理論力學郝桐生第三版件第1頁/共89頁2第3章平面任意力系第1節(jié)平面任意力系向作用面內一點簡化第2節(jié)平面任意力系的平衡條件和平衡方程第3節(jié)物體系的平衡?靜定和超靜定問題第4節(jié)平面簡單桁架的內力計算第2頁/共89頁3第1節(jié)

平面任意力系向作用面內一點簡化平面任意力系實例第3頁/共89頁4

可以把作用在剛體上點A的力F平行移到剛體上任意一點B，但必須同時附加一個力偶，這個力偶的力偶矩等于原來的力F對新作用點B的矩。一、力的平移定理證明：各力的作用線在同一平面內，既不匯交為一點又不相互平行的力系叫平面任意力系。第4頁/共89頁5力線平移定理

動畫參見動畫：平面力線平移定理第5頁/共89頁6為什么如此攻螺紋會斷？參見動畫：鉗工用絲錐攻螺紋(斷)參見動畫：力線平移實例第6頁/共89頁7二、平面任意力系向作用面內一點簡化?主矢和主矩稱點O為簡化中心參見動畫：平面任意力系向平面內任一點的簡化第7頁/共89頁8平面力系向作用面內一點簡化稱點O為簡化中心F1’、F2’、….Fn’平面匯交力系，合力為FR’M1、M2、….Mn平面力偶系，合力偶矩為MO第8頁/共89頁9平面力系中所有各力的矢量和FR′稱為該力系的主矢量（簡稱為主矢）1.主矢和主矩原力系的主矢與簡化中心O的位置無關

FR’=F1’+F2’+….+Fn’=F’=F

主矢FR′的大小和方向余弦為：主矩：原力系中各力對簡化中心O之矩的代數和稱為原力系對點O的主矩。主矩與簡化中心的選擇有關

主矢：第9頁/共89頁102.平面任意力系的簡化結果

平面任意力系向平面內任一點簡化，一般可以得到一個力和一個力偶，這個力等于力系中各力的矢量和，作用于簡化中心，稱為原力系的主矢；這個力偶的矩等于原力系中各力對簡化中心之矩的代數和，稱為原力系的主矩。

固定端約束固定端A處的約束力可簡化為兩個約束力FAx、FAy和一個矩為ＭA的約束力偶==參見動畫：插入端約束受力的簡化第10頁/共89頁11

動畫插入端約束實例參見動畫：插入端約束實例(機翼)參見動畫：遮雨蓬第11頁/共89頁12三、平面任意力系的簡化結果分析1．簡化為一力偶的情況若FR′=0，MO0，則原力系簡化為一個合力偶。合力偶矩為2．簡化為一合力的情況（1）若FR′0，MO=0，力FR′就是原力系的合力FR。此時合力FR的作用線通過簡化中心。此時主矩與簡化中心的選擇無關。（2）FR′0，MO0，此時仍可合成為一個力。第12頁/共89頁13合力矩定理的證明：

作用于點O′的原力系合力FR與作用在點O的FR′和力偶MO等效，由力的平移定理有而合力矩定理得證合力矩定理：平面任意力系的合力對平面內任一點的矩等于力系中各力對同一點的矩的代數和。3．平面力系為平衡力系的情況若FR′=0，MO=0，則原力系為平衡力系。第13頁/共89頁14在長方形平板的O，A，B，C點上分別作用著有四個力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如圖），試求以上四個力構成的力系對O點的簡化結果，以及該力系的最后合成結果。F1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°例題1例題平面任意力系第14頁/共89頁15求向O點簡化結果解：建立如圖坐標系Oxy。F1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°所以，主矢的大小1.求主矢

。例題1例題平面任意力系第15頁/共89頁162.求主矩MO主矢的方向：yOABCxMO例題1例題平面任意力系F1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°第16頁/共89頁17最后合成結果由于主矢和主矩都不為零，所以最后合成結果是一個合力FR。如圖所示。合力FR到O點的距離FROABCxyMOFROABCxyd例題1例題平面任意力系第17頁/共89頁18

重力壩受力情況如圖所示。G1=450kN，G2=200kN，F1=300kN，F2=70kN。求力系向點O簡化的結果，合力與基線OA的交點到O點的距離x，以及合力作用線方程。

