全

等

三

角

形

全

章

復

習

與

鞏

固【習標1.了解全三角形的念和性質(zhì)能夠準確地辨認全等三角形中的對元素；2．探索三角形等的判定法，能利三角形全等進行證明，掌握綜合法明的格式3．會作角的平線，了解的平分線性質(zhì)，能利用三角形全等證明角的分線的性，角的平分線性質(zhì)進行明.【識絡【點理要一全三形判與質(zhì)

會利用要要點的角

判定

一般三角形邊角邊（SAS）角邊角（ASA）角角邊（AAS）邊邊邊（SSS）

直角三角形兩直角邊對相等一邊一銳角應相等斜邊、直角定理（）

二全三形證思三、角平分線的質(zhì)平線性定的平分線上點到這個的兩邊的的角

性質(zhì)備注

對應邊相等對應角相（其他對應素也相等如對應邊的高相等）判定三角形等必須有組對應邊等

距離相等.平線判定的內(nèi)部到角兩邊距離等的點在角的分線上.角的角分三角形角平線交于一，且到三的距離相等角分線關(guān)輔線在角兩邊截相等的線，構(gòu)造全三角形；在角的平分上取一點角的兩邊垂線段要點四、全等三角形證明方法全等三角形平面幾何容的基礎這是因為全等三角形是研究特殊三形、四邊、相似圖形、圓等圖性質(zhì)的有工具，是決與線段、角相關(guān)問題的一個出發(fā).運用全三角形，可以證明線段相等、段的和差分關(guān)系、相等、兩直線位置關(guān)系等常見的幾問題.可以適當結(jié)證明方法.1明段相的法(1)證兩條線段所在的兩個三角形全等.(2)用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上點到角兩的距離相.(3)式性質(zhì)2明相等方：(1)用平行線的性質(zhì)進行證明.(2)明兩個角所在的兩個三角形全等.(3)用角平分線的判定進行證明.(4)角（等角）的余角（補角）相等.(5)頂角相等.3明條線的置系平、直）方：可通過證明個三角形等，得到應角相等，再利用平行線的判定或直定義證.4助的添:(1)作共邊構(gòu)造全等三角形；

(2)倍中線；(3)作角平線為對稱軸的翻折變換等三角形(4)利截長(補短)作旋轉(zhuǎn)換的全等三形.證三形等思方:（1直接利用等三角形定和證明條線段或兩個角相等，需要我們敏、快速地現(xiàn)兩條線和兩個角所的兩個三形及它們等的條件.（2如果要證相等的兩線段或兩角所在的三角形全等的條件不充分，則應根圖形的其性質(zhì)或先證其他的兩三角形全以補足條件.（3如果現(xiàn)有形中的任兩個三角之間不存在全等關(guān)系，此時應添置助線，使出現(xiàn)全等角形，通過造出全等角形來研平面圖形的性質(zhì).【型題類一巧輔線造等角．倍中法1、已知，如圖△ABC，是BC中點，DE⊥DF,試斷BE＋CF與EF的小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【路撥為D是BC的中點按倍長中線法，倍長過點的線段DF，使證明△EDG≌EDF，△FDC△GDB，這樣把BE、CF與EF線段轉(zhuǎn)化了△BEG中利用兩邊之和大于第三邊可證.【案解】BE＋CF＞EF；證明：延長FD到G，使DG＝DF,連接BG、EG∵D是BC中點∴BD＝CD又∵DE⊥DF在△EDG和△EDF中∴△EDG≌△EDF（SAS）∴EG＝EF在△FDC與△GDB中∴△FDC≌△GDB(SAS)∴CF＝BG∵BG＋BE＞EG∴BE＋CF＞EF【結(jié)華中點的時作輔助線考慮倍長線法（或倍長過中點的線段）.【變式】已：如圖所，、CB分是△ABC與△ADC的中線且∠ACB＝∠ABC．求證：CD＝2CE．證明：長CE至使EF＝CE連接BF．∵EC為線，∴AE＝BEBE,在△AEC與△BEF中，CE,∴△AEC≌△BEF（SAS．∴AC＝BF∠A＝．（全三角形對應邊、角相等）又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝＋∠A，∠FBC＝＋∠A．∴AC＝AB∠DBC∠FBC∴AB＝BF又∵BC為△ADC的中線∴AB＝BD即

在△FCB與△DCB中，,

BCBC∴△FCB≌△DCB（SAS．∴CF＝CD．即CD＝2CE．．作角分線對軸翻變構(gòu)全等角2、已知：如圖示，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2．求證：AB＝AC＋CD證明：在AB上截取AE＝AC．已作，在△AED與△ACD中，，

