2022-2023學(xué)年浙江省杭州市學(xué)軍四校高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)三角函數(shù)定義可得，判斷符號(hào)即可.【詳解】解：由三角函數(shù)的定義可知，符號(hào)不確定，，故選：C．【點(diǎn)睛】任意角的三角函數(shù)值：（1）角與單位圓交點(diǎn)，則；（2）角終邊任意一點(diǎn)，則.2．“a＞b2”是“”的（

）A．充分條件 B．必要條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷【詳解】若，則滿(mǎn)足，而，所以由不能推出，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，有，所以“a＞b2”是“”的充分不必要條件，故選：A3．若扇形的周長(zhǎng)為，圓心角為，則扇形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)扇形的半徑為，則周長(zhǎng)為，解得，再計(jì)算面積得到答案.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，則周長(zhǎng)為，解得；扇形的面積.故選：C4．有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示：t3.06.09.012.015.0v1.52.52.93.64.0現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿(mǎn)足的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題設(shè)中表格中的數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖，結(jié)合圖象和選項(xiàng)，得到答案.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)，作出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖所示，數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象類(lèi)似，所以選項(xiàng)D最能反映之間的函數(shù)關(guān)系.故選：D.5．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且滿(mǎn)足，則（

）A． B．0 C．1 D．2022【答案】B【分析】求出函數(shù)的周期，利用周期和可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以的周期?，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，.故選：B.6．函數(shù)的圖像如圖所示，可以判斷a，b，c分別滿(mǎn)足（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】A【分析】分、兩種情況討論即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)棰佼?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，與同號(hào)，當(dāng)時(shí)，與同號(hào)，與圖中信息矛盾；②當(dāng)時(shí)，，由圖可得，當(dāng)時(shí)，，所以，然后可驗(yàn)證當(dāng)，時(shí)，圖中信息都滿(mǎn)足，故選：A7．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用對(duì)數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，即，因?yàn)?，，所以，即，，因?yàn)?，所以，即，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊值法進(jìn)行比較是解題的關(guān)鍵.8．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程（）有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，結(jié)合函數(shù)的圖象，將方程（）有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，，進(jìn)而由，利用韋達(dá)定理求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)圖像如下：令，則有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，，由韋達(dá)定理知：,則，，所以，，，，.故選：A二、多選題9．若，則下列不等式恒成立的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】根據(jù)基本不等式依次討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對(duì)于A(yíng)，由基本不等式得，則，故A正確；對(duì)于B，令時(shí)，，故不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由A選項(xiàng)得，所以，故C正確；對(duì)于D，根據(jù)基本不等式的“1”的用法得，故D正確；故選：ACD．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方10．已知非零實(shí)數(shù)a，b，若，為定義在上的周期函數(shù)，則（

）A．函數(shù)必為周期函數(shù) B．函數(shù)必為周期函數(shù)C．函數(shù)必為周期函數(shù) D．函數(shù)必為周期函數(shù)【答案】ABC【分析】是周期為的函數(shù)，A正確，是周期為的函數(shù)，B正確，是周期為的函數(shù)，C正確，當(dāng)周期為周期為1時(shí)，得到矛盾，D錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】設(shè)周期為周期為，，對(duì)選項(xiàng)A：，故是周期為的函數(shù)，正確；對(duì)選項(xiàng)B：則，所以是周期為的函數(shù)，正確；對(duì)選項(xiàng)C：，所以是周期為的函數(shù)，正確；對(duì)選項(xiàng)D：當(dāng)周期為周期為1時(shí)，若是周期函數(shù)，設(shè)周期為，則，是無(wú)理數(shù)，所以上式無(wú)解，所以此時(shí)不是周期函數(shù)，錯(cuò)誤.故選：ABC11．已知函數(shù)為偶函數(shù)，點(diǎn)，是圖象上的兩點(diǎn)，若的最小值為2，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．在上單調(diào)遞增【答案】AC【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求出函數(shù)的解析式，然后分別進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于A(yíng)，由，得，即，的最小值為2，,即，即，則，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，為偶函數(shù)，，，時(shí)，時(shí)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，綜上或者，則，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，，，，即，即是函數(shù)的零點(diǎn)，的區(qū)間長(zhǎng)度為2，是半個(gè)周期，則函數(shù)在上不具備單調(diào)性，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.12．設(shè)函數(shù)若存在，使得，則t的值可能是（

