本題解參照課后習(xí)題答案（楊儒貴編著）（第二版）場波指導(dǎo)書

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缺第二章，希望那個有才之士補上

題解一

第一章題解

1-1已知三個矢量分別為A-ex+2eyv-3e.z*；B=3ex+ey+2e.<.

C=2e*—試求①IAl,I5I,ICl；②單位矢量e,；③Al；④

AxB；(5)(AxB)xCS.(AxC)xB;⑥(Ax。).3及(Ax8)C。

解①=="+22+(_3)2

忸|=啊+B；+B；=V32+l2+22=V14

|C|=+C；+戊=百+()2+(-Iy=亞

②z-x"岡A=布A=旃1(/小八2e「八M)\

BB1/-

=1\~B\r=Vi14iV—141V3%+e>v+2e

_c_C_1z、

紇=同=7r忑d/)

@AB=A“B+AB)+yA,Bz.￡=3+2-6=-l

以e,ez

④Ax6=AAyA.12-3=7e<-1%-5e：

B*ByB:312

eyez

⑤(Ax3)xC=7-11-5=lle-3e+22e.

X)z

20-1

xyz

因AxC=AA12-3-2e-5e-4e

*x*,v人rv

cxcyC.20-1

%與J

則()

AxCxB=-2-5-4-6er-8e、,+13e

312

⑥(AxC)-JB=(-2)x3+(-5)xl+13x2=15

(Axfi)-C=7x2+0+(-5)x(-l)=19o

1-2已知z=0平面內(nèi)的位置矢量/與X軸的夾角為a,位置矢量8與

X軸的夾角為夕，試證

cos(a一夕)=cosacos夕+sinasino

證明由于兩矢量位于z=0平面內(nèi)，因此均為二維矢量，它們可以分

別表示為

A=|A|COSa+ev|71|sina

B=ex|B|cos/?+ev|B|sin0

已知AI=|A|@cos(a—夕)，求得

,、IAIIBIcosacos(3+|A||B|sin?sin0

cos(a_0)='

即cos(a-/?)=cosacos夕+sinasinp

1-3已知空間三角形的頂點坐標(biāo)為片(0,1,-2),g(4,1,-3)及

尸3(6,2,5)。試問：①該三角形是否是直角三角形；②該三角形的面積

是多少？

解由題意知，三角形三個頂點的位置矢量分別為

P,=ey-2e,；P2=4ex+ey-3e.；P3=6e、+2e),+5e

那么，由頂點Q指向尸2的邊矢量為

尸2一《=40一%

同理，由頂點尸2指向尸3的邊矢量由頂點尸3指向尸1的邊矢量分別為

P3-P2=2ex+ey+Se：P[-Py=-6ex-ey-Ie.

因兩個邊矢量(「2-片)?(尸3-P?)=0,意味該兩個邊矢量相互垂直，所

以該三角形是直角三角形。

因艮_止"2+『=后

222

|P3-P2|=V2+1+8=V69,

所以三角形的面積為

S=*-A忱-尸21=0.5VT173

1-4已知矢量A=ej+evx，兩點H及尸2的坐標(biāo)位置分別為P,(2,1,-1)

及P2(8,2,-1)。若取尸1及尸2之間的拋物線x=2/或直線片鳥為積分路

P

徑，試求線積分f'A-d/0

JP2

解①積分路線為拋物線。已知拋物線方程為x=2/,dx=4ydy,則

J：4?d/=J；()，dx+xd>■)=J：(4y2dy+2y2dy)=J；6y?dy=2yt=—14

②積分路線為直線。因匕鳥兩點位于z=-l平面內(nèi)，過心鳥兩點的直

線方程為y-\~—~-(x-2),即6y=x+4,dx=6dy,貝U

8—2

1；4.d，=J：6ydy+(6y-4)dy=(12y2-4y]；=一14。

1-5設(shè)標(biāo)量G=盯2+”3,矢量A=況+2e、,-e：,試求標(biāo)量函數(shù)①在點

(2,-1,1)處沿矢量>4的方向上的方向?qū)?shù)。

解已知梯度

?,5（P6①3①2/C2、12

▽°F菽+%由+，石=3+"孫+1）+"”

