2023年高考數(shù)學模擬試卷

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3,請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.若i為虛數(shù)單位，則復數(shù)z=-sinq+icosT，則I在復平面內(nèi)對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.某設備使用年限x（年）與所支出的維修費用y（萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)（x,y）分別為（2,1.5）,（3,4.5）,（4,5.5）,（5,6.5）,

由最小二乘法得到回歸直線方程為9=1.6x+&,若計劃維修費用超過15萬元將該設備報廢，則該設備的使用年限為

（）

A.8年B.9年C.10年D.11年

3.已知正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長與底面邊長都相等，E是SB的中點，則AE,SD所成的角的余弦值為（）

A1Rn2

3333

4.設函數(shù)f（x）的定義域為R,滿足/（x+2）=2/（x）,且當xw（0,2］時,/（x）=-x（x—2）.若對任意澗，

都有/（X）<—,則m的取值范圍是（）.

C.(-a),7]

2

5.若復數(shù)z=「，其中i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）

A.z的虛部為TB.閆=2C.z的共扼復數(shù)為T—D.z2為純虛數(shù)

6.已知函數(shù)/（xhd+asinxEeR,若/（一1）=2,則/⑴的值等于（）

A.2C.l+aD.1—ci

7.已知函數(shù)/。）=疝（5：+6）,其中0>0,呵°，?，其圖象關于直線》=看對稱，對滿足/（王）一〃/）|=2

的網(wǎng)，馬,有人一馬匕與，將函數(shù)/（x）的圖象向左平移煮個單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象，則函數(shù)g（x）的單

調(diào)遞減區(qū)間是（）

krc--[k€Z)左〃?,%?+一(kwZ)

62

.71.7〃

C.kjrT—,kjt-\---(kek兀+—,k兀?----(kGZ)

36'1212

8.過圓/+丁2=4外一點M（4,_I）引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點的直線方程是（）.

A.4x-y-4=0B.4%+y-4=0C.4尤+y+4=0D.4犬-y+4=0

9.若x,a力均為任意實數(shù)，且（。+2）2+伍一3）2=1,貝!）（x—a）2+（lnx—bp的最小值為（）

A.372B.18C,372-1D.19-60

10.如圖，在平面四邊形A5Q9中，AB1BC,AD1CD,ZBAD=12O°,AB=AD=1,

若點E為邊上的動點，則荏.麗的最小值為（）

21325

B.-c.—D.3

16216

x+y<4

y+2弘而代“國B/、

11.點P（x,y）為不等式組y<x所表示的平面區(qū)域上的動點，則—的取值氾圍是（）

x-2

y>0

———

(-°09l]U[h+°°)C.(2,1)D.[2,1]

12.已知加，〃是兩條不重合的直線,a是一個平面，則下列命題中正確的是（）

A.若m//a,n!lat則相〃九B.若m//a,〃ua,則〃〃/〃

C.若m_L〃，m,La9貝!l〃//aD.若加_La,〃//a,則加_L〃

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，4=1嗎=36,則4=.

y>x

14.若實數(shù)九，）：滿足卜+yN6,則z=-2尤+），的最小值為

y<6

x

15.已知函數(shù)/'(x)=2qf(e)lnx-±,則函數(shù)”x)的極大值為.

e

16.如圖，某市一學?！蔽挥谠撌谢疖囌尽１逼珫|45。方向，且0H=4@an，已知OM,QV是經(jīng)過火車站。的兩

條互相垂直的筆直公路，CEQ尸及圓弧CD都是學校道路，其中CE//OM,DF//ON,以學校”為圓心，半徑為

2k”的四分之一圓弧分別與CE,。尸相切于點C。.當?shù)卣顿Y開發(fā)AAOB區(qū)域發(fā)展經(jīng)濟，其中A8分別在公

路。M,ON上，且AB與圓弧CO相切，設/。鉆=6,AAOB的面積為S%??.