）A．-7 B．-6 C．-5 D．-4【答案】BCD【分析】根據(jù)題意可得，令()，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的單調(diào)性，則，進(jìn)而有，結(jié)合列出不等式組，解之即可.【詳解】由題意得，存在使得成立，令，，因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由，得，即，所以，又，則，即，因?yàn)椋獾?故選：BCD.三、填空題13．已知冪函數(shù)，則此函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_______．【答案】.【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義，求得，得到，進(jìn)而求得函數(shù)的定義域.【詳解】由冪函數(shù)，可得，解得，即，則滿(mǎn)足，即冪函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.14．已知是第二象限角，，則________．【答案】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，利用同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系即可求得或，再根據(jù)是第二象限角即可得.【詳解】由誘導(dǎo)公式可得，所以；根據(jù)二倍角公式可得，解得或，又因?yàn)槭堑诙笙藿?，所?故答案為：15．如圖所示，摩天輪的直徑為，最高點(diǎn)距離地面的高度為，摩天輪按逆時(shí)針?lè)较蜃鲃蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，且每轉(zhuǎn)一圈．若游客甲在最低點(diǎn)坐上摩天輪座艙，則在開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)后距離地面的高度為_(kāi)_______m．【答案】##【分析】由題意可知，距離地面的高度與時(shí)間所滿(mǎn)足的關(guān)系式為，然后根據(jù)條件求出解析式可得答案.【詳解】由題意可知，距離地面的高度與時(shí)間所滿(mǎn)足的關(guān)系式為，因?yàn)槟μ燧喌闹睆綖?，最高點(diǎn)距離地面的高度為，所以，解得，因?yàn)槊哭D(zhuǎn)一圈，所以，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以可取，所以，所以當(dāng)時(shí)，故答案為：16．設(shè).若當(dāng)時(shí)，恒有，則的取值范圍是____.【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，則將題目轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，恒有，分，，，討論，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，恒有.當(dāng)時(shí)，在上遞增，則，且，從而，則，于是，矛盾；同理，當(dāng)，在上遞減，則，且，從而，則，于是，矛盾；當(dāng)，,則，當(dāng)，，則，由此得，的取值范圍是.當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.故答案為:四、解答題17．已知.(1)求的值;(2)若，且，求角.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知化弦為切即可得解；（2）分別求出，，再根據(jù)結(jié)合兩角差的正弦公式即可得解.【詳解】（1）解：因?yàn)椋?，解得；?）解：因?yàn)?，，則，解得，又，所以，又因，所以，則，所以.18．已知集合，集合，集合.（1）求的子集的個(gè)數(shù)；（2）若命題“，都有”是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）8個(gè)；（2）.【解析】（1）求出集合和，再求，根據(jù)集合子集的個(gè)數(shù)可得答案；（2）由題意可得，分和兩種情況討論可得答案.【詳解】（1）由解得，所以，又因?yàn)?，所以，所以的子集的個(gè)數(shù)為個(gè).（2）因?yàn)槊}“都有”是真命題，所以，即，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，解得，綜上所述：.19．已知函數(shù)，其中常數(shù)．(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)令，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象．若在區(qū)間上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求條件可得，，由此可求的取值范圍，（2）由函數(shù)圖象變換結(jié)論求函數(shù)的解析式，要使最小，則，研究的零點(diǎn)進(jìn)而可以求出結(jié)果．【詳解】（1）由題設(shè)，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，則，，解得，．綜上，的取值范圍為．（2）由題設(shè)，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得，再各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，向上平移1個(gè)單位，則．令得，令，設(shè)在區(qū)間上的30個(gè)零點(diǎn)分別為，則，在上有30個(gè)零點(diǎn)，要使最小，則，因?yàn)樵诿總€(gè)周期內(nèi)各有兩個(gè)函數(shù)值為，所以15個(gè)周期里面有30個(gè)零點(diǎn)，則最小時(shí)，若，則，所以，即的最小值為．20．某群體的人均通勤時(shí)間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時(shí)．某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤．分析顯示：當(dāng)中（）的成員自駕時(shí)，自駕群體的人均通勤時(shí)間為（單位：分鐘），而公交群體的人均通勤時(shí)間不受影響，恒為分鐘，試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)在什么范圍內(nèi)時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間？（2）求該地上班族的人均通勤時(shí)間的表達(dá)式；討論的單調(diào)性，并說(shuō)明其實(shí)際意義．【答案】(1)時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間;(2)見(jiàn)解析.【分析】（1）由題意知求出f（x）＞40時(shí)x的取值范圍即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判斷g（x）的單調(diào)性，再說(shuō)明其實(shí)際意義．【詳解】（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，，即，解得或，∴時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；說(shuō)明該地上班族中有小于的人自駕時(shí)，人均通勤時(shí)間是遞減的；有大于的人自駕時(shí)，人均通勤時(shí)間是遞增的；當(dāng)自駕人數(shù)為時(shí)，人均通勤時(shí)間最少．【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了分類(lèi)討論與分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．21．已知函數(shù)，．(1)若方程，恰有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)，若對(duì)任意，當(dāng)，時(shí)，滿(mǎn)足，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)．(2)【分析】（1）依題意可得，討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0以及真數(shù)是否大于0即可求解；（2）易知函數(shù)為定義域上為減函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成，即對(duì)任意成立，再構(gòu)造二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解．【詳解】（1）由得；即當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