)a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】BCD【解析】【分析】當(dāng)時,利用均值定理可知,當(dāng)時,若為最小值,需使得對稱軸滿足,且由分段函數(shù),,進而求解即可【詳解】當(dāng),,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立；當(dāng)時,為二次函數(shù),要想在處取最小,則對稱軸要滿足,且,即,解得,故選:BCD【點睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題,處理時應(yīng)對每段函數(shù)進行分類討論,找到每段的最小值4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l.設(shè)l與x軸的交點為K，P為C上異于O的任意一點，P在l上的射影為E，的外角平分線交x軸于點Q，過Q作交的延長線于，作交線段于點，則（）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義進行推理判斷．【詳解】由拋物線的定義，，A正確；∵，是的平分線，∴，∴，B正確；若，由是外角平分線，，得，從而有，于是有，這樣就有，為等邊三角形，，也即有，這只是在特殊位置才有可能，因此C錯誤；連接，由A、B知，又，是平行四邊形，∴，顯然，∴，D正確．【點睛】本題考查拋物線的定義與性質(zhì)，掌握拋物線的定義是解題基礎(chǔ)．二、解答題5．已知函數(shù).（I）求f(x)的最小正周期；（II）求證：當(dāng)時，．【答案】（1）（2）見解析【解析】試題分析：（Ⅰ）首先根據(jù)兩角差的余弦公式化簡，再根據(jù)輔助角公式化簡為，最后根據(jù)公式求周期；（Ⅱ）先求的范圍再求函數(shù)的最小值.試題解析:（Ⅰ）.所以的最小正周期.（Ⅱ）因為，所以.所以.所以當(dāng)時，.【名師點睛】本題考查三角函數(shù)式的恒等變形及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，要求準(zhǔn)確應(yīng)用兩角差的余弦公式和輔助角公式進行變形，化為標(biāo)準(zhǔn)的的形式，借助正弦函數(shù)的性質(zhì)去求函數(shù)的周期、最值等，但要注意函數(shù)的定義域，求最值時要注意自變量的取值.6．已知數(shù)列的前項和為，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系得出數(shù)列為等比數(shù)列，即可得出數(shù)列的通項公式；（2）利用錯位相減法求解即可.【詳解】解：（1）當(dāng)時，，即；當(dāng)時，①，②由②①得，即，∴即，又∴數(shù)列為等比數(shù)列，公比為2，首項為1∴（2）由（1）可得，，，∴③④③④得，∴．【點睛】本題主要考查了利用與的關(guān)系求數(shù)列的通項公式以及利用錯位相減法求數(shù)列的和，屬于中檔題.7．如圖，在正三棱柱中，，，由頂點沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱到頂點的最短路線與棱的交點記為，求：（1）三棱柱的側(cè)面展開科的對角線長；（2）該最短路線的長及的值；（3）平面與平面所成二面角（銳角）的大小.【答案】（1）；（2）最短路線的長為，此時；（3）【解析】【分析】（1）易知正三棱柱的側(cè)面展開圖是長為6,寬為2的矩形,進而求解即可；（2）畫出展開圖,點運動到點的位置,由展開圖可知為最短路徑,進而求解即可；（3）連接,則是平面與平面的交線,由的性質(zhì)可得,再由平面平面,平面平面,可進一步得到,則是平面與平面所成二面角的平面角（銳角）,進而求解即可【詳解】（1）正三棱柱的側(cè)面展開圖是長為6,寬為2的矩形,其對角線長為（2）如圖,將側(cè)面繞棱旋轉(zhuǎn)使其與側(cè)面在同一平面上,點運動到點的位置,連接交于,則是由頂點沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱到頂點的最短路線,∴,∵,,,∴,∴,故,即最短路線的長為,此時（3）如圖,連接,則是平面與平面的交線,在中,,∴.又∵平面平面,平面平面,平面,∴平面,∴,∴是平面與平面所成二面角的平面角（銳角）,∵側(cè)面是正方形,∴,故平面與平面所成的二面角（銳角）為.【點睛】本題考查由棱柱展開圖求距離最小值,考查直接法求二面角,考查空間想象能力8．某學(xué)校共有教職工900人,分成三個批次進行繼續(xù)教育培訓(xùn)，在三個批次中男、女教職工人數(shù)如下表所示.已知在全體教職工中隨機抽取1名,抽到第二批次中女教職工的概率是0.16.（1）求的值；（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法在全體教職工中抽取54名做培訓(xùn)效果的調(diào)查,問應(yīng)在第三批次中抽取教職工多少名？（3）已知，求第三批次中女教職工比男教職工多的概率.【答案】（1）144（2）12（3）【解析】第一問中利用等概率抽樣求解樣本容量．