(1)求S關于。的函數(shù)解析式；

(2)當。為何值時，々406面積S為最小，政府投資最低？

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知AA6c的內(nèi)角A,6,C的對邊分別為a/,c,且滿足28S8=網(wǎng)心.

C

(1)求角。的大?。?/p>

(2)若△MC的面積為工8,求AABC的周長的最小值.

2

18.(12分)設函數(shù)=ox—(a+l)ln(x+l).

(1)。=1時，求“X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當a>()時，設/(x)的最小值為g(“)，若g(。)々恒成立，求實數(shù)f的取值范圍.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=cosx-sincos2x+gxeR

(I)求/(x)的最小正周期；

(II)求/(X)在-(上的最小值和最大值.

20.(12分)如圖，在正四棱錐P-ABCD中，底面正方形的對角線4。,8。交于點0且?！?，46.

2

(1)求直線成與平面PC。所成角的正弦值;

(2)求銳二面角8-尸￡＞一。的大小.

TT

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=sin(s+。)(。＞0,[°|＜])滿足下列3個條件中的2個條件:

①函數(shù)Ax)的周期為萬；

TT

②x=”是函數(shù)f(x)的對稱軸;

6

7171兀

③/=0且在區(qū)間'6,2上單調(diào).

(I)請指出這二個條件，并求出函數(shù)/(X)的解析式;

7T

(II)若xe0,y,求函數(shù)/(X)的值域.

22.(10分)已知函數(shù)=

(I)當。=2時，解不等式/(x)24.

(II)若不等式/(x)22。恒成立，求實數(shù)”的取值范圍

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

首先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值將復數(shù)化為z=-x5-工3求出I，再利用復數(shù)的幾何意義即可求解.

22

【詳解】

.?z=-sin型+icos^=

-Z

33'V2

22

則三在復平面內(nèi)對應的點的坐標為

一,位于第二象限.

故選：B

【點睛】

本題考查了復數(shù)的幾何意義、共扼復數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎題.

2.D

【解析】

根據(jù)樣本中心點點J)在回歸直線上，求出a，求解>>15,即可求出答案.

【詳解】

依題意％=3.5,y=4.5,(3.5,4.5)在回歸直線上,

4.5=1.6x3.5+a,a=-1.1,y=1.6x—1.1，

由夕=1.6x-l.l>15,x>10+,

估計第11年維修費用超過15萬元.

故選:D.

【點睛】

本題考查回歸直線過樣本中心點、以及回歸方程的應用，屬于基礎題.

3.C

【解析】

試題分析：設AC、3。的交點為。，連接E。，則NAEO為所成的角或其補角；設正四棱錐的棱長為“，

則===所以cos/AEO=處器^

,故C為正確答案.

3

2、x(了—^6!、)-八(—6!、)

22

考點：異面直線所成的角.

4.B

【解析】

求出/(x)在犬€(2〃,2〃+2］的解析式，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可得到答案.

【詳解】

當xe(2〃,2"+2］時，x—2”e(0,2］,/(x)=2"/(x-2〃)=一2"(x—2〃)(x—2〃—2),

4()

/(X)max=2",又4<g<8,所以〃?至少小于7,此時/(x)=—23(X—6)(X—8),

令/(X)=R得一23(x—6)(x—8)=a解得X空或x=F，結(jié)合圖象，故屋?

故選：B.

【點睛】

本題考查不等式恒成立求參數(shù)的范圍，考查學生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.

5.D

【解析】

將復數(shù)二整理為1-/的形式，分別判斷四個選項即可得到結(jié)果.

【詳解】

22(1-/)

7=---------=----------------------------=1-7

1+/(1+/)(1-0

Z的虛部為一1,A錯誤；|z|=5/m=0,3錯誤；z=\+i,C錯誤;

?=(1-/)2=_2/,為純虛數(shù)，。正確

本題正確選項：D

【點睛】

本題考查復數(shù)的模長、實部與虛部、共扼復數(shù)、復數(shù)的分類的知識，屬于基礎題.

