導(dǎo)數(shù)問題的常用找點(diǎn)常見模型及方法歸納例題年國(guó)新課標(biāo)·理·21）已知f

2

x

.（）論f

的單調(diào)性；（）

有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的值范圍解析）

x

e

若a則'

恒成立，所以

在上遞減；若0

，令

，得

1,xlna

.當(dāng)xln

1a

時(shí)，f

x

，所以f

x

在

1a

上遞減；當(dāng)x

1a

時(shí)，f

，所以f

在

1lna

上遞增綜上，當(dāng)a

時(shí)，f

在R上減；當(dāng)a

時(shí)，f

在

1a

上遞減，在ln

上遞增（2）

f

有兩個(gè)零點(diǎn)，必須滿足

mi

，即a0

，且fmin

11lnaa

1la

.

0構(gòu)造函數(shù)

x易g

1x

，所以

單調(diào)遞減又因?yàn)?/p>

11lnaa

g

1a

.下面只要證明當(dāng)

時(shí)，f

有兩個(gè)零點(diǎn)即可此們先證當(dāng)

時(shí)

.事實(shí)，構(gòu)函數(shù)

，易h'

1x

，∴

mi

，所

x

，

.

x，x，lnx22x2x當(dāng)

時(shí)，

afe2e2

2

，flnaln

，其中

11，lnlna

，所以f

在

1,ln

13和ln,lnaa

上各有一個(gè)零點(diǎn)故的值范圍是注意：點(diǎn)過程用到了常用放縮技巧。一

方

面：xaexx；

3a

ln另一方面：x

時(shí)，ae

2x

x

x

（目測(cè)的）第一組：對(duì)數(shù)放縮（放縮成一次函數(shù)）xx

，x

，ln（放縮成雙撇函數(shù)）

lnx

111

，lnx

1，ln0x，x（放縮成二次函數(shù)）lnx2

，

12

x

2

，1x2（放縮成類反比例函數(shù)x

x

lnx0x

，

，ln1

11第二組：指數(shù)放縮（放縮成一次函數(shù)）x

，ex

，x

，（放縮成類反比例函數(shù)）ex

1x，x01x

，（放縮成二次函數(shù)）

11xx，exx22

3

，第三組：指對(duì)放縮elnx第四組：三角函數(shù)放縮xx

x

x

111x2，12cosxsin22

2

x

.第五組：以直線yx

為切線的函數(shù)x

，

yx

，

y

，y

1x

，yxlnx

.經(jīng)模型一

x或.x【例】論函數(shù)f

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（）

1

時(shí)，無(wú)零點(diǎn)f

x

1x

ff

ln

.（）

1

時(shí)，1個(gè)點(diǎn)1f'xe

，ff

.（）a

1

時(shí)，個(gè)點(diǎn)f

（目測(cè)

f

1aa111

，其中1

11

.（縮）

221feaaeaa22a221feaaeaa22af

.f

111a

1，其中a

.（用到了lnx

（）0時(shí)1個(gè)點(diǎn)f

1x

，單調(diào)遞增

f

，a1

a

1a

11aea

.【變式過元和等價(jià)變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例1：f

討f

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令x

，

m

討fx

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令

m

討f

xxmx

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（考慮g

x

討f

ln

的點(diǎn)個(gè)數(shù)考慮gf

，令tx

，ma討f

2

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)令t

，m

討

x

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令e

）經(jīng)模型二y

exx或x【例】論函數(shù)f

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（）0

時(shí)，1個(gè)點(diǎn)f'

x

x

，

x

x

單調(diào)遞增且

，所以在

上有一個(gè)零點(diǎn)；（）0

時(shí)，無(wú)零點(diǎn)f

恒成立；

aa（）a

時(shí)，無(wú)零點(diǎn)fmin

f

；（）ae時(shí)2個(gè).f

，

，

a

.【變式過元和等價(jià)變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例題2

討f

x

2x

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)令2x

，

m

討

的點(diǎn)個(gè)數(shù)去分母后與等e討f

x

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)移平方后與1等討f

x

x

2

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)移項(xiàng)開方后換元與1等價(jià)討

x

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)乘系數(shù)e，令ema討f

x

的點(diǎn)個(gè)數(shù)令

t

，轉(zhuǎn)化成2）討

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)令

，

m2

a經(jīng)模型三ln或

yxe

【例】討論函數(shù)f（）0時(shí)，1個(gè)點(diǎn)

ax

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)f'

xx

0

，

ax

單調(diào)遞增f

，

a1111

.（）0

時(shí)，1個(gè)點(diǎn)

0

）

minmin（）

1

時(shí)，無(wú)零點(diǎn)f'1（）時(shí)，1個(gè)點(diǎn)

xx

，ffminx0

1

.

1fxe（）

1

a0

時(shí)，2個(gè)點(diǎn)f

ln

2

11a

，

f

，f

，【變式過元和等價(jià)變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例題3f

ax

討

ln的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；討f

xx

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)考慮

g

f

，令討f

x

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)令x

討f

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；練題已函數(shù)

f