“雙減”背景下的課后作業(yè)設(shè)計—18.1《勾股定理》（第一課時）摘要：隨著“雙減”政策的出臺，對一線教師的課堂教學(xué)也提出了更高的要求，特別是作業(yè)設(shè)計方面，既要符合雙減政策的要求，將時間還給學(xué)生，又要鞏固和提高學(xué)生所學(xué)知識?，F(xiàn)階段我們八年級所學(xué)內(nèi)容既有深度又有難度，是整個初中階段的分水嶺。其中，勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的重要的工具，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶，被譽為“幾何學(xué)的基石”。下面就勾股定理第一課時的作業(yè)設(shè)計，談?wù)勛砸训淖龇?，希望能給我們數(shù)學(xué)教師在新形勢的作業(yè)布置有一點幫助。關(guān)鍵詞：雙減勾股定理作業(yè)

【背景】作為一名一線的數(shù)學(xué)教師，我深刻感受到近兩年教育的變化，用“翻天覆地”來形容我覺得都不過分。我校教師在深入學(xué)習(xí)“雙減”相關(guān)政策之后，積極行動起來，以提高課堂效率和精心設(shè)計作業(yè)為抓手，雙管齊下，探索減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)的好方法。作為八年級數(shù)學(xué)備課組組長，在每周備課組研修活動中，我都會對下一周的教學(xué)內(nèi)容和作業(yè)進(jìn)行統(tǒng)一部署。特別是課后作業(yè)設(shè)計，本備課組基本上告別了以前量多取勝的方式，對每一課時的作業(yè)都進(jìn)行精心設(shè)計和研究，努力做到“少而精”，讓作業(yè)改革落到實處。【初探】在設(shè)計第十八章《勾股定理》第一課時的作業(yè)時，經(jīng)過對教材的分析，我發(fā)現(xiàn)本章的教學(xué)要讓學(xué)生經(jīng)歷對問題情境的觀察、分析、一般化等思維活動，提出猜想，從而體驗勾股定理的探索過程，且能通過了解勾股定理的證明，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣以及利用數(shù)學(xué)史話介紹，培養(yǎng)學(xué)生愛國主義的思想感情。在教學(xué)建議中，也鼓勵與提倡解決問題策略的多樣化，我想到勾股定理的證明方式有多種方式，能不能在介紹教材中的證明方法后，鼓勵學(xué)生積極探索勾股定理證明的不同思路呢？我將我的想法在備課組會議中提出來，得到大家的一致認(rèn)可，以下就是我的實施過程?！疽龑?dǎo)】課堂上，我首先展示出課本上的網(wǎng)格圖，讓學(xué)生通過割補法計算出正方形的面積，找到以直角三角形三邊為邊長的正方形面積，從而猜想出勾股定理。教材緊接著給同學(xué)們展示出一種常見的證法。如下圖：大正方形的面積可以表示為，也可以表示為，兩者相等。我們對正方形面積進(jìn)行分析：

大正方形面積可表示為：（a+b)2右邊大正方形面積可表示為:c2+1

2ab×4∵(a+b)2=c2+1

2ab×4∴a2+b2=c2.從而得出證明。在教學(xué)過程中，我特別強調(diào)拼圖和面積法兩大法寶，學(xué)生在經(jīng)歷證明之后，普遍感到不可思議，既有趣也有難度。為了加深學(xué)生的理解，我讓學(xué)生閱讀教材后面《數(shù)學(xué)史話》，觀察趙爽弦圖，嘗試給出證明?！旧钊搿坑辛饲懊娴幕A(chǔ)，大多數(shù)同學(xué)很快完成證明，達(dá)到了練習(xí)的目的。臨近下課，我布置這一課時的作業(yè)：1.完成課后習(xí)題第1、2、3題；2.查閱勾股定理的歷史并嘗試給出證明，鼓勵自主創(chuàng)新設(shè)計圖形，我們將在下周一展示優(yōu)秀作業(yè)。這樣的作業(yè)設(shè)計有兩個考慮，一是鞏固所學(xué)的勾股定理并利用定理解決一些實際問題；二是設(shè)計開放性習(xí)題，鼓勵學(xué)生自主探究，大膽嘗試，培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)?！痉答仭空n后習(xí)題的完成沒有什么問題，在這就不多做評價。第二部分習(xí)題的答案收上來后，讓我大吃一驚，我深深感受到學(xué)生的思維是那么的活躍，下面是經(jīng)過整理后的一些內(nèi)容。不少同學(xué)都在網(wǎng)上搜索、查閱了與勾股定理有關(guān)的歷史材料，在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”，于是我國古代學(xué)者就把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，因此，我們稱上述定理為勾股定理?！吨荀滤憬?jīng)》記載了勾股定理的一個特例，相傳是在商代由商高發(fā)現(xiàn)，后來人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”，記錄于三國時代的趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明，后劉徽在劉徽注中亦證明了勾股定理……在分享完相關(guān)歷史材料后，我不失時機(jī)地告訴學(xué)生，早在4000多年前，我們的祖先就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)勾股定理，比西方國家要早許多年。大禹在治水時，就利用“勾股術(shù)”來進(jìn)行高低水位差計算，我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚教授在《數(shù)學(xué)的用場和發(fā)展》一文中指出，用勾股定理的數(shù)形結(jié)合的圖形，實現(xiàn)地球“人”與外星球“人”溝通的語言……學(xué)生在交流這些相關(guān)史實時候，油然而生的是對我國燦爛文明的敬佩與自豪。 作業(yè)的另一部分是對勾股定理證明的探索和思考，在學(xué)生探究的眾多證明方法中，我選擇以下有代表性的四個進(jìn)行說明。 （法1）細(xì)心的同學(xué)發(fā)現(xiàn)，在課后習(xí)題中提到了一種證法，是利用兩個全等的直角三角形構(gòu)造一個直角梯形來進(jìn)行證明，又稱總統(tǒng)證法。以下就是證明過程： 以a、b為直角邊，以為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角c

