二次根式知識梳理知識點1.二次根式重點：掌握二次根式的概念難點：二次根式有意義的條件式子t/（aA0）叫做二次根式.例1下列各式1)5,2)*'-5,3)—\;x2+2,4)寸4,5)：(-3)2,6)<1-。,7)2-2a+1,其中是二次根式的是（填序號）.解題思路：運用二次根式的概念，式子</（a^0）叫做二次根式.答案：1）、3）、4）、5）、7）例2若式子有意義，則x的取值范圍是.\x—3解題思路：運用二次根式的概念，式子7/（aN0）注意被開方數(shù)的范圍，同時注意分母不能為0答案：x>3例3若y=v：x—5+v'5—x+2009，則x+y=解題思路：式子\看（a^0），］x—5-°,x=5，y=2009，則x+y=2014〔5—x>°練習(xí)1使代數(shù)式上。有意義的x的取值范圍是（）A、x>3B、x^3C、x>4A、x>3B、x^3C、x>4D、x^3且xU42、若*—1—J1—x=(x+y)2，則x—y的值為()A.-1B.1C.2D.3答案：1.D2.C知識點2.最簡二次根式重點：掌握最簡二次根式的條件難點：正確分清是否為最簡二次根式同時滿足：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式(根號中不含分母)；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.這樣的二次根式叫做最簡二次根式.例1.在根式1)履2+b2；2)(5;3)\：'x2—xy;4)、.刃成，最簡二次根式是()A.1)2)B.3)4)C.1)3)D.1)4)解題思路：掌握最簡二次根式的條件，答案：C練習(xí).下列根式中，不是最簡二次根式的是()..A.克B.C.「1D.應(yīng)答案：C知識點3.同類二次根式重點：掌握同類二次根式的概念難點：正確分清是否為同類二次根式幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫同類二次根式.例在下列各組根式中，是同類二次根式的是()A.后和灰'B.龍和出C.J-2■和J瀝2D.J.+1和Jo-1解題思路：?「面二3>/I,.?.?與而不是同類二次根式，A錯.?.?2與R是同類二次根，..?b正確.￥；.C錯,而顯然，D錯，...選B.練習(xí)已知最簡二次根式力和J2Z?-a+2是同類二次根式，則a=,b=.答案：a=0,b=2知識點4.二次根式的性質(zhì)重點：掌握二次根式的性質(zhì)難點：理解和熟練運用二次根式的性質(zhì)fa(a>0)①(履)2=a(aNO)；y/a>0(a>0)②=|a|=<0(a=0)；-a(a<0)例1、若切-2|+J/?-3+(c-4)2=0,貝—Z?+c=.解題思路:l?-2l>0,>/r：3>0,(c-4)2>0,非負(fù)數(shù)之和為0,則它們分別都為0,則a=2,Z?=3,c=4,a—b+c=3例2、化簡：I"t|+（Ja-3）2的結(jié)果為（）A、4—2aB、0C、2a—4D、4解題思路：由條件則a-3>0,a>3,運用（偵偵）2=a（a^0）則（瑚打二3）2=a-3答案：C例3.如果表示a,b兩個實數(shù)的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么化簡|a—b|+\,：（a+b）2的結(jié)果等于（）*一-——abaoA.—2bB.2bC.—2aD.2a[a（a>0）解題思路：運用"=|a|」0（a=0）；由數(shù)軸則a-b>0,a+b<0，則-a（a<0）原式=a—b—a—b=—2b選A練習(xí)1.已知a<0,那么|\/a2—2a|可化簡為（）A.—aB.aC.—3aD.3a2.如圖所示，實數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置，化簡、折2-（房-、；（a-b）2.-1a疽/3.若”4x—2+|3—y|=0，^U2xy=。答案：1.C2.—2b3.3知識點5.分母有理化及有理化因式重點：掌握分母有理化及有理化因式的概念難點：熟練進(jìn)行分母有理化，求有理化因式