6.B

【解析】

由函數(shù)的奇偶性可得，/(I)=-/(-1)=-2

【詳解】

■:/(x)=x3+asinx

其中g(x)=d為奇函數(shù)，f(x)="sinx也為奇函數(shù)

二/(x)=g(x)+f(x)也為奇函數(shù)

/.-2

故選：B

【點睛】

函數(shù)奇偶性的運用即得結(jié)果，小記，定義域關于原點對稱時有：①奇函數(shù)土奇函數(shù)=奇函數(shù)；②奇函數(shù)x奇函數(shù)=偶函數(shù);

③奇函數(shù)+奇函數(shù)=偶函數(shù)；④偶函數(shù)上偶函數(shù)=偶函數(shù)；⑤偶函數(shù)x偶函數(shù)=偶函數(shù)；⑥奇函數(shù)x偶函數(shù)=奇函數(shù)；⑦奇函

數(shù)十偶函數(shù)=奇函數(shù)

7.B

【解析】

根據(jù)已知得到函數(shù)/(力兩個對稱軸的距離也即是半周期，由此求得出的值，結(jié)合其對稱軸，求得。的值，進而求得

/(x)解析式.根據(jù)圖像變換的知識求得g(x)的解析式，再利用三角函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法，求得g(x)的單調(diào)遞減區(qū)

間.

【詳解】

解：已知函數(shù)y(x)=sin(0x+e),其中6y>0,0e1°，3其圖像關于直線x=?對稱，

對滿足|/(5)二/'(々)|=2的斗，X2，有1%—々Imin=7=7,—生'，二。=2.

zzCO

y/'ji

再根據(jù)其圖像關于直線》=上對稱，可得2、2+。=%乃+—,jteZ.

662

二6=7/(x)=sin(2x+看).

將函數(shù)/*)的圖像向左平移y個單位長度得到函數(shù)g(x)=sin2無+g+￡=cos2x的圖像

6k36；

JI

令2k兀W2xW2k7T+兀,求得ATTWXKQTH—,

2

71

則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是k7T,k7V+-,kGZ,

故選B.

【點睛】

本小題主要考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)求函數(shù)解析式，考查三角函數(shù)圖像變換，考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，屬于中

檔題.

8.A

【解析】

過圓x2+y2=r2外一點（加,〃），

引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點的直線方程為如+”>-，=（）,故選A.

9.D

【解析】

該題可以看做是圓上的動點到曲線y=Inx上的動點的距離的平方的最小值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到曲線y=Inx上的

動點的距離減去半徑的平方的最值問題，結(jié)合圖形，可以斷定那個點應該滿足與圓心的連線與曲線在該點的切線垂直

的問題來解決，從而求得切點坐標，即滿足條件的點，代入求得結(jié)果.

【詳解】

由題意可得，其結(jié)果應為曲線y=lnx上的點與以。（-2,3）為圓心，以1為半徑的圓上的點的距離的平方的最小值，可

以求曲線y=成上的點與圓心。（-2,3）的距離的最小值，在曲線y=山上取一點M（〃瑁nm）,曲線有y=Inx在點

M處的切線的斜率為z'=，,從而有&“/'=一1,即她二'?'=-1,整理得117〃7+疝+2機—3=0,解得機=1,

m/77+2m

所以點（1,0）滿足條件，其到圓心。（一2,3）的距離為a=J（—2-1）2+（3—0）2=3。，故其結(jié)果為

（3V2-1）？=19-672,

故選D.

【點睛】

本題考查函數(shù)在一點處切線斜率的應用，考查圓的程，兩條直線垂直的斜率關系，屬中檔題.

