數(shù)學(xué)建模第六章數(shù)值分析模型第1頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六第六章數(shù)值分析模型

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第2頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六弦截法和拋物線法數(shù)值分析模型第六章非線性方程求根迭代法重點:插值法和非線性方程求根難點:利用數(shù)值分析方法建立數(shù)學(xué)模型插值法

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院建模舉例第3頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院

數(shù)值分析（numericalanalysis）是研究用計算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)計算問題的數(shù)值計算方法及其理論與軟件實現(xiàn)的學(xué)科。數(shù)值分析就是介紹如何用計算機(jī)來解決數(shù)學(xué)問題，以各種各樣的程序語言來設(shè)計出數(shù)值計算程序，然后依靠計算機(jī)的強(qiáng)大計算能力來求解這些數(shù)學(xué)問題，數(shù)值分析對數(shù)學(xué)理論與程序設(shè)計并重。運用數(shù)值分析解決問題的過程可分為如下幾步：實際問題→數(shù)學(xué)模型→數(shù)值計算方法→程序設(shè)計→上機(jī)計算求出結(jié)果。

數(shù)值分析這門學(xué)科有如下特點：（1）面向計算機(jī)（2）有可靠的理論分析（3）要有好的計算復(fù)雜性（4）要有數(shù)值實驗（5）要對算法進(jìn)行誤差分析第4頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六函數(shù)逼近問題設(shè)y=f(x)，若對以函數(shù)y=f(x)來說①其值是通過實驗或觀測得到，不知其解析表達(dá)式；②解析表達(dá)式很復(fù)雜，不便分析。問題：能否構(gòu)造一個較為簡單的函數(shù)P(x)近似地表示f(x)。這就是函數(shù)逼近問題。上述函數(shù)f(x)稱為被逼近函數(shù)，P(x)稱為逼近函數(shù)。逼近方式有兩種：插值和擬合。理學(xué)院

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數(shù)學(xué)建模第5頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六在生產(chǎn)和科學(xué)研究中,經(jīng)常出現(xiàn)這樣的問題:由實驗或測量得到的某一函數(shù)在一系列點處的值,需要構(gòu)造一個簡單函數(shù)作為函數(shù)的近似表達(dá)式:,使得

這類問題稱為插值問題.----被插值函數(shù)----插值函數(shù)----插值節(jié)點-----插值條件

6.1插值法插值函數(shù)：有各種類型，如代數(shù)多項式，三角函數(shù)，有理函數(shù)等。當(dāng)插值函數(shù)為多項式時，稱為（代數(shù)）插值多項式。[min｛xi｝,max{xi}]=[a,b]----插值區(qū)間第6頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六x0xixy0yi?????yy＝f(x)o從幾何上看，插值法就是要求一條曲線它通過已知的n+1個點(xi,yi)(i=0,1,…,n)，并用近似表示f(x).（下圖）

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第7頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

一、插值基函數(shù)與Lagrange插值1.簡單情形(1)n=1時.設(shè)yi=f(xi)i=0，1.作直線方程：

令：稱為兩點式插值或線性插值。

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第8頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

(2)n=2時.設(shè)yi=f(xi)i=0，1，2.令：稱

為三點式插值或拋物插值。

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第9頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六2.推廣

n=1時，記則

n=2時，記則

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第10頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六一般地令

則lj(x)(j=0，1，2，…，n)為n次多項式稱為Lagrange插值基函數(shù)，為Lagrange插值多項式。

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第11頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院例6.1.1

給定數(shù)組3.1533.0622.9792.9032.8332.768907978777675（1）作一分段線性插值函數(shù)（2）用上述插值函數(shù)計算和的函數(shù)值。第12頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院解