可知由,解得第二問中，由于用分層抽樣的方法在全體教職工中抽取54名做培訓(xùn)效果的調(diào)查因此先求第三批的人數(shù)，然后按比例抽樣得到第三批中抽取的人數(shù)第三問中，結(jié)合古典概型概率公式求解得到．解:(1)由,解得.……………3分(2)第三批次的人數(shù)為,設(shè)應(yīng)在第三批次中抽取名，則，解得.∴應(yīng)在第三批次中抽取12名.……………6分（3）設(shè)第三批次中女教職工比男教職工多的事件為，第三批次女教職工和男教職工數(shù)記為數(shù)對，由（2）知，則基本事件總數(shù)有：，共9個，而事件包含的基本事件有：共4個，∴.……12分9．已知橢圓的左右焦點分別為，是橢圓短軸的一個頂點，且是面積為的等腰直角三角形.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線：與橢圓交于不同的，兩點，若橢圓上存在點，使得四邊形恰好為平行四邊形，求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形可得，然后寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由題意可設(shè)，，聯(lián)立，根據(jù)韋達定理和四邊形恰好為平行四邊形可得點的坐標(biāo)，將其代入橢圓方程可得，再利用面積公式和基本不等式可得最小值.【詳解】（1）由已知得，設(shè).是面積為1的等腰直角三角形，∴橢圓E的方程為（2）由題意可設(shè)，.聯(lián)立整理得，則.根據(jù)韋達定理得因為四邊形恰好為平行四邊形，所以.所以，因為點P在橢圓C上，所以，整理得，即在直線l：中，由于直線與坐標(biāo)軸圍成三角形，則，.令，得，令，得.所以三角形面積為當(dāng)且僅當(dāng)，時，取等號，此時.所以直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值為.【點睛】本題考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與橢圓的交點問題，考查了三角形的面積公式，考查了基本不等式求最小值，考查了運算求解能力，屬于中檔題.10．已知函數(shù)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點，函數(shù)為奇函數(shù).(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)的零點；(3)設(shè)的反函數(shù)為，若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求正實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】【分析】(1)根據(jù)原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系可知，函數(shù)過點，代入求解值，即可.(2)由題意可知，解得，從而確定，令，即，即，解方程，即可.(3)由題意可知，，則不等式變形為，令，則，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可知，從而求解正實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)由題意，過點，即，解得所以.(2)為上的奇函數(shù)∴，解得，即則令，即則即，解得.(3)由(2)可知即令，則令，在單調(diào)遞減∴若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立,則又為正實數(shù)∴.【點睛】本題考查求函數(shù)的解析式，函數(shù)的零點，以及恒成立問題求參數(shù)取值范圍，屬于較難的題.基礎(chǔ)套餐練06一、多選題1．下列判斷正確的是（）A．若隨機變量服從正態(tài)分布，，則；B．已知直線平面，直線平面，則“”是“”的充分不必要條件；C．若隨機變量服從二項分布：,則；D．是的充分不必要條件.【答案】ABCD【解析】【分析】由隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（1，σ2），則曲線關(guān)于x＝1對稱，即可判斷A；結(jié)合面面平行性質(zhì)定理，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷．可判斷B；運用二項分布的期望公式Eξ＝np，即可判斷C；可根據(jù)充分必要條件的定義，注意m＝0，即可判斷D．【詳解】A．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（1，σ2），P（ξ≤4）＝0.79，則曲線關(guān)于x＝1對稱，可得P（ξ＞4）＝1﹣0.79＝0.21，P（ξ≤﹣2）＝P（ξ＞4）＝0.21，故A正確；B．若α∥β，∵直線l⊥平面α，∴直線l⊥β，∵m∥β，∴l(xiāng)⊥m成立．若l⊥m，當(dāng)m∥β時，則l與β的位置關(guān)系不確定，∴無法得到α∥β．∴“α∥β”是“l(fā)⊥m”的充分不必要條件．故B對；C．由于隨機變量ξ服從二項分布：ξ～B（4，），則Eξ＝4×0.25＝1，故C對；D．