那么，在點(2,-1,1)處G的梯度為

V0=ex-3eyv-3ez_

因此，標(biāo)量函數(shù)。在點(2,-1,1)處沿矢量力的方向上的方向?qū)?shù)為

V0-A=(^r-3e、,-3e)(2ev+2e、,-e-)=2-6+3=-1

1-6已知標(biāo)量函數(shù)G=(sin]x]sin?y}-z,試求該標(biāo)量函數(shù)0在點

戶(1,2,3)處的最大變化率及其方向。

解標(biāo)量函數(shù)在某點的最大變化率即是函數(shù)在該點的梯度值。已知標(biāo)

量函數(shù)G的梯度為

d<Pd(P8(P

V<Z>=j----be----Fe----

y

dxdyzdz

那么

將點尸(1,2,3)的坐標(biāo)代入，得(\7G)p=-evme-3—e：蟲?不。那么，在P

點的最大變化率為

|V0|=—e-e.=--J/+27

1lpy6z26

尸點最大變化率方向的方向余弦為

71V27

cosa=0;cosp--,;cosy--

h+27萬2+27

1-7若標(biāo)量函數(shù)為

0=x2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z

試求在P(l,-2,1)點處的梯度。

解已知梯度3%等e*+e詈，將標(biāo)量函數(shù)深入得

V0=ex(2x+y+3)+ev(4y+x-2)+e_(6^-6)

再將夕點的坐標(biāo)代入，求得標(biāo)量函數(shù)。在尸點處的梯度為

1-8試求距離?在直角坐標(biāo)、圓柱坐標(biāo)及圓球坐標(biāo)中的表示式。

解在直角坐標(biāo)系中

Ki一止）&一再）2+（＞2-兇）2+62-2|）2

在圓柱坐標(biāo)系中，已知x=rcos。,y=rsin。，z=z,因此

Zr2

.F=V（2cos02-\cos必I+（Rsin02fsin血丫+（口-zx）

=G；+r；-cos（我一。［）+（馬-Zi）~

在球坐標(biāo)系中，已知x=rsin^cos^,y=廠sinSsin。，z=rcos。，因此

222

,一々|=sinacosasin.cos^）+伍sin%sinsin.sin）+{r2cos02-r{cos0X）

=J1+-J-2G八［sin02sin0xcos（^2-弘）+cos02cos61］

1-9已知兩個位置矢量八及r2的終點坐標(biāo)分別為（不仇獨）及（G0，?。?，

試證八與々之間的夾角/為

cos

cos/=sin0］sin02cos（^,一4）+4cos02

證明根據(jù)題意，兩個位置矢量在直角坐標(biāo)系中可表示為

八=exr}sinO}cos（f）］+eyr}sin0}sin^,:rxcos^

r2=exr2sin02cos。？+e、Gsin%sin。？+e，Gcos%

已知兩個矢量的標(biāo)積為04=hg|cosy,這里/為兩個矢量的夾角。因此夾

角/為

cosyJW

?！?

