學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精陜西省西安市西工大附中2020屆高三下學(xué)期三模理科數(shù)學(xué)試題含解析2020屆第三階段?？荚囶}理科數(shù)學(xué)一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，,則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)絕對值不等式的解法以及對數(shù)不等式的解法，可得集合，然后根據(jù)交集的概念可得結(jié)果。【詳解】由，所以,，∴，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式以及對數(shù)不等式的解法,還考查了集合的運(yùn)算，重在計(jì)算，屬基礎(chǔ)題。2。已知單位向量與的夾角為,若與垂直，則實(shí)數(shù)x的值為（）A. B. C。 D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】根據(jù)與垂直，利用求解?！驹斀狻恳?yàn)榕c垂直，所以,所以,故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3。，則（）A.3 B。 C.4 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)定義域先計(jì)算，再計(jì)算即可.【詳解】，，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的函數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.4。已知，則（）A. B。 C。 D.【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式和弦化切可得，再把化成關(guān)于的代數(shù)式，從而可求其值。【詳解】由題設(shè)可得,而，,，故選：C?！军c(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角的余弦，注意根據(jù)角的差異、函數(shù)名的差異、代數(shù)式結(jié)構(gòu)上的差異合理變形化簡求值，本題屬于基礎(chǔ)題。5。自新型冠狀病毒爆發(fā)以來，全國各地醫(yī)護(hù)人員勇當(dāng)“逆行者”支援湖北。重慶第一批共派出甲、乙、丙、丁4支醫(yī)療隊(duì)奔赴武漢、孝感、黃岡三個地方，每個地方至少一支醫(yī)療隊(duì)，每支醫(yī)療隊(duì)只去一個地方，則甲、乙都在武漢的概率為（）A. B. C. D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】先確定4支隊(duì)伍分配到三個地方,每個地方至少一支隊(duì)伍，每支隊(duì)伍只去一個地方所有情況數(shù)，再確定甲、乙都在武漢情況數(shù),最后根據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果。【詳解】4支隊(duì)伍分配到三個地方，每個地方至少一支隊(duì)伍，每支隊(duì)伍只去一個地方，共有種情況，甲、乙都在武漢共種情況，，故選:D【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率公式,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題。6。已知拋物線（），F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為拋物線上的兩點(diǎn),A，B的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為5，的重心為F，則（）A。1 B。2 C。3 D。4【答案】D【解析】【分析】由A，B的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為5可得，由的重心為可得，即可解出?！驹斀狻緼，B的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為5，，即，，的重心為F，，即，，.故選：D。【點(diǎn)睛】本題考查拋物線性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。7.在中，角、、對應(yīng)的邊分別為、、，若,，則的外接圓面積為（）A. B。 C。 D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】利用正弦定理邊角互化結(jié)合余弦定理求得角的值,利用正弦定理可求得的外接圓半徑,進(jìn)而可求得該三角形外接圓的面積.【詳解】，由正弦定理得，，由余弦定理可得，，，設(shè)的外接圓半徑為,則,，因此，的外接圓面積為.故選：A。【點(diǎn)睛】本題考查三角形外接圓面積的計(jì)算，考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.8.已知函數(shù)，，若與在公共點(diǎn)處的切線相同，則（）A. B。 C。 D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】設(shè)曲線與的公共點(diǎn)為,根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的值。【詳解】設(shè)函數(shù)，的公共點(diǎn)設(shè)為，則，即，解得，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用兩函數(shù)的公切線求參數(shù),要結(jié)合公共點(diǎn)以及導(dǎo)數(shù)值相等列方程組求解,考查計(jì)算能力，屬于中等題.9。在底邊邊長為2的正四棱錐中，異面直線與所成角的正切值為3，則四棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可知異面直線與所成角即為，可以求出，進(jìn)而求出，根據(jù)外接球性質(zhì)建立勾股定理可求出球半徑，即可得解.【詳解】,異面直線與所成角即為,作于H，則，，,設(shè)P在底面的投影為，則,如圖,設(shè)球心為，半徑為R，則,，，。