2021年江蘇省蘇州市中學(xué)園區(qū)校高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上存在點(diǎn)P使，則該橢圓的離心率的取值范圍為（

）

A.（0，

B.（）

C.（0，）

D.（，1）參考答案：D略2.已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則的取值范圍是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：D3.設(shè)是上的任意函數(shù)，下列敘述正確的是（）Ａ．是奇函數(shù)

Ｂ．是奇函數(shù)Ｃ．是偶函數(shù)

Ｄ．是偶函數(shù)參考答案：答案：C解析：A中則，即函數(shù)為偶函數(shù)，B中，此時(shí)與的關(guān)系不能確定，即函數(shù)的奇偶性不確定，C中，，即函數(shù)為奇函數(shù)，D中，，即函數(shù)為偶函數(shù)，故選擇答案C。4.已知直線過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱(chēng)軸垂直。與C交于A,B兩點(diǎn)，=12，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則ABP的面積為（A）18

（B）24

（C）36

（D）48參考答案：C本題主要考查了拋物線的方程和性質(zhì)，難度較小.設(shè)拋物線的方程為，則焦點(diǎn)坐標(biāo)，，令，得，則，所以p=6又因拋物線的準(zhǔn)線到AB的距離為p,所以.故選C.5.已知非零向量、滿足向量與向量的夾角為，那么下列結(jié)論中一定成立的是

A． B． C． D．【解析】因?yàn)橄蛄颗c向量的夾角為，所以，即，所以，即，選A.參考答案：6.已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且x＞0時(shí)，f（x）=（x﹣2）（x﹣3）+0.02，則關(guān)于y=f（x）在R上零點(diǎn)的說(shuō)法正確的是（）A．有4個(gè)零點(diǎn)其中只有一個(gè)零點(diǎn)在（﹣3，﹣2）內(nèi)B．有4個(gè)零點(diǎn)，其中兩個(gè)零點(diǎn)在（﹣3，﹣2）內(nèi)，兩個(gè)在（2，3）內(nèi)C．有5個(gè)零點(diǎn)都不在（0，2）內(nèi)D．有5個(gè)零點(diǎn)，正零點(diǎn)有一個(gè)在（0，2）內(nèi)，一個(gè)在（3，+∞）內(nèi)參考答案：C考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．專(zhuān)題：壓軸題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：本題可以先從函數(shù)圖象右側(cè)入手借助于圖象或性質(zhì)找到其零點(diǎn)，然后根據(jù)奇函數(shù)特性f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，故f（0）=0，加上奇函數(shù)對(duì)稱(chēng)性應(yīng)用即可以找到所有零點(diǎn)位置解答：解：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可以我分三種情況研究（1）x＞0的情況，f（x）是把拋物線y=（x﹣2）（x﹣3）（與x軸交點(diǎn)為2，3）向上平移了0.02，則與x軸交點(diǎn)變到（2，3）之間了．所以在（2，3）之間有兩個(gè)零點(diǎn)．另法：直接解方程（x﹣2）（x﹣3）+0.02=0得兩根也可以得兩根為，都在（2，3）之間（2）當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=﹣（x+2）（x+3）﹣0.02，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性（﹣3，﹣2）之間也有兩個(gè)零點(diǎn)（3）f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，故f（0）=0（奇函數(shù)特性）所以有五個(gè)零點(diǎn)．故選C選項(xiàng)點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生靈活運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)和運(yùn)用奇函數(shù)性質(zhì)的能力，以及利用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的能力．其中f（0）=0是本題易出錯(cuò)點(diǎn)，特別要注意7.在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為 （

）A．-240

B．-60

C．60

D．240參考答案：D8.一束光線從點(diǎn)出發(fā)經(jīng)軸反射到圓C：上的最短路程是

（

）A.4

B.

C.

5

D.參考答案：A略9.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍(

)A．（0，1] B．（0，1） C．[1，+∞） D．（0，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性確定a的取值范圍．【解答】解：∵當(dāng)時(shí)，y=tanx，單調(diào)遞增，∴要使f（x）在（﹣）上單調(diào)遞增，如圖的示意圖則，即，解得0＜a≤1．故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1]．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，要保證分段函數(shù)滿足單調(diào)遞增，同時(shí)兩個(gè)函數(shù)在端點(diǎn)處的函數(shù)值也存在一定的大小關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想去解決．10.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則（

）

A.

B.

C.

