柏建嶺南京醫(yī)科大學公共衛(wèi)生學院流行病與衛(wèi)生統(tǒng)計學系Medicalstatistics醫(yī)學統(tǒng)計學二項分布2023/4/18柏建嶺講稿2主要內(nèi)容

數(shù)據(jù)分布二項分布2023/4/18柏建嶺講稿3數(shù)據(jù)分布對于一組變量值，假設(shè)以該變量為橫軸，數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)(或頻率)為縱軸作圖，該數(shù)據(jù)在坐標系中呈一定的圖形，稱為數(shù)據(jù)的分布。2023/4/18柏建嶺講稿4數(shù)據(jù)分布分布是統(tǒng)計方法產(chǎn)生的根底常用的數(shù)據(jù)分布有正態(tài)分布、二項分布、Poisson分布等2023/4/18柏建嶺講稿5二項分布(binomialdistribution)二分類資料：觀察對象的結(jié)局只有相互對立的兩種結(jié)果。

例如：生存、死亡陽性、陰性發(fā)病、不發(fā)病治愈、未愈2023/4/18柏建嶺講稿6先看一個例子：小白鼠接受某種毒物一定劑量時，死亡概率=80%生存概率=20%每只鼠獨立做實驗，相互不受影響假設(shè)每組各用3只小白鼠〔甲、乙、丙〕3只小白鼠的存亡方式符合二項分布2023/4/18柏建嶺講稿7你認為實驗結(jié)果將會出現(xiàn)多少種可能的情況?所有可能結(jié)果死亡數(shù)生存數(shù)甲乙丙Ｘn-Ｘ生生生03生生死

生死生12死生生生死死

死生死

21死死生死死死

30如果計算生與死的順序，那么共有8種排列方式；如果只計生存與死亡的數(shù)目，那么只有4種組合方式。2023/4/18柏建嶺講稿8概率的乘法法那么幾個獨立事件同時發(fā)生的概率，等于各獨立事件的概率之積。一個事件發(fā)生(的概率)對另一個事件發(fā)生(的概率)沒有影響，這兩個事件就是獨立事件。2023/4/18柏建嶺講稿9例子甲、乙射擊命中目標的概率分別是1/2與1/3，求甲、乙各射擊一次，同時命中目標的概率是多少? ： A＝{甲命中目標}，那么P(A)=1/2 B＝{乙命中目標}，那么P(B)=1/3 求A、B同時發(fā)生的概率P(AB)?P(AB)＝P(A)*P(B)＝1/2*1/3＝1/62023/4/18柏建嶺講稿10概率的加法法那么互不相容事件和的概率等于各事件的概率之和。不可能同時發(fā)生的事件是互不相容事件，又稱互斥事件。2023/4/18柏建嶺講稿11例子投擲一枚質(zhì)地均勻的馓子，求“數(shù)字4朝上〞或“數(shù)字6朝上〞的概率? ： A＝{數(shù)字4朝上}，那么P(A)=1/6 B＝{數(shù)字6朝上}，那么P(B)=1/6 求A或者B發(fā)生的概率?P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1/6＋1/6＝1/32023/4/18柏建嶺講稿12出現(xiàn)每一種可能結(jié)果的概率是多少?3只小白鼠均生存的概率

P3只小白鼠2生1死的概率

P1

P20.80.2=0.032P

P32023/4/18柏建嶺講稿13出現(xiàn)每一種可能結(jié)果的概率是多少?3只小白鼠2死1生的概率

P1

P20.20.8=0.128P

P33只小白鼠均死亡的概率

P0.80.8=0.512

2023/4/18柏建嶺講稿14所有可能結(jié)果每種結(jié)果的概率死亡數(shù)生存數(shù)不同死亡數(shù)的概率甲乙丙Ｘn-Ｘ生生生0.2×0.2×0.2030.008生生死

0.2×0.2×0.8生死生0.2×0.8×0.2120.096死生生0.8×0.2×0.2生死死

0.2×0.8×0.8死生死

0.8×0.2×0.8210.384死死生0.8×0.8×0.2死死死

0.8×0.8×0.8300.51211.000三只小白鼠存亡的排列和組合方式及其概率的計算2023/4/18柏建嶺講稿15二項展開(0.2+0.8)33223生存概率死亡概率

三生二生一死一生二死

三死對應于二項展開式：二項式展開式中的各項對應于各死亡數(shù)(X)的概率P(X)，二項分布由此得名。

2023/4/18柏建嶺講稿16二項分布的定義二項分布是指在只會產(chǎn)生兩種可能結(jié)果如“陽性〞或“陰性〞之一的n次獨立重復實驗中，當每次試驗“陽性〞概率保持不變時，出現(xiàn)“陽性〞的次數(shù)X=0，1，2，…，n的一種概率分布。2023/4/18柏建嶺講稿17Page17二項分布的定義從陽性率為的總體中隨機抽取含量為n的樣本，恰有X例陽性的概率為：

那么稱X服從參數(shù)為的二項分布(BinomialDistribution)，記為：X~B(n,)。其中參數(shù)常常是未知的，而n由實驗者確定。2023/4/18柏建嶺講稿18如n=3，，那么恰有1例陽性的概率P(1)為：2023/4/18柏建嶺講稿19例某種動物關(guān)于某毒物的50%致死劑量(LD50)，現(xiàn)有5只這樣的動物注射了該劑量，試分別計算死亡動物數(shù)X＝0，l，2，3，4，5的概率。二項分布的概率2023/4/18柏建嶺講稿20二項分布二項分布的概率2023/4/18柏建嶺講稿21二項分布的性質(zhì)如果X~B(n,)，那么：