由插值基函數(shù)的表達(dá)式，在75到80的6個點間有5個線性插值函數(shù)，以區(qū)間為例，此時則在區(qū)間上有.第13頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院Matlab代碼如下:function[Y,Phi]=FenDuanXianXingChaZhi(xx)clcx1=75:80;y=[2.768,2.833,2.903,2.979,3.062,3.153];n=size(x1,2);symsxpositivefori=1:(n-1)Phi(i)=y(i)*(x-x1(i+1))/(x1(i)-x1(i+1))+y(i+1)*(x-x1(i))/(x1(i+1)-x1(i));endPhi=Phi';l=find(x1>xx);Y=subs(Phi(l(1)-1),xx);end第14頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六函數(shù)的調(diào)用格式為xx=75.5[Y,Phi]=FenDuanXianXingChaZhi(xx)得到的結(jié)果為：Y=2.8005Phi=(13*x)/200-2107/1000(7*x)/100-2487/1000(19*x)/250-2949/1000(83*x)/1000-699/200(91*x)/1000-4127/1000

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院Y=2.8005的值就是的函數(shù)值。的函數(shù)值是3.0039。同理可得到第15頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六理學(xué)院例6.1.2

由函數(shù)生成以下離散數(shù)據(jù)，并利用其計算函數(shù)在x=1.98，y=0.36處的函數(shù)值。并與真值作比較。yx0.10.20.30.40.50.60.50.8485551.9181153.6815226.5888911.3823319.285371.01.0473912.1169513.8803586.78772511.5811619.484211.51.2442412.3138024.0772096.98457611.7780119.681062.01.438142.50774.2711077.17847411.9719119.874962.51.6281472.6977074.4611157.36848212.1619220.06496

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數(shù)學(xué)建模第16頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六使用了matlab系統(tǒng)函數(shù)interp2，代碼如下，x=0.5:0.5:3.00.1:0.1:0.6;y=0.5:0.5:3.0;[x,y]=meshgrid(x,y);z=exp(x)+sin(y)+y-1;z_spline=interp2(x,y,z,1.98,0.36,'spline')計算結(jié)果為z_spline=6.9554，即對函數(shù)使用二次插值后在點計算出的而實際值是6.9550，二次插值的絕對誤差為0.0004。值是6.9554。

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第17頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

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數(shù)學(xué)建模二、牛頓插值

來計算函數(shù)值

在理論上，利用插值基函數(shù)求出Lagrange插值多項式是很重要的。但用來計算的近似值卻不大方便，特別是達(dá)不到要求的精度，這就要求增加插值節(jié)點，插值節(jié)點的增加意味著要重新計算全部的插值基函數(shù)。Lagrange插值法的計算量就變得很大了為此我們需要另一種便于計算的插值多項式。理學(xué)院第18頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院定義6.1.1函數(shù)的一階均差定義為稱為函數(shù)關(guān)于點的一階均差.

一般地，記階均差為稱為關(guān)于點的階均差.類似地，可以定義二階均差第19頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院根據(jù)均差定義，把看成上一點，可得只要把后一式代入前一式，就得到牛頓插值多項式其中我們稱為Newton均差插值多項式。.第20頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院注意:因此Newton插值多項式與Lagrange插值多項式只是形式不同，它們都是同一個多項式。(2)由于插值點固定時插值多項式是存在唯一的。(1)牛頓法比Lagrange插值的計算量少，且便于程序設(shè)計第21頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六引例導(dǎo)入浮力問題

一個半徑為r，密度為ρ的球重，高為h的球冠體體積為，求的球浸在水中部分的深度是半徑的幾分之幾（見圖1）。

6.2非線性方程求根

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第22頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六圖1

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第23頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六問題分析設(shè)ρ=0.6的球浸在水中部分的深度為h由物理學(xué)中知識，漂浮時，重力等于浮力可知：令h=kr即：問題：如何求解k的值？

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第24頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

