北京市海淀區(qū)2021屆上學期高三年級期末練習數(shù)學試卷本試卷共150分?？荚嚂r長120分鐘。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1拋物線的準線方程是A B C D2在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3在的展開式中，的系數(shù)為A5 B－5 C10 D－4已知直線，點和點，若∥AB，則實數(shù)a的值為A1 B－1 C2 D－5某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的體積為A2 B4 C6 D6已知向量滿足，且，則＝A－1 B0 C1 D7已知是兩個不同的平面，“∥”的一個充分條件是A內(nèi)有無數(shù)條直線平行于B存在平面C存在平面，且∥nD存在直線8已知函數(shù)，則A是偶函數(shù) B函數(shù)的最小正周期為C曲線y＝關(guān)于直線對稱 D9數(shù)列的通項公式為，前n項和為。給出下列三個結(jié)論：①存在正整數(shù)，使得；②存在正整數(shù)，使得；③記，則數(shù)列有最小項，其中所有正確結(jié)論的序號是A① B③ C①③ D①②③10如圖所示，在圓錐內(nèi)放入兩個球O1，O2，它們都與圓錐相切（即與圓錐的每條母線相切），切點圓（圖中粗線所示）分別為⊙C1，⊙C2，這兩個球都與平面α相切，切點分別為F1，F(xiàn)2，丹德林（G．Dandelin）利用這個模型證明了平面α與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，F(xiàn)1，F(xiàn)2為此橢圓的兩個焦點，這兩個球也稱為Dandelin雙球，若圓錐的母線與它的軸的夾角為30°，⊙C1，⊙C2的半徑分別為1，4，點M為⊙C2上的一個定點，點的路線長與線段8 AN＝90°，則a的最大值為；④N為圓AN＝90°，則t的最大值為。其中所有正確結(jié)論的序號是__________。三、解答題：共6小題，共85分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。16（本小題共15分）在三棱柱中，側(cè)面為矩形，AC⊥平面分別是棱的中點。（Ⅰ）求證：AE∥平面；（Ⅱ）求證：CC1⊥平面ABC；（Ⅲ）若，求直線AB與平面所成角的正弦值。17（本小題共14分）若存在△ABC同時滿足條件①、條件②、條件③、條件④中的三個，請選擇一組這樣的三個條件并解答下列問題：（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）求和a的值。條件①：；條件②：；條件③：；條件④：。18（本小題共14分）某公司在2013～2021年生產(chǎn)經(jīng)營某種產(chǎn)品的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：年份201320142015201620172018201920202021年生產(chǎn)臺數(shù)（單位：萬臺）3456791010a年返修臺數(shù)（單位：臺）3238545852718075b年利潤（單位：百萬臺）c注：年返修率＝。（Ⅰ）從2013~2020年中隨機抽取一年，求該年生產(chǎn)的產(chǎn)品的平均利潤不小于100元／臺的概率；（Ⅱ）公司規(guī)定：若年返修率不超過千分之一，則該公司生產(chǎn)部門當年考核優(yōu)秀，現(xiàn)從2013~2020年中隨機選出3年，記表示這3年中生產(chǎn)部門獲得考核優(yōu)秀的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；（Ⅲ）記公司在2013~2015年，2016~2018年，2019～2021年的年生產(chǎn)臺數(shù)的方差分別為，。若，其中表示這兩個數(shù)中最大的數(shù)，請寫出a的最大值和最小值。（只需寫出結(jié)論）（注：，其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù)）19（本小題共14分）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點。（Ⅰ）求橢圓W的方程及其長軸長；（Ⅱ）A，B分別為橢圓W的左、右頂點，點D在橢圓W上，且位于軸下方，直線CD交軸于點Q。若△ACQ的面積比△BDQ的面積大，求點D的坐標。20（本小題共14分）已知函數(shù)。（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)，求證：；（Ⅲ）設(shè)，若存在使得，求a的最大值。21（本小題共14分）設(shè)A是由個實數(shù)組成的n行n列的數(shù)表，滿足：每個數(shù)的絕對值是1，且所有數(shù)的和是非負數(shù)，則稱數(shù)表A是“n階非負數(shù)表”。（Ⅰ）判斷如下數(shù)表是否是“4階非負數(shù)表”；（Ⅱ）對于任意“5階非負數(shù)表”A，記為A的第s行各數(shù)之和，證明：存在，使得；（Ⅲ）當時，證明：對于任意“n階非負數(shù)表”A，均存在行列，使得這行列交叉處的個數(shù)之和不小于。

