ruize2.1.1平面1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系知識導(dǎo)圖平面的概念及表示自然語言圖形語言符號語肅公理2的三個推論相交平面的畫法空間四辿形公理2公理三反狂法書空間中立線與立統(tǒng)之間的位置美系不共向知識導(dǎo)圖平面的概念及表示自然語言圖形語言符號語肅公理2的三個推論相交平面的畫法空間四辿形公理2公理三反狂法書空間中立線與立統(tǒng)之間的位置美系不共向公理4空間等角定理異而宜綠所成的角學(xué)法指導(dǎo)相交宜疆平行百線又向藏異面宜線的判定定理.研究幾何問題，不僅要掌握自然語言、符號語言、圖形語言的相互轉(zhuǎn)換，也要學(xué)會用符號語言表示點、直線、平面之間的位置關(guān)系.用圖形語言表示點、直線、平面之間的位置關(guān)系時，一定要注意實線與虛線的區(qū)別..學(xué)會用自然語言、符號語言描述四個公理的條件及結(jié)論，明確四個公理各自的作用..要理解異面直線的概念中“不同在任何一個平面內(nèi)”的含義，即兩條異面直線永不具備確定平面的條件..判斷異面直線時，要更多地使用排除法和反證法..作異面直線所成的角時，注意先選好特殊點，再作平行線.高考導(dǎo)航.平面及其基本性質(zhì)是后面將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容的基礎(chǔ)和證明的依據(jù)，ruize需要牢固掌握，但高考中很少單獨考查..高考經(jīng)?？疾閮蓷l直線位置關(guān)系的判定和公理4的應(yīng)用，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時也以解答題某一問的形式出現(xiàn)，分值5?7分..求異面直線所成的角，常與正、余弦定理（必修5中學(xué)習(xí)）綜合考查，對于理科考生還需要掌握用空間向量法（選修2-1中學(xué)習(xí)）求角的大小.獨立考查該知識的試題不多，有時以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時以解答題的形式出現(xiàn)（一般作為第一問），分值5?7分.第1課時平面概念幾何里所說的“平面”是從生活中的一些物體中抽象出來的，是無限延展的畫法常常把水平的平面畫成一個平行四邊形，并且其銳角畫成45°,且橫邊長等于鄰邊長的2倍，為了增強(qiáng)立體感，被遮擋部分用虛線畫出來表示方法（1）一個希臘字母：如a,P,7等；⑵兩個大寫英文字母：表示平面的平行四邊形的相對的兩個頂點；⑶四個大寫英文字母：表示平面的平行四邊形的四個頂點用闕掰濟(jì)物翎幽懶掰幽砌幽淵筋然眼媚魅微泌新知全知識點一平面1.平面和點、直線一樣，是只描述而不加定義的原始概念，不能進(jìn)行度量；2.平面無厚薄、無大小，是無限延展的..直線在平面內(nèi)的概念如果直線l上的所有點都在平面a內(nèi)，就說直線l在平面a內(nèi)，或者說平面a經(jīng)過直線l.2.一些文字語言、數(shù)學(xué)符號與圖形的對應(yīng)關(guān)系數(shù)學(xué)符號表示文字語言表達(dá)圖形語言表達(dá)A￡l點A在直線l上A^l點A在直線l外A金a點A在平面a內(nèi)4”A-a點A在平面a外?a&_7

ruizelua直線1在平面a內(nèi)/14a直線1在平面a外—11Dm=A直線1,m相交于點Aactan§=1平面a,§相交于直線1知識點二平面的基本性質(zhì)公理內(nèi)容圖形符號公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，哪么這條直線在此平面內(nèi)一A￡1,B￡1且A￡a,B￡a今1ua公理2過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面A,B,C三點不共線今存在唯一的平面a使A,B,C￡a公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線電P￡a且P￡§今an§=1且P￡11.