“am2>bm2”可推出“a>b”，但“a>b”推不出“am2>bm2”，比如m＝0，故D對；故選：ABCD．【點睛】本題考查了充分必要條件的判斷，考查隨機變量的二項分布的期望公式及正態(tài)分布的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．2．已知均為實數(shù)，則下列命題正確的是（）A．若，則B．若，則C．若則D．若則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：若，，則，故A錯；若，，則，化簡得，故B對；若，則，又，則，故C對；若，，，，則，，，故D錯；故選：BC．【點睛】本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，常結(jié)合特值法解題，屬于基礎(chǔ)題．3．已知是定義在上的奇函數(shù)，且，則函數(shù)的零點是（）A．0 B． C．8 D．-8【答案】ABCD【解析】【分析】由定義在上的奇函數(shù)可知且零點關(guān)于原點對稱,利用,由可得到部分零點【詳解】是定義在上的奇函數(shù),,且零點關(guān)于原點對稱,零點個數(shù)為奇數(shù),又,,,,,的零點至少有這個,故選:ABCD【點睛】本題主要考查函數(shù)的零點、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及抽象函數(shù)的解析式,意在考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力,屬于中檔題.4．如圖,正方體的棱長為1,則下列四個命題正確的是()A．直線與平面所成的角等于B．點C到面的距離為C．兩條異面直線和所成的角為D．三棱柱外接球半徑為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)線面角的定義及求法，點面距的定義，異面直線所成角的定義及求法，三棱柱的外接球的半徑求法，即可判斷各選項的真假．【詳解】正方體的棱長為1，對于A，直線與平面所成的角為，故選項A正確；對于B，因為面，點到面的距離為長度的一半，即，故選項B正確；對于C，因為，所以異面直線和所成的角為，而為等邊三角形，故兩條異面直線和所成的角為，故選項C錯誤；對于D，因為兩兩垂直，所以三棱柱外接球也是正方體的外接球，故，故選項D正確．故選：．【點睛】本題主要考查線面角的定義以及求法，點面距的定義以及求法，異面直線所成角的定義以及求法，三棱柱的外接球的半徑求法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二、解答題5．已知向量，，函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間；（2）已知、、分別為內(nèi)角、、的對邊，其中為銳角，，，且.求、的長和的面積.【答案】（1），遞減區(qū)間是；（2），，.【解析】【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算得出，并利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為，利用正弦函數(shù)周期公式及其單調(diào)性即可得到函數(shù)的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間；（2）利用（1）即可得到，再利用正弦定理即可得到，利用三角形內(nèi)角和定理即可得到，利用直角三角形含角的性質(zhì)即可得出邊，進而得到三角形的面積.【詳解】（1），，，，所以，，由，解得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；（2），，為銳角，即，，，解得.由正弦定理得，，，，，，因此，的面積為.【點睛】本題綜合考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算、正弦函數(shù)的單調(diào)性及其性質(zhì)、正弦定理、直角三角形的邊角關(guān)系及其面積等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．6．各項均為正數(shù)的數(shù)列前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知公比為的等比數(shù)列滿足，且存在滿足，，求數(shù)列的通項公式.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）令，利用數(shù)列遞推式求出的值，由得出，兩式相減，結(jié)合數(shù)列各項均為正數(shù)，可得數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，從而可求數(shù)列的通項公式；（2）利用，，求出公比，即可求得數(shù)列的通項公式．【詳解】（1）當(dāng)時，，整理得，.，，兩式相減得，即，即，數(shù)列各項均為正數(shù)，，，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，故；（2），，依題意得，相除得或，所以或，當(dāng)時，；當(dāng)時，.