式中

Fj-r2=04（sin.cos必sin02cos.+sin0xsin必sin02sin機

+cos。］cos02）

21f

因此，

cos/=sin。］sin?2（cos0cos。？+sin必sin^+cos。］cos%

cos

=sindsin02cos（必一右）+4cos02

1-10若C為常數(shù)，4及攵為常矢量，試證：

①\/eckr=Ckeckr；

②V■（Aeckr）^Ck-Aeckr；

③Vx（Ae*'）=GtxAe*r。

證明①證明安&-徐尹、

利用公式VF0）=式,則

Veckr=eckrV（Ckr）=CeckrV（kr）

而V（kr）=V（kxx+kyy+k.z）=exkx+eyky+e.kz=k

ckr

求得N*，=Ckeo

Ckr

②證明V?（Ae%'）=ChAeo

利用公式V-（@4）=W-A+ANG,貝ij

V-（Aeckr）=4.V（e。"）+eckrV-A=A-V（eckr）

再利用①的結(jié)果，則V-（AeCkr）^Ck-AeCkr

Ckr

③證明Vx（Ae。*'）=CkxAeo

利用公式Vx（G4）=VGxA+WxA,則

VX(Aeclcr)=\7(eckr)xA+eCkrVxA=V(ec*r)xA

ckrckr

再利用①的結(jié)果，則Vx(Ae)=CkxAeo

1-11試證\72(￡二]=%2屋1,式中女為常數(shù)。

【「Jr

證明已知在球坐標(biāo)系中

6小18(26①、1d(.1*①

V0=——r---4--------sin0H—z......—

廠drJr2sin^6^<30)rsin20

則

=^-—(-e-kr-kre-kr)=-L[(-^>_*r(-l-^)+(-Jl>-*r]=^2—

rdrrr

(-kr、-kr

即V?—|=J12—

r

V「

1-12已知某點在圓柱坐標(biāo)系中的位置為(4,g萬，3),試求該點在相

應(yīng)的直角坐標(biāo)系及圓球坐標(biāo)系中的位置。

解已知直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

x=rcos^,y=rsin^,z=z

因此，該點在直角坐標(biāo)下的位置為

同樣，根據(jù)球坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系坐標(biāo)變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，

r=小x2+/+3;0=arctan"+)；。=arctan—

z%

可得該點在球坐標(biāo)下的位置為

4

r=5；=arctan—?53°；(j)-120°

1-13已知直角坐標(biāo)系中的矢量A=ae,+/%+cez,式中a,b,c均為

“)v4

常數(shù)，2是常矢量嗎？試求該矢量在圓柱坐標(biāo)系及圓球坐標(biāo)系中的表

示式。

解由于A的大小及方向均與空間坐標(biāo)無關(guān)，故是常矢量。

已知直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

J/+J；°_arctan—；z=z

x

求得yja2+b2；=arctan—；

a

b.a

sin。=；cos^=.

yla2+b2

又知矢量A在直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系中各個坐標(biāo)分量之間的

轉(zhuǎn)換關(guān)系為

sin。04

cos。0Av

01A.

將上述結(jié)果代入，求得

b

0

77?a^a2+b2

a

0b0

'a2+b2

c

01

即該矢量在圓柱坐標(biāo)下的表達式為

22

A=ery/a+Z?+e.c

直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系的坐標(biāo)變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

r=+y2+g2

由此求得

r=7a2+b2+c2；

矢量A在直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中各個坐標(biāo)分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)

系為

A,sin。cos。sinOsin。cos。4

A"cos。cos。cosOsin°-sin。Av

-sin。cos。04

求得

sincossinOsin。cos。ayla2+b2+c2

A?=cos。cos。cossin一sin6b—0

-sin^cos,0c0

222

即該矢量在球坐標(biāo)下的表達式為A=er^a+b+co

1-14已知圓柱坐標(biāo)系中的矢量4=ae,+be0+cq,式中a,b,c均為

常數(shù)，4是常矢量嗎？試求及VxA以及力在相應(yīng)的直角坐標(biāo)系及

圓球坐標(biāo)系中的表示式。

解因為雖然a,b,c均為常數(shù)，但是單位矢量仇和分均為變矢，所

以A不是常矢量。

已知圓柱坐標(biāo)系中，矢量2的散度為

口41d，八1叫S4.

V-A=-----(M,,IH--------H-----

rdrrd(/)&

將A=〃％+%0+ce_代入，得▽.>!=，g(")+0+0=q

rdrr

矢量4的旋度為

rrrr

dc)aaadb

VxA=—=-e

dr00dzdrdz

4AAzarbc

已知直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

x=rcos^；y=rsin^；z=z

XXy=2

cos0=/==—；sin(4=

Jr+y2a

又知矢量A在直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系中各個坐標(biāo)分量之間的轉(zhuǎn)換

關(guān)系為

X-COS。一sin°0A,

4=sin。cos。04

001

LAJ

將上述接結(jié)果代入，得

X

A.Ja

A一

a

A.0

4」

即該矢量在直角坐標(biāo)下的表達式為

.(b}(b}

A-x——y,+y+—xe+ce.其中/+>2=。2。

Ia),<a)-v

矢量A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中各個坐標(biāo)分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)