把分母中的根號化去，叫做分母有理化；兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，若它們的積不含二次根式，則稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式.例觀察下列分母有理化的計算：從計算結(jié)果中找出規(guī)-7^—-=J2-<1,_'.一=*2-寸2,_'；_=\：'4一<3,v2+5,?3+*2<4+、.；3從計算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算：..)G-2008+1)=<2008+寸2007解題思路：=(還頊+J3-克+--..2008^.■,'2007)G'；2008+1)=G.-2008-1)(*''2008+1)=2007練習(xí).化簡1<3練習(xí).化簡1<3+顯甲，乙兩位同學(xué)的解法如下甲:一1_=_T一件_=3-點甲<3+（2（3+廿2）（\；3-"）'乙1_3-2_q+巨）（3-巨）_.?"2乙：k2=k2=—k2—f2對于甲，乙兩位同學(xué)的解法，正確的判斷（）甲，乙的解法都正確B.甲正確，乙不正確C.甲，乙都不正確D.甲不正確，乙正確答案：A知識點6.二次根式的運算重點：掌握二次根式的運算法則（1）因式的外移和內(nèi)移：如果被開方數(shù)中有的因式能夠開得盡方，那么，就可以用它的算術(shù)根代替而移到根號外面；如果被開方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先分解因式，變形為積的形式，再移因式到根號外面，反之也可以將根號外面的正因式平方后移到根號里面.（2）二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類二次根式.（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），將被開方數(shù)相乘（除），所得的積（商）仍作積（商）的被開方數(shù)并將運算結(jié)果化為最簡二次根式.Vab=x：a?\-b(aA0，b^0)；b\b、——-三(bA0，a>0).a-ja（4）有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律及結(jié)合律，乘法對加法的分配律以及多項式的乘法公式，都適用于二次根式的運算.例1已知a>b>0，a+b=6tab，則~也的值為（）\a+\：bB.21D.-2解題思路：?.?a>b>0，「?(w'a+\b)2=a+b+2Vab=8<ab，(<a—<b)2=a+b—2Vab=4<ab...電-遮)2—坷—\「.^1=§，故選A.(?'a+\b)28氣；ab2va+、jb2例2先化簡，再求值:11b+—+，其中a+bba(a+b)抵+1<5-1a=，b=一2ab+a(a+b)+b2(a+b)2解題思路：原式=ab(a+b)ab(a+b)abTOC\o"1-5"\h\z當(dāng)a二工^,b=氣七1時，原式=寸5.22L(1\-1—例3計算：(V3—2)。+—+4cos30—I-J12I.13\o"CurrentDocument"-(1、-1—解題思路：：(V3—2)0+—+4cos30°—I—y/12I.13=1+3+4x圣-.-■'122=4+2招-2君=4練習(xí)1.已知實數(shù)x,y滿足X2+y2—4x—2y+5=0,則十二的值為聲y—2/x2.計算：—+、：3(*3—寸6)+展。<2—13.計算：(3718+5<50—4、：2)+t'32。答案：1.3+2V?2.43.2最新考題中考要求及命題趨勢1、掌握二次根式的有關(guān)知識，包括概念，性質(zhì)、運算等；2、熟練地進(jìn)行二次根式的運算中考二次根式的有關(guān)知識及二次根式的運算往往會以填空、選擇和解答題的形式出現(xiàn)，二次根式的概念，性質(zhì)將是今后中考的一個熱點。應(yīng)試對策掌握二次根式的有關(guān)知識，包括概念，性質(zhì)、運算，在運算過程中注意運算順序，掌握運算規(guī)律，注重二次根式性質(zhì)的理解和運用?？疾槟繕?biāo)一、理解二次根式的概念和性質(zhì)例1.（2009年梅州市）如果7=如-3+』3-*+2,則”+/二.解題思路：根據(jù)二次根式的概念，在7；中，［必須是非負(fù)數(shù)，即4^0，可以是單項式，也可以是多項式.所以由已知條件，得膈-3河且3_方河.解：由題意得膈一3^0且3—2工^0，.??x=3，>=2，...由+F=5.2（2011年日照）15.已知X，y為實數(shù)，且滿足、笊-（y-1）、；以=0，那么X2011-y2011=.解：由題意得1+xA0且1-yA0，v1+x=（y—1）\：1—yy-1^0，x=-1，'=1，X2011-y2011=-2.（2013年日照）13.要使式子<2—7有意義，則x的取值范圍.答案：xW2解析：由根式的意義，得：2—xN0,解得：xW2例2.（2009龍巖）已知數(shù)a，b，若、g—b）2=b—a，則（）a>bB.a<bC.aNbD.aWb解題思路：此題是二次根式''疽的性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)其性質(zhì)，即是指|a—b|=b—a，根據(jù)絕對值的意義，可得a—bW0,所以有aWb，故選D.

