高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式常用高數(shù)公式1、乘法與因式分解公式2、3、三角不等式 2、3、三角不等式 口ar3一元二次方程十方工十c=0的解4、某些數(shù)列的前n項(xiàng)和5、二項(xiàng)式展開公式6、基本求導(dǎo)公式7、基本積分公式8、一些初等函數(shù)兩個(gè)重要極限9、三角函數(shù)公式正余弦定理10、萊布尼茲公式11、中值定理12、空間解析幾何和向量代數(shù)13、多元函數(shù)微分法及應(yīng)用14、多元函數(shù)的極值15、級(jí)數(shù)16、微分方程的相關(guān)概念1、乘法與因式分解公式——=(口—5)(0+8)1.11.2a*1.2a*土肥=（口土刃（口?干就十5力1.38為正整數(shù)）1.38為正整數(shù)）值為偶數(shù)）（口_耳（”_1十"一%十爐一&十…十就十$R_1）（口十十口?2_乂吁力2十…十就吁14an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2—L-abn-2+bn-1)(n為奇數(shù))2、三角不等式2.1…印I十同2.2"W十出24~\a\<a<同團(tuán)三方任一方三反三b2.6第1頁(yè)共9頁(yè)

高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式3、一元二次方程的解a=’十打工十c=03、一元二次方程的解3.2（韋達(dá)定理）根與系數(shù)的關(guān)系：b e￡i+w±=——$ =1工±=—a af>0萬桂白注尹一天以：三，三判機(jī)式，產(chǎn)—如^=口七程有相茸二買不.、qj方程右共靶復(fù)婪艱,4、某些數(shù)列的前n項(xiàng)和1十2十"…十『.?。?十3+5十,,,十（2品-1）=砧亡4.22十4十6十…十（2%）=界（外十I）4.44十」十3之十…十然=」/+1+2"+1）4.5V十/十5*十…十（2汴-1）之=.同：—D色Gi3In3?q3? , 3n工+I）*4,0 1+￡十J+,,,十四= 4.7F十竽十5號(hào)十一十（2"一1『=盯】2解￡—1）4.74,3二2十2?3十…十酒汴十。=汴-十，汴+2）5、二項(xiàng)式展開公式5.1g十曠=/十仃/一8十里/U十一妙十上臀一浜十…十十弛匚號(hào)B型2b一審十十y第2頁(yè)共9頁(yè)高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式6、基本求導(dǎo)公式:(C)(C)'=0(C為常數(shù))(Xa)'=axa-1(a為實(shí)數(shù))(cotx)，=-csc2x=- -sin2x(secx)'=secx-tanx(cscx)'=-cscx-cotx(ax)'=a(ax)'=axIna (ex)=ex(logx)'=-1-(Inx)'="axIna x(sinx)'=cosx(cosx)'=-sinx(arcsin(arccosx)，=-(arctan11-x2x)'=-1+x2(tanx)(tanx)'=sec2xcos2x(arccotx)'=- ■-1+x27、基本積分公式J0dx=Cxa+1Jxadx=0+1+C(aw-7、基本積分公式J0dx=Cxa+1Jxadx=0+1+C(aw-1)J—dx=In|x|+CxJexdx=ex+CJsecxdx=1nbecx+tanxl+CJcscxdx=Inlcscx-cotxl+Cdx =arctanx+C1+x2

dx%12-

dxJaxdx=生-+C1nacos2x

dx=arcsinx+Cx2-=Jsec2xdx=tanx+C=Jcsc2xdx=-cotx+Ccosxdx=sinx+Csin2xsecx-tanxdx=secx+Csinxdx=-cosx+Ccscx-cotxdx=-cscx+C8、一些初等函數(shù)：兩個(gè)重要極限:雙曲余弦：chx=十「sinx1lim =1xf0xlim(1+1)x=e=2.718281828459045...xf8 xshxex—e-x雙曲正切:thx= = chxex+e-xarshx=ln(x+%x2+1)Iarchx=±ln(x+--.x2-1)11+xarthx=In 21-x9、三角函數(shù)公式:第3頁(yè)共9頁(yè)■和差角公式:■和差化積公式:高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式sin(a±P)=sinacosP±cosasinPcos(a±P)=cosacosP從sinasinPsina+sinP=2sintan(a±P■和差角公式:■和差化積公式:高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式sin(a±P)=sinacosP±cosasinPcos(a±P)=cosacosP從sinasinPsina+sinP=2sintan(a±P)=tana±tanPsina-sinP=2cosa+P a-P cos 2 2a+P.a-P sin cot(a±P)=1htana-tanP

cota?cotPh1

cotP±cotacosa+cosP=2coscosa-cosP=2sin22

a+P a-P， cos 2 2a+Pa-P

sin ■倍角公式:sin2a=2sinacosacos2a=2cos2a-1=1-2sin2a=cos2a-sin2asin3a=3sina-4sin3acot2acot2a-1cos3a=4cos3a-3cosatan2a2cota2tanac 3tana-tan3atan3a= 1-3tan2a■半角公式:sina=±

