2023年高考數(shù)學模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.某大學計算機學院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲從人工智能領域的語音識別、人臉

識別，數(shù)據(jù)分析、機器學習、服務器開發(fā)五個方向展開研究，且每個方向均有研究生學習，其中劉澤同學學習人臉識

別，則這6名研究生不同的分配方向共有（）

A.480種B.360種C.240種D.120種

2.公元263年左右，我國數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)當圓內接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并

創(chuàng)立了“割圓術”，利用“割圓術”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值3.14,這就是著名的“徽率”。如圖是

利用劉徽的“割圓術”思想設計的一個程序框圖，則輸出的〃值為（）（參考數(shù)據(jù)：

73?1.732,sinl5°?0.2588,sin75°?0.9659）

Aft"/

[3束]

A.48B.36C.24D.12

3.如圖所示，網絡紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某四棱錐的三視圖，則該幾何體的體積為（）

4.《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請歸但求穿墻術.得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟.”在這里，我

們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術”：2（后,3%同,4后=/耳，5^=^^，則按照以

上規(guī)律，若10心=J10上具有“穿墻術”，則〃=（）

VnVn

A.48B.63C.99D.120

04

5.設Q=logo080.04,Z?=log030.2,,c=O^。，則。。。的大小關系為（）

A.c>b>aB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c

6.+的展開式中的常數(shù)項為（）

A.-60B.240C.-80D.180

7.關于圓周率萬，數(shù)學發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗.受其啟發(fā)，某同學通

過下面的隨機模擬方法來估計了的值：先用計算機產生2000個數(shù)對（x,y）,其中x,y都是區(qū)間（0,1）上的均勻隨機

數(shù)，再統(tǒng)計X,y能與1構成銳角三角形三邊長的數(shù)對（X,y）的個數(shù)加；最后根據(jù)統(tǒng)計數(shù)m來估計》的值.若加=435,

則》的估計值為（）

A.3.12B.3.13C.3.14D.3.15

03

8.已知函數(shù)/（x）=M^,a=/（2°）,/7=/（0.2）,c=/（log032）,則a,b,。的大小關系為（）

A.b<a<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

9.在A4BC中，BD=DC,AP=2PD,BP=AAB+^AC,貝！|義+〃=（）

1111

A.一一B.-C.一一D.-

3322

10.在棱長為2的正方體A53A181GO1中，尸為4小的中點，若三棱錐尸-48。的四個頂點都在球。的球面上,

則球。的表面積為（）

<一c2171-41兀y

A.12冗B.-----C.一D.IOTC

24

11.過點P（2遙,2遙）的直線/與曲線y=二？交于AB兩點,若2中=5福，則直線/的斜率為（）

A.2-V3B.2+下）

C.2+百或2-6D.2-g或G—1

12.馬林?梅森是17世紀法國著名的數(shù)學家和修道士，也是當時歐洲科學界一位獨特的中心人物，梅森在歐幾里得、

費馬等人研究的基礎上對〃-1作了大量的計算、驗證工作，人們?yōu)榱思o念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻，將形如2戶-1

（其中p是素數(shù)）的素數(shù)，稱為梅森素數(shù).若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知實數(shù)%,）‘滿足卜"'J廠’則戈+）'的取值范圍是____.

I”0，

14.已知一個正四棱錐的側棱與底面所成的角為60。，側面積為4b，則該棱錐的體積為.

2

15.在平面直角坐標系尤Oy中，雙曲線土-9=1的一條準線與兩條漸近線所圍成的三角形的面積為.

4

16.如圖，棱長為2的正方體ABC。-A4GA中，點分別為棱A&,A3,AO的中點，以A為圓心，1為半

徑，分別在面和面A8CO內作弧MN和NE,并將兩弧各五等分，分點依次為MR、丹、乙、乙、N

以及N、&、4、。4、E.一只螞蟻欲從點4出發(fā)，沿正方體的表面爬行至。4,則其爬行的最短距離為

.參考數(shù)據(jù)：cos90=0.9877；cos18°=0.9511；cos27°=0.8910）

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù)/（x）=|av+l|+|x—l|.

（1）若。=2,解關于x的不等式/（x）<9；

（2）若當x〉0時，/。）>1恒成立，求實數(shù)"的取值范圍.

18.（12分）已知函數(shù)/（x）=（x+l）（e*—1）.