公理1的作用：①用直線檢驗平面（常被應(yīng)用于實踐，如泥瓦工用直的木條刮平地面上的水泥漿）；②判斷直線是否在平面內(nèi)（經(jīng)常被用于立體幾何的說理中）..公理2的作用：①確定平面:②證明點、線共面.公理2中要注意條件“不在同一條直線上的三點”，事實上，共線的三點是不能確定一個平面的.同時要注意經(jīng)過一點、兩點或在同一條直線上的三點可能有無數(shù)個平面；過不在同一條直線上的四點，不一定有平面.因此，要充分重視“不在同一條直線上的三點”這一條件的重要性..公理3的主要作用：①判定兩個平面是否相交；②證明共線問題；③證明線共點問題.公理3強(qiáng)調(diào)的是兩個不重合的平面，只要它們有公共點，其交集就是一條直線.以后若無特別說明，“兩個平面”是指不重合的兩個平面.ruize［小試身手］1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“J”，錯誤的打“x”)(1)空間不同三點確定一個平面.()(2)空間兩兩相交的三條直線確定一個平面.()(3)和同一直線都相交的三條平行線在同一平面內(nèi).()☆答案☆:(1)X(2)X(3)J.經(jīng)過空間任意三點作的平面()A.只有一個B.只有兩個C有無數(shù)個D.只有一個或有無數(shù)個解析：當(dāng)三點共線時，可作無數(shù)個平面；當(dāng)三點不共線時，只能作一個平面.☆答案☆:D.如果aua,bua,lAa=A,lAb=B，那么下列關(guān)系成立的是()A.luaB.l陣aC.lAa=AD.lAa=B解析：???lAa=A又aua,???Ael且Aea.同理Bel且Bea.Alua.☆答案☆:A4.如果空間四點A、B、C、D不共面，那么下列判斷正確的是()A、B、C、D四點中必有三點共線A、B、C、D四點中不存在三點共線C.直線AB與CD相交D.直線AB與CD平行解析：A、B、C、D四點中若有三點共線，則必與另一點共面；直線AB與CD既不平行也不相交，否則A、B、C、D共面.☆答案☆:B類型一平面，例1下面四種說法：①平面的形狀是平行四邊形；②任何一個平面圖形都可以表示平面；③平面ABCD的面積為10cm2；④空間圖形中，后引的輔助線都是虛線.其中正確的說法的序號為 .【解析】本題考查的是平面的概念及平面的畫法與表示方法.平ruize面是無限延展的，不計大小，不計面積，而平行四邊形是平面的一部分，它是不能無限延展的.另外，在空間圖形中，我們一般把能看得見的線畫成實線，把被面遮住看不見的線畫成虛線，目的是增強(qiáng)立體感，同幾何體的三視圖的畫法類似，后引的輔助線也是如此，這與平面幾何是有區(qū)別的.有時，根據(jù)具體的情況，可以用其他的平面圖形，如矩形、圓、正多邊形等表示平面，但不能說它是平面.綜上，①③④錯誤，②正確.故填②.【☆答案☆】②平面是從現(xiàn)實中抽象出來的，它具有無限延展性，無比平整性、無大小、無輕重、無厚薄，平面和平面圖形是完全不同的兩個概念.方法歸納平面畫法的四個關(guān)注點①通常畫的平行四邊形表示的是整個平面.需要時，可以把它延展開來，如同在平面幾何中畫直線一樣，直線是可以無限延伸的，但在畫直線時卻只畫一條線段（無端點）來表示.②加“通?！倍值囊馑际且驗橛袝r根據(jù)需要也可用其他平面圖形表示，如用三角形、矩形、圓等平面圖形來表示平面.③畫表示平面的平行四邊形時，通常把它的銳角畫成45°,橫邊畫成鄰邊的兩倍.④畫表示豎直平面的平行四邊形時，通常把它的一組對邊畫成鉛垂線.跟蹤訓(xùn)練1如圖所示的兩個相交平面，其中畫法正確的是（）解析：對于①，圖中沒有畫出平面a與平面P的交線，另外圖中的實線、虛線也沒有按照畫法原則去畫，因此①的畫法不正確.同樣的道理，可知②③的畫法不正確，④中畫法正確.☆答案☆:④ruize利用平面的概念及平面的畫法進(jìn)行判斷.類型二文字語言、圖形語言、符號語言的轉(zhuǎn)化例2（1）根據(jù)下列符號表示的語句，說明點、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形：①A￡a,B陣a；②A￡a,mAa=A,A陣l,lua；③P￡l,P陣a,Q￡l,Q￡a；（2）用符號語言表示下列語句，并畫出圖形：①三個平面a,P,>相交于一點P，且平面a與平面P相交于PA,平面a與平面>相交于PB，平面P與平面>相交于PC；②平面ABD與平面BDC相交于BD,平面ABC與平面ADC相交于AC.