異面直線所成的角第1頁(yè)第1頁(yè)第2頁(yè)第2頁(yè)一.定義:直線a、b是異面直線，通過(guò)空間任意一點(diǎn)O,分別引直線a′∥a,b′∥b。我們把直線a′和b′所成銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成角.第3頁(yè)第3頁(yè)闡明：1．a(chǎn)和b所成角大小與空間點(diǎn)選取無(wú)關(guān).2．實(shí)質(zhì)：把a(bǔ)和b平行移動(dòng)使之相交,把抽象空間位置用平面內(nèi)詳細(xì)角來(lái)表達(dá).3．范圍:(0°，]第4頁(yè)第4頁(yè)2.異面直線所成角求法:

例1：如圖正方體AC1，①求異面直線AB1和CC1所成角大?、谇螽惷嬷本€AB1和A1D所成角大小

解:①∵CC1//BB1

∴

AB1和BB1所成銳角是異面直線AB1和CC1所成角

∵在△ABB1中，AB1和BB1所成角是450

∴

異面直線AB1和CC1所成角是450?！挤治觥?、做異面直線平行線

2、闡明哪個(gè)角就是所求角

3、把角放到平面圖形中求解

D1D1CC1B1A1ADD1B②∵在面A1B1CD中，∵

A1B1CD

∴

A1D//B1C

∴

AB1和B1C所成銳角是異面直線AB1和A1D所成角

∵在△AB1C中，AB1和CC1所成角是600

∴異面直線AB1和A1D所成角是600。第5頁(yè)第5頁(yè)★求角環(huán)節(jié)：做（利用定義畫平行線，移到同一平面）證（簡(jiǎn)樸論證）3.求（解平面圖形，通常將角置于一個(gè)三角形中，利用平面幾何知識(shí)處理）求異面直線所成角環(huán)節(jié)有哪些？想一想第6頁(yè)第6頁(yè)正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為BB1中點(diǎn)，如圖，畫出下面各題中指定異面直線所成角ABCDD1B1ABCDB1ABDB1PD1D1C第7頁(yè)第7頁(yè)例2、長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，

AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成角余弦值。第8頁(yè)第8頁(yè)解法二：辦法歸納：補(bǔ)形法把空間圖形補(bǔ)成熟悉或完整幾何體，如正方體、長(zhǎng)方體等，其目的在于易于發(fā)覺兩條異面直線關(guān)系。在A1C1E中，由余弦定理得A1C1與BD1所成角余弦值為

如圖，補(bǔ)一個(gè)與原長(zhǎng)方體全等并與原長(zhǎng)方體有公共面連結(jié)A1E，C1E，則A1C1E為A1C1與BD1所成角(或補(bǔ)角)，F(xiàn)1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1方體B1F，

第9頁(yè)第9頁(yè)在空間四邊形S-ABC中，SA⊥BC且SA=BC,E,F分別為SC、AB中點(diǎn)，那么異面直線EF與SA所成角等于（）CSABEFD(A)300(B)450(C)600(D)900練習(xí)1B

第10頁(yè)第10頁(yè)SABEFG第11頁(yè)第11頁(yè)2.在空間四邊形ABCD中,AD=BC=2,E、F分別是

AB、CD中點(diǎn).且EF=．求:異面直線AD和BC所成角.

且PE//BC,PF//AD

解:設(shè)P為AC中點(diǎn),連結(jié)EP、FP.則

∴PE與PF所成銳角（其補(bǔ)角）就是異面直線BC與AD所成角.在△PEF中,PE=PF=1,EF=即異面直線AD和BC成600角∴ABCDEFG第12頁(yè)第12頁(yè)定角普通辦法有：（1）平移法（慣用辦法）（2）補(bǔ)形小結(jié)：1、求異面直線所成角要結(jié)識(shí)到：空間角能夠用平面角來(lái)定義，表達(dá)了立體幾何中降維思想。2、求角辦法：解平面圖形（普通為三角形）用余弦定理求異面直線所成角時(shí)，要注意角范圍：

（1）當(dāng)cosθ＞0時(shí)，所成角為θ（2）當(dāng)cosθ＜0時(shí)，所成角為π－θ（3）當(dāng)cosθ=0時(shí)，所成角為3、當(dāng)異面直線垂直時(shí)，還可應(yīng)用線面垂直有關(guān)知識(shí)處理。90o第13頁(yè)第13頁(yè)思考：已知正方體棱長(zhǎng)為a,M為AB中點(diǎn),N為BB1中點(diǎn)，求A1M與C1N所成角余弦值。解：如圖，取A1B1中點(diǎn)E,連BE,有BE∥A1M取CC1中點(diǎn)G,連BG.有BG∥C1N則∠EBG即為所求角。BG=BE=a,FC1=a由余弦定理，cos∠