綜上所述，或.【點睛】本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．7．如圖所示，四棱錐中，底面為菱形，底面，，，E為棱的中點，F(xiàn)為棱上的動點.（1）求證：平面；（2）若銳二面角的正弦值為，求點F的位置.【答案】（1）證明見解析（2）點F為線段的中點【解析】【分析】(1)證明,即可.(2)以點A為坐標(biāo)原點,所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),進而利用空間向量求解銳二面角的正弦值關(guān)于的表達式,進而求得即可判斷.【詳解】（1）如下圖所示,由于四邊形是菱形,則,又∵,∴是等邊三角形,∵E為的中點,∴,∵,∴.∵底面,平面,∴,∵,平面,∴平面；（2）由（1）知,,且底面,以點A為坐標(biāo)原點,所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,由則點,,設(shè),則,設(shè)平面的一個法向量為,由,即,取,則,,則平面的一個法向量為,同理可得平面的一個法向量為,∵二面角的正弦值為∴,解得.因此,當(dāng)點F為線段的中點時,二面角的正弦值為.【點睛】本題主要考查了線面垂直的判定與根據(jù)二面角的大小求解特殊點位置的方法,需要根據(jù)題意設(shè)所求點滿足的含參向量表達式,再根據(jù)題意得出關(guān)于參數(shù)的等式求解即可.屬于中檔題.8．某學(xué)校為準(zhǔn)備參加市運動會，對本校甲、乙兩個田徑隊中名跳高運動員進行了測試，并用莖葉圖表示出本次測試人的跳高成績（單位：）.跳高成績在以上（包括）定義為“合格”，成績在以下（不包括）定義為“不合格”.鑒于乙隊組隊晚，跳高成績相對較弱，為激勵乙隊隊隊，學(xué)校決定只有乙隊中“合格”者才能參加市運動會開幕式旗林隊.（1）求甲隊隊員跳高成績的中位數(shù)；（2）如果用分層抽樣的方法從甲、乙兩隊所有的運動員中共抽取人，則人中“合格”與“不合格”的人數(shù)各為多少；（3）若從所有“合格”運動員中選取名，用表示所選運動員中能參加市運動會開幕式旗林隊的人數(shù)，試求的概率.【答案】（1）；（2）“合格”有人，“不合格”有人；（3）.【解析】【分析】（1）將數(shù)據(jù)從小到大排列，找到中間的兩個數(shù)，再求平均數(shù)即得中位數(shù)；（2）根據(jù)莖葉圖，有“合格”人，“不合格”人，求出每個運動員被抽中的概率，然后根據(jù)分層抽樣可求得結(jié)果；（3）根據(jù)莖葉圖，確定甲隊和乙隊“合格”的人數(shù)，利用古典概型的概率公式可求出的概率.【詳解】（1）甲隊隊員跳高的成績由小到大依次為、、、、、、、、、、、（單位：），中位數(shù)為；（2）根據(jù)莖葉圖，有“合格”人，“不合格”人，用分層抽樣的方法，每個運動員被抽中的概率是，所以選中的“合格”有人，“不合格”有人；（3）由題意得，乙隊“合格”有人，分別記為、、、，甲隊“合格”有人，分別記為、、、、、、、，從這人中任意挑選人，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共種，其中，事件包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共個，因此，.【點睛】本題考查統(tǒng)計知識：求中位數(shù)、分層抽樣等，同時也考查了古典概型概率的計算，難度不大．9．已知橢圓的長軸長是短軸長的兩倍，焦距為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)不過原點的直線與橢圓交于兩點、，且直線、、的斜率依次成等比數(shù)列，求△面積的取值范圍.【答案】(1)；(2)．【解析】【詳解】(1)由已知得∴方程：(2)由題意可設(shè)直線的方程為：聯(lián)立消去并整理，得：則△,此時設(shè)、∴于是又直線、、的斜率依次成等比數(shù)列，∴由得：.又由△得：顯然（否則：，則中至少有一個為0，直線、中至少有一個斜率不存在，矛盾?。┰O(shè)原點到直線的距離為,則故由得取值范圍可得△面積的取值范圍為10．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最大值；（2）若函數(shù)與有相同極值點．①求實數(shù)的值；②若對于（為自然對數(shù)的底數(shù)），不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）1；（ⅱ）．【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而得函數(shù)的最大值；（2）（?。┣髮?dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)與有相同極值點，可得是函數(shù)的極值點，從而求解的值；（ⅱ）先求出，，，，，再將對于，不等式恒成立，等價變形，分類討論，即可求解實數(shù)的取值范圍．