控制系統(tǒng)的時域變控制系統(tǒng)的復域系統(tǒng)的結系統(tǒng)信號流圖系統(tǒng)的數(shù)學描述（系統(tǒng)建模1、實施恰當?shù)目刂?，首先要對受控對象了如指掌?、控制系統(tǒng)的輸入和輸出之間動態(tài)關系的數(shù)學表達控制系統(tǒng)分析的對建微微分方求程的分就可以知道其變量間的關系。實際數(shù)實際數(shù)學素來簡化，但這就出現(xiàn)了一對，簡化與準確性。不能過于簡化，而使數(shù)學模型變得確，復雜，這帶來另一對，復雜與可操作性。模型建立分析計算法（機理建模法達式，從而建立數(shù)學模型這適用于簡統(tǒng)例如，電路定律 定律工程實 黑輸 輸黑線性系統(tǒng)的同時滿足疊加性和齊次性的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。輸出y(x1輸入為x2(t)時,系統(tǒng)輸出為則系統(tǒng)輸出滿齊次

例判斷下列系統(tǒng)是否為線性系y(t)=f(t)+2滿足齊次性和疊加性。故為線性系統(tǒng)重要特來了極大的方便。這樣，我們可以采 b

a 圖幾種常見的非線性非線性微方解很 定，模型近似地化微簡的特分實證樣夠 解工題線性化的法：或者工作性范圍以內，則它們對系統(tǒng)的影響很小，可 微偏法基于一種假設，就是在控制系統(tǒng)的整個調節(jié)過中，各個元件的輸入量和輸出量只是在平衡點附近作yy=f(x)y0A(x0,y0 x0 設A(x0,y0)衡數(shù)點續(xù)可將函數(shù)平近成 數(shù)yf(x)

(xx0)

1d2

(xx0)2

"忽略二次以上的各項，上式y(tǒng)kx0其中y0

xx

dydx0x0這就是非線性元件的線性化0 擺振蕩模型(非線性系統(tǒng)線性化TmgLsinTTmgLdsin

0

圖振蕩擺在30度的變化范圍內，擺的模型誤差小于這門課只討論線性定常（時不變）例、已知一RLC電路系統(tǒng)如圖所示，試列寫其 CRLC(1) L Ri 1 ui

C消去中間變得到系統(tǒng)輸入輸出之間的數(shù)iC代入式(1)d2u

duLC RC uo(t)ui(t) Fxm例、帶阻尼的彈簧系統(tǒng)(k-m-f)Fxm(1)外力Fx(2)建立輸入輸出量的動態(tài)聯(lián)質量m分別為x、dx/dt和d2x/dt2。 d2xF kx d2 dt LCd2u

RCuo

(t)

總結上述兩個例子，可得線性定常系統(tǒng)輸入、輸出之間的1dnc(t)adtn1

dn1c(t)dtn

dc(t n

anc(t

dmr(tdt

dm1r(tdtm

bm

dr(t

bmr(t其中：rt——系統(tǒng)輸入量，c(t)——ai(i1…nbjj0…m)——總 4、標準化微分方程，將輸出各項移到方程左側，輸變換---- ce變1、定義與基20,21,21.1,",2令 N lgNlg對線性時不變系統(tǒng)而言，我們1、它的基本函數(shù)具有很大的覆蓋2、變換本身具有線性疊Lace變換對Fourier變換加以擴展，以復指數(shù)函1、定義與基拉式變換后的象函復變量：s復變函數(shù)FsFrsjFiF(s)是函數(shù)，其自變量為s；s為復變F(s)函數(shù)除此之外，在一般情況下，F(xiàn)(s)Fs

L

f

復變

當t<0F(S f單邊、線不追求數(shù)學細節(jié)，如收斂條基本時間函數(shù)及其 ce變指數(shù)函階躍函斜坡函正弦函脈沖函例1指數(shù)函ft

Aeat

(t0)0 (t0)Lft0

Aeatestdt0

Aesa s

esat0

s例2階躍函0(t0)ftA0(t0)sLfs

A0t階躍函數(shù)，記為1(t)。階躍函數(shù)在t=0處是不確定的，相當于在t=0處將一例3弦f(t) t t

f(t) t t顯然，直接求取并不明智。 定理有2 2 1

1sjsj Lsint

2jsjsj2 sjsjs22 1

1sjsj Lcost

2sjsj sjsjs22 (t)