【解析】（1）①點A在平面a內(nèi)，點B不在平面a內(nèi)；②直線l在平面a內(nèi)，直線m與平面a相交于點A，且點A不在直線/上；③直線l經(jīng)過平面a外一點P和平面a內(nèi)一點Q.圖形分別如圖①②③所示.（2）①符號語言表示：aApAy=P,aAp=PA,aA尸PB,PA產(chǎn)PC.圖形表示如圖④所示.②符號語言表示：平面ABDA平面BDC=BD，平面ABCA平面ADC=AC.圖形表示如圖⑤所示.本題考查數(shù)學(xué)抽象.在“A￡a,lua”中A視為平面a（集合）內(nèi)的點（元素），1（集合）視為平面a（集合）內(nèi)的直線（子集）.方法歸納（1）用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著先用文字語言表示，再用符號語言表示.ruize⑵要注意符號語言的意義，如點與直線的位置關(guān)系只能用“金”或“4”表示；直線與平面的位置關(guān)系只能用“U”或“。”表示.⑶根據(jù)已知符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別.fi C跟蹤訓(xùn)練2根據(jù)如圖所示，在橫線上填入相應(yīng)的符號或字母：A平面ABC，A平面BCD，BD平面ABC,平面ABCn平面ACD=.☆答案☆:e陣aac根據(jù)符號的含義進(jìn)行判斷或轉(zhuǎn)化.類型三平面性質(zhì)的應(yīng)用例3如圖，AABC在平面a外，ABna=P,ACna=Q,BCna=R求證：P,Q,R三點共線.【證明】方法一VABna=P,APEAB,PEa.又AB匚平面ABC,AP￡平面ABC.由公理3可知點P在平面ABC與平面a的交線上，同理可證Q,R也在平面ABC與平面a的交線上，AP,Q,R三點共線.方法二VAPnAQ=A,A直線AP與直線AQ確定平面APQ.又ABna=P,ACna=Q，，平面APQna=PQ.VB￡平面APQC金平面APQ,ABC匚平面APQ.VREBC,ARE平面APQ，又REa,AREPQ,AP,Q,R三點共線.ruize證明三點共線，可以證明三點都在兩平面的交線上或第三點在兩點所確定的直線上.方法歸納(1)證明三線共點常用的方法是先說明兩條直線共面且相交于一點，然后說明這個點在以另一條直線為交線的兩個平面內(nèi)，即該點在另一條直線上，則可得三線共點.⑵證明點、線共面問題的理論依據(jù)是公理1和公理2，常用方法有：①先由部分點、線確定一個面，再證其余的點、線都在這個平面內(nèi)，即用“納入平面法”；②先由其中一部分點、線確定一個平面^,其余點、線確定另一個平面B，再證平面a與B重合，即用“輔助平面法”；③假設(shè)不共面，結(jié)合題設(shè)推出矛盾，用“反證法”.跟蹤訓(xùn)練3如圖，三個平面a、0、y兩兩相交，aA0=c,0A>=a,yAa=b，若直線a和b不平行，求證：a,b,c三條直線必過同一點.證明：:aAy=b,0Ay=a，?二auy,buy,*/a與b不平行，，a與b必相交，設(shè)aAb=P，貝UP￡a,P￡b,丁au0,bua，?7P￡0,P￡a.又aA0=c,.?.P￡c,即交線c經(jīng)過點P.a、b、c三條直線相交于同一點.,證明三線共點的基本方法是先證明待證的三條直線中的兩條相交于一點，再證明第三條直線也過該點.常結(jié)合公理3,證明該點在不重合的兩個平面內(nèi)，故該點在它們的交線(第三條直線)上，從而證明三線共占/、八?ruize課時祚I業(yè)課時祚I業(yè)?圖業(yè)您展承戢拼錯就黑耨稹黑擄德想接報橫接簿港指情算常戲余耀道熱［基礎(chǔ)鞏固］（25分鐘，60分）一、選擇題（每小題5分，共25分）.若點M在直線a上，a在平面a內(nèi)，則M,a,a間的關(guān)系可記為（）A.M￡a,a￡aB.M￡a,auaC.Mua,auaD.Mua,a￡a解析：根據(jù)點與直線、直線與平面之間位置關(guān)系的符號表示，可知B正確.☆答案☆:B.