ADAD公用邊，∴△AED≌△ACD（SAS）．∴ED＝CD∴∠AED＝∠C(全等三形對應邊角相等．又∵∠C＝2∠B∴∠AED＝2∠B．由圖可知：∠AED＝＋，∴2＝∠B∠EDB．∴∠B∠EDB．∴BE＝ED即．∴AB＝AE＋BE＝AC等量代)．【結(jié)華題圖形簡，結(jié)論復，看似無下手，結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)AB故用截補短法．在AB上截取AE＝AC這樣AB就變成AE＋BE而AE＝AC．只需證BE＝CD即可．從而AB＝AC＋CD轉(zhuǎn)化為證兩線相等的問．【變式】如圖，是的平分線，H分別在，AB上，且HD＝BD.(1)求證：∠B與補；(2)若∠B＋2∠DGA＝180°請?zhí)骄烤€段線段AH之間滿足的等量關(guān)系，并加以證明證明：）在AB上取點M,使得連接DM.∵∠CAD＝∠BAD,∴△AHD≌△AMD.∴＝MD,∠AHD＝∠AMD.∵∴＝MD.∴∠DMB＝∠B.∵∠AMD＋∠DMB

C∴∠AHD＋∠B＝180?.即∠B與∠AHD互補（2由（）∠AHD＝∠AMD,HD＝MD,∠AHD＋∠B∵∠B＋2∠DGA＝180?,

H

D∴∠AHD＝2∠DGA.∴∠AMD＝2∠DGM.∵∠AMD＝∠DGM∠GDM.∴2∠DGM∠DGM＋∠GDM.

AGB

∴∠DGM＝∠GDM.∴∴＝MG.∵＝AM＋MG,∴＝AH＋HD.）.利截(或短)法構(gòu)造等角3新縣模擬）如圖eq\o\ac(△,，)ABC中AB=AC，點是角形右外一點，且∠APB=∠ABC．（1）如圖，若∠BAC=60°，P恰巧∠ABC的分線上PA=2，PB的長（2）如圖，若∠BAC=60°，究PA，PB，PC數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖，若∠BAC=120°，直接寫出PA，PB，PC數(shù)量關(guān)系．【路撥，∠BAC=60°，證eq\o\ac(△,得)是邊三角形，∠APB=∠ABC，得到∠APB=60°，又點P恰在∠ABC的分線上得到∠ABP=30°，得到直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)解出結(jié)果．（2在BP上截PD使PD=PA連結(jié)AD得到△ADP是邊三角形再過三角形全等證得結(jié)論．（3A為圓，以AP的長為半徑畫交BP于D連接AD，過A作AF⊥BP交BP于F，得到等三角形，然后過三角形等證得結(jié)．【案解】解）∵AB=AC，∠BAC=60°∴△ABC是邊三角形，∠APB=∠ABC，∴∠APB=60°，又∵點恰在∠ABC的分線上，∴∠ABP=30°，∴∠PAB=90°，∴BP=2AP，∵AP=2，∴BP=4；（2）結(jié)論：PA+PC=PB．證明：如圖1，在BP上截PD，使PD=PA連結(jié)，∵∠APB=60°，∴△ADP是邊三角形，∴∠DAP=60°，∴∠2，在△ABD與中，∴eq\o\ac(△,≌)ABD△ACP，∴PC=BD，∴PA+PC=PB；（3）結(jié)論：．證明：如圖2，以A為圓，以的長半徑畫弧交BP于，連接AD，過點A作AF⊥BP交BP于F，∴AP=AD，∵∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，∴∠APB=30°，∴∠DAP=120°，

∴∠2，在△ABD與中，∴eq\o\ac(△,≌)ABD△ACP，∴BD=PC，∵AF⊥PD，∴PF=AP，∴PD=AP，∴PA+PC=PB．【結(jié)華本題考查了等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角的判定與質(zhì)，直角角形的性質(zhì)，等邊三角形的定和性質(zhì)截長補短輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)．【變式】如，是△ABC的角平線，AB＞AC,求證AB－AC－DC證明：在AB上截取AE＝AC,連結(jié)DE∵AD是△ABC的角平線，∴∠BAD∠CAD在△AED與△ACD中∴△AED≌△ADC）∴DE＝DC在△BED中，＞BD－DC即AB－AE＞BD－DC∴AB－AC＞BD－DC

