ππ在kπ，22ππ在kπ，22π第2課時

正、弦數(shù)單性最學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握y＝sin，＝cosx的大值與最小值，并會求簡單三角函數(shù)的值域和最值重點點)2.掌＝sinxx的單調(diào)性利用單調(diào)性比較大小點3.會求函數(shù)y＝sin(x＋φ)及＝Acos(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間(點、易混點[自主預(yù)習(xí)·新知解析式圖象

y＝x＝cosx值域[－

[－1,1]單調(diào)性

在＋π，2遞增，3π＋22

＋π∈上＋kπ，∈上

在－＋k，kπ]，∈遞增，在2π，π＋kπ]，∈上遞最值

遞減πx＝＋πk∈Z時＝＝－π＋k，∈時＝1

x＝kπ∈Z時＝＝π＋2π，Z時y＝－1思考：＝sinx＝cosx在間，)(中＜＜＜π)都是減函數(shù)，你能確定、的值？π[提示]由弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性可知＝，＝π2[基礎(chǔ)自測]1．思考辨析(1)＝sinx在0，π)上是函數(shù)()(2)cos1＞cos2＞cos3.()1π(3)函數(shù)y－sin，∈22

的最大值為0.()[解析](1)錯．＝sinx在數(shù)，在，函數(shù)．(2)正確．＝cos在π)上減函數(shù)，且0＜＜＜＜π，以cos＞＞cos3.

xk∈Z2max＋ππxk∈Z2max＋ππ＋x＋的單調(diào)遞增區(qū)間是＋，＋π1π(3)正確．函數(shù)y＝－x在∈22

上為減函數(shù)，故當(dāng)＝，取最大值0.[答案](1)×(2)√(3)√2．函數(shù)y2－取最大值時x的取值集合________．π＝－，

[當(dāng)sin1時，＝2－－1)＝，π此時＝2π－，∈23．若cosx＝－有意，則的值范圍________．[0,2][因為－1≤cos≤1，要使cosxm－有義，須有－≤－1≤1所以0≤m[合作探究·重難正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性(1)函數(shù)ycosx在區(qū)[－π，]上為增函數(shù)，則a的取值范圍是．(2)已知函數(shù)fx)＝2sin2＋，函數(shù)(的單調(diào)遞增區(qū)間．[思路探究1.確定a的范→＝x在區(qū)[－π上為增函數(shù)→＝cosx在間－，上是增函數(shù)，在區(qū)[0，π上是減函數(shù)的圍．π2．確定增區(qū)間→令＝＋x→＝2sinu的調(diào)遞增區(qū)間．4(1)(－π0]

[(1)因y＝在－π，上是增函數(shù)，[0π]上是減函數(shù)，所以只有－＜≤0時滿足條件，故∈－π，．(2)令＝＋x數(shù)y＝2sin的調(diào)遞增區(qū)間為＋π，＋kπ42πππ由－＋k≤＋x≤＋kπ，2423π得－＋π≤≤＋π，∈88

∈，所以函數(shù)fx＝2sin

ππ88

，∈Z.[規(guī)律方法1.求形如＝sin(＋φ)＋或如＝cos(ωx＋)(其中≠0ω>0，為數(shù)的數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以借助于正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間通過解不等式求得．2．具體求解時注意兩點：①要ω＋φ看一個整體，若ω<0先用誘導(dǎo)公式將式

ππ－＋，π＋πππππ－＋，π＋πππ－2(2)＝cos子變形，將x的數(shù)化為正；②在>0，>0時將“ωx＋φ”入正或余弦函的單調(diào)區(qū)間可解得與之單調(diào)性致的單調(diào)區(qū)間Aω>0時樣方法可以求得與正弦(余弦函數(shù)單調(diào)性相反的單調(diào)區(qū)．提醒：合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的規(guī)律．[跟蹤訓(xùn)練1．(1)函y＝sin，63

的單調(diào)遞減區(qū)間為________．(2)已知函數(shù)y＝cos2，它的單調(diào)減間________π2ππ(1)，393π2π(2)63

ππ3(∈Z)[(1)由＋π≤3＋≤＋k(∈，262π2π4π2π得＋≤≤＋(∈Z)9393又∈，3

，所以函數(shù)ysin6πππ2πx∈，遞區(qū)間，－，3393

.＝cos3

，π由2π≤2－≤2π＋π，∈Z3π2ππ2π得π＋≤≤π＋，∈，∴調(diào)遞減區(qū)間＋，k＋636利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小利用三角函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

