2022屆湖南省長沙市高三上學期新高考1月適應(yīng)性考試數(shù)學試題一、單選題1．若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】求出集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】，，因此，.故選：A.2．已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=，則=（）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】運用復(fù)數(shù)除法的運算法化簡復(fù)數(shù)，進而可得，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式，即得.【詳解】因為，∴所以.故選：B.3．若數(shù)列{an}的前n項和為，則“”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由的關(guān)系，結(jié)合可求的通項，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義即得.【詳解】∵，則，當，，∴，即從第二項起為等差數(shù)列；當時，則，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，當數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則，即.故“”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的充要條件.故選：C.4．函數(shù)在上的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)，由排除A選項，再分析該函數(shù)的奇偶性及其在的函數(shù)值符號，結(jié)合排除法可得出合適的選項.【詳解】設(shè)，因為，排除A選項，，即函數(shù)為奇函數(shù)，排除C選項，當時，，，此時，排除D選項.故選：B.5．已知sin，則（）A． B． C． D．±【答案】C【分析】利用誘導公式即得.【詳解】∵sin，∴.故選：C.6．若雙曲線與直線有交點，則其離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出雙曲線的一條漸近線方程，讓它的斜率比的斜率大，找到的關(guān)系，再求離心率的范圍.【詳解】雙曲線的焦點在軸，一條漸近線方程為，這條漸近線比直線的斜率大，即，．故選：C.【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)、求離心率范圍的問題.7．已知m，n，s，t為正數(shù)，，，其中m，n是常數(shù)，且s＋t的最小值是，點M(m,n)是曲線的一條弦AB的中點，則弦AB所在直線方程為（）A．x－4y＋6=0 B．4x－y－6=0C．4x＋y－10=0 D．【答案】D【分析】由已知求出取得最小值時滿足的條件，再結(jié)合求出，再用點差法求出直線的斜率，從而得直線方程．【詳解】∵，當且僅當，即取等號，∴，又，又為正數(shù)，∴可解得．設(shè)弦兩端點分別為，則，兩式相減得，∵，∴．∴直線方程為，即．故選：D．8．數(shù)學家歐拉于1765年在其著作《三角形中的幾何學》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為歐拉線.若AB=4，AC=2，則下列各式不正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求得，然后結(jié)合歐拉線、向量運算的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】是三角形的重心，所以，，A錯誤.根據(jù)歐拉線的知識可知，B選項正確.，所以C選項正確.，所以D選項正確.故選：A二、多選題9．若，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合特值法，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】A：，即，顯然成立，故正確；B：因為，不妨取，故可得，故錯誤；C：，即，又，故可得，又，則，故正確；D：因為，不妨取，故，故錯誤.故選：.10．下列選項正確的是（）A．若，則B．若二項式的展開式中二項式系數(shù)之和為，則展開式中常數(shù)項是第項C．若，，則：?，D．設(shè)隨機變量，若，則【答案】BC【分析】根據(jù)二項式定理，以及二項式展開式的通項公式，以及命題的否定的求解，以及正態(tài)分布的性質(zhì)，對每個選項進行逐一分析即可判斷和選擇.【詳解】A：當時，，故錯誤；B：二項式的展開式中二項式系數(shù)之和為，即，解得；故二項式的的展開式的通項公式為，當時，也即二項式展開式的第項是常數(shù)項，故正確；：，，則：，，故正確；：隨機變量，若，則，解得，故錯誤.故選：.11．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，N為底面ABCD的中心，P為棱A1D1上的動點（不包括兩個端點），M為線段AP的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A．CM與PN是異面直線B．C．過P，A，C三點的正方體的截面一定不是等腰梯形D．平面PAN⊥平面BDD1B1【答案】BD【分析】連接，因為點，平面可得平面，因為點，平面可得平面可判斷A；以為原點，所在的直線分別為的正方向建立空間直角坐標系，設(shè)，求出，，配方后可判斷B；取的中點，可得四邊形是梯形，由，可判斷C；由線面垂直的判斷定理可得底面，再由面面垂直的判斷定理可判斷D.