第五章樣本均值區(qū)間估計第一頁，共48頁。所有樣本指標（如均值、比例、方差等）所形成的分布稱為抽樣分布是一種理論概率分布隨機變量是樣本統(tǒng)計量樣本均值,樣本比例等結(jié)果來自容量相同的所有可能樣本 抽樣分布

（概念要點）2第二頁，共48頁。樣本均值的抽樣分布

（一個例子）【例】設(shè)一個總體，含有4個元素（個體），即總體單位數(shù)N=4。4個個體分別為X1=1、X2=2、X3=3、X4=4?？傮w的均值、方差及分布如下均值和方差總體分布14230.1.2.33第三頁，共48頁。樣本均值的抽樣分布

（一個例子）

現(xiàn)從總體中抽取n＝2的簡單隨機樣本，在重復抽樣條件下，共有42=16個樣本。所有樣本的結(jié)果如下表3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二個觀察值第一個觀察值所有可能的n=2的樣本（共16個）4第四頁，共48頁。樣本均值的抽樣分布

（一個例子）計算出各樣本的均值，如下表。并給出樣本均值的抽樣分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二個觀察值第一個觀察值16個樣本的均值（x）樣本均值的抽樣分布1.00.1.2.3P(x)1.53.04.03.52.02.5x5第五頁，共48頁。所有樣本均值的均值和方差式中：M為樣本數(shù)目比較及結(jié)論：1.樣本均值的均值（數(shù)學期望）等于總體均值

2.樣本均值的方差等于總體方差的1/n6第六頁，共48頁。樣本均值的分布與總體分布的比較抽樣分布=2.5σ2=1.25總體分布14230.1.2.3P(x)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5x7第七頁，共48頁。樣本均值的抽樣分布

與中心極限定理=50

=10X總體分布n=4抽樣分布Xn=16當總體服從正態(tài)分布N~(μ,σ2)時，來自該總體的所有容量為n的樣本的均值X也服從正態(tài)分布，X

的數(shù)學期望為μ，方差為σ2/n。即X～N(μ,σ2/n)8第八頁，共48頁。中心極限定理

（圖示）當樣本容量足夠大時(n>30)，樣本均值的抽樣分布逐漸趨于正態(tài)分布中心極限定理：設(shè)從均值為，方差為

2的一個任意總體中抽取容量為n的樣本，當n充分大時，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為μ、方差為σ2/n的正態(tài)分布一個任意分布的總體X9第九頁，共48頁。樣本方差的抽樣分布10第十頁，共48頁。樣本方差的分布設(shè)總體服從正態(tài)分布N~(μ,σ2)，X1，X2，…，Xn為來自該正態(tài)總體的樣本，則樣本方差s2

的分布為將2(n–1)稱為自由度為(n-1)的卡方分布11第十一頁，共48頁?？ǚ?c2)分布

選擇容量為n的簡單隨機樣本計算樣本方差S2計算卡方值2=(n-1)S2/σ2計算出所有的

2值不同容量樣本的抽樣分布c2n=1n=4n=10n=20ms總體12第十二頁，共48頁。均值的標準差所有可能的樣本均值的標準差，測度所有樣本均值的離散程度小于總體標準差計算公式為13第十三頁，共48頁。T統(tǒng)計量的分布14第十四頁，共48頁。T

統(tǒng)計量的分布

設(shè)X1，X2，…，Xn是來自正態(tài)總體N~(μ,σ2)的一個樣本，稱為統(tǒng)計量,它服從自由度為(n-1)的t分布Xt

分布與正態(tài)分布的比較正態(tài)分布t分布t不同自由度的t分布標準正態(tài)分布t(df=13)t(df=5)Z15第十五頁，共48頁。第二節(jié)參數(shù)估計基本方法一.點估計二.點估計的優(yōu)良性準則三.區(qū)間估計16第十六頁，共48頁。參數(shù)估計的方法矩估計法最小二乘法最大似然法順序統(tǒng)計量法估計方法點估計區(qū)間估計17第十七頁，共48頁。被估計的總體參數(shù)總體參數(shù)符號表示用于估計的樣本統(tǒng)計量一個總體均值比例方差兩個總體均值之差比例之差方差比18第十八頁，共48頁。點估計19第十九頁，共48頁。點估計

1.從總體中抽取一個樣本，根據(jù)該樣本的統(tǒng)計量對總體的未知參數(shù)作出一個數(shù)值點的估計例如:用樣本均值作為總體未知均值的估計值就是一個點估計2. 點估計沒有給出估計值接近總體未知參數(shù)程度的信息3.點估計的方法有矩估計法、順序統(tǒng)計量法、最大似然法、最小二乘法等20第二十頁，共48頁。1. 用于估計總體某一參數(shù)的隨機變量如樣本均值，樣本比例、樣本中位數(shù)等例如:樣本均值就是總體均值μ的一個估計量如果樣本均值x=3，則3就是μ的估計值2.理論基礎(chǔ)是抽樣分布估計量

21第二十一頁，共48頁。估計量的優(yōu)良性準則

（無偏性）無偏性：估計量的數(shù)學期望等于被估計的總體數(shù)P(X)XCA無偏有偏22第二十二頁，共48頁。估計量的優(yōu)良性準則

（有效性）AB中位數(shù)的抽樣分布均值的抽樣分布XP(X)有效性：一個方差較小的無偏估計量稱為一個更有效的估計量。如，與其他估計量相比，樣本均值是一個更有效的估計量23第二十三頁，共48頁。估計量的優(yōu)良性準則

（一致性）一致性：隨著樣本容量的增大，估計量越來越接近被估計的總體參數(shù)AB較小的樣本容量較大的樣本容量P(X)X24第二十四頁，共48頁。區(qū)間估計25第二十五頁，共48頁。區(qū)間估計