（I）求f（x）在點（一1,/（一1））處的切線方程；

（II）已知/（x）N存在R上恒成立，求a的值.

eb

（IU）若方程/（x）=。有兩個實數(shù)根X，x,,且x,<x,,證明：x2-xx<b+\+——.

e-1

19.（12分）已知數(shù)列｛%｝中，6=1,前〃項和為S“，若對任意的〃wN*,均有SLJ（我是常數(shù)，且k^N*）

成立，則稱數(shù)列｛6,｝為“”（攵）數(shù)列”.

（1）若數(shù)列｛《,｝為""（1）數(shù)列”，求數(shù)列｛凡｝的前"項和S“；

（2）若數(shù)列｛4,｝為“”（2）數(shù)列”，且的為整數(shù)，試問：是否存在數(shù)列｛4｝,使得I。/一對任意心2,

〃eN*成立？如果存在，求出這樣數(shù)列｛《,｝的生的所有可能值，如果不存在，請說明理由.

20.（12分）設函數(shù)/（x）=6cos2x—6sin2x.

（1）求。,TT）的值;

71

（2）若xe乃，求函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間.

21.（12分）一張邊長為2%的正方形薄鋁板ABCD（圖甲），點E，尸分別在AB，BC±.,且AE=CF=x（單

位：加）.現(xiàn)將該薄鋁板沿EF裁開，再將S4E沿DE折疊，ADC尸沿DE折疊，使D4,0c重合，且AC重合

于點M,制作成一個無蓋的三棱錐形容器。（圖乙），記該容器的容積為V（單位：//），（注：薄鋁板的厚

度忽略不計）

(1)若裁開的三角形薄鋁板EEB恰好是該容器的蓋，求x,V的值；

(2)試確定x的值，使得無蓋三棱錐容器D-MEF的容積V最大.

22.(10分)AABC中的內角A,B,C的對邊分別是。，b,c,若@=4c,B=2C.

(1)求cosB；

(2)若c=5,點。為邊8c上一點，且83=6,求△")(?的面積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

將人臉識別方向的人數(shù)分成：有2人、有1人兩種情況進行分類討論，結合捆綁計算出不同的分配方法數(shù).

【詳解】

當人臉識別方向有2人時，有8=120種，當人臉識別方向有1人時，有C；A：=240種，.?.共有36()種.

故選：B

【點睛】

本小題主要考查簡單排列組合問題，考查分類討論的數(shù)學思想方法，屬于基礎題.

2.C

【解析】

由〃=6開始，按照框圖，依次求出s,進行判斷。

【詳解】

n-6=>s=—x6sin60()?2.598,n=12=s=—xl2sin30°=3,

22

n=24ns='x24sinl5°?3.1058,故選C.

2

【點睛】

框圖問題，依據(jù)框圖結構，依次準確求出數(shù)值，進行判斷，是解題關鍵。

3.A

【解析】

先由三視圖確定該四棱錐的底面形狀，以及四棱錐的高，再由體積公式即可求出結果.

【詳解】

由三視圖可知，該四棱錐為斜著放置的四棱錐，四棱錐的底面為直角梯形，上底為1,下底為2,高為2,四棱錐的高

為2,

所以該四棱錐的體積為V=；xgx(l+2)x2x2=2.

故選A

【點睛】

本題主要考查幾何的三視圖，由幾何體的三視圖先還原幾何體，再由體積公式即可求解，屬于?？碱}型.

4.C

【解析】

觀察規(guī)律得根號內分母為分子的平方減1,從而求出n.

【詳解】

解：觀察各式發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根號內分母為分子的平方減1

所以〃=]0?—1=99

故選：C.

【點睛】

本題考查了歸納推理，發(fā)現(xiàn)總結各式規(guī)律是關鍵，屬于基礎題.

5.D

【解析】

因為a=log0080.04=210go08°?=log標02>log痂1=0,b=log030.2>log031=0,

所以工=log02=l°g。，O'且,V=logo2x在(0,+e)上單調遞減，且70^08<0.3

ab

所以！>L，所以h>a,

ab

又因為a—log向^0.2>log優(yōu)獲V0.08=1,c=0.3"'"<0.3°=1?所以”>c，

所以b>a>c.

故選：D.

【點睛】

本題考查利用指對數(shù)函數(shù)的單調性比較指對數(shù)的大小，難度一般.除了可以直接利用單調性比較大小，還可以根據(jù)中間

值“0,1”比較大小.