故選:B.本題考查外接球的相關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.10.雙曲線C：(，)的左、右焦點(diǎn)為，，以為圓心，為半徑作圓，過作直線l與圓切于點(diǎn)M，若M在雙曲線的漸近線上，則雙曲線的離心率為（）A。 B。 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】先在中解得M坐標(biāo)，再代入雙曲線的漸近線方程,即得離心率.【詳解】由已知，，,不妨設(shè)在第一象限,則，，因?yàn)辄c(diǎn)M在漸近線上，，，故選:C【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.11.在正方體中，和的中點(diǎn)分別為M，N.如圖，若以A，M，N所確定的平面將正方體截為兩個部分，則所得截面的形狀為（）A.六邊形 B。五邊形 C。四邊形 D。三角形【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面的性質(zhì)，延長線段到正方體的表面，找到平面與正方體棱的交點(diǎn),連接起來即可判斷.【詳解】如圖，延長相交于點(diǎn)，連接并延長，與相交于點(diǎn)，與的延長線相交于點(diǎn)，連接，與相交于點(diǎn)，連接，則五邊形即為截面.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面基本性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.12?？Х犬a(chǎn)品的經(jīng)營和銷售如何在中國開拓市場是星巴克、漫咖啡等歐美品牌一直在探索的內(nèi)容，而2018年至今中國咖啡行業(yè)的發(fā)展實(shí)踐證明了以優(yōu)質(zhì)的原材料供應(yīng)以及大量優(yōu)惠券、買贈活動吸引消費(fèi)者無疑是開拓中國咖啡市場最有效的方式之一.若某品牌的某種在售咖啡產(chǎn)品價格為30元/杯，其原材料成本為7元/杯,營銷成本為5元/杯,且該品牌門店提供如下4種優(yōu)惠方式：（1）首杯免單，每人限用一次；（2）3。8折優(yōu)惠券,每人限用一次；(3）買2杯送2杯,每人限用兩次;（4）買5杯送5杯,不限使用人數(shù)和使用次數(shù)。每位消費(fèi)者都可以在以上4種優(yōu)惠方式中選擇不多于2種使用.現(xiàn)在某個公司有5位后勤工作人員去該品牌門店幫每位技術(shù)人員購買1杯咖啡,購買杯數(shù)與技術(shù)人員人數(shù)須保持一致;請問，這個公司的技術(shù)人員不少于()人時，無論5位后勤人員采用什么樣的優(yōu)惠方式購買咖啡，這筆訂單該品牌門店都能保證盈利。A。28 B。29 C。30 D。31【答案】C【解析】【分析】首先因?yàn)闊o論5位后勤人員采用什么樣的優(yōu)惠方式購買咖啡，這筆訂單該品牌門店都能保證盈利,轉(zhuǎn)化為當(dāng)最優(yōu)的購買方式購買時門店照樣盈利，先分析用哪種優(yōu)惠方式是最優(yōu)購買，因?yàn)?所以最優(yōu)的購買方式是不包含原價購買任何一杯咖啡,故要想盈利必須按照優(yōu)惠方式（3）和（4）售出20杯以上的咖啡才能盈利,后面再依次分析人數(shù)越多時何時品牌門店都能盈利即可得到答案．【詳解】解：由題意知，咖啡產(chǎn)品原價為30元杯,成本為12元杯，優(yōu)惠方式（1）免單購買，每購買1杯該品牌門店虧損12元；優(yōu)惠方式(2）每杯售價11.4元，每購買1杯該品牌店虧損0。6元；優(yōu)惠方式（3)和(4）相當(dāng)于5折購買，每購買1杯該品牌門店盈利3元;我們只需要考慮最優(yōu)的購買方式，每位后勤工作人員能選擇2種優(yōu)惠方式，必然包含優(yōu)惠方式（1），可以免單購買5杯咖啡，該品牌門店因此虧損60元,最優(yōu)的購買方式是不包含原價購買任何一杯咖啡，說明只要用原價購買1杯咖啡,哪怕最大程度利用3。8折優(yōu)惠，花費(fèi)也一定會超過搭配使用（2）（4）優(yōu)惠購買咖啡），故顯然該品牌門店必須按照優(yōu)惠方式(3)和（4）售出20杯以上的咖啡才能盈利，故技術(shù)人員人數(shù)一定多于人；技術(shù)人員在人時，免單購買5杯咖啡買5送5購買20杯咖啡折購買14杯咖啡,該品牌門店依舊虧損；技術(shù)人員為30人時,最優(yōu)購買方式為免單購買5杯咖啡十買5送5購買20杯咖啡十買2送2購買4杯咖啡折購買1杯咖啡,該品牌門店盈利元；由于4，故技術(shù)人員超過30人時，該品牌門店能保證持續(xù)盈利．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查了分類討論思想,將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言是本題的關(guān)鍵,屬于難題．二、填空題(本大題共4小題，每小題5分,共20分）13。復(fù)數(shù)，則____________.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算得到，然后再求模.【詳解】因?yàn)?，所以。故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題。14。已知離散型隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，則的數(shù)學(xué)期望________.【答案】【解析】【分析】利用二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算出的值，然后利用期望的性質(zhì)可求得的值.【詳解】由于離散型隨機(jī)變量,，又因?yàn)殡S機(jī)變量，由期望的性質(zhì)可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查期望的計(jì)算,考查了二項(xiàng)分布的期望以及期望性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15。已知函數(shù)向左平移個單位后，所得圖象在區(qū)間上單調(diào)遞增，則m的最大值為_______【答案】【解析】【分析】先利用輔助角公式整理函數(shù)，再平移后得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，利用即可求出實(shí)數(shù)m的最大值?！