2022-2023學(xué)年湖南省衡陽市高一上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合的交運(yùn)算即可求解.【詳解】由得，所以，故選：D2．已知a，，則“”的一個必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用否定ACD選項(xiàng)，進(jìn)而得答案.【詳解】解：對于A選項(xiàng)，當(dāng)時，，此時，故不是的必要條件，故錯誤；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時，成立，反之，不成立，故是的必要條件，故正確；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時，，但此時，故不是的必要條件，故錯誤；對于D選項(xiàng)，當(dāng)時，，但此時，故故不是的必要條件，故錯誤.故選：B3．已知函數(shù)，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性可得為偶函數(shù)，根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，則可結(jié)合奇偶性與單調(diào)性解不等式得解集.【詳解】解：因?yàn)椋瑒t所以，則為偶函數(shù)，當(dāng)時，，又，在上均為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，所以，即，解得或，所以的解集為故選：D.4．函數(shù)的圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用時排除選項(xiàng)D，利用時排除選項(xiàng)C，利用時排除選項(xiàng)B，所以選項(xiàng)A正確.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)楫?dāng)時，，可知選項(xiàng)D錯誤；當(dāng)時，，可知選項(xiàng)C錯誤；當(dāng)時，，可知選項(xiàng)B錯誤，選項(xiàng)A正確.故選：A5．若扇形周長為20，當(dāng)其面積最大時，其內(nèi)切圓的半徑r為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)扇形周長求解出面積取最大值時扇形的圓心角和半徑，然后根據(jù)圖形中的內(nèi)切關(guān)系得到關(guān)于內(nèi)切圓半徑的等式，由此求解出的值.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，面積為，因?yàn)?，所以，取等號時，即，所以面積取最大值時，如下圖所示：設(shè)內(nèi)切圓圓心為，扇形過點(diǎn)的半徑為，為圓與半徑的切點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：C.6．已知55<84，134<85．設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（

）A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【答案】A【分析】由題意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小關(guān)系，由，得，結(jié)合可得出，由，得，結(jié)合，可得出，綜合可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】由題意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.綜上所述，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)式的大小比較，涉及基本不等式、對數(shù)式與指數(shù)式的互化以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.7．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，.若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，化簡整理，可求得的周期，代入特殊值，即可求得a，b的值，即可得的解析式，代入所求，化簡整理，即可得答案.【詳解】由題意得，，所以①，所以②，①②聯(lián)立可得：，即的周期為4，又，，所以且，解得，，即所以.故選：B8．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有8個不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用十字相乘法進(jìn)行因式分解，然后利用換元法，作出的圖象，利用數(shù)形結(jié)合判斷根的個數(shù)即可.【詳解】由，得，解得或，作出的圖象如圖，則若，則或，設(shè)，由得，此時或，當(dāng)時，，有兩根，當(dāng)時，，有一個根，則必須有，有個根，設(shè)，由得，若，由，得或，有一個根，有兩個根，此時有個根，不滿足題意；若，由，得，有一個根，不滿足條件.若，由，得，有一個根，不滿足條件；若，由，得或或，當(dāng)，有一個根，當(dāng)時，有個根，當(dāng)時，有一個根，此時共有個根，滿足題意.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的個數(shù)，求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：(1)直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．一是轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為的交點(diǎn)個數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題．二、多選題9．已知函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點(diǎn)，且都可以用二分法求得，其圖象是連續(xù)不斷的，若，，則下列命題正確的是（