X的均數(shù)：

X的方差：

X的標準差：2023/4/18柏建嶺講稿22二項分布的性質(zhì)假設(shè)均數(shù)與標準差不用絕對數(shù)而用率表示時

2023/4/18柏建嶺講稿23從陽性率為的總體中隨機抽取n個個體，那么①最多有k例陽性的概率：

二項分布的累計概率2023/4/18柏建嶺講稿24從陽性率為的總體中隨機抽取n個個體，那么②最少有k例陽性的概率：二項分布的累計概率其中，X=0，1，2，…，k，…，n。2023/4/18柏建嶺講稿25二項分布的累計概率例據(jù)以往經(jīng)驗，用某藥治療小兒上呼吸道感染、支氣管炎，有效率為85%，今有5個患者用該藥治療，問：①最多1人有效的概率為多少?②至少3人有效的概率為多少?2023/4/18柏建嶺講稿26本例

，l-

，n=5，依題意，最多1人有效的概率為：至少3人有效的概率為：

P(X≥3)=P(3)+P(4)+P(5)那么P(X＋＋2023/4/18柏建嶺講稿27三只小白鼠死亡的二項分布(n=3,

=0.8)二項分布的圖形2023/4/18柏建嶺講稿28某毒物的50%致死劑量后5只動物死亡數(shù)的二項分布(n=5,=0.5)二項分布的圖形2023/4/18柏建嶺講稿29二項分布的圖形2023/4/18柏建嶺講稿30二項分布的圖形當，分布對稱；當

，分布呈偏態(tài)；當時分布呈正偏態(tài)；當時分布呈負偏態(tài)；特別是當n值不是很大時，偏離愈遠，分布愈偏。隨著n的增大，二項分布逐漸逼近正態(tài)分布。一般地說，如果n和n(1-)大于5時，常可用正態(tài)近似原理處理二項分布問題。2023/4/18柏建嶺講稿31二項分布的應用條件各觀察單位只能有互相對立的一種結(jié)果，如陽性或陰性，生存或死亡等。發(fā)生某一結(jié)果(如陰性)的概率不變，其對立結(jié)果(如陽性)的概率那么為1-。n次試驗在相同條件下進行，且各觀察單位的結(jié)果互相獨立。2023/4/18柏建嶺講稿32率的抽樣誤差

=0.30101100001

p=0.42023/4/18柏建嶺講稿33率的抽樣誤差樣本號x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10Xp1001001010030.32010011100150.53001000000010.14010110000140.45100000010020.26000010011030.37100010100140.48000000101020.29111101001170.710010000000010.1從

=中隨機抽樣，樣本含量為10的10份獨立樣本的樣本率2023/4/18柏建嶺講稿34率的抽樣誤差從

=中隨機抽樣，樣本含量為10的10000個樣本率的頻率分布圖2023/4/18柏建嶺講稿35率的抽樣誤差從

=中隨機抽樣，樣本含量為100的10000個樣本率的頻率分布圖2023/4/18柏建嶺講稿36率的抽樣分布特點當總體率時為正偏態(tài)；當時為負偏態(tài)，當時為對稱分布。在n較大，且率和(1-)都不太小時即n和n(1-)均大于5，率的抽樣分布近似正態(tài)分布。2023/4/18柏建嶺講稿37率的標準誤樣本率的均數(shù)樣本率的標準差率的標準誤2023/4/18柏建嶺講稿38率的可信區(qū)間估計=?n,Xp=X/n2023/4/18柏建嶺講稿39n

較大時,可用正態(tài)近似法：率的95%的CI:例4.4n=144,p=9.02%，X=13

9.02%±1.96×2.388%=(0.0435,0.1371)

(4.35%,13.71%)

2023/4/18柏建嶺講稿40n

較小時,查表法(直接計算概率法)例4.5n=29,X=1。p=3.4%.

查附表6.1百分率的可信區(qū)間

n=29行

X=1列95%可信區(qū)間：－17.8(%)2023/4/18柏建嶺講稿41n

較小時,查表法(直接計算概率法)例n=10,X=8。p=80%.

先查n=10,X1=2。p1=20%.

得95%可信區(qū)間為：(3%,56%)

從而：

(1-56%,1-3%)=(44%,97%)2023/4/18柏建嶺講稿42率的可信區(qū)間的不對稱性

p＝10% p＝30% p＝50%n＝n＝n＝30 2.1~26.5 14.7~49.4 31.3~68.7 n＝n＝

2023/4/18柏建嶺講稿43率的可信區(qū)間的性質(zhì)只有時是對稱的；n越大，區(qū)間越窄；對同一n，越接近，分布越寬，越接近0或1，分布越窄。2023/4/18柏建嶺講稿44樣本率與總體率的比較(n較大時)2023/4/18柏建嶺講稿45樣本率與總體率的比較(n較大時)例7.10＝20%,n=306,X=96，p=31.58%H0：=0，老年胃潰瘍病患者的胃出血率等于20%；H1：>0，老年胃潰瘍病患者的胃出血率大于20%。單側(cè)。2023/4/18柏建嶺講稿46樣本率與總體率的比較(n較大時)P，按水準拒絕H0，接受H1。認為老年胃潰瘍病患者的胃出血率大于20%。2023/4/18柏建嶺講稿47兩樣本率的比較(n較大時)例7.2 n1=84,X1=57;p1=67.9%;

n2=47,X2=39;p2=83.0%. H0:1=2;

H