驹斀狻?，向左平移，得,，，,，當(dāng)時,，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了輔助角公式,以及三角函數(shù)的圖像變換，利用三角函數(shù)的單調(diào)性求最值，屬于較易題.16.函數(shù)滿足，當(dāng)時,，若有個不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性與極值，由題意可知，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，數(shù)形結(jié)合可知關(guān)于的二次方程有兩個大于的實(shí)根，利用二次方程根的分布可得出關(guān)于的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，。當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時,，此時函數(shù)單調(diào)遞增。所以，函數(shù)在處取得極小值，又,則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，令，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由于關(guān)于的方程有個不同的實(shí)數(shù)解，則關(guān)于的二次方程有兩個大于的實(shí)數(shù)根，由二次方程根的分布可得，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用方程根的個數(shù)求參數(shù),考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及一元二次方程根的分布，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于較難題.三、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知等比數(shù)列前n項(xiàng)和為,，且,,成等差數(shù)列.(1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和?！敬鸢浮浚?);（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，進(jìn)而可得,再由等差數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列的知識列方程可得，即可得解;（2)由，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式、裂項(xiàng)相消法及分組求和法即可得解?！驹斀狻浚?）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，又，，成等差?shù)列，所以即，解得,所以；（2）由題意，所以?！军c(diǎn)睛】本題考查了等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)列求和方法的應(yīng)用及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題。18.如圖,在四棱柱中，平面平面,是一個邊長為4的正三角形，在直角梯形中,，,，，點(diǎn)P在棱上,且.(1）求證：平面；（2)設(shè)點(diǎn)M在線段上，若平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，求的長。【答案】（1）證明見解析;(2）?！窘馕觥俊痉治觥浚?）作交于點(diǎn)Q，連接,證明即可；（2）設(shè)O是的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，利用向量法建立關(guān)系可求出.【詳解】(1)證明：如圖,作交于點(diǎn)Q，連接，因?yàn)?，所以，?,所以，即有四邊形是一個平行四邊形，所以,因?yàn)槠矫?平面，所以平面。(2)如圖,設(shè)O是的中點(diǎn)，在正中，，作,因?yàn)?，由平面平?可得平面，所以平面,再以，方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,，，,，，，設(shè)平面的法向量為,由因?yàn)辄c(diǎn)M在線段上，設(shè)其坐標(biāo)為，其中,所以，設(shè)平面的法向量為，由由題意，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為,則或,因?yàn)椋?，所?【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，考查向量法在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題.19。2020年初，武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎疫情,并快速席卷我國其他地區(qū)，口罩成了重要的防疫物資。某口罩生產(chǎn)廠不斷加大投入，高速生產(chǎn)，現(xiàn)對其2月1日～2月9日連續(xù)9天的日生產(chǎn)量（單位:十萬只，）數(shù)據(jù)作了初步處理,得到如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值:2.7219139.091095注：圖中日期代碼1~9分別對應(yīng)2月1日～2月9日；表中，。（1）從9個樣本點(diǎn)中任意選取2個,在2個點(diǎn)的日生產(chǎn)量都不高于三十萬只的條件下,求2個都高于二十萬只的概率；（2）由散點(diǎn)圖分析，樣本點(diǎn)都集中在曲線的附近，請求y關(guān)于t的方程，并估計(jì)該廠從什么時候開始日生產(chǎn)量超過四十萬只.參考公式：回歸直線方程是，，。參考數(shù)據(jù)：?！敬鸢浮浚?）；（2)，從2月14日開始日生產(chǎn)量超過四十萬只.【解析】【分析】(1）設(shè)出事件,利用條件概率的概率公式即可求出概率。（2）由，可得，即,利用已知數(shù)據(jù)求出、的值，再,兩邊同時求導(dǎo)即可.