給出下面四個命題：①三個不同的點確定一個平面；②一條直線和一個點確定一個平面；③空間兩兩相交的三條直線確定一個平面；④兩條平行直線確定一個平面.其中正確的命題是（）A.①B.②C.③D.④解析：對于①，三個不共線的點確定一個平面，故錯；對于②，一條直線和直線外一個點確定一個平面，故錯；對于③，空間兩兩相交的三條直線，且不能交于同一點，確定一個平面，故錯；對于④，兩條平行直線確定一個平面，正確.☆答案☆:D.下面空間圖形畫法錯誤的是（）A EI)A EI)ruize解析：畫立體圖時，被平面遮住的部分畫成虛線或不畫.☆答案☆:D.給出以下四個命題：①不共面的四點中，其中任意三點不共線；②若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則點A，B，C，D，E共面；③若直線〃，b共面，直線〃，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面.其中正確命題的個數(shù)是（）A.0B.1C.2D.3解析：①假設(shè)其中有三點共線，則該直線和直線外的另一點確定一個平面，這與四點不共面矛盾，故其中任意三點不共線，所以①正確；②如圖，兩個相交平面有三個公共點A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③顯然不正確；④不正確，因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面上，如空間四邊形.☆答案☆:B5.在空間四邊形ABCD中，在AB,BC,CD,DA上分別取E,F,G,H四點，如果GH,EF交于一點P，則（ ）P一定在直線BD上P一定在直線AC上P在直線AC或BD上P既不在直線BD上，也不在AC上解析：由題意知GHu平面ADC.因為GH,EF交于一點P,所以P￡平面ADC.同理，P￡平面ABC.因為平面ABC0平面ADC=AC,由公理3可知點P一定在直線AC上.☆答案☆:B二、填空題（每小題5分，共15分）.設(shè)平面a與平面P相交于直線l，直線〃ua，直線bup,anb=M，則點M與l的位置關(guān)系為.解析：因為anb=M,aUa,bup，所以M金a,M金p.又平面a與平面P相交于直線l，所以點M在直線l上，即M曰.ruize☆答案☆:M0.給出以下命題：①和一條直線都相交的兩條直線在同一平面內(nèi)；②三條兩兩相交的直線在同一平面內(nèi)：③有三個不同公共點的兩個平面重合；④兩兩平行的三條直線確定三個平面.其中正確命題的個數(shù)是.解析：空間中和一條直線都相交的兩條直線不一定在同一平面內(nèi)，故①錯；若三條直線相交于一點時，不一定在同一平面內(nèi)，如長方體一角的三條線，故②錯；若兩平面相交時，也可有三個不同的公共點，故③錯；若三條直線兩兩平行且在同一平面內(nèi)，則只有一個平面，故④錯.☆答案☆:0.把下列符號敘述所對應(yīng)的圖形的序號填在題后的橫線上：①②⑶④(1)A陣a,aua：.(2)anB=a,P陣a，且P陣P：.(3)a。a,ana=A：.(4)anp=a,any=c,Pny=b,anbnc=O：.☆答案☆:(1)③⑵④⑶①⑷②三、解答題(每小題10分，共20分).完成下列各題：(1)將下列文字語言轉(zhuǎn)換為符號語言.①點A在平面a內(nèi)，但不在平面P內(nèi)；②直線a經(jīng)過平面a外一點M；③直線l在平面a內(nèi)，又在平面P內(nèi)(即平面a和平面P相交于直線l).(2)將下列符號語言轉(zhuǎn)換為圖形語言.aua,bna=A,A陣a；anp=c,aua,bup,a//c,bnc=P.解析：(1)①A金a,A陣p.②Mea,M$a.anp=l.⑵①11rz②10.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點M、N、E、F分別是棱CD、AB、DD1、AA1上的點，若MN與EF交于點Q，求證：D、A、Q三點共線.證明：丁MNAEF=Q，?7Q￡直線MN,Q￡直線EF,丁M￡直線CD,N￡直線AB,CDu平面ABCD,ABu平面ABCD,：.M、N￡平面ABCD,：.MNu平面ABCD,???Q￡平面ABCD.同理，EFu平面ADD^a1,?Q￡平面ADD1a1,又丁平面ABCDA