【試題答案】一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分。題號12345678910答案BADBACDCCA二、填空題：共5小題，每小題5分，共25分。題號1112131415答案123或－1－21（－1，1）①②④三、解答題：共6小題，共85分。16（本小題共15分）解：（Ⅰ）在三棱柱中，∥，且，因為點D，E分別是棱的中點，所以AD∥，且，所以四邊形是平行四邊形，所以AE∥。又因為平面平面，所以AE∥平面。（Ⅱ）因為AC⊥平面平面，所以AC⊥，因為側(cè)面為矩形，所以⊥BC，又因為平面ABC，平面ABC，所以⊥平面ABC。（Ⅲ）分別以所在的直線為軸，y軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意得，。所以。設(shè)平面的法向量為，則即令，則，于是，所以，所以，直線AB與平面所成角的正弦值為。17（本小題共14分）選擇①②③解：（Ⅰ）因為，由正弦定理得，因為，所以，所以，所以∠A＝。（Ⅱ）在△ABC中，，所以，所以∠C，因為，所以，所以，所以。由正弦定理得，即。因為，所以。選擇①②④解：（Ⅰ）因為，由正弦定理得，在△ABC中，，所以，所以∠A＝。（Ⅱ）在△ABC中，，所以，所以∠C，因為，所以，所以，所以。因為，所以。由正弦定理得。18（本小題共14分）解：（Ⅰ）由圖表知，2013~2020年中，產(chǎn)品的平均利潤小于100元/臺的年份只有2015年，2016年，所以從2013~2020年中隨機抽取一年，該年生產(chǎn)的產(chǎn)品的平均利潤不小于100元/臺的概率為。（Ⅱ）由圖表知，2013~2020年中，返修率超過千分之一的年份只有2013，2015年，所以的所有可能取值為1，2，3，，所以的分布列為123P故的數(shù)學期望。（Ⅲ）a的最大值為13，最小值為7。19（本小題共14分）解：（Ⅰ）因為橢圓W經(jīng)過點，所以，因為橢圓W的離心率為，所以，其中，所以所以，橢圓W的方程為，長軸長。（Ⅱ）當直線CD的斜率不存在時，由題意可知，由（Ⅰ）可知，所以△ACQ的面積為，△BDQ的面積為，顯然△ACQ的面積比△BDQ的面積大。當直線CD的斜率存在時，由題意可設(shè)直線CD的方程為，且，令，得，所以，由得。依題意可得點D的縱坐標，因為點D在軸下方，所以，即，所以△ACQ的面積為，△BDQ的面積為。因為△ACQ的面積比△BDQ的面積大，所以。此方程無解。綜上所述，點D的坐標為。方法二因為點D在軸下方，所以點Q在線段AB（不包括端點）上，由（Ⅰ）可知，所以△AOC的面積為。因為△ACQ的面積比△BDQ的面積大，所以點Q在線段OB（不包括端點）上，且△OCQ的面積等于△BDQ的面積，所以△OCB的面積等于△BCD的面積，所以O(shè)D∥BC。設(shè)，則，因為點D在橢圓W上，所以，所以所以點D的坐標為。20（本小題共14分）解：（Ⅰ）因為，所以，令，得，在區(qū)間上的情況如下：＋0－↗極大↘所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為。（Ⅱ）因為，所以，所以，①當時，，所以；②當時，，所以。所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以。（Ⅲ）因為，所以，①當時，，即存在1，使得；②當時，由（Ⅱ）可知，，即，所以。所以，對任意，即不存在使得，綜上所述，a的最大值為。21（本小題共14分）解：記為數(shù)表A中第i行第j列的數(shù)，為數(shù)表A中所有數(shù)的和，為數(shù)表A中前行列交叉處各數(shù)之和。（Ⅰ）是“4階非負數(shù)表”；不是“4階非負數(shù)表”。（Ⅱ）由題意知，且數(shù)表A是“5階非負數(shù)表”，所以為奇數(shù)，且，不妨設(shè)，①當時，因為為奇數(shù)，所以，所以。②當時，因為為奇數(shù)，所以，所以，所以。又因為均為奇數(shù)，所以。（Ⅲ）（1）先證明數(shù)表A中存在行n列，其所有數(shù)的和大于等于0，設(shè)，由題意知，不妨設(shè)，由于，所以。（2）由（1）及題意不妨設(shè)數(shù)表A前行n列，其所有數(shù)的和大于等于0。下面考慮前行