試題解析：（1），由得，由得，∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，∴函數(shù)的最大值為；（2）∵，∴，（Ⅰ）由（1）知，是函數(shù)的極值點，又∵函數(shù)與有相同極值點，∴是函數(shù)的極值點，∴，解得，經(jīng)檢驗，當(dāng)時，函數(shù)取到極小值，符合題意；（ⅱ）∵，，，∵，即，∴，，由（?。┲?，∴，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，∵，而，∴，∴，，①當(dāng)，即時，對于，不等式恒成立，∵，∴，又∵，∴，②當(dāng)，即時，對于，不等式，，∵，∴，又∵，∴．綜上，所求的實數(shù)的取值范圍為．考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；函數(shù)的恒成問題的求解．【方法點晴】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)的最大值、最小值等問題中的應(yīng)用積極函數(shù)的恒成立問題的求解，著重考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難度較大的試題，本題的第2解答中，求出，，，，將對于，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為時，；時，，分別求解實數(shù)的取值范圍．基礎(chǔ)套餐練07一、多選題1．針對時下的“抖音熱”，某校團委對“學(xué)生性別和喜歡抖音是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，男生喜歡抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)，若有的把握認為是否喜歡抖音和性別有關(guān)則調(diào)查人數(shù)中男生可能有（）人附表：附：A． B． C． D．【答案】BC【解析】【分析】設(shè)男生的人數(shù)為，列出列聯(lián)表，計算出的觀測值，結(jié)合題中條件可得出關(guān)于的不等式，解出的取值范圍，即可得出男生人數(shù)的可能值.【詳解】設(shè)男生的人數(shù)為，根據(jù)題意列出列聯(lián)表如下表所示：男生女生合計喜歡抖音不喜歡抖音合計則，由于有的把握認為是否喜歡抖音和性別有關(guān)，則，即，得，，則的可能取值有、、、，因此，調(diào)查人數(shù)中男生人數(shù)的可能值為或.故選：BC.【點睛】本題考查利用獨立性檢驗求出人數(shù)的可能取值，解題時要列舉出列聯(lián)表，并結(jié)合臨界值表列不等式求解，考查計算能力，屬于中等題.2．設(shè)等比數(shù)列的公比為q,其前n項和為,前n項積為,并滿足條件,,下列結(jié)論正確的是()A．S2019<S2020 B．C．T2020是數(shù)列中的最大值 D．?dāng)?shù)列無最大值【答案】AB【解析】【分析】計算排除和的情況得到，故，得到答案.【詳解】當(dāng)時，，不成立；當(dāng)時，，不成立；故，且，故，正確；，故正確；是數(shù)列中的最大值，錯誤；故選：【點睛】本題考查了數(shù)列知識的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.3．要得到的圖象,只要將圖象怎樣變化得到()A．將的圖象沿x軸方向向左平移個單位B．將的圖象沿x軸方向向右平移個單位C．先作關(guān)于x軸對稱圖象,再將圖象沿x軸方向向右平移個單位D．先作關(guān)于x軸對稱圖象,再將圖象沿x軸方向向左平移個單位【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的變換法則，即可判斷各選項是否可以變換得到．【詳解】對于A，將圖象沿x軸方向向左平移個單位，可得的圖象，故選項A正確；對于B，將的圖象沿x軸方向向右平移個單位也可得到，的圖象，故選項B正確；對于C，先作關(guān)于x軸對稱，得到的圖象，再將圖象沿x軸方向向右平移個單位，得到的圖象，故選項C正確；對于D，先作關(guān)于x軸對稱，得到的圖象，再將圖象沿x軸方向向左平移個單位，得到的圖象，故選項D不正確．故選：．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換和伸縮變換法則的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力和轉(zhuǎn)化能力，以及邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．4．在正方體中，N為底面ABCD的中心，P為線段上的動點（不包括兩個端點），M為線段AP的中點，則（）A．CM與PN是異面直線 B．C．平面平面 D．過P，A，C三點的正方體的截面一定是等腰梯形【答案】BCD【解析】【分析】由交于點得共面，可判斷A，利用余弦定理把都用表示后可比較大小，證明與平面后可得面面垂直，可判斷C，作出過P，A，C三點的截面后可判斷D．【詳解】共線，即交于點，共面，因此共面，A錯誤；記，則，，又，，，即．B正確；由于正方體中，，平面，則，，可得平面，平面，從而可得平面平面，C正確；取中點，連接，易知，又正方體中，，∴，共面，就是過P，A，C三點的正方體的截面，它是等腰梯形．D正確．故選：BCD.