6.D

【解析】

的展開式中的常數(shù)項，可轉化為求（6+2］展開式中的常數(shù)項和J項，再求和即可得出答案.

由題意，（4+：）中常數(shù)項為=60,

\6|2

中了項為屐（4）-2丫=240二，

7x

所以（爐一的展開式中的常數(shù)項為：

X3x240-^-1x60=180.

x

故選：D

【點睛】

本題主要考查二項式定理的應用和二項式展開式的通項公式，考查學生計算能力，屬于基礎題.

7.B

【解析】

先利用幾何概型的概率計算公式算出x,y能與1構成銳角三角形三邊長的概率，然后再利用隨機模擬方法得到x,y

能與1構成銳角三角形三邊長的概率，二者概率相等即可估計出萬.

【詳解】

因為X,）'都是區(qū)間（0,1）上的均勻隨機數(shù)，所以有0<x<l,0<y<l,若x,能與1構成銳角三角形三邊長，

X+V>11x1--—

則<,2,，由幾何概型的概率計算公式知p1141萬加435,

I+>1X14n2000

435

所以乃=4x（1—士土）=3.13.

2000

故選：B.

【點睛】

本題考查幾何概型的概率計算公式及運用隨機數(shù)模擬法估計概率，考查學生的基本計算能力，是一個中檔題.

8.B

【解析】

可判斷函數(shù)/（x）在R上單調遞增，且2°3>l>（）.2°3>0>log032,所以c<8<a.

【詳解】

03

v/（x）=亡]=1一一紅在R上單調遞增，且2°3>1>O.2->0>log032,

ex+lex+1

所以c<8<a.

故選：B

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)單調性的判定，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質，利用單調性比大小等知識，考查了學生的運算求解

能力.

9.A

【解析】

先根據(jù)麗=說，麗=2而得到P為AABC的重心，從而A戶=,A月+'故可得與+,急,利用

3333

LILIUUllULI11,2■——-

32=42_48可得8/>=-348+4。，故可計算％+〃的值.

【詳解】

因為血=加，麗=2萬，所以P為AABC的重心，

所以AZ5=LAQ+L/,..2AP=4AQ+，/,

22222

——1—1—

所以AP=—A8+—AC,

33

________2__1__

所以BP—AP-AB=——AB+—AC,因為BP—AAB+piAC,

所以九二,//=—,1.4+//=—故選A.

3339

【點睛】

對于AABC,一般地，如果G為AABC的重心，那么而=；（而+/），反之，如果G為平面上一點，且滿足

AG=1（AB+AC）,那么G為AABC的重心.

10.C

【解析】

取BiG的中點。，連接PQ,BQ,CQ,PD,則三棱柱8C0-AOP為直三棱柱，此直三棱柱和三棱錐P-ABC有相同

的外接球，求出等腰三角形QBC的外接圓半徑，然后利用勾股定理可求出外接球的半徑

【詳解】

如圖，取81G的中點Q,連接尸Q,BQ,CQ,PD,則三棱柱3c0-400為直三棱柱，所以該直三棱柱的六個頂點都

在球。的球面上，AQ3C的外接圓直徑為2r=-^7M=[,球0的半徑/?滿足於=產+（竽）2=二，所以球。的

sinZ-QCB2216

4171

表面積$=4m=丁’

【點睛】

此題考查三棱錐的外接球半徑與棱長的關系，及球的表面積公式，解題時要注意審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬

于中檔題.

11.A

【解析】

利用切割線定理求得利用勾股定理求得圓心到弦A3的距離，從而求得NAPO=30°,結合NPQx=45,

求得直線/的傾斜角為15,進而求得/的斜率.

【詳解】

曲線y=而二可為圓V+y2=i3的上半部分，圓心為（0,0）,半徑為舊.

設PQ與曲線y=J13-d相切于點。,

則|PQ『=|「"歸河=|尸4（歸川+恒川）=幟。「一|。。『=35

所以|Q4|=5,|AB|=2,

2A/32731

0到弦AB的距離為713^1=2百，sinZAPOT-7=—7=,所以ZAPO=30°,由于NP。元=45°，

\—OP\7=2V6xV22

所以直線/的傾斜角為45°-30,=15，斜率為tan15。=tan（45'-30°）=345-tan30=?一瓜

\'1+tan45°xtan30°

故選：A

p

【點睛】

本小題主要考查直線和圓的位置關系，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.