【詳解】如上圖，連接，因為點，平面，所以點在平面，即平面，因為點，平面，所以點在平面，即平面，即不是異面直線，故A錯誤；如上圖，以為原點，所在的直線分別為的正方向建立空間直角坐標系，設(shè)，則，，所以，，，，所以，因為，所以，即，故B正確；如上圖，取的中點，連接，則，，所以四邊形是梯形，因為，所以，所以此時四邊形是等腰梯形，故C錯誤；如上圖，因為底面是正方形，所以，因為底面，所以，因為，所以平面，且平面，所以平面平面，即平面平面，故D正確.故選：BD.12．若存在，則稱為二元函數(shù)在點處對x的偏導數(shù)，記為；若存在，則稱為二元函數(shù)在點處對y的偏導數(shù)，記為.若二元函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．的最小值為D．的最小值為【答案】ABC【分析】根據(jù)偏導數(shù)的定義進行分析計算，，可判斷AB；，的最小值為，由于，構(gòu)造函數(shù)（），利用導數(shù)可求出的最小值可判斷CD.【詳解】因為（，），所以，則，故A選項正確；又，所以，故B選項正確；因為，所以當時，取得最小值，且最小值為，故C選項錯誤；，令（），，當時，，當時，，故，從而當時，取得最小值，且最小值為，故D選項正確.故選：ABC.三、填空題13．函數(shù)的圖象在點處的切線方程為___________.【答案】【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，可得切線的斜率，求出切點，運用點斜式寫出直線方程，即可得到所求切線的方程．【詳解】∵的導數(shù)為，∴，可得在點處的切線斜率為，又，所以切點為，則在點處的切線方程為，即為．故答案為：．14．某車間為了提高工作效率，需要測試加工零件所花費的時間，為此進行了5次試驗，這5次試驗的數(shù)據(jù)列（個數(shù)x，加工時間y）為：.若用最小二乘法求得其回歸直線方程為=0.67x54.9，則的值為___________.【答案】68【分析】求得樣本中心點的坐標，代入回歸直線方程，即可求得參數(shù).【詳解】根據(jù)題意，可得：，.又回歸直線方程經(jīng)過樣本中心點，故可得，解得.故答案為：.15．已知事件A，B，且P(A)=0.5，P(B)=0.2，如果A與B互斥，令；如果A與B相互獨立，令，則___________.【答案】0.425【分析】利用互斥事件的概念及獨立事件概率公式即得.【詳解】∵A與B互斥，∴,∵A與B相互獨立，∴，∴.故答案為：.16．已知函數(shù)，，a為常數(shù).若對于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有，則實數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】[0，1]【分析】可根據(jù)已知條件，構(gòu)造函數(shù)，通過分類討論得到的解析式，然后利用二次函數(shù)的對稱軸確定其單調(diào)性，列式求解即可.【詳解】對于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有，即，令，即只需在[0，2]上單調(diào)遞增即可，當時，，函數(shù)圖象恒過；當時，；當時，；要使在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，則當時，的對稱軸，即；當時，的對稱軸，即；且,綜上故答案為：[0，1].四、解答題17．若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足c=2，2bcosB=ccosA＋acosC，且△ABC的面積S=，求b.【答案】【分析】由正弦定理可得2sinBcosB=sinB，從而得出角，由面積公式求出,再由余弦定理可得答案.【詳解】解：由2bcosB=ccosA＋acosC，根據(jù)正弦定理，有2sinBcosB=sinCcosA＋sinAcosC，即2sinBcosB=sin（A＋C）=sinB.由B∈（0，π），sinB≠0，所以cosB=，故.由ABC的面積S=acsinB=×a×，解得.根據(jù)余弦定理，得b2=a2＋c2-2accosB=4＋2＋4×2×=6，故b=.18．已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an＋1=2an＋1（n∈N）.(1)求證：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；(2)設(shè)bn=（2n-1）an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.【答案】(1)證明見解析(2)Tn=（2n-3）·2n＋1＋6-n2（n∈N）【分析】（1）可在已知式子兩邊同時加上1，構(gòu)造等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的定義即可完成證明；（2）可通過第（1）問構(gòu)造出的等比數(shù)列，求解出an通項公式，然后分別使用錯位相減、等差數(shù)列求和求解出各自的前n項和，然后合并在一起即可.(1)證明：依題意，由an＋1=2an＋1，可得an＋1＋1=2（an＋1），即，又∴數(shù)列{an＋1}是以2為公比的等比數(shù)列.(2)解：由（1）得an＋1=（a1＋1）·2n-1，又a1=1，∴an=2n-1（n∈N），∴bn=（2n-1）an=（2n-1）·（2n-1）=（2n-1）·2n-（2n-1）（n∈N）.構(gòu)造數(shù)列{dn}：令dn=（2n-1）·2n，則bn=dn-（2n-1）（n∈N）.設(shè)數(shù)列{dn}的前n項和為Sn，則Sn=d1＋d2＋…＋dn=1·21＋3·22＋5·23＋…＋（2n-1）·2n，2Sn=1·22＋3·23＋…＋（2n-1）·2n＋1，兩式相減，可得-Sn=1·21＋2·22＋2·23＋…＋2·2n-（2n-1）·2n＋1=2＋23＋24＋…＋2n＋1-（2n-1）·2n＋1=2＋-（2n-1）·2n＋1=（3-2n）·2n＋1-6，∴Sn=（2n-3）·2n＋1＋6（n∈N），∴Tn=b1＋b2＋…＋bn=（d1-1）＋（d2-3）＋…＋[dn-（2n-1）]=（d1＋d2＋…＋dn）-[1＋3＋…＋（2n-1）]=Sn-=（2n-3）·2n＋1＋6-n2.