1

形的面積等于2ab．把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上．∵Rt△EAD?Rt△CBE，

∴∠ADE=∠BEC，

∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠AED+∠BEC=90°.∴．∠DEC=180°-90°=90°. 1∴△DEC是一個等腰直角三角形，它的面積等于:2c2．又∵∠DAE=90°，∠EBC=90°，

∴AD∥BC. 1

∴四邊形ABCD是一個直角梯形，它的面積等于:2（a+b）2. 1 1 1

∴2（a+b）2=2× 2ab+ 2c2．∴a2+b2=c2．（法2）據(jù)學(xué)生介紹下面這種證法是選自《課時A計劃》這一本輔導(dǎo)資料。按圖①所示擺放，其中∠DAB=90°，求證：a2+b2=c2． 圖①圖②

證明：連結(jié)DB，過點D作BC邊上的高DF，則DF=EC=b-a，F(xiàn)C=DE=b，∵S四邊形ADCB=S△ACD+S△ABC=1

2b2+1

2ab1

2c2+1

2a(b?a)S四邊形ADCB=S△ADB+S△DCB= 1

∴2b2+1

2ab=1

2c2+1

2a(b?a)∴a2+b2=c2

參照上述證法，利用圖②也可以完成下面的證明：將兩個全等的直角三角形按圖②所示擺放，其中∠DAB=90°，也可以證出a2+b2=c2。（法3）直角三角形BAC，繞其銳角頂點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△DAE，所以∠BAE=90°，且四邊形ACFD是一個正方形，它的面積和四邊形ABFE面積相等，而四邊形ABFE面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和，根據(jù)圖形寫出一種證明勾股定理的方法．這種證明思路是利用S正方形ACFDS正方形ABFES△BAE+S△BFE= =即S四邊形ACFD=S△BAE+S△BFE∴b2=1

2c2+（b+a）(b?a)

2 ,整理得：a2+b2=c2（法4）展示歐幾里得證明方法，這也是教材閱讀材料給出的證明方法，具體是用三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示的形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結(jié)BF、CD．過C作CL⊥DE，交AB于點M，交DE于點L．∴△FAB≌△CAD．∵S△FAB=1

2a2,∴S△CAD=1

2S長方形ADLM=1

2a2∴S長方形ADLMa2=同理可證：S長方形MLBEb2=∵S正方形ADEB=S長方形ADLMS長方形MLEB+∴c2=a2+b2，即a2+b2=c2.【歸納】“可以用一次的想法是決竅，如果它可以用兩次以上，那它就成為一種方法”。面積法作為初中數(shù)學(xué)一種解題方法（回顧用面積法證明等腰三角形底上任意一點到兩腰的距離之和等于腰上的高），通過此次作業(yè)訓(xùn)練，再次讓學(xué)生對面積法有了更加深刻的認(rèn)識。也讓學(xué)生體會到面積法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。再次將數(shù)學(xué)思想和方法滲透于平時的教學(xué)之中。【應(yīng)用】勾股定理不僅是解決直角三角形三邊計算相關(guān)問題重要的工具，它還有更加奇妙的應(yīng)用，凡遇到線段平方類型問題，往往能要借助勾股定理來解決問題。下面給出以下兩個問題，是等腰直角三角形的兩個常見結(jié)論，在中考和一些自主招生試題中，經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)。例1：如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC上的點．求證：BD2+CD2=2AD2證明：作AE⊥BC于E，如上圖所示：

∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴BE＝CE＝AE，

設(shè)BE=m,DE=n.則BD=m+n,CD=m-n.在Rt△ADE中，由勾股定理可得：AD2=m2+n2∵BD2+CD2(m+n)2+(m?n)2=m2+2mnn2m2+ + -2mn+n2 =2(m2n2+ )

即：BD2+CD2=2AD2

在這里，一定要讓學(xué)生體會，在圖形線段轉(zhuǎn)換中，用小字母表示圖中的線段，會化繁為簡，有事半功倍之妙。經(jīng)過思考，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，利用△BDE和△CDF是等腰直角三角形，表示出DE和DF，在直角三角形△ADE中,利用勾股定理，也同樣得出證明。借機(jī)，我又設(shè)計了新課的作業(yè)，繼續(xù)拓寬解題思路。提出問題，由“BD2+CD2”想到BD與CD能轉(zhuǎn)化為一個直角三角形的兩直角邊嗎？還記得旋轉(zhuǎn)嗎？讓學(xué)生課后再次去探究新的解法。一題多解，能有效激發(fā)學(xué)生的探究欲望和學(xué)習(xí)興趣。作業(yè)2：在等腰直角三角形ABC中，∠DAE=45°，證明：AD2+BE2=DE2.本題讓學(xué)生初步認(rèn)識“半角模型”。再次讓學(xué)生體會旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造直角三角形在題中的運用。【反思】有效的作業(yè)不僅是對新知識的鞏固，也是教學(xué)效果反饋的手段，更是對數(shù)學(xué)興趣培養(yǎng)的延續(xù)。在新的教學(xué)理念下，刷題的方式已經(jīng)不適應(yīng)現(xiàn)階段要求，作業(yè)設(shè)計不僅要鞏固新知，也應(yīng)該加強對學(xué)生思維能力和分析問題、解決問題能力的訓(xùn)練，要讓學(xué)生在作業(yè)中品嘗問題解決時所帶來的喜悅，也要通過自主探究和查閱資料，目的就是讓學(xué)生養(yǎng)成主動解決問題的品質(zhì)，讓學(xué)生在