【詳解】（1）9個樣本點(diǎn)中日生產(chǎn)量都不高于三十萬只的有5個，高于二十萬只且不高于三十萬只的有3個，設(shè)事件A：所取2個點(diǎn)的日生產(chǎn)量都不高于三十萬只,事件B：所取2個點(diǎn)的日生產(chǎn)量高于二十萬只,事件：所取2個點(diǎn)的日生產(chǎn)量高于二十萬只且不高于三十萬只，則，，.（2)，，，,，.令,解得，，即該廠從2月14日開始日生產(chǎn)量超過四十萬只?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了求條件概率，以及求非線性回歸方程，屬于中檔題.20.已知橢圓：的長軸為，動點(diǎn)P是橢圓上不同于A，B的任一點(diǎn),點(diǎn)Q滿足，。（1)求點(diǎn)Q的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)的動直線l交于M，N兩點(diǎn)，y軸上是否存在定點(diǎn)S,使得總成立？若存在，求出定點(diǎn)S；若不存在，請說明理由。【答案】（1）(）;（2）存在，?！窘馕觥俊痉治觥浚?）設(shè)(），,，,根據(jù)，，由，,利用代入求解（2）設(shè),，假設(shè)存在這樣的點(diǎn),當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)方程為與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)，由,結(jié)合韋達(dá)定理求解.【詳解】（1）設(shè)（），，，，，，，，解得代入，得點(diǎn)Q的軌跡的方程為（).（2）設(shè)，,假設(shè)存在這樣的點(diǎn)滿足，當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)為,代入橢圓中，得，,,，，,即，即,，，，,即；當(dāng)斜率不存在時，直線l也過。綜上，y軸上存在定點(diǎn)，使得總成立?！军c(diǎn)睛】本題主要考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系以及定點(diǎn)問題，還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題。21.已知函數(shù)(）。（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2)討論的零點(diǎn)個數(shù).【答案】(1）遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是；(2）答案詳見解析?！窘馕觥俊痉治觥浚?）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得,再解不等式,即可得答案;（2）對分四種情況討論，即，，，，再利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理和極限思想，即可得答案.【詳解】(1)當(dāng)時，，則，因?yàn)椋瑒t，所以時,，所以時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是。（2）因?yàn)?，則.（i）當(dāng)時，因?yàn)?，則，則時,，所以時,，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.當(dāng)時，即時，，所以當(dāng)時，函數(shù)沒有零點(diǎn)，即函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)為0；當(dāng),即時,，所以當(dāng)時，函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，即函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為1；當(dāng),即時,，則存在一個實(shí)數(shù),使得，當(dāng)時,，,對任意的，則，取，因?yàn)椋瑒t，則，則存在，使得，即時,函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為2.（ii）當(dāng)時，令，則，則，即函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)；即函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為1。(iii）當(dāng)時,令，，故在上單調(diào)遞增，令，，故，，則一定存在，使得，所以時,，時，.因?yàn)椋?dāng)，即時，，所以，所以時，，所以時,，則在上單調(diào)遞增，且，,則存在,使得，所以函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，即函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為1。因?yàn)?，?dāng)，時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng),時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)闀r，，，,即，所以時沒有零點(diǎn),上至多有一個零點(diǎn)，而，令，（)，則(），則,故上單調(diào)遞增，而,即,故存在一個,則存在，使得，所以函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，即函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為1，綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為0；當(dāng)或時，函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為1；當(dāng)時，函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為2.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)個數(shù)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解