MATLAB固高倒立擺系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)在現(xiàn)代控制論實(shí)驗(yàn)和最優(yōu)控制實(shí)驗(yàn)中，考慮了小車位移的控制，將直線一級(jí)倒立擺當(dāng)作單輸入多輸出系統(tǒng)，分別采用了極點(diǎn)配置法和線性二次型最優(yōu)控制策略，進(jìn)行控制器結(jié)構(gòu)和參數(shù)設(shè)計(jì)。許多抽象的控制理論概念如系統(tǒng)穩(wěn)定性、可控性和系統(tǒng)抗干擾能力等等，都可以通過(guò)倒立擺系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)直觀的表現(xiàn)出來(lái)。一、牛頓一歐拉方法建立直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。在忽略了空氣阻力，各種摩擦之后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成

的系統(tǒng)’如下圖1T所示。圖1-1圖1-1直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)我們不妨做以下假設(shè)：M小車質(zhì)量in擺桿魘量b小車摩擦系數(shù)I擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)企的長(zhǎng)度J擺桿慣量加在小車上的力x小車位置單擺桿與垂直向上方向的禿角e擺桿與垂直向下方向的夾角(考慮到擺桿初始位置為豎直向下〕用"來(lái)代表被控對(duì)象的輸入力尸，線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下:(1-3)[(/+ml2"—=mixI(M+m)A'+hx—m=u傳遞函數(shù)對(duì)方程組(1.3)進(jìn)行拉晉拉斯變換，得到[(/+7??/2)tv2—)=mlX(s2(]])1(M+m)X(s捋'+bX-(s)s'-U(s)(1-3)注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為0。

整理后得到傳遞函數(shù)：虬2巾⑴_(tái)qU(5)4h(l-m/1)3(M-m)fng/2hmgi其中+m)(I+狀態(tài)空間方程X=狀態(tài)空間方程X=AX+BliF=CX十Du整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)室間方程：0T+心1(A!+m)+A/m/20T+心1(A!+m)+A/m/2000業(yè)—.1(M+時(shí)+伽尸卜由)+訕"0拎垠RM￥tn)1-m]+實(shí)際系統(tǒng)的模型參數(shù)如下：M小車質(zhì)量1.0^6Kgm擺桿質(zhì)量(J.KJ1)Kgb小車摩擦系數(shù)(J.1I擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度0.25ffi1擺桿慣量(J.(J(J：Mkg*[ii+[iiT采樣頻率秒注意：在進(jìn)行實(shí)際系統(tǒng)的wt【』b仿真時(shí)，清將采樣頻率改為實(shí)際系統(tǒng)的采樣頻率.清用戶自行檢查系統(tǒng)參數(shù)是否與實(shí)際系統(tǒng)相符，否則請(qǐng)改用實(shí)際參數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。注意事項(xiàng)本指導(dǎo)書(shū)中例程的系統(tǒng)參數(shù)只具有指導(dǎo)意義，請(qǐng)同學(xué)自己完成控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)及實(shí)現(xiàn)。由于倒立擺系統(tǒng)是典型的多變量，強(qiáng)耦合，非線性系統(tǒng)，在經(jīng)典控制器設(shè)計(jì)時(shí)在直線平臺(tái)上可能導(dǎo)致小車“撞墻”，因此要注意仔細(xì)設(shè)計(jì)和實(shí)驗(yàn)。在線性控制器設(shè)計(jì)時(shí)，由于系統(tǒng)的非線性影響，控制器仿真成功不一定就能實(shí)際控制倒立擺系統(tǒng)，因此控制器參數(shù)也要仔細(xì)調(diào)整。實(shí)驗(yàn)步驟在在matlabcommand窗口中，首先進(jìn)入到倒立擺系統(tǒng)matlab仿真文件的路徑。輸入pc1_open_t.m可以看到系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型在沖擊輸入下的開(kāi)環(huán)響應(yīng)。輸入pc1_open_s.m可以看到系統(tǒng)狀態(tài)空間模型在階躍輸入下的開(kāi)環(huán)響應(yīng)。如果要修改系統(tǒng)參數(shù)或者輸入信號(hào)，請(qǐng)打開(kāi)相應(yīng)文件進(jìn)行編輯，然后在進(jìn)行相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)。完成試驗(yàn)報(bào)告，分析系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)響應(yīng)特性控制軟件工作在Windows2000操作系統(tǒng)環(huán)境下，不支持Windows98和95。系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)需要MATLAB6Release12.1以及SIMULINK4.1支持。