系

0cos。4

0-sin。&

10&

以及sin6

0

b

即該矢量在球坐標(biāo)下的表達式為A^re,.+be^

1-15已知圓球坐標(biāo)系中矢量A=ae,+/2%+cj,式中a,b,c均為常

數(shù)，￡是常矢量嗎？試求V-A及VxA，以及/在直角坐標(biāo)系及圓柱

坐標(biāo)系中的表示式。

解因為雖然a,b,c均為常數(shù)，但是單位矢量e,，e%%均為變矢，

所以A不是常矢量。

在球坐標(biāo)系中，矢量力的散度為

V-A=4-—pA)+——--(sin^4j+—!—

廠dr'rsin^dOrsin6(3°J

將矢量Z的各個分量代入，求得VS=M+2cot。。

rr

矢量力的旋度為

7，

r2e

sion3

-

一

er

A期

r

rs加0

戶sin。rsin^r

ddd_b

drdOA。r?

arhrsinOc

利用矢量力在直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中各個坐標(biāo)分量之間的轉(zhuǎn)

換關(guān)系

4sin。cos。coscos

=sinOsincos6sin

Av。。

AcosOsin

z一一。

求得該矢量在直

sin。=

角坐標(biāo)下的表達式為

byzex

Ae

-浦----爐1+y2+G/+y2,y

利用矢量A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中各個坐標(biāo)分量之間的轉(zhuǎn)

換關(guān)系

求得其在圓柱坐標(biāo)下的表達式為

題解三

3-1若真空中相距為d的兩個電荷班及衰的電量分別為g及4q,當(dāng)點電荷/位于⑦及

0的連線上時，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，試求小的大小及位置。

解要使系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，點電荷/受到點電荷班及0的力應(yīng)該大小相等，方向相反，

即F=乙0,。那么，由q@,==24，同時考慮到八+-2=〃，求得

m例4%/4%弓

r=-dr,=-d

x'3-3

可見點電荷?？梢匀我猓珣?yīng)位于點電荷％和92的連線上，且與點電荷力相距;d。

3-2已知真空中有三個點電荷，其電量及位置分

別為：

%=1C,F,(0,0,1)

q2=1C,P2(1,0,1)

%=4C,P3(0,1,0)

試求位于P（0,-l,0）點的電場強度。

解令外，々,0分別為三個電電荷的位置片，尸2,A到尸點的距離，則八=J5，尸2=V3，

0=2。

利用點電荷的場強公式E=—,其中%為點電荷g指向場點尸的單位矢量。

4?%廣

那么，

二名:-2(3+%)。

<7,在尸點的場強大小為E]=-2=--一,方向為er=

4萬￡（）48』1

%1/一,\

以在尸點的場強大小為E2：=,方向為er2_十

4南0々212g)r2

二。3

03在尸點的場強大小為:2=---,方向為er=

4的）04碼）3

則尸點的合成電場強度為

E=E}+E2+E3

3-3直接利用式（3-1-14）計算電偶極子的電場強度。

解令點電荷-q位于坐標(biāo)原點，，為點電荷-<7至場點尸的距離。再令點電荷+q位于+z坐

標(biāo)軸上，八為點電荷+q至場點尸的距離。兩個點電荷相距為/，場點尸的坐標(biāo)為（r,8,0b

根據(jù)疊加原理，電偶極子在場點尸產(chǎn)生的電場為

4fr/J

考慮至！I,,iy=r-lcos3，那么上式變?yōu)?/p>

L!

E=-----er=-----——E----er

4g>1r-r-）4萬廠不）

\

?1/j21\~2

式中rj=（廠2+/2—2r/cos。）5=—1+—-2—cos^

rr）

1（/2lY；

以人為變量，并將1+二一22cos。在零點作泰勒展開。由于/<<r,略去高階

ryrrJ

項后，得

.!If,/“)1/A

八=—1+—cos6*=—+—cost*

r\r)rr'

利用球坐標(biāo)系中的散度計算公式，求出電場強度為

Rq1/小Jl)]qlcoseqlsin0

44/5廠)JJ27120r

3-4已知真空中兩個點電荷的電量均為2xl0-6c,相距為2cm,如習(xí)題圖3-4所示。試求：

①9點的電位；②將電量為2xl()FC的點電荷由無限遠處緩慢地移至尸點時，外力必須作

的功。

習(xí)題圖3-4

解根據(jù)疊加原理，尸點的合成電位為

0=2x—^=2.5xl()6(v)