【點睛】本題考查共面，面面垂直，正方體的截面等問題，需根據(jù)各個知識點進行推理證明判斷．難度較大．二、解答題5．已知是中內(nèi)角的對邊，.（1）求c；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用的余弦定理求解即可.(2)根據(jù)余弦定理求解即可得,再利用余弦的差角公式求解即可.【詳解】（1）∵,所以,整理得：,即,解得：,或（舍）,則.（2）由（1）知：,所以,則,則所以.【點睛】本題主要考查了余弦定理以及三角恒等變換在解三角形中的應(yīng)用.屬于中檔題.6．設(shè)數(shù)列滿足.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用遞推公式,作差后即可求得的通項公式.（2）將的通項公式代入,可得數(shù)列的表達式.利用裂項法即可求得前項和.【詳解】（1）數(shù)列滿足時,∴∴當(dāng)時,,上式也成立∴（2）∴數(shù)列的前n項和【點睛】本題考查了利用遞推公式求通項公式,裂項法求和的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7．如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝1，PA＝AB＝，點E是棱PB的中點．（1）求異面直線EC與PD所成角的余弦值；（2）求二面角B-EC-D的余弦值．【答案】（1）.（2.【解析】【分析】（1）先根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得向量和向量的坐標(biāo)，再利用線線角的向量方法求解.（2）分別求得平面BEC的一個法向量和平面DEC的一個法向量，再利用面面角向量方法求解，注意根據(jù)圖形判斷二面角與向量夾角的大小關(guān)系確定符號．【詳解】（1）因為PA⊥底面ABCD，且底面ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直，以A為原點，AB，AD，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．又因為PA＝AB＝，AD＝1，所以A(0，0，0)，B，C，D(0，1，0)，P因為E是棱PB的中點，所以E，所以＝，＝(0，1，－)，所以cos〈，〉＝＝，所以異面直線EC與PD所成角的余弦值為.（2）由（1）得＝，＝(0，1，0)，＝(，0，0)．設(shè)平面BEC的法向量為＝(x1，y1，z1)，所以令x1＝1，則z1＝1，所以平面BEC的一個法向量為＝(1，0，1)．設(shè)平面DEC的法向量為＝(x2，y2，z2)，所以令z2＝，則y2＝1，所以平面DEC的一個法向量為＝(0，1，)，所以cos〈，〉＝＝.由圖可知二面角B-EC-D為鈍角，所以二面角B-EC-D的余弦值為－.【點睛】本題主要考查了空間向量法研究空間中線線角，面面角的求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.8．小王參加一次比賽，比賽共設(shè)三關(guān)，第一、二關(guān)各有兩個必答題，如果每關(guān)兩個問題都答對，可進入下一關(guān)，第三關(guān)有三個問題，只要答對其中兩個問題，則闖關(guān)成功，每過一關(guān)可一次性獲得價值分別為1000元，3000元，6000元的獎品（不重復(fù)得獎），小王對三關(guān)中每個問題回答正確的概率依次為，，，且每個問題回答正確與否相互獨立.（1）求小王過第一關(guān)但未過第二關(guān)的概率；（2）用表示小王所獲得獲品的價值，寫出的概率分布列，并求的數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）分布列見詳解，【解析】【分析】（1）小王過第一關(guān)但未過第二關(guān)，包括小王第一關(guān)兩道題都答對，第二關(guān)第一道題答錯，或者小王第一關(guān)兩道題都答對，第二關(guān)第一道題答對，第二道題答錯，據(jù)此計算概率；（2）根據(jù)題意，分別寫出可取的值，再計算每個可取值對應(yīng)的概率，求得分布列即可.【詳解】（1）設(shè)小王過第一關(guān)但未過第二關(guān)的概率為，則容易知.（2）的取值為0，1000，3000，6000，則，，，，∴的概率分布列為0100030006000∴的數(shù)學(xué)期望.【點睛】本題考查概率的計算，離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，以及計算能力，屬中檔題.9．已知橢圓M：的左、石頂點分別為A、B，設(shè)P是曲線M上的任意一點.（1）當(dāng)點P異于A、B時，直線的斜率分別為，則是否為定值？請說明理由；（2）已知點C在橢圓M的長軸上（異于A、B兩點）.且的最大值為3，求點C的坐標(biāo).【答案】（1）是定值，理由見解析（2）【解析】【分析】(1)設(shè),再表達出,最后利用滿足方程代換證明即可.(2)設(shè),再求得的解析式,利用二次函數(shù)的最值判斷,分與兩種情況求解即可.【詳解】（1）證明：由橢圓方程可得,設(shè),則,∴,（2）設(shè),則.