二、MATLAB以及SIMULINK應(yīng)用的基本介紹卜面以直線型一級(jí)倒立擺LQR算法為例介紹MATLAB編程：VI=一5：“變量定義及初始化□1=(J.2;b=U.1：J-m=勺w；I=「I.左p=l'\1-tn)*■(J—[ii*fni*1)^2;%￡i[iip]]J"]L-!iirifiLilI(J??姮陣定義及初始化I-iJ-[ii*r2pb.-fiItn「I：『"2%/峪力；p(J1:ci1tii(j(i-ni+-r2yFi；〔j：[n*i/pLiuI(J??姮陣定義及初始化I-iJ-[ii*r2pb.-fiItn「I：『"2%/峪力；p(J1:ci1tii(j(i-ni+-r2yFi；〔j：[n*i/pLiuu(j；

uuiui?-皿(J]]mipsysiuturi?sfiuriM?Jurr^Lcpgrin]Li-0.2*oncsbizd】))：Cn=[)000]：Nbar=jxcale|AjlX'nJtK)Bcn-[Nbar*B];[￥,X]=him|AcJknAcJX,U,Tlx=20：y-1(M);Q=[x000;0000;00y0;0000];R=】：K-lqr(A.H.QR)自定義函數(shù)仿真:qr算法，直接調(diào)用控制工具精的函救點(diǎn)擊SIMULINKLibrarybrowser的“File”下拉菜單，點(diǎn)擊“File/New/Model”，或者直接按熱鍵"Ctrl-N”，應(yīng)用程序生成一個(gè)新窗口，用戶可以將SIMULINKLibrary中的模塊用鼠標(biāo)拖動(dòng)到新窗口中。通過(guò)鼠標(biāo)可以將兩個(gè)模塊連接起來(lái)。以下面的簡(jiǎn)單例子來(lái)說(shuō)：將模塊信號(hào)發(fā)生器“SIMULINK/Sources/SignalOperator”、示波器“SIMULINK/Sinks/Scope”、封裝子系統(tǒng)“SIMULINK/Subsystems/Subsystem”拖到新窗口中，然后按住鼠標(biāo)，將系統(tǒng)輸入輸出連接起來(lái)。其中封裝子系統(tǒng)默認(rèn)含有輸入“in1”、輸出“out1”模塊，用戶可以自行增刪輸入輸出。將線性控制系統(tǒng)模塊"ControlSystemToolbox/LMISystem”增加到子系統(tǒng)中，并且將輸入輸出連接起來(lái)，則系統(tǒng)如圖3-4所示：圖3-4SIMULINK實(shí)例窗口雙擊需要修改參數(shù)的模塊進(jìn)行參數(shù)修改，修改完畢就可以進(jìn)行系統(tǒng)的仿真以確定系統(tǒng)的性能和特性了。例如假設(shè)線性系統(tǒng)為：2S+I圖3-5系統(tǒng)示波器輸出采用幅值為1，頻率為1赫茲的正弦信號(hào)作為實(shí)驗(yàn)信號(hào)，系統(tǒng)的輸出如示波器（圖3-5）所示。固高倒立擺系統(tǒng)工具箱軟件包括板卡相關(guān)功能函數(shù)、簡(jiǎn)單的例子、直線型單級(jí)倒立擺以及二級(jí)倒立擺的實(shí)時(shí)控制示例程序幾個(gè)部分。用戶可以根據(jù)說(shuō)明自己設(shè)計(jì)更新的算法，或者固高倒立擺實(shí)時(shí)控制工具箱將之移植到環(huán)型倒立擺系統(tǒng)上。實(shí)時(shí)控制示例程序包括一級(jí)倒立擺LQR算法、極點(diǎn)配置算法、PID控制、根

軌跡法、頻域設(shè)計(jì)法五種以及二級(jí)倒立擺LQR算法。注意：因?yàn)閃indows2000是多任務(wù)的操作系統(tǒng)，為了保證倒立擺系統(tǒng)控制輸出的實(shí)時(shí)性，請(qǐng)?jiān)谶\(yùn)行實(shí)控程序前關(guān)閉其余的應(yīng)用程序，并且在運(yùn)行過(guò)程中禁止啟動(dòng)其它的應(yīng)用程序。對(duì)于經(jīng)典控制理論設(shè)計(jì)的控制算法，只能證倒立擺桿平衡，不能控制小車的位置。實(shí)驗(yàn)時(shí)需手動(dòng)保證小車不要“撞墻固高擺控制系統(tǒng)硬件框圖如H1A-1固高擺控制系統(tǒng)硬件框圖如H1A-1所示，包括計(jì)算機(jī)、運(yùn)動(dòng)控制卡、伺服系統(tǒng)、倒立擺三、現(xiàn)代控制理論實(shí)驗(yàn)一狀態(tài)空間極點(diǎn)配置現(xiàn)代控制理論主要是依據(jù)現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具，將經(jīng)典控制理論的概念擴(kuò)展到多輸入多輸出系統(tǒng)。極點(diǎn)配置法通過(guò)設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器將多變量系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置在期望的位置上，從而使系統(tǒng)滿足工程師提出的的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)。前面我們已經(jīng)得到了倒立擺系統(tǒng)的比較精確的動(dòng)力學(xué)模型，下面我們針對(duì)直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)應(yīng)用極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)控制器。理論分析即擺桿的角度和速度以及小車的位置和速度四個(gè)狀態(tài)變量。則系統(tǒng)狀態(tài)方程為：?3=&-mLM4i}i)也傾十川)十垃就"、1+MmUUf十11!(\f十e)十燦就-十心MhiL2,-mLf十11!(\f十e)十燦就-十心MhiL2選擇擺桿的傾斜角度□和小車的水平位置.T作為倒立擺桿..?小車系統(tǒng)的輸出「則輸出方程為I()()000I0