12.C

【解析】

模擬程序的運行即可求出答案.

【詳解】

解：模擬程序的運行，可得:

p=l,

S=l,輸出S的值為1,

滿足條件PW7,執(zhí)行循環(huán)體，p=3,S=7,輸出S的值為7,

滿足條件PW7,執(zhí)行循環(huán)體，p=5,5=31,輸出S的值為31,

滿足條件PW7,執(zhí)行循環(huán)體，p=7,5=127,輸出S的值為127,

滿足條件PW7,執(zhí)行循環(huán)體，p=9,5=511,輸出S的值為511,

此時，不滿足條件"7,退出循環(huán)，結束，

故若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是5,

故選：C.

【點睛】

本題主要考查程序框圖，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.[

【解析】

根據(jù)約束條件畫出可行域，即可由直線的平移方法求得x+y的取值范圍.

【詳解】

由題意，畫出約束條件表示的平面區(qū)域如下圖所示,

令2=*+曠，則y=r+z

如圖所示，圖中直線所示的兩個位置為y=-x+z的臨界位置，

根據(jù)幾何關系可得y=—x+z與)，軸的兩個交點分別為(0,-1),(0,血)，

所以X+)'的取值范圍為［—1,、分］.

故答案為：［―1,a］

【點睛】

本題考查了非線性約束條件下線性規(guī)劃的簡單應用，由數(shù)形結合法求線性目標函數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.

14.上網

3

【解析】

如圖所示，正四棱錐P-A8C。，。為底面的中心，點"為AB的中點，則ZR4O=60，設根據(jù)正四棱

錐的側面積求出。的值，再利用勾股定理求得正四棱錐的高，代入體積公式，即可得到答案.

【詳解】

如圖所示，正四棱錐P-ABC。，。為底面的中心，點加為A8的中點，

則ZPAO=60,設AB=a,

22

???OA=-a,.1.PA=6，PM=y/PA-AM=—a,

22

???PO==----Q，

2

.12DC_4遙

,,v——xcixP0—----?

33

故答案為：生區(qū).

3

【點睛】

本題考查棱錐的側面積和體積，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查運算求解能力.

24

15.——

13

【解析】

求出雙曲線的漸近線方程，求出準線方程，求出三角形的頂點的坐標，然后求解面積.

【詳解】

22

解：雙曲線C：雙曲線日匕=1中a=2,b=3,c=屈，

49

v2y2CT4

則雙曲線上-L=l的一條準線方程為xn-n-;一,

49Cy/13

雙曲線的漸近線方程為：y=±gx,

可得準線方程與雙曲線。的兩條漸近線所圍成的三角形的頂點的坐標（卡，卡），（卡,一右）

_,14,624

則二角形的面積為5Xx2x.

24

故答案為：—

13

【點睛】

本題考查雙曲線方程的應用，雙曲線的簡單性質的應用，考查計算能力，屬于中檔題.

16.1.7820

【解析】

根據(jù)空間位置關系，將平面旋轉后使得各點在同一平面內，結合角的關系即可求得兩點間距離的三角函數(shù)表達式.根據(jù)

所給參考數(shù)據(jù)即可得解.

【詳解】

棱長為2的正方體ABC。-44GA中，點",ME分別為棱的,A3"。的中點，以A為圓心，1為半徑，分別在

面A84A和面A8CD內作弧MN和NE.

將平面ABCD繞AB旋轉至與平面AB44共面的位置，如下圖所示：

%x8=144°，所以忸Q|=2sin720；

則“AQ4

將平面ABC。繞旋轉至與平面A。。A共面的位置，將ABA4繞AA旋轉至與平面ADRA共面的位置，如下

圖所示:

IB

B\

QAC

則—x2+90=126%所以出Q|=2sin630；

因為sin63'<sin72,且由誘導公式可得sin63°=cos27°，

所以最短距離為忸Q|=2sin63°=2x0.8910=1.7820，

故答案為：1.7820.

【點睛】

本題考查了空間幾何體中最短距離的求法，注意將空間幾何體展開至同一平面內求解的方法，三角函數(shù)誘導公式的應

用，綜合性強，屬于難題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1){x|-3<x<3}(2)ae(0,+oo)

【解析】

(1)利用零點分段法將/(6表示為分段函數(shù)的形式，由此求得不等式的解集.