1(t) s

st

1t2s sint

s22

cost

s22三、 ce變換基本性1、線性2、微分 LdftsFsf dt 式中，f(0)是f(t)在t=0同樣，對于f(t)的n階導dn

f(t)estdt

sf

f sF(s)fL[f(t)]sL[f(t)]f(0)s[sF(s)f(0)]fs2F(s)sf(0)fL[fn(t)]snF(s)sn1f(0)sn2f(0)"f3、積分

f 式中f10f 在t=0處的值證：令：h(t)f h(t)f(t)由上述微分定L[h(t)]sL[h(t)]1 L[f(t)dt

F(s)s

fsL[f(t)dt2]1F(s)1f(1)(0)1

(2)s s

f(t)dtn]1F 函數(shù)除以sn。4f(t)和df(t)/dt5

f(t)和df(t)/dtlimft存在，并且F(stlimftlimsFt 例Fs)s

s22ss24s

在時域

ft)的初值和終解（1）求初

s(s22sf(0)s

s24s612/s1/s21s11/s4/s26/求終F(s)s2F(s)

s22s1s3s24s (s1)(s2)(ss1在右半平面，f()不存6、位移時域位 復域指數(shù)乘LfteatFsa復域位 時域指數(shù)乘

tffLeatsint7、（尺度變換 tL

a

證 L[f()]f( ta,f()esaad08、卷積1將t2ft1將t20

d

f1tf2tLf1tf2t1sF2f(teatsint3t2FF(s) 6(sa)22 四、拉氏反 t

L

sf(t)L1[F(s)]

C

F

stds(t2jC

求 反變換的基本方法是，將復雜的F(s)展開成 我們遇到的F(s)通常是有理分式。若F(s)不能在表中直接FsAFsF1sF2s"ftL1

sL1

s"L1

部分分式展F(s) mF(s) m

bsm

sm

"bsD(s)

sn sn1"as有理假分式有理真分式最簡分式之和 F(s)N(s) N(s) D(s) (sp1)(sp2)"(spn s s

"

Ks

"

s式中Kj(j=1,2,n)為待定系jKj(spj)F(s)s j

j1,2," 則 f(t)(K

ptKep2

"Kepj

"Kne e1 e1且針對共軛復根同樣有如下結論和推論|K1||K1|

2|K|ettsjωs 例F(s) (s1)(s2)(s3)

s s sk (s1)(s2)(s

(s k2k

(s1)(s2)(s3)

(s(s

(s1)(s2)(s

F(s) 6s 15s 10sf(t)16

1e2t1

2s

的原D(s)s22s101(s1)2 s

ets2 (s1)22(s

2etcos10t,

2(s1)(s1)2 (s1)2 (s1)21 1etsin (s1)2 f(t)1et[10cos10tsin10t]或者直接寫出對由D(s)s1)2100s22s101解得p11j10 p21f(t)2[1j10e(1j10)t1j10e(1j10)t 然后

[j20

j10tej10t)(ej10tej10t2etcos10t1et5不妨設根p1為r重根，其余(n-r)個根為單根pj(j=r-1, 2,…,n)，則有理真分式F(s)可展開為F(s)N(s) N(s) D(s)

(sp)r(s )"(sp r

s

s

spn式中重根部分的

d(l1)(l1)!ds(l

[(sp)rF

s1則有原函1

"

∵tn

sn1

(sp1

(sp (sp 1tne

snr nrf(t) trlep1t(t)l1(rl)!

Kleplt(tlr

F(s)

s25s

(s1)2(ss25s A (s3)(s s (s sA1

s25s

2(s3)s3(s3)(sA2

s25s

2(s

2s1(s3)(s2Alimd

s25s

(s1)2] s1ds(s3)(ss25s 0.25 (s3)(s s (s sf(t)0.25e3t1.5te-t如果不 F(s)

a

s(s (s (s sa(s1)3bsb(s1)sbs(s1)2 (3ab1b2b3)sa3．當mn長除法將有理假分式多項式+導數(shù)項(l)(t)

F(s)

s25ss24s

F(s)1 s s24s

f(t)L1[1] s s24ss s s24s (s3)(s s sA

s

(s3) s3(s3)(sA

s

(s1) s1(s3)(sf(t)(t)0.5e-3t1.5ets2Y(s)sy(0)y(0)4sY(s)4y(0)5Y(s)Y(s)

s s s2s24s (s2)2 (s2)2 s (s2)2 (s2)2ye2tcost3e2tsin控制系統(tǒng)的復域數(shù)學模型——dna0

dn11

y(t)

n1

bdm

dm1

dr(t)

m1 Y(s)

bsmbsm1" s asnasn1" s G(s)Y(s)R(s)n

；各系數(shù)均為實傳遞函數(shù)是系統(tǒng)的數(shù)學描 沖響應gtL1Gs

G(s)

YR(s)