例3.當(dāng)￡當(dāng)成立時，［的取值范圍是解題思路：商的算術(shù)平方根的性質(zhì)J?=翌成立的條件是^^C>0,不能與二b展次根式有意義的條件混淆.解：由=20和2—&>0得0W&V2.7.（3分）（2012-日照）下列命題錯誤的是（）A，若a<1，^^（a-l）一=-.'1一占若：（3-靛史a-3，則a>3依次連接菱形各邊中點得到的四邊形是矩形x（1-日）'=-J]-/,31的算術(shù)平方根是9解：A、若a<1,則（a-1）^^=-（1-a）-故此選項正確，不符合題意；若:（3-a）2=a-3，根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出,a-3>0,則a>3，故此選項正確，不符合題意；根據(jù)菱形對角線互相垂直得出，依次連接菱形各邊中點得到的四邊形是矩形，故此選項正確，不符合題意；\"?'瓦=9,.?.9的算術(shù)平方根是3,故此選項錯誤，符合題意；選：D.（2012-日照）（2015?日照）13.若。3-3）2=3-x，則x的取值范圍是.x（1-日）'=-J]-/,解：例4.（2009年鐵嶺市）若+M與方+星+4互為相反數(shù)，則嚴(yán)4=解題思路：互為相反數(shù)的特點，|Q.—b+1|+2b+4=0W|a-i+l|>0?A/a+2b+4>0

fa-b+1=0,fa=-2[a+2b+4=0[h=T(a+b)?4=(-2-1嚴(yán)4=(-3嚴(yán)4=嚴(yán)點評：絕對值、算術(shù)平方根、完全平方數(shù)為非負(fù)數(shù)。^K楂|蘭嘰Ta>0,a2>0非負(fù)數(shù)有一個重要的性質(zhì)，即若干個非負(fù)數(shù)的和等于零，那么每一個非負(fù)數(shù)分別為零即：園+扼頊小="=口；囪+宣=口》=偵=口；而+『=口5=口,匚=口|a|+Vb+c2=0=>a=0?b=0?c=0.考查目標(biāo)二、二次根式的化簡與計算例5.將'"根號外的a移到根號內(nèi)，解題思路：字母從根號外移到根號內(nèi)，應(yīng)特別注意其正負(fù)情況，是正數(shù)則可以平方后直接移到根號內(nèi)，與根號內(nèi)的被開方數(shù)相乘，是負(fù)數(shù)則應(yīng)整理后再做移動.此題隱含了條件^<0，所以絕不可直接平方后移動.（2016日照）9.下列命題：①若a<1，則（a-1）.「上=-..i二；②平行四邊形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；③?代的算術(shù)平方根是3；④如果方程ax2+2x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a<1.其中正確的命題個數(shù)是（）A.1個B.2個C.3個D.4個【考點】命題與定理.【分析】分別根據(jù)平方根的定義、平行四邊形的性質(zhì)、一元二次方程根與判別式的關(guān)系對各小題進(jìn)行逐一判斷即可.【解答】解：①?.?a<1，1-a>0，.?.（a-1）.「土=-，故本小題正確；平行亍四邊形既是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，故本小題錯誤；?匹的算術(shù)平方根是?巨，故本小題錯誤；\,方程ax2+2x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根,.?.△=4-4a>0，解得a<1且a/0，故本小題錯誤.故選A.