4^0r

因此，將電量為2xl0-6c的點電荷由無限遠處緩慢地移到尸點，外力必須做的功為

W-(pq-5(J)

3-5通過電位計算有限長線電荷

的電場強度。

解建立圓柱坐標(biāo)系。令先電

荷沿z軸放置，由于結(jié)構(gòu)以z軸對稱，場強與。無關(guān)。

為了簡單起見，令場點位于幺平面。

設(shè)線電荷的長度為L,密度為

y

習(xí)題圖3-5

p,,線電荷的中點位于坐標(biāo)原

點，場點尸的坐標(biāo)為Z）。

利用電位疊加原理，求得場點

P的電位為

式中々

因E=—Ve，可知電場強度的Z分量為

Pir___________

4盤。，［^戶+1+〃2)22

+U-WJ

焉.名』仇）

電場強度的/?分量為

FT

A

4%U(Z+〃2)2+R2(

z+L/2++L/2)2+戶)

、

J(Z_L/2)2+/(

z-L/2+J(z_L/2)一+八)

Pl

^7C￡^r

號((1-COSd)-(1-3%))

Pl

(cos^j-cos^2)

4^0r

式中4=arctan—2匚，02=arctan—,那么，合成電強為

—z-—

22

E=0I—[(sin02-sin0{)ez-(cos02-cos苗X]

4萬￡0尸

當(dāng)Lfo時，4->0,3T兀,則合成電場強度為

E—

可見，這些結(jié)果與教材2-2節(jié)例4完全相同。

3-6已知分布在半徑為a的半圓周上的電荷線密度8=「osin。，萬，試求圓心

處的電場強度。

習(xí)題圖3-6

解建立直角坐標(biāo)，令線電荷位于口平面，且以V軸為對稱，如習(xí)題圖2-6所示。那么，點

電荷qd/在圓心處產(chǎn)生的電場強度具有兩個分量后和與。由于電荷分布以y軸為對稱，因

此，僅需考慮電場強度的Ev分量，即

d￡=dE=?d?sin。

4萬￡（）a-

考慮到d/=ad@,q=Asin。，代入上式求得合成電場強度為

E=e[T—sin2

4兀%a84a

3-7已知真空中半徑為a的圓環(huán)上均勻地分布的線電荷密度為0,試求通過圓心的軸線上

任一點的電位及電場強度。

習(xí)題圖3-7

解建立直角坐標(biāo)，令圓環(huán)位于坐標(biāo)原點，如習(xí)題圖2-7所示。那么，點電荷0出在z軸上

P點產(chǎn)生的電位為

0d/

甲=

47T￡or

根據(jù)疊加原理，圓環(huán)線電荷在尸點產(chǎn)生的合成電位為

因電場強度E=-VQ,則圓環(huán)線電荷在尸點產(chǎn)生的電場強度為

J&句+/嚴(yán)

3-8設(shè)寬度為勿，面密度為％的帶狀電荷位于真空中，

試求空間任一點的電場強度。

(a)(b)

習(xí)題圖3-8

解建立直角坐標(biāo)，且令帶狀電荷位于M平面內(nèi)，如習(xí)題圖2-8所示。帶狀電荷可劃分為很

多條寬度為dx'的無限長線電荷，其線密度為￡dx'。那么，該無限長線電荷產(chǎn)生的電場

強度與坐標(biāo)變量z無關(guān)，即

dE=*e

27r￡°r

式中r=yj(x-x')2+y2

土二+e)=[(x_/)+e,y]

rrr

dE：P、dx'\e(x-x')+ey]

得2-4[(x-f)2+/]xy

IJdx，

那么E=[

'T2乃%「―7)2+/

2

TWvv)

