千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦初中數(shù)學有理數(shù)的運算記

筆

區(qū)

有理數(shù)的運算

一、有理數(shù)的加法運算

1．有理數(shù)的加法運算法則

（1）同號兩數(shù)相加：取相同的符號，并把肯定值相加；

（2）異號兩數(shù)相加：肯定值相等時和為0；肯定值不等時，取肯定值較大的數(shù)的符

號，并用較大的肯定值減去較小的肯定值；

（3）一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．【例】(3)(5)(35)8

(3)(5)(35)8

2(2)0

3(2)(32)1

2(5)(52)3

303

符號

數(shù)值

正數(shù)+正數(shù)

正

肯定值相加

負數(shù)+負數(shù)

負

肯定值相加

正數(shù)+負數(shù)

取絕大

絕大減絕小

【注】多個數(shù)相加時，加法交換律和加法結合律仍然成立．

2．加法運算技巧

（1）化小數(shù)為分數(shù)：分數(shù)與小數(shù)均有時，應先化為統(tǒng)一形式；

（2）符號相同的數(shù)可以先結合在一起；

（3）若有可以湊整的數(shù)，即相加得整數(shù)時，可先結合相加；特殊是有互為相反數(shù)的兩

個數(shù)時，可先結合相加得零；

（4）若有同分母的分數(shù)或易通分的分數(shù)，應先結合在一起．

【例】

14

(0.75)

14

34

1

18

12

38

18

38

12

12

12

0

3.7(7)6.33.76.3(7)10(7)3

2.452.4(2.42.4)5055

二、有理數(shù)的減法運算

1．有理數(shù)的減法運算法則

減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，即：aba(b)．

【例】3(2)325

8(7)871

2．有理數(shù)的減法運算步驟

（1）把減號變?yōu)榧犹?，把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)；

（2）根據(jù)加法運算舉行計算．

【例】計算：86解：原式8(6)

Step1：減號變加號，減數(shù)變相反

(86)

Step2：根據(jù)加法的運算步驟計算

14

13

筆記區(qū)

3．有理數(shù)加減法混合運算技巧（1）把算式中的減法轉化為加法；

（2）去括號時注重符號，能省掉的“”號要省掉；

（3）多觀看，巧妙利用運算律簡便計算．

三、有理數(shù)的乘法運算

1．有理數(shù)的乘法運算法則

兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，肯定值相乘．

任何數(shù)與0相乘，積仍為0．【例】3(5)(35)15

28(28)16

1211132

202200

2．有理數(shù)的乘法運算律

（1）乘法交換律：abba；（2）乘法結合律：(ab)ca(bc)；

（3）乘法分配律：a(bc)abac．

【例】()

[()

]

()

3．有理數(shù)乘法運算技巧：

（1）幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)打算：奇負偶正；

（2）幾個數(shù)相乘，假如有一個因數(shù)為0，則積為0；

（3）在舉行乘法運算時，若有小數(shù)及分數(shù)，普通先將小數(shù)化為分數(shù)，若有帶分數(shù)，應

先化為假分數(shù)，便于約分．簡記為：化小為分，化帶為假．

【例】()(.)的結果為負數(shù)

()的結果為0

.

四、有理數(shù)的除法運算

1．有理數(shù)除法運算法則

一個數(shù)除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)．aba，(b)．b

2．有理數(shù)除法的運算步驟：

（1）把除號變?yōu)槌颂枺?/p>

（2）把除數(shù)變?yōu)樗牡箶?shù)；

（3）把除法轉化為乘法，根據(jù)乘法運算的步驟舉行運算．

【例】

()

(

)

記

筆

區(qū)

五、乘方

乘方：求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪．在an中，an讀作“a的n次冪”或者“a的n次方”，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．

【例】an表示有n個a延續(xù)相乘：表示，表示()，()表示()()()()()．

【注】當n為奇數(shù)時，(a)nan；當n為偶數(shù)時，(a)nan．

六、混合運算技巧

1．有理數(shù)運算規(guī)章加減法為一級運算，乘除法為二級運算，乘方及開方稱為三級運算．

（1）先乘方，再乘除，最后加減；（2）同級運算，從左到右舉行；（3）如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次舉行．簡記為：從左到右，從高（級）到低（級），從?。ɡㄌ枺┑酱螅ɡㄌ枺?/p>

2．“奇負偶正”（1）多重負號的化簡：這里奇、偶指的是“”號的個數(shù)，正、負指的是化簡結果的符號；

（2）有理數(shù)乘法：當多個非零因數(shù)相乘時，這里奇、偶指的是負因數(shù)的個數(shù)，正、負指的是結果中積的符號；

（3）有理數(shù)乘方：這里奇、偶指的是指數(shù)，當?shù)讛?shù)為負數(shù)時，指數(shù)為奇數(shù)，則冪為負；

指數(shù)為偶數(shù)，則冪為正．

【例】()

()

()()()；

()()()

()

()．

七、肯定值初步

（1）若|a|a，則a；若|a|a，則a．

（2）|a||a|．

（3）

|

aa

|

，，

aa

．

模塊一

有理數(shù)的加減法

例題1

（1）()()

（4）

4

23

3

13

（2）

(.)

（5）()

（3）()()

（6）

15

筆記區(qū)

（7）

（8）

【解析】（1）()()

（2）

(.)

（3）()()

（4）

4

23

3

13

()

(..).