9m3m1.5m3.9m5.7m3mxyABCOF1G1G2F2例題2例題平面任意力系第18頁/共89頁191.將力系向O點簡化，得主矢和主矩，如右圖所示。主矢的投影解：AOCMO3my9m1.5m3.9m5.7m3mxABCOF1G1G2F2例題2例題平面任意力系力系主矢FR的大小第19頁/共89頁20主矢FR的方向余弦則有AOCMO例題2例題平面任意力系主矢FR在第四象限內，與x軸的夾角為–70.84o。力系對O點的主矩為第20頁/共89頁212.求合力與基線OA的交點到O點的距離x。AOCFRFRyFRxx所以由合力矩定理得其中故解得合力FR的大小和方向與主矢FR相同。AOCMO例題2例題平面任意力系合力作用線位置由合力矩定理求得。第21頁/共89頁22

設合力作用線上任一點的坐標為（x，y)，將合力作用于此點，則3.求合力作用線方程。AOCFRFRyFRxxxy可得合力作用線方程即例題2例題平面任意力系第22頁/共89頁23第2節(jié)平面任意力系的平衡條件和平衡方程一．平面任意力系的平衡條件和平衡方程

平面任意力系平衡的必要和充分條件是力系的主矢和對任一點的主矩都等于零。

平面任意力系平衡的解析條件是：所有各力在兩個任選的坐標軸上的投影代數和分別等于零，以及各力對于任意一點的矩的代數和也等于零。

平面任意力系的平衡方程一個研究對象在平衡的平面任意力系作用下具有3個獨立的平衡方程式。第23頁/共89頁24

伸臂式起重機如圖所示，勻質伸臂AB

重G=2200N，吊車D，E連同吊起重物各重F1=

F2=4000N。有關尺寸為：l=4.3m，a=1.5m，b=0.9m，c

=0.15m，α=25°。試求鉸鏈A對臂AB的水平和鉛直約束力，以及拉索BF

的拉力。aαcbBFACF1F2l例題3例題平面任意力系第24頁/共89頁25yxBA解：1.取伸臂AB為研究對象。FBGF2F1ECDFAyFAxα2.受力分析如圖。aαcbBFACF1F2l例題3例題平面任意力系第25頁/共89頁263.選如圖坐標系，列平衡方程。FAyyxBAFBGF2F1ECDFAxαabl例題3例題平面任意力系第26頁/共89頁274.聯立求解。

FB=12456NFAx=11290NFAy=4936NFAyyxBAFBGF2F1ECDFAxαabl例題3例題平面任意力系第27頁/共89頁28

如圖所示為一懸臂梁，A為固定端，設梁上受強度為q的均布載荷作用，在自由端B受一集中力F和一力偶M作用，梁的跨度為l，求固定端的約束力。ABlqFM例題4例題平面任意力系第28頁/共89頁292.列平衡方程3.解方程1.取梁為研究對象，受力分析如圖解：ABlqFMqABxyMFFAyMAlFAx例題4例題平面任意力系第29頁/共89頁30例題5例題平面任意力系

自重為G=100kN的T字形剛架ABD，置于鉛垂面內，載荷如圖所示，其中M=20kN·m，F=400kN，q=20kN/m，l=1m。試求固定端A的約束力。ADl

l3lqBMFG第30頁/共89頁31例題5例題平面任意力系1.取T

字形剛架為研究對象，受力分析如圖。ADBllF1FAxFAyMAl

MFGyx解：ADl

l3lqBMFG第31頁/共89頁32例題5例題平面任意力系2.按圖示坐標，列寫平衡方程。ADBllF1FAxFAyMAl

MFGyx第32頁/共89頁33例題5例題平面任意力系3.聯立求解。ADBllF1FAxFAyMAl

MFGyx第33頁/共89頁34二．平面力系平衡方程的其他形式二力矩式：

A、B兩點的連線應不垂直于投影軸x。

三力矩式：

A、B、C必須是平面內不共線的任意三點

。第34頁/共89頁35三、求解平面力系的平衡問題時的一般步驟選取研究對象；畫受力圖；建立坐標軸；列平衡方程求解未知量。注意：列平衡方程時矩心應選在多個未知力的交點上，坐標軸應當與盡可能多的未知力垂直；利用合力矩定理求力對點之矩。第35頁/共89頁36