Kr根軌跡增益G(s)M(s)N

首項系數(shù)歸(sz1)(sz2)"(szma0(sp1)(sp2)"(spnszi(i12m)是M(s函數(shù)的零點，spi(i12n)是N(s的根

lKh

iis1nhs

sj

jjj

m

Ts KK傳遞系數(shù)或

K

zi j jj

歸納起來，系統(tǒng)比例環(huán)積分環(huán)微分環(huán)

GsGssGs慣性環(huán)振蕩環(huán)

T2s2

1延遲環(huán)一階微二階微

Gs如何求實際系統(tǒng)的傳 LCd2u

RCuo(t)

(t)

UG(s) Ui

LCs2RCs 流過這三種阻抗元件的電流i與電壓

電感：uL

sU(s)1I(sC

復阻抗在電路中經(jīng)過串聯(lián)、并聯(lián)，組成各種復雜電路，其等效阻抗的計算和一般電阻電路完全一樣。通過復阻抗的概念可以直接寫出一個電路的傳遞函數(shù)，省掉了微分方程的推導和計算過程，從而減小了計算量。例試用復阻抗的概念求例1 C 根據(jù)復阻抗概念得，1U(s) U(s)

U LsR1

LCs2RCs G(s)Uo(s)Ui

1LCs2RCsd2y3dy

6ydt dt其中，y為輸出，r為輸入，請確定系統(tǒng)的傳s2Y(s)sy(0)y(0)3sY(s)3y(0)6Y(s)(s23s6)Y(s)G(s)Y(s)

s23s統(tǒng)運動的微分 y3y x2x2xr2其中，y為輸出，x為中間變量，r為輸入，請確定系的傳遞函解：將中間變量消除，得：y5y8y6yr(s35s28s6)Y(s)(s

G(s)

Y(s)

s (s3)(s22sG(s)Y(s)X(s) sX (s3)(s22s關系的數(shù)學圖形。應用方框圖可以簡化復雜控制系統(tǒng)的動態(tài)傳遞關系，因此在控制理論中的應用十分廣泛。示，由函數(shù)方框、信號線、信號分支點、信號相加信號引出點（分支點）:表示同一信號輸出到幾個地__ 根據(jù)信號傳遞過程，將系統(tǒng)劃分為若干個環(huán)節(jié)或確定各環(huán)節(jié)的輸入量與輸出量，求出各環(huán)節(jié)的傳RCii圖RC(1)（節(jié)）：R1、C1、R2、C2I1(s) Ui(s)U1(s) I2 U1(s)Uo Uo(s) I2(s) C2繪出各環(huán)節(jié)的方框—1R —1R

—1——1

1(c)1

RC

(d)將各環(huán)節(jié)相同的量依次連接，得到系統(tǒng)動態(tài)結構——1—11C21 ？(剛才中間變?yōu)閕1u1i2，現(xiàn)在改為II1 I

u 2 (s)u 2

(s) 2sC2I2(s)I(s)I1(s (s)[ (s) (s) ]sC 1 1I(s)[u

(s)I1(s)

]sC R1ur1

11

I2

G(s)uc(s)ur

RRCCs2(RCR

…結論：n個環(huán)節(jié)串聯(lián)后的總傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)的nG(s)G1(s)G2(s)"Gn(s)Gi(s)n如圖所示，在并聯(lián)連接方式中，n個環(huán)節(jié)的輸入相同，而總輸出為各環(huán)節(jié)輸出的代數(shù)和。＋＋C＋＋RR…RE±RE±BRE±RE±BΦ(s)表示C(s)=G(s)E(s)=G(s)[R(s)-B(s)]=G(s)［R(s)-

C(s)

1G(s)H(s)C(s)R(s)

G(s)1G(s)H(s)RE±RE±B的比值，稱為系統(tǒng)的B(s)G(s)H輸出信號C(s)與誤差信號E(s)比值，稱為系統(tǒng)的前向通道傳遞C(s)G(s)

前向通道傳遞函1開環(huán)傳遞函若反饋通道的傳遞函數(shù)H(s)=1，則稱閉環(huán)系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)通道串上1/G(s)方框，其等效結構如圖(b)所示。±R±±R±1XX(a)

(b)

將圖(a)中G(s)方框之前的相加點移到方框之后，需要在被挪R± CR± C±X(a) (b)圖相加點的后移

CC±±C±±

(a) (b)移動前后的輸出相同，可見二者是等效的。這說明相

在被移動的通道串上1/G(s)方框，其等效結構如圖(b)所RR1RR1

(a)RRRRRRRRRRR

要向同類 G1

G1G1G1G11GG2(G1G3)121H1

——1—111(a)、(b)、—111——11R2C2s1R2C2s—1(b)1R1R2C1C21R1R2C1C2s2(R1C1R2C2R1C2)s(c)(s)Uo(s) Ui