(∈．ππ(1)sin18

；(2)sin196°與cos156°；2317(3)cosπ【學(xué)：84352095】5

23172317[思路探究

用誘導(dǎo)公式化簡→

利用函數(shù)的單調(diào)性由自變量的大小推出對應(yīng)函數(shù)值的大小πππ[解](1)∵＜－＜＜，210182ππ∴sin1810

.(2)sin196°＋16°)－sin16°，cos156°－24°)＝－cos＝－sin66°，∵0°＜16°＜66°＜90°，∴sin16°＜sin66°從而－sin16°－sin66°即sin196°＞cos23(3)cosπ5

23＝cosπ53＝cos＋π5

3＝cosπ，51717cosππ44π＝cos＋4

π＝cos.4π3∵＜＜π＜π，＝cos在0，π上是減函數(shù)，453π∴cosπ＜cos，54即π5

.[規(guī)律方法三角函數(shù)值大小比較的策略πππ1利誘導(dǎo)公式，對于正弦函數(shù)來說，一般將兩個角轉(zhuǎn)化，，22內(nèi)；對于余弦函數(shù)來說，一般將兩個角轉(zhuǎn)化[－，或0，π內(nèi)不同名的函數(shù)化為同名的函數(shù)自變量不在同一單調(diào)區(qū)間化至同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，借助正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性來比較大小[跟蹤訓(xùn)練2．(1)已α，β為角三角形的兩個內(nèi)角，則以下結(jié)論正確的()

，而0＜－＜＜且ysinx在π，而0＜－＜＜且ysinx在πππA．α＜C．α＜(2)比較下列各組數(shù)的大?。?514π①cos，；cos1sin1.89

B．cos＜D．cos＞cosβπππ(1)B[(1)αβ為角三角形的兩個內(nèi)角＋β＞α＞－βα∈222

，π－∈22

，所以cosα＜cos－.]15π14π4π4π(2)①＝，＝cos，因為0＜＜＜，而y＝x在0，889989π]上單調(diào)遞減π4π所以cos＞，891514π即cos＞.89πππ②因為cos1＝－222所以sin－1，即cos1＜1.

上單調(diào)遞增，[探究問題1．函數(shù)ysin

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最值問題在∈[0，π]最小值是多少？ππ提示：為x∈，π]，所以＋∈，44

，由正弦函數(shù)圖象可知函數(shù)的最小值為－

22

.2．函數(shù)yAsinx＋，∈最大值一定是＋b嗎？提示：是．因為>0時大值為A＋，<0時最值應(yīng)為－A＋.(1)函數(shù)y＝cos＋2sinx－2，∈R的域________．(2)已知函數(shù)fx)＝sin＞．∈)的最大值為3，32最小值是－，a和的值【學(xué)號：】

ππ32π2ππ32π2155[思路探究先平方關(guān)系轉(zhuǎn)化，即＝sin

x，再將sinx看整體，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問題．(2)先x∈－的值范圍，再求sin223f()，()，方程組求解．(1)[－[(1)＝cosx2sin－＝－sin＋2sin－1＝(sin－1).因為－≤sin≤1，所以－≤≤0所以函數(shù)ycos＋2sinx－，∈的域為－4,0]．]π(2)≤≤，2ππ2∴－≤2－≤，333

π－3

的取值范圍，最后求∴－

32

π≤sin3

≤1，∴()＝a＋b＝3，f()＝－

32

a＋＝2.＝3，由a＋＝2，

a＝，得2＋3.母題探究：1.求本例1)中函數(shù)得最小值時的值集合．[解]因y＝cos

＋2sinx－＝－＋2sinx－＝－x－，所以當(dāng)sinx＝1時，＝4，此時的值集合為－，∈Z

2．將本例1)中函數(shù)改為ycos

x＋sinx，x∈結(jié)果如何？[解]＝cosx＋sin＝－x＋x＝－x－.245因為－≤sin≤1，所以－≤≤4所以函數(shù)ycos

x＋xx∈值域4[規(guī)律方法三角函數(shù)最值問題的常見類型及求解方法：(1)＝sinxbsinx＋(a，利用換元思想設(shè)＝sinx，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)yat

ππ[因為＝ππππππ[因為＝πππππ3＋求值的圍需要根據(jù)定義域來確定．(2)＝sin(xφ)＋b先定義域求得ωx＋的圍求得ω＋φ)的范圍，最后得最值．[當(dāng)堂達(dá)標(biāo)·雙基1．＝2cosx

的值域()A．[－C．[－

B．[0,2]D．R

[因為∈R，所以x≥0所以＝2cosx∈－2,2]．2．函數(shù)y－cos在間，22A．增函數(shù)C．先減后增函數(shù)

上是()B．減函數(shù)D．先增后減函數(shù)上先減后增]

cosx區(qū)間，上先增后減，所以＝－cosx在區(qū)，2223．函數(shù)ysinx≤≤________．65π1，1因為≤≤，所以≤sinx≤1，即所求的值域為1462215π4．________sin＞”或“＜7815ππ＞[sin＋8

π