2023屆云南省楚雄州高三上學期期末教育學業(yè)質量監(jiān)測數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解不等式求出集合，得到，再根據(jù)交集定義計算即可.【詳解】由得,，得.故選：B.2．設復數(shù)z在復平面內對應的點的坐標為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導數(shù)的乘法直接求得.【詳解】依題意得.所以.故選：D3．已知向量，，若，則m的值為（

）A．或3 B．或3 C．或2 D．或4【答案】A【分析】由兩個向量垂直，數(shù)量積為零解方程即可.【詳解】由，得，則或3.故選：A.4．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由誘導公式求出的值，再利用拆分角求得結果.【詳解】由，得.故選：C.5．已知某容器的高度為20cm，現(xiàn)在向容器內注入液體，且容器內液體的高度h（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數(shù)關系式為，當時，液體上升高度的瞬時變化率為3cm/s，則當時，液體上升高度的瞬時變化率為（

）A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s【答案】C【分析】利用導數(shù)的定義直接求得.【詳解】由，求導得：.當時，，解得（舍去）.故當時，液體上升高度的瞬時變化率為.故選：C6．若直線上存在到曲線T上一點的距離為d的點，則稱該直線為曲線T的d距離可相鄰直線.已知直線l：為圓C：的2距離可相鄰直線，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直線l上存在到圓C上一點的距離為2的點，則圓心到直線l的距離，解不等式即可.【詳解】因為圓C的半徑為3，直線l上存在到圓C上一點的距離為2的點，所以由題意可得圓心到直線l的距離，即，解得.故選：C.7．隨著新能源技術的發(fā)展，新能源汽車行業(yè)也迎來了巨大的商機.某新能源汽車加工廠生產某款新能源汽車每年需要固定投入100萬元，此外每生產x輛該汽車另需增加投資g（x）萬元，當該款汽車年產量低于400輛時，，當年產量不低于400輛時，，該款汽車售價為每輛15萬元，且生產的汽車均能售完，則該工廠生產并銷售這款新能源汽車的最高年利潤為（

）A．1500萬元 B．2100萬元 C．2200萬元 D．3800萬元【答案】C【分析】先表示利潤函數(shù)，利潤等于銷售收入減去投資和固定投入100萬元，再分別利用二次函數(shù)、均值不等式求最值.【詳解】設該工廠生產并銷售這款新能源汽車的年利潤為（萬元），由題意可知，，即，當時，的對稱軸，則；當時，，當且僅當時，取得最大值2200.綜上，該工廠生產并銷售這款新能源汽車的最高年利潤為2200萬元.故選：C.8．已知隨機變量（i＝1，2）的分布列如表所示：0p其中，若，且，則（

）A．，B．，C．，D．，【答案】A【分析】求出期望，得出；根據(jù)方差公式求出方差，結合，比較的大小關系.【詳解】因為，所以；，因為，所以，.故選：A.二、多選題9．若函數(shù)與存在相同的零點，則a的值可能為（

）A．1 B．3 C．5 D．6【答案】AD【分析】利用零點的定義，解方程直接求得.【詳解】令，得.令，得或.依題意可得或，解得：或1.故選：AD10．已知橢圓C：，且p，q，r依次成公比為2的等比數(shù)列，則（

）A．C的長軸長為2 B．C的焦距為C．C的離心率為 D．C與圓有2個公共點【答案】BC【分析】先由p，q，r依次成公比為2的等比數(shù)列求出橢圓方程，再逐一判斷各選項.【詳解】因為p，q，r依次成公比為2的等比數(shù)列，所以，，即，.所以C的方程可化為，則，，即，.對于A，所以C的長軸長為4，故A錯誤；對于B，焦距為，故B正確；對于C，C的離心率為，故C正確；對于D，聯(lián)立解得，C與圓只有1個公共點，故D錯誤.故選：BC.11．已知四棱錐的底面ABCD為矩形，平面PAB⊥平面ABCD，，，E為棱BP上一點，，且PA⊥AC，若四棱錐的每個頂點都在球O的球面上，且球O的體積為，則（