AEBC）.在的分線取點角兩作線段4、如圖所示，知E為正形ABCD的邊CD的中點，F(xiàn)BC上，∠DAE＝求證：AF＝AD＋CF．【路撥邊形為正方，則∠．而∠DAE∠FAE說明AE為∠FAD的平分線，按常規(guī)過角平分上的點作到角兩邊距離，而EAD的距離已有，只需EAF的距離EM即可由角平分線性可知＝DE．AE＝AE．Rt△AME與Rt△ADE全等有AD＝AM．而題要證AF＝AD．據(jù)圖知AF＝AM＋MF．故只需證MF＝FC即可．從而把證AF＝AD＋CF轉(zhuǎn)化為證兩條線段相等的問題．【案解】證明：ME⊥AF于M，連接EF．∵

四邊形ABCD為正形，∴∠C∠D＝∠EMA＝90°又∵∠DAE＝∠FAE，∴AE為∠FAD的平分線，∴ME＝DEAE(公用邊在Rt△AME與Rt△ADE中ME證∴Rt△AME≌Rt△ADE(HL)．∴AD＝AM(全等三角對應邊相等．又∵E為點，DE＝EC．∴ME＝EC

在Rt△EMF與Rt△ECF中

ME證EF(公用邊∴Rt△EMF≌Rt△ECF(HL)．∴MF＝FC(全等三角對應邊相等．由圖可知：AF＝AM，∴AF＝AD＋FC(等量代換【結(jié)華角平分線關(guān)的輔助：在角兩邊取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；角的平分上取一點向的兩邊作線段5、如圖所示，△ABC中，∠ACB=90°，D是上一點且AE垂直BD的延長線于E，AE

12

，求證：BD是ABC的平分．【案解】證明：延長AE和BC，于點F，∵AC⊥BC，BE⊥AE∠ADE=（對角相等）∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC．∠EAD=∠CBD．在Rt△ACF和Rt△BCD中．所以Rt△ACF≌Rt△BCD（ASA．則AF=BD（全等角形對邊相等）∵AE=BD∴AE=AF即AE=EF．在Rt△BEA和Rt△BEF中則Rt△BEA△BEF（SAS）．所以∠ABE=（全三角形對角相等），即BD是∠ABC的平分線．【結(jié)華果由題目知無法直得到三角全等，不妨試著添加輔助線構(gòu)造出三角形全等條件，使問題以解決．時練習中積累一些輔助線的添加方法.類二全三形態(tài)問6、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC直線

l

經(jīng)過頂點C，過，B兩點別作

l

的垂線，BF，足分別為E，F(xiàn).）如圖1當直線l

不與底邊相交時，求證：＝AE＋BF.將直線l

繞點C順時針旋轉(zhuǎn)使l

與底邊AB相交于點D請你探究直線l

在如下位置時，EF、AE、BF之間的關(guān)系，①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD.【案解】證明∵AEl

，BFl

，∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2∵＝90°，∠2＋∠3＝90°∴＝∠3?！咴凇鳌鰿BF，∴△CBF（AAS）∴AE＝CF，CE＝BF∵EF＝CE＋CF，∴EF＝AE＋BF）①EF＝AE－BF，理由如下：∵AE⊥l

，BF⊥l

，∴∠CFB＝90°∠1＋∠2∵∠ACB＝90°，∴＋＝90°，∴＝∵在△ACE△CBF∴△ACE△CBF（AAS）∴AE＝CF，CE＝BF∵EF＝CF－CE，∴EF＝AE―BF。②EF＝AE―BF③EF＝BF―AE證明同①【結(jié)華決動態(tài)幾問題時要于抓住以幾點：(1)變化前的論及說理程對變化的結(jié)論及說理過程起著至關(guān)重要的用；(2)圖形在變過程中，些關(guān)系發(fā)了變化，哪些關(guān)系沒有發(fā)生變化；來的線段之間、角之的位置與量關(guān)系是還存在是解題的關(guān)鍵；(3)幾種變化形之間，明思路存內(nèi)在聯(lián)系，都可模仿與借鑒原有的論與過程

其結(jié)論有時化，有時發(fā)生變化.【變式題境】如圖，在正方形中點E是段BG上的動點，AE⊥EF，EF交方形外角∠DCG的分線CF于點F．【探究展示】（1）如圖，若點E是BC的點，證明：∠BAE+∠EFC=∠DCF（2）如圖，若點E是BC的的任意一點B、C外∠EFC=∠DCF是仍然成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由．【拓展延伸】（3）如圖，若點E是BC延線C除）上的任意一點，求證AE=EF．【案（1）證明：取AB的點M，結(jié)，如圖1∵M是AB的中，是BC的點，∴在正方形ABCD中AM=EC，∵CF是的分線，∴∠BCF=135°，∴∠AME=∠ECF=135°，∵，在△AME與中，∴eq\o\ac(△,≌)AME△ECF（SAS∴∠BAE+∠EFC=∠FCG=∠DCF；（2）證明：取AB上任意一點使得，連結(jié)EM如圖2∵AE⊥