RRCCs2(RCR

NCRERE——B還有干擾信號N(s)，因此在求系統(tǒng)被控量C(s)時，要同時考慮只考慮N(s)作用于系統(tǒng)，令R(s0，求系統(tǒng)輸出C2(s)系統(tǒng)的輸出C(sC1(s★給定輸入信號R(s)作用下輸出R(s)R(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)r(s)r

C1(s)

G1(s)G2 1G1(s)G2(s)H

C1(s)

(s)R(s)G1(s)G2

1G1(s)G2(s)H圖N(s)N(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)(s)

C2(s)

G2 N

1

(s)H C(s)(s)N(s)

G2

N1

(s)G2(s)HC(s)

G1(s)G21G1(s)G2(s)H

R(s)

G21G1(s)G2(s)H

NNCNCRE—RE—B控制輸入R(s)

3.控制輸入R(s) (s)C(s)

G1(s)G2

(s)E(s) 1G1(s)G2(s)H 1G1(s)G2(s)H2.擾動輸入N(s)作用下的閉環(huán)傳遞函 4.擾動輸入N(s)作用下的誤差傳遞函 (s)C(s)

G2

(s)E(s)

G2(s)HN 1G1(s)G2(s)H N 1G1(s)G2(s)H四種閉環(huán)傳函分母（特征）多項式2.5系統(tǒng)信號流圖信號流圖與方框圖一樣，也是一種描述控制 組成信號流圖的基本單元有兩個：節(jié)點和支路。

eX4的作用（這一結論對于根據(jù)方框圖畫出信號流圖而言

a b

eX4支路是連接兩個節(jié)點的有向線段，箭頭表示信號傳遞的方增益（相當于方框圖方框中的傳遞函數(shù)）標在相應的支路前向通路:信號從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點傳遞時，每個節(jié)點至多只通過一次的通路。前向通從輸入到輸出之間各支路增益之乘積為該條前向通路的總增益，一般用Pk表示。如：aceg，beg

b，它們彼此稱為不接觸回路。

b三 為(s)

1Pk1k其中，Δ為系統(tǒng)的主特征∑LdLeLf為所有三個互不接觸的回(s) k

n★Δk稱為第k條前向通路的余因子式，即去掉系統(tǒng)例：求系統(tǒng)傳遞

1

-P1=G1G2G3K;P2=G2G3K;P3=G1G3K;P4=- LdLeLf

1,21G1,31G2,41Ys1G1G2G3K1 例 f

h

前向通Y(s)= abcd+ed(1–bg) 1–af–bg–ch–ehgf+afch框圖模型與信號流圖之間有什么聯(lián)例 UUiI—1E2U1E3——圖系統(tǒng)方框圖解I2、Uo按從左到右的順序，畫出上面的8(3)按結構圖中信號的傳遞關系用支路將這些節(jié)點連接(4)將結構圖中的傳遞函數(shù)標在對應的信號流圖中的支。如果結構圖的輸出信號為負，則信號流圖中對UUiI—1E2U1E3——例試用上例系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解由信號流圖得系統(tǒng)只有一條前向通道，其中P1

R1R2C1C2s

1

)

RRCCs2RCsRCsRCs R1R2C1C2所以利 得系統(tǒng)傳遞函(s)

RRCCs2RCsRCsRCs

P1=G1G2G3 P2=G4G3L1=–G1 L2=–G3 L3=– L4=–L5=– L1L2=(–G1H1)(–G3H3)= 求Y(s)－－雙輸入系

L1=

L2= L3= L1L2=(G1H1)(-G2H2R(s)[G3G2(1-G1H1)+G1G2]+G2(1-G1H1)N(s)1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2

E(s)=1-GH+GH+GGH-GHG

P

=1+G

(1+G2H2)1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2P2=-△2=

R(s)[(1+G2H2)+(-

]

GH+G

+GGH-GHG

P1= △1=R(s)[(1+G2H2)+(-G3G2H3)]+(–G2H3)

GH+GH+GGH-GHG

回顧：對控制系統(tǒng)的數(shù)學 dna0

dn11

y(t)

n1

bdm

r(t)

dm1

r(t)

dr(t)

0

1

m1 2、傳遞函數(shù)Y(s) bsmbsm1" sG(s)

asnasn1" s 優(yōu)點最方便：便于系統(tǒng)組合，便于求取系適合采用試驗辨識建微分關系的代數(shù)化是圖示化模型的基礎，等不足僅僅表示了輸入輸出 Gss Gs Gses Gss 3、框圖模構圖特點信 上，變換因子在框內優(yōu)點圖示化模型，直觀除輸入輸出外，有新的系統(tǒng)實現(xiàn)信不足框圖的