+y2x-x+

2

=%—^-lnarctan-----—arctan2

、2

4fw一;母。yy

XH-----+>,

27

3-9已知均勻分布的帶電圓盤半徑為a,面電荷密度

為夕5,位于z=0平面，且盤心與原點重合，試求圓盤

軸線上任一點電場強度E。

習(xí)題圖3-9

解如圖2-9所示，在圓盤上取一半徑為r,寬度為dr的圓環(huán)，該圓環(huán)具有的電荷量為

dq=2adrp,。由于對稱性，該圓環(huán)電荷在z軸上任一點尸產(chǎn)生的電場強度僅的廠有z分

量。根據(jù)習(xí)題2-7結(jié)果，獲知該圓環(huán)電荷在尸產(chǎn)生的電場強度的z分量為

zrpdr

紇s

d2%（產(chǎn)+z2y*

那么，整個圓盤電荷在尸產(chǎn)生的電場強度為

3-10已知電荷密度為/及-/的兩塊無限大面電荷分別位于x=0及*=1平面，試求

x>1,0<》<1及*<0區(qū)域中的電場強度。

解無限大平面電荷產(chǎn)生的場強分布一定是均勻的，其電場方向垂直于無限大平面，且分別

指向兩側(cè)。因此，位于x=0平面內(nèi)的無限大面電荷夕§，在x<0區(qū)域中產(chǎn)生的電場強度

=—%耳，在x>0區(qū)域中產(chǎn)生的電場強度E；=%￡。位于x=1平面內(nèi)的無限大面

電荷—2s,在x<1區(qū)域中產(chǎn)生的電場強度=6、/2，在x>1區(qū)域中產(chǎn)生的電場強度

瑪=一°

由電場強度法向邊界條件獲知，

=

￡（）垃-￡（）芻A|1=0%“2-4E；=-PJXR

即￡。用+4%=PsL=0-￡。占-￡（A=-Ri

由此求得耳=E,=上匚

2%

根據(jù)疊加定理，各區(qū)域中的電場強度應(yīng)為

E=E；+=-exE】+exE2=0,x<0

E=E；+E；=evE,+exE2=0<x<l

%

E=E；+=exE{-exE2=0,x>1

3-11已知空間電場強度E=3%+4e‘—5%,試求（0,0,0）與（1,1,2）兩點間的電位差。

解設(shè)尸1點的坐標(biāo)為（0,0,0,）,閂點的坐標(biāo)為（1,1,2,）,那么，兩點間的電位差為

'P2E-dl

式中E=3ex+4ey-5ez,dl=exdx+eYdy+ezdz，因此電位差為

v=C33dx+4d>1-5dz^-3^

3-12已知同軸圓柱電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a,外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為仇若填充介質(zhì)的相對介

電常數(shù)j=2。試求在外導(dǎo)體尺寸不變的情況下，為了獲得最高耐壓，內(nèi)外導(dǎo)體半徑之比。

解已知若同軸線單位長度內(nèi)的電荷量為/，則同軸線內(nèi)電場強度E為了使同

軸線獲得最高耐壓，應(yīng)在保持內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位差1/不變的情況下，使同軸線內(nèi)最大的

電場強度達到最小值，即應(yīng)使內(nèi)導(dǎo)體表面r=a處的電場強度達到最小值。因為同軸線單位

長度內(nèi)的電容為

則同軸線內(nèi)導(dǎo)體表面r=a處電場強度為

E(a)