10.A

【解析】

分析：由題意可得△/3。為等腰三角形，△BCD為等邊三角形，把數(shù)量積通.距分拆，設詼=^反（04^41）,

數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關于t的函數(shù)，用函數(shù)可求得最小值。

詳解：連接BD,取AD中點為O,可知△ABO為等腰三角形，而ADLC。，所以ABC。為等邊三角形,

BD=6設歷=衣(04力)

AEBE=(AD+DE>(Bb+DE)^^DBD+DE(AD+BD)+DE=^+BDDE+DE

=3/2--r+-(O<r<l)

22

I21

所以當f=±時，上式取最小值3,選A.

416

點睛：本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量都用基底表示。同時利用

向量共線轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。

11.B

【解析】

作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，利用二的幾何意義即可得到結(jié)論.

【詳解】

x+y,,4

不等式組,為龍作出可行域如圖：A(4,0),5(2,2),。(0,0),

y..O

2=空的幾何意義是動點尸。,田到。(2,-2)的斜率，由圖象可知QA的斜率為1,Q。的斜率為：-1,

x-2

則讓2的取值范圍是：(-8,Tljn，+8)?

x-2

本題主要考查線性規(guī)劃的應用，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義結(jié)合斜率公式是解決本題的關鍵.

12.D

【解析】

利用空間位置關系的判斷及性質(zhì)定理進行判斷.

【詳解】

解：選項A中直線切，〃還可能相交或異面，

選項B中〃2,〃還可能異面，

選項C,由條件可得〃//a或〃ua.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查直線與平面平行、垂直的性質(zhì)與判定等基礎知識；考查空間想象能力、推理論證能力，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.±6

【解析】

根據(jù)等比數(shù)列通項公式，首先求得4,然后求得見.

【詳解】

設｛《,｝的公比為4,由％=1,%=36,得d=36,q=±6,故出=±6.

故答案為：±6

【點睛】

本小題主要考查等比數(shù)列通項公式的基本量計算，屬于基礎題.

14.-6

【解析】

由約束條件先畫出可行域，然后求目標函數(shù)的最小值.

【詳解】

y=6

由約束條件先畫出可行域，如圖所示，由z=-2x+y,即y=2x+z,當平行線經(jīng)過點A時z取到最小值，由「

可得A(6,6),此時z=-2x+y=-2*6+6=-6,所以z=-2x+y的最小值為一6.

故答案為-6.

本題考查了線性規(guī)劃的知識，解題的一般步驟為先畫出可行域，然后改寫目標函數(shù)，結(jié)合圖形求出最值，需要掌握解

題方法.

15.21n2

【解析】

對函數(shù)求導，通過賦值，求得/'(e),再對函數(shù)單調(diào)性進行分析，求得極大值.

【詳解】

小)=至@」,故廣(上至⑷」

xeee

iY71

解得/'(e)=—，f(x)=2Inx--,f'(x)=----

eexe

令/'(x)=0,解得x=2e

函數(shù)在(O,2e)單調(diào)遞增，在(2e,+o>)單調(diào)遞減，

故/(x)的極大值為/(2e)=2歷2e-2=21n2

故答案為：2/〃2.

【點睛】

本題考查函數(shù)極值的求解，難點是要通過賦值，求出未知量/'(e).

、°[2(sin(9+cos^)-l]2八、八兀

16.(1)5=2---------------0,-；(2)6=一.

sincosI2J4

【解析】

(1)以點。為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，則”(4,4),在放AABO中，設AB=/,又NOAB=。,

故Q4=/cos6,OB=lsin8,進而表示直線A3的方程，由直線A8與圓”相切構(gòu)建關系化簡整理得

4(sm"+cos〃)-2,即可表示040B,最后由三角形面積公式表示AAOB面積即可

sin，cos，

(2)令，=2(sine+cos6)-1,則sin8cos。=廠+2/二3,由輔助角公式和三角函數(shù)值域可求得，的取值范圍，進

8

而對原面積的函數(shù)用含'的表達式換元'再令用=：進行換元'并構(gòu)建新的函數(shù)g(加)=-3，/+2，〃+】，由二次函數(shù)

性質(zhì)即可求得最小值.