）A． B．C．平面ADE⊥平面PAB D．點E到平面PCD的距離為【答案】ACD【分析】根據(jù)面面垂直的性質、線面垂直的判定定理可判斷C，由外接球的球心在中點，利用球的體積可求出，據(jù)此求出可判斷B，再由勾股定理求出判斷A，利用等體積法可求出E到平面PCD的距離判斷D.【詳解】如圖，則平面ADE⊥平面PAB，因為平面PAB⊥平面ABCD，是交線，AD⊥AB，平面ABCD，所以AD⊥平面PAB，因為平面ADE，則平面ADE⊥平面PAB，又因為平面PAB，所以AD⊥AP，又因為PA⊥AC，，平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，故AD，AB，AP兩兩垂直，所以是以AD，AB，AP為長、寬、高的長方體的對角線，故側棱PC為球O的直徑，由，解得，所以，解得，則，，故.由，平面，所以AB⊥平面APD又因為，所以CD⊥平面APD，因為平面APD，所以CD⊥PD，由勾股定理得.設點E到平面PCD的距離為d，由，可知，過點E作EF⊥AB，垂足為F，則，且，由，得，解得.綜上，ACD正確，B錯誤.故選：ACD12．設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】考慮類似于的函數(shù)形式，因此構造函數(shù)，運用函數(shù)的單調性求解.【詳解】設，則，令，則是減函數(shù)，又，當時，，當時是減函數(shù)①，，即，，考察，構造函數(shù)，，由①及一次函數(shù)性質知，是減函數(shù)，，即，，.故選：AB.三、填空題13．已知某圓臺的上底面和下底面的面積分別為，，該圓臺的體積為，則該圓臺的高為______.【答案】3【分析】由圓臺的體積公式直接求得.【詳解】圓臺的體積，得.所以該圓臺的高為3.故答案為：3.14．將8個人分成三組，其中一組由2人組成，另外兩組都由3人組成，則不同的分組方法種數(shù)為______.【答案】280【分析】組合問題中既有均分又有非均分，先從8個人中選出3人為一組，再從5人中選出3人為一組，注意均分分組中的順序問題，剩余兩人為一組.【詳解】先從8個人中選出3人為一組，再從5人中選出3人為一組，剩余兩人為一組.滿足條件的分組方法種數(shù)為.故答案為：280.15．已知函數(shù)的圖像關于點對稱，且方程在上至少有兩個解，寫出滿足條件的的一個值：______.【答案】.(答案不唯一)【分析】由函數(shù)的圖像關于點對稱，得出，再根據(jù)在上至少有兩個解，限定的范圍，得出結果.【詳解】由題意得，即.由方程得在上至少有兩個解，若，則，則，即，可得，當時，.故答案為：.16．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，是雙曲線左支上一動點，的內切圓與x軸相切于點，則______.【答案】－5050【分析】先利用的內切圓的性質和雙曲線的定義得到，再利用等差數(shù)列的求和公式直接求和.【詳解】設，，內切圓與邊，分別交于，，則，，，由雙曲線定義可知，得，即，所以，得.所以.故答案為：－5050.四、解答題17．在數(shù)列中，，且.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知得出，由得出公比為5的等比數(shù)列，寫出通項公式；（2）表示，利用累加法求出.【詳解】（1）若，則，則，所以，由，得，所以公比為5的等比數(shù)列，已知，則，解得.故.（2）由（1）可知，所以.18．1984年我國射擊運動員許海峰取得了中國奧運史上第一枚金牌，自此射擊也成為了中國體育的傳統(tǒng)優(yōu)勢項目之一.某射擊運動愛好者，以每10發(fā)子彈為1組隨機記錄了自己200組的射擊成績，得到如圖所示的頻率分布直方圖（每組數(shù)據(jù)均左閉右開）.(1)求這200組射擊成績的均值及樣本方差；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作為代表）(2)設某人一組射擊成績記為X環(huán)，且X服從正態(tài)分布，其中為（1）中的均值，，其中為不超過s的最大整數(shù)，且s為（1）中的標準差，求.