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數(shù)學(xué)建模工程實際與科學(xué)計算中都遇到大量求解非線性方程的問題。設(shè)非線性方程為求數(shù)使得則稱為方程（6.2.1）的根，也稱函數(shù)的零點。求解非線性方程在初等代數(shù)中就有研究。例如，代數(shù)方程（二次、三次方程等）、超越方程（三角方程，指數(shù)、對數(shù)方程等）。但是我們發(fā)現(xiàn)即使是最基本的代數(shù)方程，當(dāng)次數(shù)超過4時，一般情況下就不能用公式表示方程的根，至于超越方程那就更難了。（6.2.1）第25頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六研究用數(shù)值方法計算非線性方程的根非常必要。在求根時通常假設(shè)非線性方程是關(guān)于的連續(xù)函數(shù)若令

它在坐標(biāo)系下的圖像為連續(xù)曲線，因此，求的根就是求與軸的交點.

如果在區(qū)間僅有一個根，則稱為方程的單根區(qū)間；如果在區(qū)間上有不止一個根，則稱為方程的多根區(qū)間。方程的單根區(qū)間和多根區(qū)間統(tǒng)稱為方程的有根區(qū)間。為了研究方便，我們主要研究方程在單根區(qū)間上的求解方法。

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數(shù)學(xué)建模第26頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六abx0x1a1b2x*一、區(qū)間對分法（二分法）1.確定有根區(qū)間:2.逐次對分區(qū)間：3.取根的近似值:b1a2

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院[].,),(,0)()(,,)(稱其為有根區(qū)間的根內(nèi)必有方程則若<?babfafbaCxf第27頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六其誤差為:根的近似值:abx0x1a1b2x*b1a2

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院.),(limlim的根是方程?==*￥?￥?baxbannnn第28頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六用對分區(qū)間法求根步驟：

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第29頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第30頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

6.3迭代法

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第31頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六將方程等價變形為，若要求滿足的根，等價的是求使得，稱與同解；反之亦然。這時的稱為是函數(shù)的一個不動點。求方程的根等價于求的不動點。不動點迭代關(guān)系式(也稱簡單迭代法)為 (6.3.1)其中函數(shù)稱為迭代函數(shù).如果對任意由式（6.3.1）產(chǎn)生的序列有極限則稱不動點迭代法（6.3.1）收斂.

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數(shù)學(xué)建模1、簡單迭代法第32頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六xyo是否對于任意的等價形式該迭代法都是收斂的？什么情況下收斂？

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第33頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第34頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六定理6.3.1(不動點存在性定理)

設(shè)滿足以下兩個條件:（1）對任意，有（2）存在正常數(shù)使對任意都有則在上存在惟一的不動點定理6.3.2（不動點迭代法的全局收斂性定理）設(shè)滿足定理6.3.1中的兩個條件,則對任意得到的迭代序列由(6.3.1)式收斂到的不動點，并有誤差估計

式和

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第35頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六定理6.3.3（不動點迭代法的局部收斂性定理）

設(shè)為的不動點,在的某個鄰域連續(xù)，且，則迭代法(6.3.1)局部收斂.

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數(shù)學(xué)建模第36頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六例6.3.2

求方程要求結(jié)果精確到10-5。在[0,0.5]內(nèi)的根，解將方程變形,因為在[0,0.5]內(nèi)為增函數(shù)，所以滿足收斂條件，取x0=0.25，用迭代公式計算步驟如下

x1=(0.25)=0.3385416x2=(x1)=0.3462668x3=(x2)=0.3471725x4=(x3)=0.3472814x5=(x4)=0.3472945x6=(x5)=0.3472961x7=(x6)=0.3472963取方程的近似根為x*=0.347296。

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數(shù)學(xué)建模第37頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六2、牛頓迭代法基本思想：牛頓法是將非線性方程線性化的一種近似方法。它是將在初始點附近展開成泰勒級數(shù)，取其線性部分(即前兩項)，作為非線性方程的近似方程，則有：。牛頓迭代公式：

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第38頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六牛頓迭代公式的幾何意義xyox0x1x2用曲線上某一點處的切線與x軸的交點來逐步趨近于曲線與x軸的交點，進(jìn)而近似地求出的根,因此又稱切線法.

