《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)4-《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)圓的概念平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。其中，定點(diǎn)稱(chēng)為圓心，定長(zhǎng)稱(chēng)為半徑，以點(diǎn)為圓心的圓記作“”，讀作“圓”。確定圓的基本條件：（1）、圓心：定位置，具有唯一性，（2）、半徑：定大小。半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓，兩個(gè)等圓能夠完全重合。=1\*GB3①連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑，=2\*GB3②圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧，弧用符號(hào)“”表示，圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成為兩條等弧，每一條弧都叫做半圓，大于半圓的弧稱(chēng)為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱(chēng)為劣弧。=3\*GB3③在同圓或等圓中，能過(guò)重合的兩條弧叫做等弧。理解：弧在圓上，弦在圓及圓上：弧為曲線形，弦為直線形。不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓且唯一一個(gè)。=1\*GB3①三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，經(jīng)過(guò)三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形。=2\*GB3②與三角形三邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心。三角形的內(nèi)切圓是三角形內(nèi)面積最大的圓，圓心是三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)，他到三條邊的距離相等：內(nèi)心到三頂點(diǎn)的連線平分這三個(gè)角。（補(bǔ)充）圓的集合概念1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念：1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓；2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）；3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線；4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線；5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是由這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離d與半徑r的大小關(guān)系決定的。1、點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓內(nèi)；2、點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓上；3、點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓外；解題注意點(diǎn)和圓的位置不確定性。圓的對(duì)稱(chēng)性圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，他有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸，每一條過(guò)圓心的直線都是他的對(duì)稱(chēng)軸。圓是以圓心為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，都能夠與原來(lái)的圖形重合，這種性質(zhì)叫做圓的旋轉(zhuǎn)不變性。圓既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形。直線與圓的位置關(guān)系：相交，相切，相離如果圓O的半徑為，圓心O到直線的距離為d，那么：1、直線與圓相離無(wú)交點(diǎn)；2、直線與圓相切有一個(gè)交點(diǎn)；3、直線與圓相交有兩個(gè)交點(diǎn)；圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓半徑分別為R和r，圓心距為d，那么：外離（圖1）無(wú)交點(diǎn)；外切（圖2）有一個(gè)交點(diǎn)；相交（圖3）有兩個(gè)交點(diǎn)；內(nèi)切（圖4）有一個(gè)交點(diǎn)；內(nèi)含（圖5）無(wú)交點(diǎn)；九、切線的性質(zhì)與判定定理直線和圓有唯一公共點(diǎn)（即直線和圓相切）時(shí)，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。（1）切線的判定定理：過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線；兩個(gè)條件：過(guò)半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵且過(guò)半徑外端∴是⊙的切線（2）性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑（如上圖）推論1：過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)。推論2：過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱(chēng)二推一定理：即：①過(guò)圓心；②過(guò)切點(diǎn)；③垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。連接圓心與切點(diǎn)間的線段是解圓的切線問(wèn)題時(shí)常用的輔助線，通常敘述為：“見(jiàn)切點(diǎn)連半徑得垂直”。解決與圓的切線有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常需要補(bǔ)充的線是作過(guò)切點(diǎn)的半徑。切線長(zhǎng)定理在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)到切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和圓外這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。即：∵、是的兩條切線∴平分十一、圓冪定理（1）相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即：在⊙中，∵弦、相交于點(diǎn)，∴（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。即：在⊙中，∵直徑，∴（3）切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。即：在⊙中，∵是切線，是割線∴（4）割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等（如上圖）。即：在⊙中，∵、是割線∴十二、兩圓公共弦定理兩圓相切時(shí)，連心線必過(guò)切點(diǎn)，這一性質(zhì)是由圓的對(duì)稱(chēng)性決定，兩個(gè)圓組成的圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是經(jīng)過(guò)兩圓圓心的直線。圓公共弦定理：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。如圖：垂直平分。即：∵⊙、⊙相交于、兩點(diǎn)∴垂直平分注：兩圓相交時(shí)，依照兩圓圓心和公共弦的位置，可分為兩種情況：=1\*GB3①兩圓圓心在公共弦同側(cè)，=2\*GB3②兩圓圓心在公共弦異側(cè)。十三、圓的公切線兩圓公切線長(zhǎng)的計(jì)算公式：（1）公切線長(zhǎng)：中，；（2）外公切線長(zhǎng)：是半徑之差；內(nèi)公切線長(zhǎng)：是半徑之和。十四、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。把一個(gè)圓分成相等的弧，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓叫做正多邊形的外接圓。經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)做圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切多邊形，這個(gè)圓叫做多邊形的內(nèi)切圓。正多邊形的外接圓（或內(nèi)切圓）的圓心叫做正多邊形的中心。正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角，正多邊形內(nèi)切圓半徑叫做正多邊形的邊心距。正n邊形的半徑R與邊心距r把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形。（1）正三角形在⊙中△是正三角形，有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行：；（2）正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，：（3）正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，.十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式1、扇形：（1）弧長(zhǎng)公式：；（2）扇形面積公式：：圓心角：扇形