三大抽樣分布：分布、t分布、F分布及其分位點(diǎn).第四節(jié)

分布t分布F分布基本內(nèi)容：2023/4/201數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第1頁(yè)定理1.設(shè)記作1.定義都服從標(biāo)準(zhǔn)相互獨(dú)立,正態(tài)分布N(0,1),則隨機(jī)變量一、尤其地,當(dāng)k=1時(shí),2023/4/202數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第2頁(yè)其概率密度函數(shù):其圖形伴隨參數(shù)k改變而改變，如圖所表示2023/4/203數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第3頁(yè)2.分布性質(zhì)(1)可加性:且則它們和此性質(zhì)推廣至多個(gè)變量情形:2023/4/204數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第4頁(yè)(2)

期望與方差(P927題)若X~2(k)，則E(X)=k，D(X)=2k.(3)分析：由2分布定義知，由中心極限定理可得結(jié)論.2023/4/205數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第5頁(yè)例1.解：因?yàn)閄1,X2,X3相互獨(dú)立，且Xi~N(0,9),有由可加性得2023/4/206數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第6頁(yè)3.分布分位點(diǎn)定義1.（分位點(diǎn)）定義：對(duì)于X和給定2023/4/207數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第7頁(yè)(P285)2023/4/208數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第8頁(yè)解:經(jīng)查表2(P285)得例2.2023/4/209數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第9頁(yè)二、t

分布?xì)v史上，正態(tài)分布因?yàn)槠鋸V泛應(yīng)用背景和良好性質(zhì)，曾被看作是“萬(wàn)能分布”。在這么背景下，十九世紀(jì)初英國(guó)一位年經(jīng)釀酒化學(xué)技師GossetWS，他在酒廠從事試驗(yàn)和數(shù)據(jù)分析工作，對(duì)數(shù)據(jù)誤差有著大量感性認(rèn)識(shí)，Gosset知道在總體均值和方差已知情況下，2023/4/2010數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第10頁(yè)為“t分布”或“學(xué)生氏分布”.xyO不過Gosset在試驗(yàn)中碰到樣本容量?jī)H有5-6個(gè),在其中他發(fā)覺實(shí)際數(shù)據(jù)分布情況與正態(tài)分布有著較大差異。正態(tài)分布Gosset樣本曲線于是Gosset懷疑存在一個(gè)不屬于正態(tài)其它分布，經(jīng)過學(xué)習(xí)終于得到了新概率密度曲線，在1908年以“Student”筆名發(fā)表了此項(xiàng)結(jié)果，后人稱此分布2023/4/2011數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第11頁(yè)1.t分布定義定理2.

設(shè)隨機(jī)變量X

與Y

相互獨(dú)立,且則隨機(jī)變量服從自由度為kt

分布,記作又稱學(xué)生氏分布,記為2023/4/2012數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第12頁(yè)①關(guān)于x=0對(duì)稱；其概率密度函數(shù)t分布概率密度函數(shù)圖形如圖所表示②當(dāng)k充分大時(shí)，其圖形與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖形相同.2023/4/2013數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第13頁(yè)例3.解:2023/4/2014數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第14頁(yè)2023/4/2015數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第15頁(yè)2.t分布分位點(diǎn)定義2.2023/4/2016數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第16頁(yè)(P286)2023/4/2017數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第17頁(yè)解:經(jīng)查表3(P286)得例4.試求2023/4/2018數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第18頁(yè)三、F分布定理3.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,且則隨機(jī)變量服從自由度為(k1,k2)F分布,記作1.定義2023/4/2019數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第19頁(yè)其圖形如圖所表示：2023/4/2020數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第20頁(yè)例5.設(shè)總體X～N(0,1),而X1,X2,…,X15是來(lái)自總體X簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則隨機(jī)變量分析：服從分布,參數(shù)為.所以2023/4/2021數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第21頁(yè)2.F分布性質(zhì)證實(shí)：定理：2023/4/2022數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第22頁(yè)3.F分布分位點(diǎn)定義3.2023/4/2023數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第23頁(yè)證實(shí):設(shè)F~F(k1,k2),則注：得證!由等價(jià)變形于是即(P1478題)2023/4/2024數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第24頁(yè)(P287)2023/4/2025數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第25頁(yè)解:經(jīng)查表4(P287)得解:例6.試求2023/4/2026數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第26頁(yè)第五節(jié)

