2021年湖南省婁底市茅塘中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)，若，且函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線對稱，則以下結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)f（x）的最小正周期為B．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．函數(shù)f（x）在區(qū)間上是增函數(shù)D．由y=2cos2x的圖象向右平移個(gè)單位長度可以得到函數(shù)f（x）的圖象參考答案：D【考點(diǎn)】H2：正弦函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)函數(shù)，求出φ，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線對稱，可得ω的值，求出了f（x）的解析式，依次對各選擇判斷即可．【解答】解：函數(shù)，∵，即2sinφ=，∵φ∴φ=又∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線對稱，∴，k∈Z．可得ω=12k﹣10，∵0＜ω＜12．∴ω=2．∴f（x）的解析式為：f（x）=2sin（2x﹣）．最小正周期T=，∴A不對．當(dāng)x=時(shí)，可得y≠0，∴B不對．令﹣2x﹣，可得，∴C不對．函數(shù)y=2cos2x的圖象向右平移個(gè)單位，可得2cos2（x﹣）=2cos（2x﹣）=2sin（2x﹣）=2sin（2x﹣）．∴D項(xiàng)正確．故選D2.已知全集U={1，2，3，4，5}，A∩?UB={1，2}，?U（A∪B）={4}，則集合B為（）A．{3} B．{3，5} C．{2，3，5} D．{1，2，3，5}參考答案：B【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【專題】集合．【分析】利用已知條件求出A∪B，通過A∩?UB={1，2}，即可求出B．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，?U（A∪B）={4}，可得A∪B={1，2，3，5}∵A∩?UB={1，2}，∴A={1，2，3}，則B={3，5}．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查集合的基本運(yùn)算，交、并、補(bǔ)的求法，考查計(jì)算能力．3.設(shè)集合，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略4.已知全集，集合，則為（

）A．

B．

C．{0，1}

D．

參考答案：B5.已知函數(shù)，，其圖像相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且函數(shù)是偶函數(shù)，則下列判斷正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為2π

B．函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱

C.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱

D．函數(shù)在上單調(diào)遞增參考答案：D試題分析：由題圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，則；,又函數(shù)是偶函數(shù)，可知；則得；A錯(cuò)誤，B，圖像對稱點(diǎn)橫坐標(biāo)為；錯(cuò)誤；C，圖像的對稱直線方程為；，錯(cuò)誤；D，函數(shù)的增區(qū)間為；為它的子集。正確。

6.一個(gè)幾何體的三視圖及尺寸如圖所示，則該幾何體的體積為（）A.48

B.72

C.12

D.24

參考答案：D7.復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為M，則“a=-1”是“點(diǎn)M在第四象限”的

A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A略8.函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．－1 B．1 C．2 D．3參考答案：D∵函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)∴方程在上有且只有一個(gè)根，即在上有且只有一個(gè)根令，則.當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增.∴由題意可知，若使函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則.故選D.點(diǎn)睛：利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法：(1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解；(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.

9.若a＞b＞1，P=，則(

)A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q參考答案：B【考點(diǎn)】基本不等式．【專題】計(jì)算題．【分析】由平均不等式知．．【解答】解：由平均不等式知．同理．故選B．【點(diǎn)評】本題考查均值不等式的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．10.設(shè)集合是

A．{3，0}

B．{3，2，0}

C．{3，1，0}

D．參考答案：C因?yàn)椋?，即，所以，所以，即，所以，選C.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，成等差數(shù)列，則數(shù)列的公比

．參考答案：212.如圖，圓O的割線PAB交圓O于A、B兩點(diǎn)，割線PCD經(jīng)過圓心O．已知PA=AB=2，PO=8．則BD的長為

．參考答案：

【知識點(diǎn)】切割線定理N1解析：連接BO,設(shè)圓的半徑為，由切割線定理可得，解得，在中根據(jù)余弦定理，所以，所以再次利用余弦定理有,所以,故答案為?！舅悸伏c(diǎn)撥】連接BO,設(shè)圓的半徑為，先由切割線定理解得，再利用余弦定理求出，則，再次利用余弦定理可得結(jié)果。13.在曲線xy=1上，橫坐標(biāo)為的點(diǎn)為An，縱坐標(biāo)為的點(diǎn)為Bn，記坐標(biāo)為（1，1）的點(diǎn)為M，Pn（xn，yn）是△AnBnM的外心，Tn是{xn}的前n項(xiàng)和，則Tn=

．參考答案：考點(diǎn)：數(shù)列的求和．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由已知可得An，Bn，則線段AnBn的垂直平分線為y=x．可得線段AnM的垂直平分線為：=，把y=x代入解得xn．再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．解答： 解：由已知可得An，Bn，則線段AnBn的垂直平分線為y=x．線段AnM的垂直平分線為：=，把y=x代入解得xn=2+．∴{xn}的前n項(xiàng)和Tn=2n++…+=2n+=2n+=．故答案為：．點(diǎn)評：本題考查了線段的垂直平分線及其性質(zhì)、三角形的外心、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．14.對于任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.參考答案：略15.某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動(dòng)，則恰好選中2名女生的概率為

▲

．參考答案：分析：先確定總基本事件數(shù)，再從中確定滿足條件的基本事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.詳解：從5名學(xué)生中抽取2名學(xué)生，共有10種方法，其中恰好選中2名女生的方法有3種，因此所求概率為.