平面平行力系的定義：如果平面力系中各力的作用線相互平行，則稱該力系為平面平行力系。平面平行力系的平衡方程各力不得與投影軸垂直A、B兩點連線不能與力的作用線平行

四、平面平行力系第36頁/共89頁37

塔式起重機如圖所示。機架重G1=700kN，作用線通過塔架的中心。最大起重量G2=200kN，最大懸臂長為12m，軌道AB的間距為4m。平衡荷重G3到機身中心線距離為6m。試問：

(1)保證起重機在滿載和空載時都不翻倒，求平衡荷重G3應為多少?(2)當平衡荷重G3=180kN時，求滿載時軌道A，B給起重機輪子的約束力？AB2m2m6m12mG1G2G3例題6例題平面任意力系第37頁/共89頁381.起重機不翻倒。滿載時不繞B點翻倒，臨界情況下FA=0，可得

取塔式起重機為研究對象，受力分析如圖所示。解：AB2m2m6m12mG1G2G3例題6例題平面任意力系第38頁/共89頁39

空載時，G2=0，不繞A點翻倒，臨界情況下FB=0，可得保證起重機在滿載和空載時都不翻倒，則有AB2m2m6m12mG1G2G3例題6例題平面任意力系75kN＜G3＜350kN第39頁/共89頁40

2.取G3=180kN，求滿載時軌道A，B給起重機輪子的約束力。列平衡方程解方程得AB2m2m6m12mG1G2G3例題6例題平面任意力系第40頁/共89頁41

一種車載式起重機，車重G1=26kN，起重機伸臂重G2=4.5kN，起重機的旋轉與固定部分共重G3

=31kN。尺寸如圖所示。設伸臂在起重機對稱面內，且放在圖示位置，試求車子不致翻倒的最大起吊重量Gmax。G2FAG1G3GFBAB3.0m2.5m1.8m2.0m例題7例題平面任意力系第41頁/共89頁42

1.取汽車及起重機為研究對象，受力分析如圖。2.列平衡方程。解：GG2FAG1G3FBAB3.0m2.5m1.8m2.0m例題7例題平面任意力系第42頁/共89頁434.不翻倒的條件是：FA≥0，

所以由上式可得故最大起吊重量為

Gmax=7.5kN3.聯立求解。

G2FAG1G3FBAB3.0m2.5m1.8m2.0mGG≤例題7例題平面任意力系第43頁/共89頁44第3節(jié)物體系的平衡?靜定和超靜定問題一．

物體系統(tǒng)

由若干個物體通過適當的約束相互連接而組成的系統(tǒng)，稱為物體系統(tǒng)。二．內力和外力內力——組成系統(tǒng)的各個構件之間的相互作用力，稱為該系統(tǒng)的內力。特點是成對出現。外力——外界物體作用于這個系統(tǒng)的力，稱為該系統(tǒng)的外力。三．靜定與靜不定問題靜定問題：未知數=平衡方程數超靜定問題：未知數＞平衡方程數超靜定次數=未知數-平衡方程數第44頁/共89頁45三個獨立方程，只能求三個獨立未知數。平面力偶系的平衡方程：平面任意力系的平衡方程：平面匯交力系的平衡方程：兩個獨立方程，只能求兩個獨立未知數一個獨立方程，只能求一個獨立未知數。第45頁/共89頁46靜定問題超靜定問題第46頁/共89頁47靜定問題1次超靜定2次超靜定四．解法選取適當的研究對象，進行受力分析，并列出響應的平衡方程。物體系統(tǒng)平衡組成物體系統(tǒng)的各個構件也是平衡的如每個單體可列3個平衡方程，設物系中有n個物體，整個系統(tǒng)可列

3n個方程。解物系問題的一般方法：

由整體局部（常用），由局部整體（用較少）第47頁/共89頁48

A，B，C，D處均為光滑鉸鏈，物塊重為G，通過繩子繞過滑輪水平地連接于桿AB的E點，各構件自重不計，試求B處的約束力。

例題8例題平面任意力系第48頁/共89頁49FAyFAxFCxFCyG解：1.取整體為研究對象。2.受力分析如圖。3.列平衡方程。解得

例題8例題平面任意力系第49頁/共89頁50FAyFAxFCxFCyGFBxFAyFAxFByFE4.取桿AB為研究對象，受力分析如圖。列平衡方程聯立求解可得例題8例題平面任意力系如求A、C處的約束力，如何求？1.取整體為研究對象2.取桿AB（或桿CD+圓盤）為研究對象第50頁/共89頁51