【詳解】

解：(1)以點。為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，則”(4,4),在陽AABO中，設A6=/,又NQ4B=6?,

故OA=/cosg,OB=Isin0.

所以直線AB的方程為一--+—-—=1,即xsin6+ycos。一/sin6^cos6=0.

Icos0/sin夕

因為直線AB與圓”相切，

、|4sine+4cos6-/sin6cose|,

所Vsin2^+cos20

因為點H在直線AB的上方,

所以4sin6+4cos6-/sinecose>0,

所以(*)式可化為4sin6+4cos6—/sin9cos6=2,解得/=---------——

sincos

/1”~4(sin0+cos0)—24(sin，+cos。)一2

所以(JA=----------；------------,(JD----------------------------------.

sin。cosB

所以“在面積為=2-出喘式外(。外

?2IOf_

(2)令。=2(sin6+cose)-l,則sin6cos6=------------

8

且f=2(sin6+cos6)-1=20sin[6+?)-1e(1,2A/2-1],

2

L16

所以S=2：2+2f—32~,ze(l,2>/2-1].

一針？+i

8

、

1「20+1,、2420+1]LM、田、羊二

21

令m=-7we,g(m)=-3m4-2m+1=-3m——+—，所以g(M在-------,1J上單調(diào)遞減.

7373

所以，當加=迪里，即。=:時，g(M取得最大值，S取最小值.

74

rr

答:當時，AAOB面積S為最小，政府投資最低.

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的實際應用，應優(yōu)先結(jié)合實際建立合適的數(shù)學模型，再按模型求最值，屬于難題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)C=-|(2)3"

【解析】

(1)因為2cos8=&~,所以6+2ccos8=2?,

C

2222

由余弦定理得b+2c-止c"=2a，化簡得a+b-c=ab，

2ac

可得解得cosC=:，

2ab22

TT

又因為Ce(0,?),所以。=彳.(6分)

(2)因為S&BC=8=》提，所以出?=6,

則〃+匕2疝=26(當且僅當Q=〃=遙時，取等號).

由(1)得=a2+廿—abN2ab—ab=ab=6(當且僅當a=匕=時，取等號)，解得cW娓.

所以a+0+c±3迷(當且僅當a=/?=c=&時，取等號)，

所以AABC的周長的最小值為3娓.

18.(1)/(尤)的增區(qū)間為(1,+8),減區(qū)間為(—1/)；(2)t>0.

【解析】

(D求出函數(shù)“幻=6-("+1)及*+1)(。>-1)的導數(shù)，由于參數(shù)。的范圍對導數(shù)的符號有影響，對參數(shù)分類，再研究

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)由(1)的結(jié)論，求出g(a)的表達式，由于g(a)々恒成立，故求出g(a)的最大值，即得實數(shù)/的取值范圍的

左端點.

【詳解】

解：(1)解：f(x)=a------------(x>—1)9

X4-1X+1

當。=i時，f(x)=—,解r(尤)>0得的增區(qū)間為(i,+8),

X+1

解f\x)<0得/(X)的減區(qū)間為(-1,1).

(2)解：若。>0,由r(x)>o得x>,，由r(x)<o得一i<x<,，

aa

所以函數(shù)/(幻的減區(qū)間為,增區(qū)間為

g3)=/(：)=1-(。+1)In]+11

因為〃>0,所以g(〃)V,,.?.^^_人<0,.二,_(1+,]111(1+工]_工<0

aaa\a)\a)a

令力(x)=x-(l+x)ln(l+x)-”(x>0),則//(x)<0恒成立，

由于/?'(x)=-ln(l+x)-「，

當fNO時,”(x)<0,故函數(shù)〃(x)在(0,+8)上是減函數(shù)，

所以力(x)</?(())=0成立；

當f<0時，若/3>0則0<x<e-，一1，故函數(shù)力。)在(0,e-'一1)上是增函數(shù),

即對0＜彳＜"'一1時，/?(%)＞A(0)=0,與題意不符；

綜上，為所求.