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第39頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六xyx*x0

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第40頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六解：代入初值得：

Newton法迭代公式為

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第41頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六單點弦截法基本思想：單點弦截法是通過曲線上兩點（其中一個是初始點，另一個是新點）的直線與ｘ軸的交點來近似取代曲線與ｘ軸的交點，即的近似根．單點弦截法迭代公式：

6.4弦截法和拋物線法

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第42頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六xyox0x1x2幾何意義x３

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第43頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六兩點弦截法基本思想：單點弦截法是通過曲線上兩點（兩點都是新點）的直線與ｘ軸的交點來近似取代曲線與ｘ軸的交點，即的近似根。兩點弦截法迭代公式：

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第44頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六xyox0x1x2幾何意義x３

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第45頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六類似割線法，過三點做f(x)的二次插值多項式拋物線法（muller法）

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第46頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六y(x)xSecantlinex1拋物線插值x2x3Parabola

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第47頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第48頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六問題：交通事故勘察一輛汽車在拐彎時急剎車,結(jié)果沖進(jìn)路邊的溝里,警察聞迅趕到現(xiàn)場,對汽車留在路上的剎車痕跡進(jìn)行了細(xì)致的測量,利用所測到的數(shù)據(jù)畫出了事故現(xiàn)場的平面圖.并詢問司機(jī),他說:當(dāng)車進(jìn)入彎道時剎車失靈,并且進(jìn)入彎道時的車速為40英里/小時,通過驗車證實該車的剎車制動器在事故發(fā)生時的確失靈,但司機(jī)所說的車速是否真實?請給出一個可以使警察核對速度的計算方法.（外側(cè)剎車痕跡的有關(guān)值(見表)）建模舉例

6.5建模舉例

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第49頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六0369121516.6401.192.152.823.283.533.55182124273033.273.543.312.892.221.290作基準(zhǔn)線測量剎車痕跡,距離x沿基準(zhǔn)線測y(y與x垂直)ＸＸＹＹ

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第50頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六1.汽車沿彎路行駛,車輪轉(zhuǎn)著打滑,車滑向路邊.2.車輪所受摩擦力作用在汽車速度的法線方向上,并充當(dāng)轉(zhuǎn)彎時的向心力.3.車速V為常量,汽車重心沿半徑為r的圓運動.模型假設(shè)

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第51頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六用觀測方法得到反映某個函數(shù)的數(shù)據(jù)利用這些數(shù)據(jù)構(gòu)造出的近似表達(dá)式，即尋找一條曲線使它能很好近似，以反映所給數(shù)據(jù)的總體趨勢，消除局部波動的影響，這就是曲線擬合問題。曲線擬合法建?；舅枷?/p>

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第52頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六1.決定經(jīng)驗公式（函數(shù)）的形式。根據(jù)系統(tǒng)和測定數(shù)據(jù)的特點，參照已知圖形的特點決定經(jīng)驗公式。2.確定經(jīng)驗公式中待定系數(shù)的方法（擬合準(zhǔn)則）衡量一個函數(shù)P(x)同所給數(shù)據(jù)(xi，yi)的偏差

基本步驟3.檢驗：求得經(jīng)驗公式后，有時要將實際測定的數(shù)據(jù)與用公式求出的理論值進(jìn)行比較，若相差不多，說明擬合比較好，反之要修正經(jīng)驗公式。

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第53頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六①最小二乘準(zhǔn)則：使偏差的平方和最小，即

（1）②最小一乘準(zhǔn)則：使偏差的絕對值之和為最小，即

（2）③極小極大準(zhǔn)則：使偏差的最大絕對值為最小，即

（3）擬合準(zhǔn)則

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第54頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六(a)取,則

---直線擬合(b)取，則

---多項式擬合(c)取，則

---多元線性擬合(d)取，則

---雙曲線擬合常用擬合曲線

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第55頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六ti從11歲起年齡00.81.42.02.4