2atan—21-tan2a.'1一cosaV2acos—2,11+cosa%±1-cosa1+cosa1一cosasinasinab1+cosaa

cot =±.I.2i.1+cosa1-cosa1+cosasinasina1-cosa.正弦定理：sinAsinBsinC=2R- c2=a2+b2-2abcosC■余弦定理：arctanx=--arccotx

22!-?反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinx=2-x10、高階導(dǎo)數(shù)公式——萊布尼茲(Leibniz)公式(UV)(n)=?CkU(n-k)V(k)nk=0.n(n-1) n(n-1)A(n-k+1) A=u(n)v+nu(n-1)V+ u(n-2)V+A+ U(n-k)V(k)+A+UV(n)11、中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用:拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)=f?)(b-a)柯西中值定理:f(b)-f(a)=岑I)F(b)-F(a)F'(|)當(dāng)^x)=x時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。12、空間解析幾何和向量代數(shù):第4頁(yè)共9頁(yè)

高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式空間2點(diǎn)的距離：d=M1M\=\(x2—高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式空間2點(diǎn)的距離：d=M1M\=\(x2—X1)2+(y2—yJ+(z2-zj向量在軸上的投影:PrjAB=AB-cosp"是AB與u軸的夾角。B,B BBPrj(a+a)=Prja+PrjaBbu=MWos。=ab+ab+ab,是一個(gè)數(shù)量,XXyy兩向量之間的夾角:cos。=「zzab+ab+abaXbXjaybyazbz線速度：B=Wxu向量的混合積：［aabcu=(auxb)-cu=aybycyazbzcz=戰(zhàn)b\'ICucosa,a為銳角時(shí)，代表平行六面體的體積。平面的方程：1、點(diǎn)法式：A(X-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,其中B={A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax+By+Cz+D=03、截距世方程:X+y+-=1abc平面外任意一點(diǎn)到該平面的距離：d=A0+By°、0C。+DA2+B2+C2x=x+mt空間直線的方程:^X0=y_y0=z0=t,其中B={m,n,〃};參數(shù)方程fy=y+ntmnp 0z=z+pt

0二次曲面：1、橢球面：工++左=1a2b2c22、拋物面4+y2-=z(p,q同號(hào))2p2q3、雙曲面：?jiǎn)稳~雙曲面聲+.-三=1a2b2c2雙葉雙曲面蘭-￡+z2=(馬鞍面)a2b2c213、多元函數(shù)微分法及應(yīng)用第5頁(yè)共9頁(yè)高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式全微分：dz=5zdx+*dyTOC\o"1-5"\h\z5x 5y,迦 迦 辿，du= dx+ dy+dz5x 0y 5z全微分的近似計(jì)算：Mxdz=f(x,y)Ax+f(x,y)Ay多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法:z=f[u(t),v(t)]dz d.zdudzdvdt5u5t 5v5t5z 5z5u 5zdv—=—?一+—?一5x 5u5x 5v5x當(dāng)u=u(x,y),v=v(x,y)時(shí)，,@u，、也u，

du=dx+dy5x 5y隱函數(shù)的求導(dǎo)公式:dx+"dy

5y亞=F一x,也5F5Fdy=一(——)+一(一r)-dxFydx25x Fy5y Fydx金—F金——F一5xx,F5yF隱函數(shù)F(x,y)=0,隱函數(shù)F(x,y,z)=0,zz隱函數(shù)方程組d5(F,G)

0(u,v)dFdudGdudF

dv

dG

dvFuGuFvGv5u_15(F,G)dv=15(F,G)5xJ5(x,v)5xJ5(u,x)5u15(F,G)生=15(F,G)5yJ5(y,v)5yJ5(u,y)微分法在幾何上的應(yīng)用:x=甲(t))w'(t)①’(t)空間曲線《y=v(t)在點(diǎn)M(x)w'(t)①’(t)z=?(t)在點(diǎn)M處的法平面方程：①’(t)(x-x)+v'(t)(在點(diǎn)M處的法平面方程：①’(t)(x-x)+v'(t)(y-y)+①'(t)(z-若空間曲線方程為：4FyGyFzGz0FzGzz0)=0FxGxFxGxFyGy曲面F(x,y,z)=0上一點(diǎn)M(x,y,z)，則:1、B0 00過此點(diǎn)的法向量：n={F(x0,y0,z0),F(x0,y0,z0),F(x0,y02、過此點(diǎn)的切平面方程：F(x,y,z)(x一x)+F(x,y,z)(y一y)+F(x,y,z)(z一z)=03、過此點(diǎn)的法線方程:x000 0x—x() =y—y0x0000 0z一z