所謂秋蓊反饋，就是用狀戀向重與-1個(gè)系數(shù)掛陣的視作為控制向量控制方?是一個(gè)加給小車永平方向的力L狀密些昂有四個(gè),時(shí)以應(yīng)債系數(shù)是個(gè)1X4階的拒陣則系統(tǒng)狀戀反債控制力可用很態(tài)變量與各自系於加、匕、、...匕乘積之和的形式表示'm■AqX]+fc2x2十上丁嘩力!c.Ka狀奄反醵控制系統(tǒng)的方塊圖5-1，聽(tīng)希:圖」I狀態(tài)反饋控制基統(tǒng)的方塊舀根據(jù)極點(diǎn)配置法確定反饋系數(shù)極點(diǎn)配置法是以線性系統(tǒng)為對(duì)象設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器，使閉環(huán)控制系統(tǒng)的特征根(極點(diǎn))分布在指定位置的控制器設(shè)計(jì)方法。重力加速.度i-if'?/拇到系覽坦陣d和輸入拒陣M為03S.L825O03S47I"0]U00_-2SII.1.T00I0000LQ7R7右陣A的特％窟是方程g』=口的職；■s-10O--3S.JMSaUUI"00.-I=u-0.38470il5因此.謔弟統(tǒng)的特注根S-%升別為$1,我.&.，」一。-0,6.1氏—6JS搖征報(bào)之一.、的疝音[I是正值.所以:炫季妹是不穩(wěn)定的"由此可卸：時(shí),倒立擺系統(tǒng)是不樓定的耒SLg—不穩(wěn)定輦毓應(yīng)用就態(tài)反場(chǎng)，可快橫桿玨宜巨快小車此于旱椎垃黃，即詁我捻定械葛“在用狀滂方&表示的系統(tǒng)中.應(yīng)用狀態(tài)反憤構(gòu)成的控制系結(jié)的特讓椎.以蚯陣IA-EK)

的特存伯:始出.慕統(tǒng)摘定的充要奈M是所甘特證值都要過(guò)于03S.L825O03S47整陣(A-liK)的情迫值是77程式低捉I月￡.1=口的*R：