【點睛】

本題考查導數(shù)在最大值與最小值問題中的應用，求解本題關鍵是根據(jù)導數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，由最值的定義得出函

數(shù)的最值，本題中第一小題是求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，第二小題是一個求函數(shù)的最值的問題，此類題運算量較大，轉(zhuǎn)化

靈活，解題時極易因為變形與運算出錯，故做題時要認真仔細.

19.(I)乃；(II)最小值—萬和最大值I.

【解析】

試題分析：(1)由已知利用兩角和與差的三角函數(shù)公式及倍角公式將/(X)的解析式化為一個復合角的三角函數(shù)式，

2乃

再利用正弦型函數(shù)y=Asin(s+o)+3的最小正周期計算公式T=而，即可求得函數(shù)/(x)的最小正周期；(2)

由(1)得函數(shù)/卜)=；"TT4T

sin2x-1,分析它在閉區(qū)間1上的單調(diào)性，可知函數(shù)/(X)在區(qū)間—4,一改上是

/jr"yjr1

減函數(shù)，在區(qū)間一萬n上是增函數(shù)，由此即可求得函數(shù)/(x)在閉區(qū)間一^，可?上的最大值和最小值.也可以利用

如?TT

整體思想求函數(shù)/(X)在閉區(qū)間一三,I上的最大值和最小值.

Lmx.ssx-苴81升苴

由已知，有/(x)=cosx-—sinx+—cosx—yf3cQS2x+-=

224

小)的最小正周期丁=等=小

TT7T7T7T1

⑵.../(x)在區(qū)間一子一出上是減函數(shù)'在區(qū)間--上是增函數(shù),/N

124TH、'

.?.函數(shù)”x)在閉區(qū)間上的最大值為二，最小值為-

1224442

考點：1.兩角和與差的正弦公式、二倍角的正弦與余弦公式；2.三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性.

20.(1)近;(2)60°.

3

【解析】

(1)以OF,。夕分別為X軸,y軸,Z軸，建立空間直角坐標系，設底面正方形邊長為2,再求解麗與平面PCD的法

向量,繼而求得直線即與平面PCD所成角的正弦值即可.

(2)分別求解平面BPD與平面PDC的法向量，再求二面角的余弦值判斷二面角大小即可.

【詳解】

解：(1)在正四棱錐P-A8C。中,底面正方形的對角線AC,BD交于點。，

所以。尸，平面ABCD,取A3的中點E,BC的中點F,

所以OP,OE,O尸兩兩垂直，故以點。為坐標原點,

以OE,O尸,OP分別為A-軸,)，軸,z軸，建立空間直角坐標系.

設底面正方形邊長為2,

因為。尸=！A8,

2

所以。。=1,

所以3(1,1,0),C(-l,1,0),0(-1,-1,0),P(0,0,1),

所以麗=(-1,-1,1),

設平面PCD的法向量是〃=(x,y,z),

因為E=(O,-2,0),麗

所以CD-n=-2y=Q,CPrf=x-y+z=0,

取尸1,則y=0,z=-1,

所以萬=(1,0,—1)

BP?幾\/6

所以cos<8P,心=麗=5,

所以直線BP與平面PCD所成角的正弦值為逅.

3

(2)設平面BPD的法向量是n=(x,y,z),

因為5P=(-l,-l,l),5D=(-2,-2,l),

所以3戶?k-x-y+z=0,BD-n=-2尸2y=0,

取x=l,則y=-1,z=0,

所以3=(1,TO),

由(1)知平面PC。的法向量是3=(1,0,—l),

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