解：由已知得&V0,解：由已知得&V0,所以丫"=—(—&)(-心3二一卮.故選B.例6.計算：-(3扼-2^3)(372+N拒)73-1解題思路：=(73+1)2_[(372)2-(2^)2]lLi=2+^3-(18-12),考查目標(biāo)三、在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式例7.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式。4妒-3；(2)計一4解題思路：(1)原式=3+妨般-?原式=方+對方-幻="+gy+柯而-也)考查目標(biāo)四、比較數(shù)值例8.比較下列數(shù)值的大小。(1)打與5應(yīng)；(2)后+而與后康解題思路：為了比較兩個數(shù)的大小，本題要用乘法運算的逆向思維法解決。解：(1)4月=序3=思^區(qū)=由『=、瘀4^5<5^34

(2)（扼+而尸=13+2扼面=13+2顧（75+2T2）2=13+2^5-272=13+2^40由13+2應(yīng)C13+N面，得巨逐(2)（扼+而尸=13+2扼面=13+2顧例9.（2009賀州）而的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是。解題思路：因為而是無理數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)，所以把而分成整數(shù)部分a和小數(shù)部分b，其中a是小于而且最靠近行的整數(shù)，而EC這樣就可以從。蜀-g中先求出a，再求出b。解：回4心9,即尸◎<：/?"頊。3,即0<^-2<1又回而是無限不循環(huán)小數(shù)。的整數(shù)部分是2,小數(shù)部分是^~2考查目標(biāo)六、規(guī)律性問題例10.觀察下列各式及其驗證過程：中］3，驗證：4區(qū)=與自戶1=『13任—!?_/S-3)+3_b(32-l)+3_r~3

耳驗證:占"反H乎―1"3頊=日S

（1）按照上述兩個等式及其驗證過程的基本思路，猜想4\,；￡的變形結(jié)果，并進(jìn)行驗證；（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（nN2，且n是整數(shù)）表示的等式，并給出驗證過程.解題思路：這是一道規(guī)律探索題，探索某些特殊的二次根式，可以將根號外面的數(shù)直接移到根號內(nèi)與被開方數(shù)相加.通過觀察不難發(fā)現(xiàn)，這類特殊的二次根式其根號外面的數(shù)與根號內(nèi)的數(shù)的分子相同，根號內(nèi)的數(shù)的分母是根號外的數(shù)的平方與1的差.其驗證過程也給我們提供了解題思路.11=7?-1，則a=三■*—F3廣■*—?=1例11.已知1+也血+出2+a解題思路：把已知式的前三項分母有理化后，解出a。解：已知式化為^2—1+—^[2+2—『后+=^5—12+a-^—=^5-22+a2+a=———75-2，1點評：因土之前的各項分母有理化后，“環(huán)環(huán)相扣，前后相消”，僅留2,好求a了。進(jìn)一步看到，若把2看成羽\^尸==—+1+—+...——+-^―=TToT-1發(fā)展：已知1+也丁2+相由+2V99+1010+a，則a=過關(guān)測試一、選擇題:過關(guān)測試若心-歐在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則m的取值范圍是（）。A.m^2B.m>2C.mW2D.m<2若+#"=3，則x的取值范圍是（）。A.x=0B.—1WxW2C.xAD.xW—13.二次根式3.二次根式^5、J5、5的大小關(guān)系是（）。g_L史_Lp

a.估＜必＜虧B.g_L史_Lp

a.估＜必＜虧B.夠布＜下列式子中，正確的是（）。A.（右一3）（右+3）=2-x-IC.2X（5=2&—1D.（2一,）（2+,）2=—2一右5.使等式成立的實數(shù)a的取值范圍是（）。A.aU3B.aA2，且a^3C.a＞3D.aA6.下列各組二次根式（a>0）中，屬于同類二次根式的是（）。和%'&羽^和】2疽J—?-和JlZsZ）.J色和A.C.m\27.當(dāng)0<x<2時化簡2x+4-4x2x的結(jié)果是（）。A.—7278.甲、乙兩個同學(xué)化簡石一盤時，分別作了如下變形:8.山展-J齊~3展-〃$）（有+四a^ab-b^ab甲：石-盤二：石-龍）陶+4）-扼.幅EJab(a-b)其中，()。A.甲、乙都正確B.甲、乙都不正確C.其中，()。A.甲、乙都正確B.甲、乙都不正確C.只有甲正確D.只有乙正確9.下列運算正確的是（A.3'-27=3B.(n-3.14)0=1C.—1=—2D.<9=±310.、沮化簡的結(jié)果是（A.2C.—2\211.估計*8x*+w3的運算結(jié)果應(yīng)在A.1至2之間B.2至3之間C.3至4之間D.4至I」5之間12.若使二次根式'??''U2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是...A.x>2D.x<2二、填空題：1.已知a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，妒+赤二砂'一|b—a|的化簡結(jié)果是_02若x乂0,y尹0,則成=^而成立的條件是0已知m是小于10的正整數(shù)，且與據(jù)可化為同類二次根式，m可取的值有如果xy二也,x—y=5^—1,那么（x+1）（x—1）的值為J—+J1&已知x丫x=12,x=1(4”)0+2)若a<—2,"+川4的化簡結(jié)果是三、解答題1.計算：—+寸3(氣：'3—<6)+展0<2-12.計算：（3寸18+5<50-4、；2）+<32。