附：若隨機變量：，則，，.【答案】(1)，(2)【分析】（1）成績的均值等于每小組的中點值乘以該組的頻率再相加；方差等于每小組的中點值減去均值的平方再乘以該組的頻率再相加；（2）將轉化為求解.【詳解】（1）由，可得，，.（2）由（1）可知，，故.19．在中，內角所對的邊分別為，且.(1)求C；(2)若角C的內角平分線與AB邊交于點D，且CD＝2，求b＋4a的最小值.【答案】(1)(2)18【分析】（1）利用正弦定理把已知條件化為，再用余弦定理求得角；（2）由△BCD和△ACD的面積之和等于△ABC的面積求出，利用基本不等式求出故的最小值.【詳解】（1）設外接圓的半徑為R，由正弦定理得：，則可化為，整理得.由余弦定理得，又，所以.（2）由和的面積之和等于的面積，得，可得，即.則，當且僅當，即時，等號成立.故的最小值為18.20．如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，，DE⊥平面ABCD，DE∥AF，BDE為等腰三角形，E，F(xiàn)在平面ABCD的同側，且DE＝2AF，P為線段EF的中點.(1)證明：AC⊥BE.(2)在線段AC上是否存在點Q，使得PQ∥平面BEC?若存在，指出點Q的位置；若不存在，請說明理由.(3)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)存在，Q是OC的中點；(3).【分析】（1）由DE⊥平面ABCD證得DE⊥AC，又菱形ABCD的對角線互相垂直，從而證得結果；（2）建立空間直角坐標系，求出平面BEC的法向量，由求出Q點坐標；（3）求平面BEF的法向量為，再得出兩個法向量，所成角的余弦值，得出結果.【詳解】（1）證明：因為DE⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為菱形，所以DE⊥AC，AC⊥BD，又，平面BDE，所以AC⊥平面BDE，平面BDE，所以AC⊥BE；（2）存在點Q.設AC與BD交于點O，BE的中點為M，連接OM，則OM∥DE，OM⊥平面ABCD，OM，OA，OB兩兩垂直，以O為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空向直角坐標系，菱形ABCD邊長為2，，，，則，，，，，.設平面BCE的法向量為，，，則，令，得，假設存在點Q，設，則，由PQ∥平面BEC，可知，解得，此時Q是OC的中點；（3）設平面BEF的法向量為，，，則，令，得，由，由圖可知二面角為鈍角，故二面角F-BE-C的余弦值為.21．已知拋物線C：的焦點為F，點P在C上，，且點P在圓上.(1)求C的方程；(2)過F且不與x軸垂直的直線l與C交于A，B兩點，點A與點M關于x軸對稱，直線BM與x軸交于點N，若△ABN的面積為，求直線l的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）與圓的方程聯(lián)立，表示點坐標，再根據(jù)拋物線定義求C的方程；（2）設直線AB的方程，與拋物線C的方程聯(lián)立得出韋達定理，表示直線MB的方程，求出點N的坐標，由△ABN的面積，得出直線l的方程.【詳解】（1）聯(lián)立，解得，即，由，得，則，故C的方程為.（2）設，，則，由（1）知點F的坐標為，可設直線AB的方程為，聯(lián)立，得，則，，直線MB的斜率為，直線MB的方程為，可得，令，得，可得點N的坐標為，△ABN的面積，解得，故直線l的方程為或.22．已知函數(shù).(1)討論的單調性；(2)若，求a的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求函數(shù)的導數(shù)，分或兩種情況討論；（2）由，令，，分，或三種情況討論.【詳解】（1）的定義域為.當時，，則，當時，可知在上單調遞增，當時，令，得，今，得.因為，所以為偶函數(shù)，所以當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；當時，的單調