實(shí)驗(yàn)步朦根據(jù)室橙培果仔新計(jì)管并尋控合適的理論控制葬參數(shù)。二進(jìn)入晌1后1一8響2配窗口，捷入P1L-PD15進(jìn)亍怙點(diǎn)實(shí)驗(yàn)’11過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)諾仔細(xì)觀察思考控制器琴數(shù)對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響。找到幾組合誼的控制器參數(shù)作為實(shí)辱控制的蠢裂.汪意：此程序中的時(shí)象參數(shù)話㈱戶根據(jù)實(shí)昧系統(tǒng)情;兄目行洞節(jié).請(qǐng)您根據(jù)自己的設(shè)計(jì)修改控制器等數(shù)’3,進(jìn)人narlabaiikcilink窗口「點(diǎn)擊InvertedPuidulmtTocdb皿在其古這點(diǎn)擊Sing1ePenJulurPolePlacementControl如g進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)>在StartRetilFeniiuliiiiiControl/FolePl&cenentController模峽修改控制器參熨以及控制周J.賣控前.清仔細(xì)檢查系統(tǒng)硬件連掛，仔期間笛使用說(shuō)明書(shū)。如果控制效果不理想，調(diào)整控制器參數(shù)’直到獲得較好的控制效果■:認(rèn)真完成實(shí)驗(yàn)井提交試驗(yàn)報(bào)告.分析理論結(jié)果與實(shí)際結(jié)果的差異.四、最優(yōu)控制理論一LQR控制器設(shè)計(jì)與調(diào)節(jié)最優(yōu)控制理論主要是依據(jù)龐德里亞金的極值原理，通過(guò)對(duì)性能指標(biāo)的優(yōu)化尋找可以使目標(biāo)極小的控制器。其中線性二次型性能指標(biāo)因?yàn)榭梢酝ㄟ^(guò)求解Riccatti方程得到控制器參數(shù)，并且隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步，求解過(guò)程變得越來(lái)越簡(jiǎn)便，因而在線性多變量系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)中應(yīng)用較廣。利用線性二次型性能指標(biāo)設(shè)計(jì)的控制器稱作LQR控制器。前面我們已經(jīng)得到了直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的比較精確的動(dòng)力學(xué)模型，下面我們針對(duì)直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)應(yīng)用LQR法設(shè)計(jì)與調(diào)節(jié)控制器，控制擺趕保持倒立平衡的同時(shí)，跟蹤小車的位置。對(duì)于直線一級(jí)順擺系統(tǒng)的最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)，可以完全參考本章的方法。理論分析狀態(tài)堂.c、狀態(tài)堂.c、x、8和心分別代表小車位移.小車速度、擺椅位置和擺桿角速度，輸出.F=&T包括小車位置和擺桿肯度.設(shè)計(jì)控制器使得當(dāng)給系統(tǒng)施如一個(gè)朋職輸人時(shí).擺桿會(huì)擺動(dòng)，然后仍然回到本直位置，小車同以到詁新的指定位置、系統(tǒng)的汗環(huán)極點(diǎn)可以用Mail命程序求出。開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為"41.1428,?,56Mr-5.D：J-Hr可以看出，有~個(gè)根點(diǎn)5.5落］位田右半￡平面，這說(shuō)明開(kāi)環(huán)系疏不穩(wěn)定。假設(shè)全狀悉反饋可以實(shí)現(xiàn)〔四個(gè)狀態(tài)童都可測(cè))’找由確定反饋控制規(guī)律的問(wèn)量凡。用Matlab中的岫函也可以得到最優(yōu)控制器對(duì)應(yīng)的K。招/函致范坪你選擇兩個(gè)參裁——R和?！高@兩個(gè)參教用來(lái)平街輸入量和狀態(tài)量的權(quán)重c彘簡(jiǎn)單的情況是假設(shè)R=\.Q=Kd當(dāng)然’也可以曲改斐0炬陣中的非零元素未調(diào)節(jié)控制器以粥到期望的響應(yīng)°I有關(guān),申，的理論'知識(shí)及具怵丘計(jì)息路可參考=現(xiàn)代工程控制》一書(shū)II00o-0000Q=c*c=00100000其中r代表小車位置的權(quán)重「而。扣是擺朽角度的極重'輸入的權(quán)重#是1。實(shí)驗(yàn)羅驟1.根據(jù)建模紜果仔紹滸算并尋挾合適的菱詮控制器參數(shù),2.進(jìn)Amaildl.ccraiand?nr罹人吼1lui.z進(jìn)行仿真實(shí)瞼"誦過(guò)陶節(jié)參坂請(qǐng)仔詢觀察思考控制番參數(shù)對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)和墩態(tài)響應(yīng)的影響。找到幾照合適的控制注意：此程序中的正象參數(shù)請(qǐng)用戶根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)情況自行調(diào)節(jié).請(qǐng)您根據(jù)自己的設(shè)計(jì)修改控制器參就『3,ADHtlabsinulink窗口，點(diǎn)擊InvertedPenduLunToolbvx,在其右邊點(diǎn)擊5iqglPenduLunLORControlD@j?0h誑行彷真實(shí)贛.在StartRealPendulunControl/LQiR模塊修改控削器裝數(shù)以沒(méi)控制周■1.實(shí)控前，請(qǐng)仔鈿桂香系統(tǒng)模件注接「仔細(xì)閱謾使用說(shuō)明書(shū).h,如果控制效果不理怛.調(diào)整控制器毒教.宜到就駕較奸的■拴制效杲.前面我們已經(jīng)得到了直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的系統(tǒng)狀態(tài)方程。假定倒立擺系統(tǒng)狀態(tài)方程0.18182.67270.454531.ISIS-100o'XX0F一0010放+00H

實(shí)際系統(tǒng)的模型參數(shù)如下：M小車質(zhì)量1一09GKgin擺桿質(zhì)量。一109Kgb小車摩擦系數(shù)0.1N/in/secI擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度0-25mI擺桿慣量0.0034T采樣頻率0.005秒注意：在進(jìn)行實(shí)際系統(tǒng)的MATLAB仿真時(shí)，請(qǐng)將采樣頻率改為實(shí)際系統(tǒng)的采樣頻率。請(qǐng)用戶自行檢查系統(tǒng)參數(shù)是否與實(shí)際系統(tǒng)相符,否則請(qǐng)改用實(shí)際參數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。整理后得到系統(tǒng)狀