(2)對。分成。>0,。=0,。<0三種情況，求得了(x)的最小值，由此求得。的取值范圍.

【詳解】

3x,x>1

(1)當a=2時，/(x)=|2x+l|+|x-l|=-x+2,-^<x<\,

a1

-3x,xv—

l2

由此可知，/(x)<9的解集為{x|-3<x<3}

(a+l)x,x>1

(2)當a>0時，/(jc)=|ax+l+|JC-1|="[a-l)x+2,--<x<1

一(a+l)x,xv—

a

/(X)的最小值為/和/(l)中的最小值，其中/(一5]=1+：>1，19

)=。+1>1.所以/(0>1恒成立.

當a=0時，/U)=|x-l|+l>l,且/⑴=1,/(x)>l不恒成立，不符合題意.

當a<0時，=1+，,

若—2Wa<0,則/(l)Wl,故/(幻>1不恒成立，不符合題意;

若。<一2,貝廳(一；|<1，故〃x)>l不恒成立，不符合題意.

綜上，ae(0,+oo).

【點睛】

本小題主要考查絕對值不等式的解法，考查根據(jù)絕對值不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，考查分類討論的數(shù)學思想方

法，屬于中檔題.

18.(I)y=——(x+1)；(II)a=\；(IE)證明見解析

e

【解析】

(I)根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解即可.

(n)求導分析函數(shù)的單調性，并構造函數(shù)/i(x)=/(x)-依根據(jù)單調性分析可得Mx)只能在x=0處取得最小值求解

即可.

(山)根據(jù)(I)(H)的結論可知”x)2=(x+l)J(x)2x在R上恒成立，再分別設〃==(x+l)〃=x的

ee

解為鼻、％.再根據(jù)不等式的性質證明即可.

【詳解】

(I)由題/(x)="_]+(x+l)e*,故/==.且f(-l)=0.

e

故f(x)在點(-l,/(-D)處的切線方程為y=—(x+1).

e

(II)設〃(x)=/(x)-ox=(x+l乂e*-l)—or?0恒成立，故〃(x)=(x+2)e*-a-l.

設函數(shù)o(x)=(x+2"r則e'(x)=(x+3)e',故G(x)=(x+2”r在(-8,-3)上單調遞減且姒x)<0,又°(x)在

(-3,+8)上單調遞增.

又姒0)=2,即"(0)=1—a且立⑼=0,故h(x)只能在X=0處取得最小值，

當a=1時，此時力(x)=(x+2)，-2,且在(，》,0)上〃。)<0,/z(x)單調遞減.

在(0,+力)上〃'(x)>0,h(x)單調遞增.故/?(%)>刈0)=0，滿足題意；

當a>1時，此時夕(力=(x+2)/=a+1有解%>0,且力(x)在(0,%)上單調遞減，與/?(%)>〃(0)矛盾；

當a<1時，此時9(x)=(%+2)/=a+1有解-3</<0,且A(x)在(%,0)上單調遞減，與//(%)>h(0)矛盾；

故a=l

(HI)/'(x)=e'T+(x+l)，=(x+2)/-l.由(I)J'(x)=(x+2)，—1在(-oo,-3)上單調遞減且1(x)<0,

又/,(x)在(-3,小)上單調遞增，故f\x)=0最多一根.

又因為尸(T)=(T+2)eT-l=eT-l<0J'(0)=(0+2)e°-l=l>0,

故設1(x)=0的解為x=/,因為/(一1)?/(。)<0,故”(—1,0).

所以“X)在(口)遞減，在("8)遞增.

因為方程/(幻=匕有兩個實數(shù)根占,當,故〃>/(。.

結合(I)(II)有/(x)2=(x+l)"(x)2x在R上恒成立.

e

設人=匕1》+1)的解為占,則占《菁；設。=x的解為％，則匕之馬.

e

,,eb.,

故忍=；-----1，%=b.

l-e

eb

故々-%<x-x<b+\-\-----，得證.