如圖所示為曲軸沖床簡圖，由輪I，連桿AB和沖頭B組成。A，B兩處為鉸鏈連接。OA=R，AB=l。如忽略摩擦和物體的自重，當OA在水平位置，沖壓力為F時系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。求：（1）作用在輪I上的力偶之矩M的大??；（2）軸承O處的約束反力；（3）連桿AB受的力；（4）沖頭給導軌的側壓力。ABOMF例題9例題平面任意力系第51頁/共89頁52

1.取沖頭為研究對象，受力分析如圖所示。列平衡方程ByxFBFNF解方程得解：ABOMF例題9例題平面任意力系第52頁/共89頁53OA

2.取輪I為研究對象，受力分析如圖所示。列平衡方程解方程得yxFOxFOyFAMABOMF例題9例題平面任意力系第53頁/共89頁54

如圖所示組合梁由AC和CD在C處鉸接而成。梁的A端插入墻內，B處鉸接一二力桿。已知：F=20kN，均布載荷q=10kN/m，M=20kN?m，l=1m。試求插入端A及B處的約束力。ABCDqllllFM例題10例題平面任意力系第54頁/共89頁55CBD

1.以梁CD為研究對象，受力分析如圖所示。列平衡方程解方程可得qFCxFCyFFBABCDqllllFM例題10例題平面任意力系第55頁/共89頁56

2.以整體為研究對象，受力分析如圖所示。列平衡方程解：BCDAqllllFMAFAyFBMFAx例題10例題平面任意力系聯立求解方程可得第56頁/共89頁57

如圖所示，已知重力G，DC=CE=AC=CB=2l；定滑輪半徑為R，動滑輪半徑為r，且R=2r=l,θ=45°

。試求：A，E支座的約束力及BD桿所受的力。DⅡKCABEⅠG例題11例題平面任意力系第57頁/共89頁58DⅡKCABEⅠ

1.選取整體研究對象，受力分析如圖所示。列平衡方程解平衡方程FAGFExFEy解：例題11例題平面任意力系第58頁/共89頁59

2.選取DEC研究對象，受力分析如圖所示。ECKD列平衡方程解平衡方程FKFEyFExDⅡKCABEⅠG例題11例題平面任意力系第59頁/共89頁60

往復式水泵如圖所示。電動機作用在齒輪Ⅰ上的轉矩為M，通過齒輪Ⅱ帶動曲柄滑塊機構O1AB。已知r1=50mm，r2=75mm,O1A=50mm，AB=250mm，齒輪的壓力角為20o

，當曲柄O1A

位于鉛垂位置時，作用在活塞上的工作阻力FH=600N，求這時的轉矩M，以及連桿AB所受到的壓力和軸承O及O1

的約束力。各零件自重及摩擦均略去不計。r1r2ⅠⅡOO1ABαMFH例題12例題平面任意力系第60頁/共89頁61

1.取B活塞為研究對象，受力分析如圖。列平衡方程解：由幾何尺寸有解得r1r2ⅠⅡOO1ABαMFHBxyFHαFNFAB例題12例題平面任意力系第61頁/共89頁62列平衡方程2.取齒輪Ⅱ為研究對象，受力分析如圖。解得r2ⅡO1AxyFFABFO1xFO1y例題12例題平面任意力系第62頁/共89頁63列平衡方程3.

取齒輪Ⅰ為研究對象，受力分析如圖。解得r1r2ⅠⅡOO1ABαMFHr1ⅠOMFOxFOyF'例題12例題平面任意力系第63頁/共89頁64①力偶在坐標軸上投影不存在；②力偶矩M=常數，它與坐標軸與取矩點的選擇無關。