）A．函數(shù)的兩個零點(diǎn)可以分別在區(qū)間和內(nèi)B．函數(shù)的兩個零點(diǎn)可以分別在區(qū)間和內(nèi)C．函數(shù)的兩個零點(diǎn)可以分別在區(qū)間和內(nèi)D．函數(shù)的兩個零點(diǎn)不可能同時在區(qū)間內(nèi)【答案】ABD【解析】由在區(qū)間上有兩個零點(diǎn)，且都可以用二分法求得，再結(jié)合函數(shù)圖象是連續(xù)的，可得到，，進(jìn)而討論的正負(fù)性，并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，可得出答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有兩個零點(diǎn)，且都可以用二分法求得，其圖象是連續(xù)不斷的，所以零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號，又，，所以，，若，可得，，即此時函數(shù)的兩個零點(diǎn)分別在區(qū)間和內(nèi)，故B正確；若，則，，即此時函數(shù)的兩個零點(diǎn)分別在區(qū)間和內(nèi)，故A正確.綜上兩種情況，可知選項(xiàng)C錯誤，D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查零點(diǎn)存在性定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)零點(diǎn)都可以用二分法求得，可知零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號，進(jìn)而討論的正負(fù)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，可求出答案.考查學(xué)生的邏輯推理能力，屬于中檔題.10．下列條件中，能使和的終邊關(guān)于軸對稱的是（

）A． B．C． D．E．【答案】BE【解析】假設(shè)、都是內(nèi)的角，可得出，然后再結(jié)合終邊相同的角的概念可得出結(jié)論.【詳解】假設(shè)、為內(nèi)的角，如圖所示，因?yàn)椤⒌慕K邊關(guān)于軸對稱，所以，所以B滿足條件；結(jié)合終邊相同的角的概念，可得，所以E滿足條件，ACD都不滿足條件．故選：BE.【點(diǎn)睛】本題考查利用兩角終邊的對稱性推出兩角的關(guān)系，考查理解能力，表達(dá)能力．11．已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)，結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識進(jìn)行求解.【詳解】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故A正確；對于B，，所以，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C不正確；對于D，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確；故選：ABD【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).12．已知函數(shù)，其中，下列結(jié)論正確的是（

）A．存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)為奇函數(shù)B．存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)為偶函數(shù)C．當(dāng)時，若方程有三個實(shí)根，則D．當(dāng)時，若方程有兩個實(shí)根，則【答案】AD【分析】取可判斷A；令，結(jié)合A中結(jié)論可判斷B；分析分段函數(shù)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為有三個交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可判斷C；轉(zhuǎn)化為有兩個交點(diǎn)，此時直線與在的部分相切，可判斷D【詳解】選項(xiàng)A，當(dāng)時，，函數(shù)定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，故A正確；選項(xiàng)B，若函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，由A，當(dāng)時，函數(shù)為奇函數(shù)，不成立，故B錯誤；選項(xiàng)C，當(dāng)時，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，在取得這一段最小值當(dāng)時，在單調(diào)遞增函數(shù)簡圖如圖所示，若有三個實(shí)根，即有三個交點(diǎn)，由圖像可知兩個函數(shù)不可能有三個交點(diǎn)，故C錯誤；選項(xiàng)D，，若方程有兩個實(shí)根，即有兩個交點(diǎn)，此時直線與在的部分相切，即由，故D正確故選：AD三、填空題13．一個負(fù)角的絕對值被看成圓心角時，所對的弧長恰好是圓的周長的，則該角的度數(shù)是________【答案】【分析】根據(jù)扇形的弧長恰好是圓的周長的，得到，即可求解.【詳解】設(shè)該扇形所在圓的半徑為，其圓心角為，因?yàn)樯刃蔚幕￠L恰好是圓的周長的，可得，解得，因?yàn)?，所?故答案為：.14．若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是________.【答案】【分析】由給定條件求出的值域，換元借助對勾函數(shù)性質(zhì)即可得解.【詳解】因函數(shù)的值域是，從而得函數(shù)值域?yàn)?，函?shù)變?yōu)椋?，由對勾函?shù)的性質(zhì)知在上遞減，在上遞增，時，，而時，，時，，即，所以原函數(shù)值域是.故答案為：15．設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則_______．【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，由奇偶性定義可知為奇函數(shù)，知，由此可求得結(jié)果.【詳解】，令，則，為上的奇函數(shù)，，即，.故答案為：.16．