43e-1

【點睛】

本題主要考查了導數(shù)的幾何意義以及根據(jù)函數(shù)的單調性與最值求解參數(shù)值的問題.同時也考查了構造函數(shù)結合前問的

結論證明不等式的方法.屬于難題.

n

19.(1)S?=2-1(2)存在，a2=0,±l,±2,±3,±4,±5,-6

【解析】

(1)由數(shù)列"｝為“"⑴數(shù)列”可得,s“=a,l+l-l,S“T=??-l(n>2),兩式相減得an+l=2a“,(nN2),又g=2=2q,

利用等比數(shù)列通項公式即可求出a?，進而求出Sn；

⑵由題意得，S,、=a,.-2,S.j=an+l-2(n>2),兩式相減得，an+2=an+t+a”,(n>2),

據(jù)此可得，當〃23時,a,"-。,4+2=”川(華用一/)一=%+Mi-4：,進而可得

|4,/一44-2|=|q2-4,+口“1，623),即數(shù)列｛|。,,2-4+必1|｝為常數(shù)列,進而可得|q2-4用4]=|%2一生4|,(1123),

結合%=%+%，得到關于見的不等式，再由〃=2時E?-Gq|=|出2-3|<40,且4為整數(shù)即可求出符合題意的出

的所有值.

【詳解】

(1)因為數(shù)列｛4｝為“"⑴數(shù)列”，

所以S,=%+1-1,故S“_|=。"一l(n>2),

兩式相減得。用=2a“,(nN2),

在S“=。”+|-1中令〃=1,則可得%=2,故%=2%

所以￡i!!L=2,(/1eN',n>1),

an

所以數(shù)列｛4｝是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，

所以%=2"：因為S,,=%+「1,

所以S“=2"-1.

(2)由題意得S“=a,.-2,故S,i=%+i-2(n>2),

兩式相減得4+2=+%，(nN2)

2

所以，當，在2時，嘮一anan+2="3-%(。川+%)=an+l(an+l-a?)-a,,

又因為q,+i-=a〃T，(nN3)

所以當〃23時,-anan+2=??+1(??+|-??)-<=aj

所以,"+i--。"+陷"-11，(n23)成立，

所以當〃23時，數(shù)列｛,：一％+￡i|｝是常數(shù)列，

2

所以|a；-|=|o3-a2a4|,(n>3)

因為當〃=2時,-=??+i+an成立,

所以。4=%+出，

所以|《：一%*|%|=|%2-02a3-%21,(n23)

在S“=4+2-2中令〃=1,

因為4=1,所以可得4=3，

所以|9—3。2-生2|440,

由〃=2時且由為整數(shù),

可得％=0,±1,±2,±3,±4,±5,±6,

把％=0,±1,±2,±3,±4,±5,±6分別代入不等式|9-3生一qI<4()

可得,生=0,±L±2,±3,±4,±5,-6,

所以存在數(shù)列｛%｝符合題意,牝的所有值為生=°，±1，±2,±3,+4,±5,-6.

【點睛】

本題考查數(shù)列的新定義、等比數(shù)列的通項公式和數(shù)列遞推公式的運用;考查運算求解能力、邏輯推理能力和對新定義的

理解能力;通過反復利用遞推公式，得到數(shù)列為常數(shù)列是求解本題的關鍵;屬于綜合型強、難度大型試題.

(4、I—「41

20.(1)f—=3+A/3(2)f(x)的遞減區(qū)間為—和，兀

512J|_12_

【解析】

7F

(1)化簡函數(shù)/(X),代入X=—,計算即可；

12

兀

(2)先利用正弦函數(shù)的圖象與性質求出函數(shù)的單調遞減區(qū)間，再結合XG乃即可求出.

【詳解】

(1)f(x)-6cos2x-x/Jsin2x=3(1+cos2x)~Gsinlx

=->/3sin2x+3cos2x+3

=—2Gsin(2x-]J+3,

從而/佰=3+6.

JTTT7T

(2)令一汽+2k兀W2x—巴+2k兀,keZ

232

兀57r

解得一■一+k7T<x<-一?+匕T,攵eZ.

1212

JI

即函數(shù)/(X)的所有減區(qū)間為-五+k肛3+Z萬,kwZ,

nJI541\7t

考慮到xe—,7T,取左=0,1,可得xeI，有，一TT，乃，

12

541\TC

故y(x)的遞減區(qū)間為—和丁:萬,

【點睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變形，正弦函數(shù)的圖象與性質，屬于中檔題.

21.(1)x=l,V=|；(2)當x值為6-1時，無蓋三棱錐容器。一MEF的容積V最大.

【解析】