若,即,則,解得.此時,同理,若,可得,此時,故C點坐標(biāo)為.【點睛】本題主要考查了根據(jù)橢圓中的定值與最值問題,需要根據(jù)題意設(shè)點表達對應(yīng)的解析式,再代入橢圓的方程結(jié)合二次不等式的最值與范圍求解.屬于中檔題.10．已知f（x）=x-（a>0），g（x）=2lnx+bx且直線y=2x－2與曲線y=g（x）相切．（1）若對[1，+）內(nèi)的一切實數(shù)x，小等式f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)a=l時，求最大的正整數(shù)k，使得對[e，3]（e=2．71828是自然對數(shù)的底數(shù)）內(nèi)的任意k個實數(shù)x1，x2，，xk都有成立；（3）求證：．【答案】（1）；（2）的最大值為．（3）見解析．【解析】【詳解】試題分析：（1）設(shè)點為直線與曲線的切點，則有．（*），．（**）由（*）、（**）兩式，解得，．由整理，得，，要使不等式恒成立，必須恒成立．設(shè)，，，當(dāng)時，，則是增函數(shù)，，是增函數(shù)，，因此，實數(shù)的取值范圍是．（2）當(dāng)時，，，在上是增函數(shù)，在上的最大值為．要對內(nèi)的任意個實數(shù)都有成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，當(dāng)時不等式左邊取得最大值，時不等式右邊取得最小值．，解得．因此，的最大值為．（3）證明（法一）：當(dāng)時，根據(jù)（1）的推導(dǎo)有，時，，即．令，得，化簡得，．（法二）數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時，左邊=，右邊=，根據(jù)（1）的推導(dǎo)有，時，，即．令，得，即．因此，時不等式成立．（另解：，，，即．）假設(shè)當(dāng)時不等式成立，即，則當(dāng)時,，要證時命題成立，即證，即證．在不等式中，令，得．時命題也成立．根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，可得不等式對一切成立．考點：函數(shù)的性質(zhì)；導(dǎo)數(shù)的幾何意義；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)學(xué)歸納法．點評：（1）本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用和數(shù)學(xué)歸納法等綜合知識，考查學(xué)生的計算推理能力及分析問題、解決問題的能力及創(chuàng)新意識．對學(xué)生的能力要求較高，尤其是分析問題解決問題的能力．（2）解決恒成立問題常用變量分離法，變量分離法主要通過兩個基本思想解決恒成立問題，思路1：在上恒成立；思路2:在上恒成立．基礎(chǔ)套餐練08一、多選題1．某特長班有男生和女生各10人，統(tǒng)計他們的身高，其數(shù)據(jù)（單位：cm）如下面的莖葉圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．女生身高的極差為12 B．男生身高的均值較大C．女生身高的中位數(shù)為165 D．男生身高的方差較小【答案】AB【解析】【分析】從莖葉圖上計算極差，中位數(shù)，而均值和方差可通過莖葉圖估計即可（當(dāng)做也可計算實際值）．【詳解】女生的極差是173-161=12，A正確；由莖葉圖數(shù)據(jù)，女生數(shù)據(jù)偏小，男生平均值大于女生值，B正確；女生身高中位數(shù)是166，C錯誤；女生數(shù)據(jù)較集中，男生數(shù)據(jù)分散，應(yīng)該是男生方差大，女生方差小，D錯．（也可實際計算均值和方差比較）．故選：AB.【點睛】本題考查莖葉圖，考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力．掌握樣本數(shù)據(jù)特征如極差、方差、均值、中位數(shù)是解題基礎(chǔ)．2．已知函數(shù)（其中，，的部分圖象，則下列結(jié)論正確的是（）．A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增D．函數(shù)與的圖象的所有交點的橫坐標(biāo)之和為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)圖像求出函數(shù)的解析式，再求出它的對稱軸和對稱中心，以及單調(diào)區(qū)間，即可判斷.【詳解】由函數(shù)（其中，，）的圖像可得：，，因此,,所以，過點，因此，又，所以，，當(dāng)時，，故錯；當(dāng)時，，故正確；當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，故正確；當(dāng)時，，所以與函數(shù)有的交點的橫坐標(biāo)為，，故正確.故選：.【點睛】本題主要考查的是三角函數(shù)圖像的應(yīng)用，正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用