2021年江蘇省無(wú)錫市第二高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若，且，則為（

）

A. B. C. D.參考答案：D略2.下列函數(shù)中，偶函數(shù)的個(gè)數(shù)是(

)A．3

B．2

C．1

D．0參考答案：C略3.設(shè)變量x，y滿足約束條件，則的最大值是A．7 B．8 C．9

D．10參考答案：C4.函數(shù)在（0，1）上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）

A．

B．（1，2）

C．

D．參考答案：C略5.已知中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C1與雙曲線C2有共同的焦點(diǎn)，設(shè)左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形，若橢圓與雙曲線的離心率分別為e1，e2，則e1·e2的取值范圍是(A)(，+)

(B)(，+)

(C)(，+)

(D)(0，+)參考答案：C6.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(0，3)內(nèi)是增函數(shù)的是A.y=B.y=cosx

C.y=D.y=x＋x－1參考答案：A故函數(shù)為偶函數(shù)，故函數(shù)在（0,3）為增函數(shù)，故A正確；y=cosx和y=x＋x－1奇函數(shù)，故B，D錯(cuò)；y=為偶函數(shù)，但是在(0，3)內(nèi)是減函數(shù).7.若,則下列不等式成立的是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D8.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則的最小值是A7

B

C8

D參考答案：D略9.已知全集，，，則等于A．

B．

C．

D．參考答案：C試題分析：，，故答案為C.考點(diǎn)：集合的基本運(yùn)算.10.設(shè)偶函數(shù)對(duì)任意都有，且當(dāng)時(shí)，，則（）A．10B．C．D．參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知F是拋物線的焦點(diǎn)，M、N是該拋物線上的兩點(diǎn)，，則線段MN的中點(diǎn)到軸的距離為_(kāi)_________.參考答案：略12.展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________.

參考答案：略13.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的值為

參考答案：略14.已知四棱錐P﹣ABCD的外接球?yàn)榍騉，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD=2，AB=4，則球O的表面積為． 參考答案：【考點(diǎn)】球的體積和表面積． 【分析】設(shè)ABCD的中心為O′，球心為O，則O′B=BD=，設(shè)O到平面ABCD的距離為d，則R2=d2+（）2=22+（﹣d）2，求出R，即可求出四棱錐P﹣ABCD的外接球的表面積． 【解答】解：取AD的中點(diǎn)E，連接PE，△PAD中，PA=PD=AD=2，∴PE=， 設(shè)ABCD的中心為O′，球心為O，則O′B=BD=， 設(shè)O到平面ABCD的距離為d，則R2=d2+（）2=22+（﹣d）2， ∴d=，R2=， 球O的表面積為s=． 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查四棱錐P﹣ABCD的外接球的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求出四棱錐P﹣ABCD的外接球的半徑是關(guān)鍵． 15.已知函數(shù)f（x）=，若直線y=m與函數(shù)f（x）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

．參考答案：（0，1）考點(diǎn)：函數(shù)的圖象與圖象變化．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：根據(jù)題意可以令f（x）=|x﹣1|﹣|x|+|x+1|，y=m，可以分別畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解；解答： 解：分別畫(huà)出函數(shù)f（x）和y=m的圖象，∵要使f（x）的圖象與y=m的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，如上圖直線y=m應(yīng)該在x軸與虛線之間，∴0＜m＜1，故答案為：（0，1）點(diǎn)評(píng)：本題考查了方程根與函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系，也涉及了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解，就會(huì)比較簡(jiǎn)單；16.已知，，都在球面上，且在所在平面外，，，，，在球內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在三棱錐內(nèi)的概率為

．參考答案：

17.

設(shè)的二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為t，其二項(xiàng)式系數(shù)之和為h，若h+t=272，則二項(xiàng)展開(kāi)式為x2項(xiàng)的系數(shù)為

。參考答案：答案：1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）

已知m、x∈R，向量．（1）當(dāng)m>0時(shí)，若，求x的取值范圍；（2）若·>l－m對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求m的取值范圍．參考答案：19.（本題滿分14分）設(shè)函數(shù)（其中無(wú)理數(shù)．(I)若函數(shù)的圖象在處的切線與直線平行，求實(shí)數(shù)a的值，并求此時(shí)函數(shù)的值域；(II)證明：；(III)設(shè)，若對(duì)于任意給定的，方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，參考答案：解證：（Ⅰ），……………1分因?yàn)楹瘮?shù)的圖像在處的切線與直線平行，所以，解得．…………２分此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)．由此可知，當(dāng)時(shí)取得極大值（同時(shí)也是最大值）．所以函數(shù)的值域?yàn)?

……………………3分（Ⅱ）要證，只需要證明即可.也就是要證明因?yàn)椋?）：；

………………5分（2）：，下面證明，即要證明，不妨設(shè)，令，因?yàn)椋?，僅當(dāng)時(shí)，所以在上是減函數(shù)，，也就是，即．結(jié)合（1），（2）可知，因此.