D.10．已知，若，使得f(x1)≥g(x2)

則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．∪參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知船在燈塔北偏東處，且船到燈塔的距離為2km，船在燈塔北偏西處，、兩船間的距離為3km，則B船到燈塔的距離為_(kāi)___________km。參考答案：由題意知，,,設(shè)B船到燈塔的距離為，即，由余弦定理可知，即，整理得，解得（舍去）或。12.已知數(shù)列滿足，則的前項(xiàng)和等于

．參考答案：13.觀察以下等式： 參考答案：14.若復(fù)數(shù)z滿足2－3=1+5i（i是虛數(shù)單位），則_____________．參考答案：15.在中，所對(duì)的邊分別為，若，則面積的最大值為

．參考答案：試題分析：，而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)考點(diǎn)：基本不等式求最值【易錯(cuò)點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.16.定義在R上的偶函數(shù)f(x)在為減函數(shù)，滿足不等式f(3－2a)＜f(a－3)的a的集合為_(kāi)_______．參考答案：17.函數(shù)，若，則x=________．參考答案：1【分析】對(duì)從外到內(nèi)進(jìn)行求解，先令f（x）＝t，則f（t）＝10，求解t，再由f（x）＝t，求解x，得到結(jié)果．【詳解】∵函數(shù)，，令f（x）＝t，則f（t）＝10，∴當(dāng)t≤0時(shí)，f（t）＝t2+1＝10，解得t＝﹣3或t＝3（舍）；當(dāng)t＞0時(shí)，f（t）＝﹣2t＝10，解得t＝﹣5，不合題意．∴t＝﹣3．∴f（x）＝-3，又，∴只能，解得x=1，符合，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)值的求法，解題時(shí)要注意每一段中x的范圍，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)M、N、T是橢圓+=1上三個(gè)點(diǎn)，M、N在直線x=8上的攝影分別為M1、N1．（Ⅰ）若直線MN過(guò)原點(diǎn)O，直線MT、NT斜率分別為k1，k2，求證k1k2為定值．（Ⅱ）若M、N不是橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，點(diǎn)L坐標(biāo)為（3，0），△M1N1L與△MNL面積之比為5，求MN中點(diǎn)K的軌跡方程．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）設(shè)M（p，q），N（﹣p，﹣q），T（x0，y0），則h1h2=，又即可得h1h2（Ⅱ）設(shè)直線MN與x軸相交于點(diǎn)R（r，0），根據(jù)面積之比得r即直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（2，0）．設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），K（x0，y0）分①當(dāng)直線MN垂直于x軸時(shí)，②當(dāng)直線MN與x軸不垂直時(shí)，設(shè)MN的方程為y=k（x﹣2）x0=．消去k，整理得（x0﹣1）2+=1（y0≠0）．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)M（p，q），N（﹣p，﹣q），T（x0，y0），則h1h2=，…（2分）又兩式相減得，即h1h2==﹣，…（…（Ⅱ）設(shè)直線MN與x軸相交于點(diǎn)R（r，0），s△MNL=×|r﹣3|?|yM﹣yN|=|．由于△M1N1L與△MNL面積之比為5且|yM﹣yN|=|，得=5，r=4（舍去）或r=2．…（8分）即直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（2，0）．設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），K（x0，y0）①當(dāng)直線MN垂直于x軸時(shí)，弦MN中點(diǎn)為F（2，0）；…（9分）②當(dāng)直線MN與x軸不垂直時(shí)，設(shè)MN的方程為y=k（x﹣2），則聯(lián)立．?（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0．…（10分）x0=．消去k，整理得（x0﹣1）2+=1（y0≠0）．綜上所述，點(diǎn)K的軌跡方程為（x﹣1）2+=1（x＞0）．…（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軌跡方程的求法，及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．19.（本小題滿分13分）已知函數(shù).（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若對(duì)任意及時(shí)，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：解:（Ⅰ）

………2分①當(dāng)時(shí)，恒有，則在上是增函數(shù)；………4分②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，則在上是減函數(shù)…6分綜上，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).…………………7分(Ⅱ)由題意知對(duì)任意及時(shí)，恒有成立，等價(jià)于因?yàn)?，所以由（Ⅰ）知：?dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)所以…………………10分所以，即因?yàn)?，所以………………?2分所以實(shí)數(shù)的取值范圍為

………13分

略20.如圖，在直三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為的中點(diǎn)，側(cè)棱，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.參考答案：解：（1）∵是等邊三角形，為的中點(diǎn)，∴，∴平面，得.①在側(cè)面中，，，∴，∴，∴.②結(jié)合①②，又∵，∴平面，又∵平面，∴平面平面（2）解法一：如圖建立空間直角坐標(biāo)系.則，，.得，，設(shè)平面的法向量，則即得取.同理可得，平面的法向量∴則二面角的余弦值為.解法二：由（1）知平面，∴，.∴即二面角的平面角在平面中，易知，∴，設(shè)，∵∴，解得.即，∴則二面角的余弦值為.21.已知函數(shù)．(Ⅰ)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求證：．參考答案：（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析.【分析】(Ⅰ)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．(Ⅱ)將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),研究函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【詳解】解：(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),在上恒成立．函數(shù)在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),由得,由得,的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,綜上,當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞減區(qū)間為,無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間,當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為．(II)證明：,,即,欲證．即證明,令,則,顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增,,即,在上單調(diào)遞增,時(shí),,即,當(dāng)時(shí),成立．

22.選修4﹣1：幾何證明選講如圖，已知PA是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，直線PO交⊙O于B、C兩點(diǎn)，D是OC的中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，若PA=2，∠APB=30°．（Ⅰ）求∠AEC的大??；（Ⅱ）求AE的長(zhǎng)．參考答案：【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段．【分析】（Ⅰ）先連接AB，根據(jù)切線的性質(zhì)以及已知條件得到：∠AOB=60°