∴Tn=（2n-3）·2n＋1＋6-n2.（n∈N）.19．如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面BCC1B1為矩形，若平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，平面BCC1B1⊥平面ABC1.(1)求證：AB⊥BB1；(2)記平面ABC1與平面A1B1C1所成角為α，直線AC1與平面BCC1B1所成角為β，異面直線AC1與BC所成角為φ，當α，β滿足cosα·cosβ=m（0＜m＜1，m為常數(shù)）時，求sinφ的值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）構(gòu)造輔助線，通過證明AB⊥平面BCC1B1，即可由線面垂直推證線線垂直；（2）根據(jù)（1）中所證，建立空間直角坐標系，通過二面角以及線面角的向量求解方法，即可求得結(jié)果.(1)證明：∵BCC1B1是矩形，∴BC⊥BB1.又平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1，∴BC⊥平面ABB1A1，平面，∴AB⊥BC.過點C作CO⊥BC1，∵平面BCC1B1⊥平面ABC1，平面BCC1B1∩平面ABC1=BC1，CO?平面BCC1B1，∴CO⊥平面ABC1.又AB?平面ABC1，∴AB⊥CO.∵AB⊥BC，CO∩BC=C，平面，∴AB⊥平面BCC1B1，又BB1?平面BCC1B1，∴AB⊥BB1.(2)由棱柱知AB∥A1B1，又AB⊥平面BCC1B1，∴A1B1⊥平面BCC1B1.以B1為原點，B1A1，B1B，B1C1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系如下所示，不妨設(shè)B1A1=a，B1B=b，B1C1=c，則=，=，設(shè)=為平面ABC1的法向量，則∴x1=0.令y1=c，則z1=b，∴=.取平面A1B1C1的一個法向量=，∴cosα=|cos〈，〉|=，取平面BCC1B1的一個法向量=，由=，∴sinβ=|cos〈，〉|=，∴cosβ=，則cosαcosβ=，|cos〈，〉|=cosφ=，∴cosφ=cosαcosβ.∵cosαcosβ=m且m，φ∈，∴sinφ=，故sinφ=為所求.20．2022年電商即將開展“歡度春節(jié)”促銷活動，某電商為了盡快占領(lǐng)市場，對某地區(qū)年齡在10到70歲的人群“是否網(wǎng)上購物”的情況進行了調(diào)查，隨機抽取了100人，其年齡頻率分布表和使用網(wǎng)上購物的人數(shù)如下所示：（年齡單位：歲）年齡段[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70]頻率0.10.320.280.220.050.03使用網(wǎng)上購物人數(shù)828241221(1)若以40歲為分界點，根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“網(wǎng)上購物”與年齡有關(guān)？年齡低于40歲年齡不低于40歲總計使用網(wǎng)上購物人數(shù)不使用網(wǎng)上購物人數(shù)總計(2)若從年齡在[50，60），[60，70]的樣本中各隨機選取2人進行座談，記選中的4人中“使用網(wǎng)上購物”的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.參考公式和數(shù)據(jù)：K2=，其中n=a＋b＋c＋d.P（K2≥k0）0.0250.0100.0050.001k03.8416.6357.87910.828【答案】(1)表格見解析，可以在犯錯的概率不超過0.001的前提下認為“網(wǎng)上購物”與年齡有關(guān)(2)分布列見解析，【分析】（1）由已知條件和統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，然后根據(jù)公式K2=計算K2，再由臨界值表得到結(jié)論，（2）由題意可知，X的所有可能的取值為0，1，2，3，再計算出相應(yīng)的概率，從而可得分布列和期望(1)由統(tǒng)計表可得，年齡低于40歲的人數(shù)為70，不低于40歲的人數(shù)為30，可得列聯(lián)表如下.年齡低于40歲年齡不低于40歲總計使用網(wǎng)上購物人數(shù)601575不使用網(wǎng)上購物人數(shù)101525總計7030100于是有K2的觀測值K2=≈14.286>10.828，故可以在犯錯的概率不超過0.001的前提下認為“網(wǎng)上購物”與年齡有關(guān).(2)由題意可知，X的所有可能的取值為0，1，2，3，相應(yīng)的概率為P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=P（X=3）=，于是X的分布列為X0123P所以E（X）=.21．已知離心率為的橢圓C1：(a>b>0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上的一點，△PF1F2的周長為6，且F1為拋物線C2：的焦點.(1)求橢圓C1與拋物線C2的方程；(2)過橢圓C1的左頂點Q的直線l交拋物線C2于A，B兩點，點O為原點，射線OA，OB分別交橢圓于C，D兩點，△OCD的面積為S1，△OAB的面積為S2.則是否存在直線l使得？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.【答案】(1)，；(2)存在，或.【分析】（1）由