人大微積分課件二重積分的計算法第1頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日按定義:二重積分是一個特定乘積和式極限然而，用定義來計算二重積分，一般情況下是非常麻煩的.那么，有沒有簡便的計算方法呢?這就是我們今天所要研究的課題。下面介紹:一、問題的提出第2頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日二、利用直角坐標計算二重積分

二重積分僅與被積函數(shù)及積分域有關(guān),為此,先介紹：

1、積分域D:第3頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日如果積分區(qū)域為：［X－型］

X型區(qū)域的特點：a、平行于y軸且穿過區(qū)域的直線與區(qū)域邊界的交點不多于兩個；b、（1）X-型域第4頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日（2）Y-型域：［Y－型］

Y型區(qū)域的特點：a、穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界的交點不多于兩個。b、第5頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日2、X-型域下二重積分的計算:

由幾何意義，若此為平行截面面積為已知的立體的體積.截面為曲邊梯形面積為：(曲頂柱體的體積)則第6頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日yZ第7頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日注:若?(x,y)≤0仍然適用。注意:

1）上式說明:二重積分可化為二次定積分計算;2）積分次序:X-型域先Y后X;3）積分限確定法:域中一線插,內(nèi)限定上下，域邊兩線夾，外限依靠它。為方便，上式也常記為：第8頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日3、Y-型域下二重積分的計算：同理：［Y－型域下］于是第9頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日1）積分次序:Y-型域,先x后Y;2）積分限確定法:

“域中一線插”,須用平行于X軸的射線穿插區(qū)域。注意:第10頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日

注意：二重積分轉(zhuǎn)化為二次定積分時，關(guān)鍵在于正確確定積分限,一定要做到熟練、準確。4、利用直系計算二重積分的步驟（1）畫出積分區(qū)域的圖形,求出邊界曲線交點坐標；（3）確定積分限，化為二次定積分；（2）根據(jù)積分域類型,確定積分次序；（4）計算兩次定積分，即可得出結(jié)果.第11頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日解：［X－型］第12頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日［Y－型］第13頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日例2解：X-型第14頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日例3解：（如圖）將D作Y型-12第15頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日5、若區(qū)域為組合域，如圖則：06、如果積分區(qū)域既是X－型，又是[Y－型],

則有第16頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日解：積分區(qū)域如圖xyo231原式第17頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日解：原式第18頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日例6解：先去掉絕對值符號，如圖第19頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日解第20頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日二重積分在直角坐標下的計算公式（在積分中要正確選擇

積分次序）［Y－型］［X－型］7.小結(jié)第21頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日三利用極坐標系計算二重積分當一些二重積分的積分區(qū)域D用極坐標表示比較簡單，或者一些函數(shù)它們的二重積分在直角坐標系下根本無法計算時，我們可以在極坐標系下考慮其計算問題。第22頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日1直系與極系下的二重積分關(guān)系（如圖）（1）面積元素變換為極系下：（2）二重積分轉(zhuǎn)換公式：第23頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日（3）注意：將直角坐標系的二重積分化為極坐標系下的二重積分需要進行“三換”：第24頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日2極系下的二重積分化為二次積分用兩條過極點的射線夾平面區(qū)域，由兩射線的傾角得到其上下限任意作過極點的半射線與平面區(qū)域相交，由穿進點，穿出點的極徑得到其上下限。將直系下的二重積分化為極系后，極系下的二重積分仍然需要化為二次積分來計算。第25頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日（1）區(qū)域如圖1具體地（如圖）圖1第26頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日（2）區(qū)域如圖2圖2第27頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日（3）區(qū)域如圖3圖3第28頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日（4）區(qū)域如圖4圖4第29頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日解第30頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日解第31頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日第32頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日第33頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日解第34頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日第35頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日解在極系下：（如圖）第36頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日o2aD第37頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日解第38頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日計算二重積分應(yīng)該注意以下幾點：

先要考慮積分區(qū)域的形狀，看其邊界曲線用直系方程表示簡單還是極系方程表示簡單，其次要看被積函數(shù)的特點，看使用極坐標后函數(shù)表達式能否簡化并易于積分。首先，選擇坐標系。其次，化二重積分為二次積分。

根據(jù)區(qū)域形狀和類型確定