0F(x0,y0,z0)14、多元函數(shù)的極值及其求法:設(shè)fx(設(shè)fx(x0，y0)=fy(x0，y0)=0令：fxx(x0,y0)=A,fxy(x0，y0)=B，fyy(x0，y0)=CAC-B2<AC-B2<0時(shí)，AC—B2=0時(shí)，[A<0,(x,y)為極大值A(chǔ)>0,(x0,y：)為極小值不確定15、級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù):第6頁(yè)共9頁(yè)高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式等比數(shù)列：1+q+q2+A+qn-1=1—q1-q等差數(shù)列：1+2+3+A+n=(n+A)n2調(diào)和級(jí)數(shù)：1+1+1+A+1是發(fā)散的23n級(jí)數(shù)審斂法:1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一一根植審斂法(柯西判別法)：‘P<1時(shí)，設(shè)：p=limnu，n一8‘P<1時(shí)，設(shè)：p=limnu，n一8n則jp>1時(shí)，p=1時(shí)級(jí)數(shù)收斂

級(jí)數(shù)發(fā)散

不確定2、比值審斂法:U-設(shè)：p=limn+1Un一8Jn'p<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂

級(jí)數(shù)發(fā)散

不確定3、定義法：s=u+u+A+u；lims存在，則收斂；否則發(fā)散。nn一8交錯(cuò)級(jí)數(shù)%-u2+u3-u4+A(或-u1+u2-u3+A,u>0)的審斂法 萊布尼茲定理：u>u II如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足人.nn+1，那么級(jí)數(shù)收斂且其和s<u，其余項(xiàng)r的絕對(duì)值|r|<u。limu=0 1 n n n+1、nnf8絕對(duì)收斂與條件收斂：(1)u+u+A+u+A，其中u為任意實(shí)數(shù)；(2)lu1+It1+lul+A+^l+A1 2 3如果(2)收斂，則(1)肯定收斂，且稱為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)；如果(2)發(fā)散，而(1)收斂，則稱(1)為條件收斂級(jí)數(shù)。調(diào)和級(jí)數(shù)：工1發(fā)散，而Zu%收斂；n n級(jí)數(shù)：工,收斂；n2p級(jí)數(shù)：Z工P<1時(shí)發(fā)散p p>1時(shí)收斂?jī)缂?jí)數(shù)：X<1時(shí)，收斂于1+x+x2+x3+A+xn+A 1—xX>1時(shí)，發(fā)散對(duì)于級(jí)數(shù)(3)a.+ax+ax2+A+axn+A，如果它不是僅在原點(diǎn)收斂，也不是在全(U<R時(shí)收斂廿>R時(shí)發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。x=R時(shí)不定(pH0時(shí)，R=jP=0時(shí)，R=+8p=+8時(shí)，R=0函數(shù)展開成幕級(jí)數(shù)：第7頁(yè)共9頁(yè)高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式TOC\o"1-5"\h\z函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)：f(x)=f(x)(x-x)+f(x0)(x—x)2+A+f(")(x0)(x-x)n+A0 0 2! 0 n1 0余項(xiàng)：R=3&(x-x)n+1,f(x)可以展開成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是：limR=0n (n+1)! 0 n-8nx=0時(shí)即為麥克勞林公式：f(x)=f(0)+f'(0)x+f(°)x2+A+fn，⑼xn+A0 2! n!一些函數(shù)展開成幕級(jí)數(shù)：m(m-1) . m(m-1)A(m-n+1)(1+x)m=1+mx+ -x2+A+- - Lx++A (-1<x<1)2! n!. x3,x5sin. x3,x5sinx=x 1 3!5!+(—1)n-1 +A (—8<x<+8)(2n-1)!歐拉公式:eix+e-ixcosx= eixeix=cosx+isinx或＜. eix—e-ixsinx= 16、微分方程的相關(guān)概念：一階微分方程：y'=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化為g(y)dy=f(x)dx的形式，解法：Jg(y)dy=Jf(x)dx 得：G(y)=F(x)+C稱為隱式通解。齊次方程：一階微分方程可以寫成d=f(x,y)=中(x,y)，即寫成”的函數(shù)，解法：dx x設(shè)u="，則d=u+x謔，u+—=^(u)