已知，函數(shù)若對任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，則a的取值范圍是__________．【答案】【分析】由題意分類討論和兩種情況，結(jié)合恒成立的條件整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】分類討論：①當(dāng)時，即：，整理可得：，由恒成立的條件可知：，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時，，則；②當(dāng)時，即：，整理可得：，由恒成立的條件可知：，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)或時，，則；綜合①②可得的取值范圍是，故答案為.點(diǎn)睛：對于恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點(diǎn)函數(shù)值符號四個方面分析．四、解答題17．化簡求值：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可化簡求值.【詳解】（1）（2）18．已知.(1)若是的子集，求實(shí)數(shù)的值；(2)若是的子集，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）由題得，解即得解；（2）由題得，再對集合分三種情況討論得解.【詳解】（1）解：由題得.若是的子集，則，所以.（2）解：若是的子集，則.①若為空集，則，解得；②若為單元素集合，則，解得.將代入方程，得，即，符合要求；③若為雙元素集合，，則.綜上所述，或.19．已知不等式，其中x，k∈R．(1)若x＝4，解上述關(guān)于k的不等式；(2)若不等式對任意k∈R恒成立，求x的最大值．【答案】(1)或或}(2)【分析】（1）將x＝4代入不等式化簡可得，，利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）利用換元法，令，將問題轉(zhuǎn)化為對任意t≥1恒成立，利用基本不等式求解的最小值，即可得到x的取值范圍，從而得到答案．【詳解】（1）若x＝4，則不等式變形為即，解得或，所以或或，故不等式的解集為或或}；（2）令，則不等式對任意k∈R恒成立，等價(jià)于對任意t≥1恒成立，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即t＝時取等號，所以x≤，故x的最大值為．20．已知函數(shù)=logax，=loga(2x+m2)，其中x∈[1,3]，a>0且a≠1，m∈R.（1）若m=6且函數(shù)F=+的最大值為2，求實(shí)數(shù)a的值.（2）當(dāng)a>1時，不等式<2在x∈[1,3]時有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題設(shè)可得，討論、，結(jié)合已知最大值求參數(shù)a，注意判斷a值是否符合題設(shè).（2）由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，再由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求不等式右邊的最小值，即可得m的取值范圍.【詳解】（1），，則，.當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以，不合題意.綜上，.（2）要使在上有意義，則，解得.由，即，又，∴，即，得.令，，記，對稱軸，∴，故.綜上，.21．物體在常溫下冷卻的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來描述：設(shè)物體的初始溫度為，經(jīng)過一段時間后的溫度為，則，其中為環(huán)境溫度，為參數(shù).某日室溫為，上午8點(diǎn)小王使用某品牌電熱養(yǎng)生壺?zé)?升水（假設(shè)加熱時水溫隨時間變化為一次函數(shù)，且初始溫度與室溫一致），8分鐘后水溫達(dá)到點(diǎn)18分時，壺中熱水自然冷卻到.(1)求8點(diǎn)起壺中水溫（單位：）關(guān)于時間（單位：分鐘）的函數(shù)；(2)若當(dāng)日小王在1升水沸騰時，恰好有事出門，于是將養(yǎng)生壺設(shè)定為保溫狀態(tài).已知保溫時養(yǎng)生壺會自動檢測壺內(nèi)水溫，當(dāng)壺內(nèi)水溫高于臨界值時，設(shè)備不工作；當(dāng)壺內(nèi)水溫不高于臨界值時，開始加熱至后停止，加熱速度與正常燒水一致.若小王在出門34分鐘后回來發(fā)現(xiàn)養(yǎng)生壺處于未工作狀態(tài)，同時發(fā)現(xiàn)水溫恰為.（參考數(shù)據(jù)：）①求這34分鐘內(nèi)，養(yǎng)生壺保溫過程中完成加熱次數(shù)；（不需要寫出理由）②求該養(yǎng)生壺保溫的臨界值.【答案】(1)；(2)①1次；②.【分析】（1）設(shè)待定系數(shù)法求，根據(jù)已知有求參數(shù)a，即可寫出解析式，注意定義域范圍.（2）①由題意，研究情況下從降至、從加熱至、從降至所需的時間，進(jìn)而分析出加熱次數(shù)；②由（i）分析結(jié)果可知時水溫正好被加熱到，計(jì)算從降至、從加熱至的時間，列方程求值.【詳解】（1）當(dāng)時，設(shè)，則，可得，所以.當(dāng)時，，則，可得，綜上，.（2）①1次，理由如下：由題意，從降至，則，可得分鐘，所以降至，所需時間分鐘，由于小王出門34分鐘，從加熱至，則，可得分鐘，則從加熱至所需時間分鐘；從降至，則，可得分鐘，則從降至所需時間分鐘；故34分鐘內(nèi)至少加熱了一次，若加熱兩次則分鐘，綜上，只加熱過一次.②由（i）知：從降溫至，所需時間為分鐘.所以在時，水溫正好被加熱到.從降至，則，可得，從加熱至，則，可得，所以在上遞減，且，即.22．定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的一個上界，已知函數(shù)，（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）在（1）的條件下，求函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合；（3）若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）a=-1；（2）；（3）【解析】（1）根據(jù)奇偶性的