解題步驟解題技巧①選研究對象；

②畫受力圖（受力分析）；

③選坐標、取矩點、列平衡方程；

④解方程求出未知數。①取矩心最好選在未知力的交叉點上；②靈活使用合力矩定理。

注意問題小結：對物系的解題步驟與技巧：第64頁/共89頁65選研究對象的原則：

由所選的研究對象列出的平衡方程所含的未知數盡可能地少，最好是每一方程中只含有一個未知數，以避免求解聯立方程。一般情況下可按下列方法選取研究對象一般說來對于由桿件系統(tǒng)組成的結構物，可先取整個系統(tǒng)為研究對象，解出部分未知數后，再從系統(tǒng)中選取某些物體作為研究對象，列出另外的平衡方程，求出待求的所有未知量；對于機構往往可以從已知到未知，根據力的傳遞路線分別取不同物體為研究對象，列出平衡方程求解。對于包含有固定端約束的情況,應首先將系統(tǒng)拆開進行求解.第65頁/共89頁66第4節(jié)平面簡單桁架的內力計算僅由桿件組成的系統(tǒng)——桁架第66頁/共89頁67桁架：由桿組成，用鉸聯接，受力不變形的系統(tǒng)。第67頁/共89頁68桁架的優(yōu)點：結構輕，充分發(fā)揮材料性能。第68頁/共89頁69總桿數m總節(jié)點數n力學中的桁架模型(基本三角形)三角形有穩(wěn)定性第69頁/共89頁70平面復雜（超靜定）桁架平面簡單（靜定）桁架非桁架（機構）第70頁/共89頁71關于平面桁架的幾點假設：1、各桿件為直桿，各桿軸線位于同一平面內；2、桿件與桿件間均用光滑鉸鏈連接；3、載荷作用在節(jié)點上，且位于桁架幾何平面內；4、各桿件自重不計或均分布在節(jié)點上。在上述假設下，桁架中每根桿件均為二力桿。求解桁架內力的方法：節(jié)點法，截面法。第71頁/共89頁72節(jié)點法：以節(jié)點為研究對象準備工作：給各桿編號１，２，３，…,并給節(jié)點加符號。節(jié)點Ｄ的受力為一匯交力系，用匯交力系的方法來解，即：

因為，匯交力系只有兩個平衡方程，只能解兩個未知力，所以，先從兩個未知力的節(jié)點出發(fā)。各桿都假定為受拉力。1）節(jié)點法第72頁/共89頁73

平面桁架的尺寸和支座如圖所示。在節(jié)點D處受一集中載荷F=10kN的作用。試求桁架各桿件所受的內力。例題13

平面任意力系

例題ABC2m2m12345FD第73頁/共89頁741.求支座約束力。列平衡方程解方程可得

以整體為研究對象，受力分析如圖所示。節(jié)點法解：例題13

平面任意力系

例題ABC2m2m12345FAyFByFBxFD第74頁/共89頁752.取節(jié)點A為研究對象，受力分析如圖。F2F1FAyA列平衡方程解方程可得例題13平面任意力系

例題ABC2m2m12345FAyFByFBxFD第75頁/共89頁763.取節(jié)點D為研究對象。列平衡方程解方程可得例題13

平面任意力系

例題DF5FABC2m2m12345FAyFByFBxFD第76頁/共89頁77F’3F4C4.取節(jié)點C為研究對象，受力分析如圖。列平衡方程解方程可得例題13平面任意力系

例題ABC2m2m12345FD節(jié)點C在y方向的平衡方程可用來校核

當計算出桿的受力的代數值為正時，表明該桿受力的方向符合假設的方向，即該桿受拉。反之，當計算出該桿受力的代數值為負時，表明該桿受壓。第77頁/共89頁78例題14

平面任意力系

例題

平面桁架如圖所示。設兩主動力大小F=10kN，作用在節(jié)點A和節(jié)點B上，a=1.5m，h=3m。求1，2，3和4各桿受的內力。aaahABαα1234FF第78頁/共89頁79例題14

平面任意力系

例題1.選取節(jié)點A為研究對象，受力分析如圖所示。解方程得解：列平衡方程其中FF1F2AyxaaahABαα1234FF第79頁/共89頁80例題14

平面任意力系

例題2.選取節(jié)點B為研究對象，受力分析如圖。解方程得列平衡方程BFF3F4F'2yxaaahABαα1234FF第80頁/共89頁812）截面法截面法：用一截面將桁架截開，以截面一側為研究對象。研究對象為一平面任意力系，用任意力系的方法來解，即：

任意力系有三個平衡方程，所以，截取未知力的桿要適當的考慮。第81頁/共89頁82

如圖平面桁架，求FE，CE，CD桿內力。已知鉛垂力FC