正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量分布基本內(nèi)容：一、抽樣分布——統(tǒng)計(jì)量分布；二、正態(tài)總體下抽樣分布2023/4/2027數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第27頁(yè)一、統(tǒng)計(jì)量分布統(tǒng)計(jì)量是對(duì)樣本信息“加工”,因?yàn)闃颖臼请S機(jī)變量,故統(tǒng)計(jì)量有一定概率分布.我們稱統(tǒng)計(jì)量分布為抽樣分布.它依賴于樣本,所以統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量,2023/4/2028數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第28頁(yè)二、正態(tài)總體下抽樣分布且有性質(zhì).設(shè)相互獨(dú)立,都服從正態(tài)分布,則它們線性組合也服從正態(tài)分布,其中為常數(shù).回顧正態(tài)分布性質(zhì)2023/4/2029數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第29頁(yè)來(lái)自總體X一個(gè)樣本,則樣本均值且有定理1.(P1167題結(jié)論)2023/4/2030數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第30頁(yè)1.單個(gè)正態(tài)總體下統(tǒng)計(jì)量分布(2)統(tǒng)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)化樣本均值(1)統(tǒng)計(jì)量…………①…………②2023/4/2031數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第31頁(yè)定理3.(其中自由度降低一個(gè)，即n-1)(2)統(tǒng)計(jì)量…………③2023/4/2032數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第32頁(yè)它們受到一個(gè)條件約束：降低一個(gè)自由度原因：2023/4/2033數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第33頁(yè)定理4.則統(tǒng)計(jì)量證實(shí)：由定理2和定理3知,…………④2023/4/2034數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第34頁(yè)(1)已知總體例7.從總體X中抽取容量為16樣本.解:則由定理2知:2023/4/2035數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第35頁(yè)查表得2023/4/2036數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第36頁(yè)(2)由定理4知:已知2023/4/2037數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第37頁(yè)查表得：2023/4/2038數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第38頁(yè)例8.解:2023/4/2039數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第39頁(yè)查表得2023/4/2040數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第40頁(yè)所以解:2023/4/2041數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第41頁(yè)查表得2023/4/2042數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第42頁(yè)2.兩個(gè)正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量分布令X1,X2,…,Xnx來(lái)自總體X樣本,

樣本均值與樣本方差分別為令Y1,Y2,…,Yny來(lái)自總體X樣本,

樣本均值與樣本方差分別為2023/4/2043數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第43頁(yè)則統(tǒng)計(jì)量定理1.2023/4/2044數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第44頁(yè)推論.則統(tǒng)計(jì)量(兩方差相同總體統(tǒng)計(jì)量分布)2023/4/2045數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第45頁(yè)定理2.則統(tǒng)計(jì)量2023/4/2046數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第46頁(yè)(2)統(tǒng)計(jì)量則(1)統(tǒng)計(jì)量定理3.2023/4/2047數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第47頁(yè)1.了解三大抽樣分布：2.了解正態(tài)總體下一些統(tǒng)計(jì)量抽樣分布.內(nèi)容小結(jié)及其分位點(diǎn)，會(huì)查對(duì)應(yīng)數(shù)值表;2023/4/2048數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第48頁(yè)作業(yè)習(xí)題五(P146).6,7,9,10,14,152023/4/2049數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)第49頁(yè)備用題1.則（）.A.T服從t(n-1)分布;B.T服從t(n)分布;C.T服從N(0,1)分布;D.T服從F(1,n);分析：應(yīng)選B.2023/4/