1. 根據(jù)一個樣本的觀察值給出總體參數(shù)的估計范圍給出總體參數(shù)落在這一區(qū)間的概率例如:總體均值落在50~70之間，置信度為95%樣本統(tǒng)計量

(點估計)置信區(qū)間置信下限置信上限26第二十六頁，共48頁。置信區(qū)間估計

2

已知2未知均值方差比例置信區(qū)間27第二十七頁，共48頁。落在總體均值某一區(qū)間內(nèi)的樣本x_XX=Zx95%的樣本-1.96x+1.96x99%的樣本-2.58x+2.58x90%的樣本-1.65x+1.65x28第二十八頁，共48頁?？傮w未知參數(shù)落在區(qū)間內(nèi)的概率表示為(1-為顯著性水平，是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的概率常用的顯著性水平值有99%,95%,90%相應的為0.01，0.05，0.10置信水平29第二十九頁，共48頁。區(qū)間與置信水平均值的抽樣分布(1-)%的概率保證區(qū)間包含了

%的概率，區(qū)間未包含1-aa/2a/230第三十頁，共48頁。影響區(qū)間寬度的因素數(shù)據(jù)的離散程度，用來測度樣本容量，置信水平(1-)，影響Z的大小31第三十一頁，共48頁。第三節(jié)總體均值和總體比例

的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計總體比例的區(qū)間估計樣本容量的確定32第三十二頁，共48頁?？傮w均值的區(qū)間估計

(２已知)33第三十三頁，共48頁?？傮w均值的置信區(qū)間

(２已知)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布,且總體方差（２）已知如果不是正態(tài)分布，可以由正態(tài)分布來近似(n

30)使用正態(tài)分布統(tǒng)計量Ｚ總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為34第三十四頁，共48頁?？傮w均值的區(qū)間估計

（正態(tài)總體：實例）解：已知Ｘ~N(，0.152)，x＝2.14,n=9,1-=0.95，Ｚ/2=1.96

總體均值的置信區(qū)間為我們可以95％的概率保證該種零件的平均長度在21.302～21.498mm之間【例】某種零件長度服從正態(tài)分布，從該批產(chǎn)品中隨機抽?。辜瑴y得其平均長度為21.4mm。已知總體標準差=0.15mm，試建立該種零件平均長度的置信區(qū)間，給定置信水平為0.95。35第三十五頁，共48頁。總體均值的區(qū)間估計

（非正態(tài)總體：實例）解：已知x＝26,=6，n=100,1-=0.95，Ｚ/2=1.96我們可以95％的概率保證平均每天參加鍛煉的時間在24.824～27.176分鐘之間【例】某大學從該校學生中隨機抽取100人，調(diào)查到他們平均每天參加體育鍛煉的時間為26分鐘。試以95％的置信水平估計該大學全體學生平均每天參加體育鍛煉的時間（已知總體方差為36小時）。36第三十六頁，共48頁?？傮w均值的區(qū)間估計

(２未知)37第三十七頁，共48頁?？傮w均值的置信區(qū)間

(２未知)1. 假定條件總體方差（２）未知總體必須服從正態(tài)分布使用t分布統(tǒng)計量3.總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為38第三十八頁，共48頁?？傮w均值的區(qū)間估計

（實例）解：已知Ｘ~N(，2)，x=50,s=8，n=25,1-=0.95，t/2=2.0639。我們可以95％的概率保證總體均值在46.69～53.30之間【例】從一個正態(tài)總體中抽取一個隨機樣本，n=25，其均值`x=50，標準差s=8。建立總體均值m

的95%的置信區(qū)間。39第三十九頁，共48頁?？傮w比例的區(qū)間估計40第四十頁，共48頁?？傮w比例的置信區(qū)間1. 假定條件兩類結(jié)果總體服從二項分布可以由正態(tài)分布來近似使用正態(tài)分布統(tǒng)計量Ｚ3.總體比例Ｐ

的置信區(qū)間為41第四十一頁，共48頁。總體比例的置信區(qū)間

（實例）解：已知n=200，＝0.7,n=140>5,n(1-)=60>5，=0.95，Ｚ/2=1.96p

p

p

我們可以95％的概率保證該企業(yè)職工由于同管理人員不能融洽相處而離開的比例在63.6%~76.4%之間【例】某企業(yè)在一項關(guān)于職工流動原因的研究中，從該企業(yè)前職工的總體中隨機選取了200人組成一個樣本。在對其進行訪問時，有140人說他們離開該企業(yè)是由于同管理人員不能融洽相處。試對由于這種原因而離開該企業(yè)的人員的真正比例構(gòu)造95%的置信區(qū)間。42第四十二頁，共48頁。樣本容量的確定43第四十三頁，共48頁。1.根據(jù)均值區(qū)間估計公式可得樣本容量n為估計總體均值時樣本容量的確定樣本容量n與總體方差2、允許誤差、臨界值Z之間的關(guān)系為與總體方差成正比與允許誤差成反比與臨界值成正比其中：44第四十四頁，共48頁。樣本容量的確定

（實例）解:已知2=1800000，=0.05，Z/2=1.96，=500

應抽取的樣本容量為【例】一家廣告公想估計某類商店去年所花的平均廣告費用有多少。經(jīng)驗表明，總體方差約為元。如置信度取95%，并要使估計處在總體平均值附近500元的范圍內(nèi)，這家廣告公司應抽多大的樣本？45第四十五頁，共48頁。1.根據(jù)比例區(qū)間估計公式可得樣本容量n為估計總體比例時樣本容量的