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第二章一階微分方程的初等解法

1§2.1變量分離方程與變量變換先看例子：2定義1形如方程,稱為變量分離方程.3一、變量分離方程的求解這樣變量就“分離”開了.4例：分離變量:兩邊積分:5注:例1求微分方程的所有解.解:積分得:6故方程的所有解為:7解:分離變量后得兩邊積分得:整理后得通解為:例2求微分方程的通解.8例3求微分方程解:將變量分離后得兩邊積分得:由對數(shù)的定義有9即故方程的通解為10例4解:兩邊積分得:因而通解為:再求初值問題的通解,所以所求的特解為:1112二、可化為變量分離方程類型（I）齊次方程13(I)形如方程稱為齊次方程,求解方法:14例4求解方程解:方程變形為這是齊次方程,即將變量分離后得15兩邊積分得:即代入原來變量,得原方程的通解為16例6求下面初值問題的解解:方程變形為這是齊次方程,將變量分離后得17兩邊積分得:整理后得變量還原得故初值問題的解為18(II)形如的方程可經(jīng)過變量變換化為變量分離方程.分三種情況討論為齊次方程,由(I)可化為變量分離方程.19這就是變量分離方程20作變量代換(坐標(biāo)變換)則方程化為為(1)的情形,可化為變量分離方程求解.21解的步驟:22例7求微分方程的通解.解:解方程組23將變量分離后得兩邊積分得:變量還原并整理后得原方程的通解為24注:上述解題方法和步驟適用于更一般的方程類型.此外,諸如25以及例8求微分方程的通解.26解:代入方程并整理得即分離變量后得兩邊積分得變量還原得通解為27三、應(yīng)用舉例例8、雪球的融化

設(shè)雪球在融化時體積的變化率與表面積成比例，且在融化過程中它始終為球體，該雪球在開始時的半徑為6cm，經(jīng)過2小時后，其半徑縮小為3cm，求雪球的體積隨時間變化的關(guān)系。解:根據(jù)球體的體積和表面積的關(guān)系得28分離變量并積分得方程的通解為由初始條件得代入得雪球的體積隨時間的變

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