令不變，以比值2為變量，對上式求極值，獲知當(dāng)比值白=e時，E（a）取得最小值，即

aa

同軸線獲得最高耐壓。

3-13若在一個電荷密度為P，半徑為a的均勻帶電球中，存在一個半徑為。的球形空腔，

空腔中心與帶電球中心的間距為d,試求空腔中的電場強度。

習(xí)題圖3-13

解此題可利用高斯定理和疊加原理求解。首先設(shè)半徑為。的整個球內(nèi)充滿電荷密度為夕的

電荷，則球內(nèi)P點的電場強度為

Xy

EtP=—--:irper=止-

4%廠33%

式中r是由球心。點指向P點的位置矢量，

再設(shè)半徑為匕的球腔內(nèi)充滿電荷密度為一2的電荷，則其在球內(nèi)尸點的電場強度為

14s

心E2P7ir'pe'=---

4433%

式中r,是由腔心。'點指向P點的位置矢量。

那么，合成電場強度E|p+E2P即是原先空腔內(nèi)任一點的電場強度，即

Ep-EiP+E2P-—r~~d

3￡（）j￡0

式中d是由球心。點指向腔心。'點的位置矢量?？梢?，空腔內(nèi)的電場是均勻的。

3-14將一塊無限大的厚度為d的介質(zhì)板放在均勻電場E中，周圍媒質(zhì)為真空。已知介質(zhì)板

的介電常數(shù)為￡，均勻電場E的方向與介質(zhì)板法線的夾角為q，如習(xí)題圖2?20所示。當(dāng)介

質(zhì)板中的電場線方向夕=生TT時，試求角度q及介質(zhì)表面的束縛電荷面密度。

4

習(xí)題圖3-14

解根據(jù)兩種介質(zhì)的邊界條件獲知，邊界上電場強度切向分量和電通密度的法向分量連續(xù)。

因此可得

Esina=E2sin02;Dcosd=D2cos02

已知D[=￡E],那么由上式求得

tan

-—=—=>tan0]--tan02--=>0]-arctan—

tan32￡￡~￡I￡1

已知介質(zhì)表面的束縛電荷p；=enP=e?-(D-￡OE),

那么，介質(zhì)左表面上束縛電荷面密度為

P's\=e"i-尸2=e,〃?1一包=[1—e,“-02=一11—~￡oEcosR介質(zhì)右表面上

束縛電荷面密度為

=e“2,尸2=e“2T=1-en2'^2~1^/Ecos。]

\s)k￡)\￡)

3-15已知兩個導(dǎo)體球的半徑分別為6cm及12cm,電量均為3x10'C,相距很遠。若以

導(dǎo)線相連后，試求：①電荷移動的方向及電量；②兩球最終的電位及電量。

解設(shè)兩球相距為d,考慮到d>>a,d?b,兩個帶電球的電位為

o=-L/如+生〕.0=_!_。+包]

147％<adJ24萬分(匕dJ

兩球以導(dǎo)線相連后，兩球電位相等，電荷重新分布，但總電荷量應(yīng)該守恒，即⑥=%

及%+%=q=6xio6(c),

求得兩球最終的電量分別為

<7i=A；"4什；4=2><]0-6?

q2=―地-G_=4x10-6?

2ad+hd-2ab3''

可見，電荷由半徑小的導(dǎo)體球轉(zhuǎn)移到半徑大的導(dǎo)體球，移動的電荷量為1X1()F(C)。

兩球最終電位分別為

5

(px^=3X10(V)

4萬4a

粵=3xl()5(v)

4%4b

3-16如習(xí)題圖3-16所示，半徑為a的導(dǎo)體球中有兩個較小的球形空腔。若在空腔中心

分別放置兩個點電荷0及0,卷巨離廠>>。處放置另一個點電荷Q3，試求三個點電荷受到

的電場力。

習(xí)題圖3-16

解根據(jù)原書2-7節(jié)所述，封閉導(dǎo)體空腔具有靜電屏蔽特性。因此，?與‘2之間沒有作用

力，%對于q及%也沒有作用力。但是％及外在導(dǎo)體外表面產(chǎn)生的感應(yīng)電荷-%及-%,

對于%有作用力?？紤]到i?a,根據(jù)庫侖定律獲知該作用力為

「_(?+矽

J-A2

3-17已知可變電容器的最大電容量Cmax=1OOPF，最小電容量Cmin=>OpF，外加直流電

壓為300V,試求使電容器由最小變?yōu)樽畲蟮倪^程中外力必須作的功。

解在可變電容器的電容量由最小變?yōu)樽畲蟮倪^程中，電源作的功和外力作的功均轉(zhuǎn)變?yōu)殡?/p>

場儲能的增量，即

監(jiān)源+%=公叱

6

式中%源=VA<?=V(CmaxV-CminV)=8.1xlO-(J)

26

=1(Cmax-Cmin)V=4.05X10-(J)

因此，外力必須作的功為

卬外=-4.05x10毋0)

3-18若使兩個電容器均為C的真空電容器充以電壓1/后，斷開電源相互并聯(lián)，再將其中

之一填滿介電常數(shù)為J的理想介質(zhì)，試求：①兩個電容器的最終電位；②轉(zhuǎn)移的電量。

解兩電容器斷開電源相互并聯(lián)，再將其中之一填滿相對介電常數(shù)為理想介質(zhì)后，兩電容

器的電容量分別為

Cj=C,C2=￡rC

兩電容器的電量分別為名,，且

/+紜=2CV

由于兩個電容器的電壓相等，因此

%