16.設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)=

．參考答案：﹣4﹣3i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)得答案．【解答】解：=，故答案為：﹣4﹣3i．17.若變量滿足約束條件則的最小值為

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知雙曲線的右頂點(diǎn)為A（2，0），一條漸近線為過點(diǎn)B（0，2）且斜率為k的直線l與該雙曲線交于不同的兩點(diǎn)P，Q。

（I）求雙曲線的方程及k的取值范圍；

（II）是否存在常數(shù)k，使得向量垂直？如果存在，求k的值；如果不存在，請說明理由。參考答案：略19.（本題滿分12分）已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是、邊長為的菱形，又，且PD=CD，點(diǎn)M、N分別是棱AD、PC的中點(diǎn)．（1）證明：DN//平面PMB；（2）證明：平面PMB平面PAD；（3）求點(diǎn)A到平面PMB的距離．參考答案：（1）證明：取PB中點(diǎn)Q，連結(jié)MQ、NQ，

因?yàn)镸、N分別是棱AD、PC中點(diǎn)，所以QN//BC//MD，且QN=MD，于是DN//MQ..…

…4分（2）又因?yàn)榈酌鍭BCD是、邊長為的菱形，且M為AD中點(diǎn)，所以.又所以.………………8分（3）因?yàn)镸是AD中點(diǎn)，所以點(diǎn)A與D到平面PMB等距離.過點(diǎn)D作于H，由（2）平面PMB平面PAD，所以.故DH是點(diǎn)D到平面PMB的距離.所以點(diǎn)A到平面PMB的距離為.………12分20.已知，，其中是自然常數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求的極值，并證明恒成立；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使的最小值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.參考答案：(1)詳見解析;(2).試題分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出f（x）的極小值，令，求出h（x）的最大值，從而證出結(jié)論即可；（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)f（x）的最小值，求出a的值即可．（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使有最小值，.①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，（舍去），∴時(shí)，不存在使的最小值為3.②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，，滿足條件.③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，（舍去），∴時(shí)，不存在使的最小值為.綜上，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有最小值.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，涉及到不等式恒成立的證明和探索是否存在實(shí)數(shù)a,使有最小值，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，合理地運(yùn)用分類討論思想進(jìn)行解題.21.甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們的培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成中隨機(jī)抽取8次，記錄如下甲：82，91，79，78，95，88，83，84；乙：92，95，80，75，83，80，90，85．（1）畫出甲、乙兩位學(xué)生成績的莖葉圖；（2）現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度，你認(rèn)為派哪位學(xué)生參加合請說明理由．（3）若將頻率視為概率，對學(xué)生甲在今后的三次數(shù)學(xué)競賽成績進(jìn)行預(yù)測，記這三次成績中高于80分的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．參考答案：【考點(diǎn)】莖葉圖；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（1）用莖葉圖表示兩組數(shù)據(jù)，首先要先確定“莖”值，再將數(shù)據(jù)按“莖”值分組分類表示在“葉”的位置．（2）選派學(xué)生參加大型比賽，根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)選派的方法也不一樣①是要尋找成績優(yōu)秀的學(xué)生，就要分析兩名學(xué)生的平均成績②若平均成績相等，再由莖葉圖或是由方差（標(biāo)準(zhǔn)差）分析出成績相比穩(wěn)定的學(xué)生參加③為了追求高分產(chǎn)生的概率，也可以從高分產(chǎn)生的概率方面對兩人進(jìn)行比較．（3）數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，可先由給定數(shù)據(jù)列出分布列，再根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式給出結(jié)果．【解答】解：（1）莖葉圖如圖

（2）方法一：（根據(jù)成績穩(wěn)定的優(yōu)秀學(xué)生參加原則）==85，但S甲2＜S乙2所以選派甲合適方法二：（根據(jù)高分產(chǎn)生概率高的學(xué)生參加原則）假設(shè)含9為高分，則甲的高分率為，乙的高分率為，所以派乙合適．或：假設(shè)含8為高分，則甲的高分率為，乙的高分率為，所以派乙合適．（3）甲高于8的頻率為ξ的可能取值為0、1、2、3∵，∴，（k=