3(.如圖所示，實數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置，化簡偵12—\，2—偵(3(.如圖所示，實數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置，化簡偵12—\，2—偵(1—b)2.*-1OTOC\o"1-5"\h\zX2—XX2—2x+1x對于題目“化簡求值：-+U+12-2，其中a=!”，甲、乙兩個學(xué)生的解答不a\a25同.1■11111249甲的解答是：一++a2—2=—+"(——a)2=—+—-a=-—a=言1112=—+a——=a=—aaa5\o"CurrentDocument"a\a2a\aaaa5乙的解答是：1+U+a2—2=1+J(1—a)a\1112=—+a——=a=—aaa5誰的解答是錯誤的？為什么？序+八0,凸=1，按=Co已知a、b、c均為實數(shù)，且感=Co化簡妒—服+折+\z\-W-砰參考答案一、選擇題1.D2.B3.C4.D5.C6.D7.B8.A9.B10.B11.C12.A二、填空題-b2.x<0,y<03.7和14.-4龍5.9[26.—也f三、解答題1.42.23.-2b

4.原式=(X—1)21二——4.原式=(X—1)21二——5.對于甲的解答?1―當(dāng)a=一時5114——a=5——=4—>0,a55A1…(—a)2=一—a正確;aa而乙的解答，,114a——=——5=—4—<0a55(a-上)2Ua—1,

aa因此乙的解答是錯誤的.6.a<0,b<0cA0,原式斗化簡二次根式是初中階段考試必考的內(nèi)容，初中競賽的題目中也常常會考察這一內(nèi)容。最簡二次根式定義（。皮開方數(shù)不含分母摯開方數(shù)中不含能開得盡的因數(shù)或因式）二次根式化簡一般步驟①把帶分?jǐn)?shù)或小數(shù)化成假分?jǐn)?shù)把開方數(shù)分解成質(zhì)因數(shù)或分解因式把根號內(nèi)能開得盡方的因式或因數(shù)移到根號外化去根號內(nèi)的分母，或化去分母中的根號約分有理化因式兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果他們的積不含有二次根式，那么這兩個代數(shù)式叫做互為有理化因式注意（①他們必須是成對出現(xiàn)的兩個代數(shù)式；②這兩個代數(shù)式都含有二次根式；③這兩個代數(shù)式的積化簡后不再含有二次根式④一個二次根式可以與幾個二次根式互為有理化因式）常用有理化因式有:與與與與與分母有理化在分母含有根號的式子中，把分母的根號化去，叫做分母有理化分母有理化即將分母從非有理數(shù)轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過程，以下列出分母有理化的幾種方法：（1）直接利用二次根式的運算法則：例：（a20，b>0）（2）利用平方差公式例：（a20，b>0，a/b）（3）利用因式分解例：（此題可運用待定系數(shù)法便于分子的分解）（4）利用約分（x>0，y>0）（x>0，y>0）分子有理化把分子中的根號化去，叫做分子有理化換元法換元法即把根式中的某一部分用另一個字母代替的方法，是化簡的重要方法之一。例：在根式中，令，即可得到原式=分析：通過換元法換元，將根號下的數(shù)化簡，最后