……8分（Ⅲ），所以，時(shí)，是增函數(shù)；時(shí)，，是減函數(shù)．因此.…………9分令，，若在無(wú)解，則在上是單調(diào)函數(shù)，不合題意；所以在有解，且易知只能有一個(gè)解．………10分設(shè)其解為，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)．因?yàn)?，方程在?nèi)有兩個(gè)不同的根，所以,且．由，即，解得．

………………11分由，即，．因?yàn)?，所以，代入，?設(shè)，，所以在上是增函數(shù)，而，由可得，得．…………………12分由是增函數(shù)，得．

……13分綜上所述.

…………14分20.（本小題滿分13分）已知橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(－2，－1)，離心率為．過(guò)點(diǎn)M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別與橢圓C交于異于M的另外兩點(diǎn)P、Q．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）試判斷直線PQ的斜率是否為定值，證明你的結(jié)論．參考答案：（Ⅱ）記P(x1，y1)、Q(x2，y2)．由題意知，直線MP、MQ的斜率存在．設(shè)直線MP的方程為y＋1＝k(x＋2)，與橢圓C的方程聯(lián)立，得(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，因此直線PQ的斜率為定值．……………13分【題文】（本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，；（Ⅲ）證明：對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在，使得當(dāng)，恒有.【答案】【解析】（Ⅰ）方法一：，………1分1

當(dāng)時(shí)，，所以.………2分

②當(dāng)時(shí)，由，得.若，則；若，則.………………3分所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以.………………………4分當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.…………………5分當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以.綜上可知，當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)時(shí)，的最小值為………6分方法二：，………1分因?yàn)椋裕?

當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以.的最小值為；………2分2

當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.的最小值為；…………4分3

當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以.的最小值為………5分綜上可知，當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)時(shí)，的最小值為………6分（Ⅱ）令,則.………7分由（I）得,………8分故在R上單調(diào)遞增,又,因此,當(dāng)時(shí),,即.

………9分（III）①若,則.又由（II）知，當(dāng)時(shí),.所以當(dāng)時(shí),.取,當(dāng)時(shí)，恒有.………………10分②若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，則只要,即成立.………………11分令,則.………………12分所以當(dāng)時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞增.取,所以在內(nèi)單調(diào)遞增.又.易知.所以.即存在,當(dāng)時(shí)，恒有.綜上，對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在,當(dāng)時(shí),恒有.…………14分【或用下列方式】②若,則,要使不等式成立，則只要,即成立.……11分令,則.………………12分所以當(dāng)時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞增.取,所以在內(nèi)單調(diào)遞增.又.易知.所以.即存在,當(dāng)時(shí)，恒有.綜上，對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在,當(dāng)時(shí),恒有.…………14分方法二：對(duì)任意給定的正數(shù)，取由（II）知，當(dāng)時(shí)，，所以……11分當(dāng)時(shí)，因此，對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在,當(dāng)時(shí),恒有.………14分21.已知a1，a2，…，an是由m（n∈N*）個(gè)整數(shù)1，2，…，n按任意次序排列而成的數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn=n+1﹣ak（k=1，2，…，n）．（1）當(dāng)n=3時(shí)，寫(xiě)出數(shù)列{an}和{bn}，使得a2=3b2；（2）證明：當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，不存在滿足ak=bk（k=1，2，…，n）的數(shù)列{an}；（3）若c1，c2，…，cn是1，2，…，n按從大到小的順序排列而成的數(shù)列，寫(xiě)出ck（k=1，2，…，n），并用含n的式子表示c1+2c2+…+ncn．（參考：12+22+…+n2=n（n+1）（2n+1））參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列的應(yīng)用．【專題】綜合題；函數(shù)思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法．【分析】（1）取n=3，可得數(shù)列{an}，結(jié)合bk=n+1﹣ak求得數(shù)列{bn}，驗(yàn)證a2=3b2得答案；（2）若ak=bk，則有ak=n+1﹣ak（k=1，2，…，n），得到，由n為正偶數(shù)，得n+1為大于1的正奇數(shù)，故不為正整數(shù)，結(jié)合a1，a2，…，an是均為正整數(shù)，說(shuō)明不存在滿足ak=bk（k=1，2，…，n）的數(shù)列{an}；（3）由題意可得，ck=n﹣（k﹣1）=（n+1）﹣k，然后利用數(shù)列的分組求和得答案．【解答】（1）解：當(dāng)n=3時(shí)，數(shù)列{an}為：1，2，3；1，3，2；2，1，3；2，3，1；3，1，2；3，2，1．當(dāng){an}為：1，2，3時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的{bn}為：3，2，1，不滿足題意；依次可得滿足題意的數(shù)列{an}和{bn}分別為：{an}：1，3，2，{bn}：3，1，2；或{an}：2，3，1，{bn}：2，1，3．（2）證明：若ak=bk（k=1，2，…，n），則有ak=n+1﹣ak（k=1，2，…，n），于是，當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，n+1為大于1的正奇數(shù)，故不為正整數(shù)，∵a1，a2，…，an是均為正整數(shù)，∴不存在滿足ak=bk（k=1，2，…，n）的數(shù)列{an}；（3）解：由題意可得，ck=n﹣（k﹣1）=（n+1）﹣k，∴Sn=c1+2c2+…+ncn=[（n+1）﹣1]+2[（n+1）﹣2]+…+n[（n+1）﹣n]=（1+2+…+n）（n+1）﹣（12+22+…+n2）==．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列遞推式，考查了數(shù)