()

（5）()

（6）

（7）

（8）

()

()

例題2

（1）()()

（2）

()

【解析】（1）解：原式()()=(23+7)[()()]=30+()

（2）解：原式

()

()

=+()

例題3

（1）

(.75)

.

（3）

.

(.)

（2）

（4）

.

【解析】（1）原式

+

+

（2）原式

+

+

()

（3）原式

（4）原式

記

筆

區(qū)

()

()()

模塊二

有理數(shù)的乘除法

例題4

（1）

()

（3）

()

（2）

(.)

.

（4）

|

|

【解析】（1）原式

()

3

95

109

112

311

9

；

（2）原式

；

（3）原式

()

；

（4）原式

．

例題5

（1）

()

（2）

(.)

.

.

【解析】（1）原式

()

()

()

()().

（2）原式

[(.)

.

.]

．

模塊三

乘方

例題6（1）()

（2）

（3）

17

筆記區(qū)

（4）

（5）

|

|

【解析】（1）81；（2）；（3）；（4）；

（5）原式

．

例題7

（1）()（3）[()]

（2）()()

（4）

()

【解析】（1）原式

（2）原式

（3）原式

（4）原式

【提醒】有理數(shù)乘方?？纪瑢W的易錯點，即“奇負偶正”在乘方運算中的應用．

模塊四

肯定值初步

例題8

（1）若1a，則化簡|a||a|的結果為________．

（2）若x，化簡||x|x|．|x||x|

（3）已知數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖，化簡|a||b||ab||bc|的結果是（）．

A．abc

B．bc

C．bc

D．cb

（4）數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，且|a||c|；化簡|ac||b||ba||cb|

|ab|________．

cb

a

O

【解析】（1）2；

記

筆

區(qū)

（2）||x|x||xx|xx；（3）B；（4）bc．|x||x|xx

例題9（1）若ab，求ab的全部可能值．

|a||b|

（2）若abc，求abc的全部可能值．|a||b||c|

（3）摸索究，若aa

an

，求

|

aa

|

|

aa

|

an的全部可能值．|an|

【解析】（1）①兩數(shù)均正，原式；②一正一負，原式；③兩數(shù)均負，原式；

（2）①三數(shù)均正，原式；②二正一負，原式；③一正二負，原式；④三數(shù)均負，原式；

（3）①當n為奇數(shù)時，全部可能的值為：1，3，5，，n；②當n為偶數(shù)時，全部可能的值為：0，2，4，6，，n．

例題10

（1）已知a、b是不為0的有理數(shù)，求|a||b|的值．ab

（2）已知mn，求|m|nmn的值．m|n||mn|

（3）已知abc，求abacbc的值．|ab||ac||bc|

【解析】（1）當a，b時，|a||b|；ab

當a，b時，|a||b|()；ab

當a，b時，|a||b|；ab

當a，b時，|a||b|()；ab

綜上所述，|a||b|的值為，0，2．ab

19

筆記區(qū)

（2）∵mn，∴m、n兩個數(shù)都不為零，若m、n兩個數(shù)都是正數(shù)，則mn也是正數(shù)，故原式值為3；若m、n兩個數(shù)一正一負，則mn是負數(shù)，故原式值為；若m、n兩個數(shù)都是負數(shù)，則mn是正數(shù)，故原式值為；綜上所述，|m|nmn，．m|n||mn|

（3）∵abc，∴a、b、c三個數(shù)都不為零，若a、b、c三個數(shù)都是正數(shù)，則ab、ac、bc也都是正數(shù)，故原式值為3；若a、b、c中兩正、一負，則ab、ac、bc中一正、兩負，故原式值為；若a、b、c中一正、兩負，則ab、ac、bc中一正、兩負，故原式值為；若a、b、c中三負，則ab、ac、bc中三正，故原式值為3．綜上所述，abacbc，．|ab||ac||bc|

例題11

（1）a，b，c為非零有理數(shù)，且abc，則a|b|b|c|c|a|的值等于多少？|a|b|b|c|c|a

（2）已知a，b，c都不等于0，且abc，abc，求|bc|b|ac|c|ab|a．a|b|b|c|c|a|

【解析】（1）由abc可知a，b，c里存在兩正一負或者一正兩負；a|b|b|c|c|a|a|b|b|c|c|a||a|b|b|c|c|a|a|b|b|c|c|a

若兩正一負，那么a|b|b|c|c|a|；|a|b|b|c|c|a

若一正兩負，那么a|b|b|c|c|a|；|a|b|b|c|c|a

綜上所得a|b|b|c|c|a|；|a|b|b|c|c|a

（2）考慮abc，bca，acb，代入原式可得．

【提醒】例9、10、11均是關于|a|的問題，例9是最基本的|a|的考查形式，需要帶著學

a

a

生分類研究找到邏輯；例10是例9的變形，考查形式多樣化，但基本思路依舊

是分類研究正負數(shù)的個數(shù)即可；例11則加入了一些限制性的條件，限制了正負

數(shù)的個數(shù)．

記

筆

區(qū)

十分挑戰(zhàn)

（1）

(.)

()

（2）

()

()

()

【解析】（1）6035；（2）25.6．

復習鞏固

演練1

計算：（1）

(.)

.

（2）.(.)(.)(.)

（3）|||()|

【解析】（1）7.5；（2）.；（3）．

演練2

（1）

|

|

（3）(.)[()]

（2）

()

（4）

.

()

【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．

演練3

（1）已知≤x≤，則xx___________．

21

筆記區(qū)

（2）若