數(shù)學課堂教學“問題串”設計的實踐探索

在數(shù)學教學中，教師應適當?shù)卦O計一系列的問題，以幫助學生尋找解決問題的途徑，從中發(fā)現(xiàn)數(shù)學的規(guī)律。波普爾指出：“知識的增長永遠始于問題，終于問題——愈來愈深化的問題，愈來愈能啟發(fā)大量新問題的問題?！边@就要求教師必須認真鉆研教材，挖掘習題的豐富內涵，精心設計“問題串”，激發(fā)學生的探究熱情。在這里，設計好的“問題串”是關鍵。好的“問題串”能搭起學生學習的“腳手架”，引導學生自主探究，從而突破教學的難點。下面，筆者將基于教學實踐，介紹一堂課“問題串”的設計，供廣大讀者參考。原題已知，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(1，1)，0為坐標原點（如圖1），試在坐標軸上找一點P，使△APO為等腰三角形，這樣的點P共有多少個？圖1如果讓學生直接完成此題，難度較大，學生往往不能考慮到所有的情況。因此，可以先把這個問題分解成若干個小問題組成“問題串”，再把“問題串”放入不同的模塊中（具體可分為基礎性問題模塊、結論性問題模塊、鞏固性問題模塊和發(fā)展性問題模塊）。這樣，一堂課由幾個模塊組成，一個模塊由幾個“問題串”組成，一個問題由幾個知識點組成，內容由淺入深，不同層次的學生都能參與到教學活動中，大大提高了教學效率。一、基礎性問題模塊設計此模塊中的問題應以基礎題為主，面向全體學生，問題的特征為低起點、難度逐步提高并具有啟發(fā)性。這些問題能起到開啟學生思維，激發(fā)學生學習興趣的作用，為后面的學習做好鋪墊。問題1頂角為45°的等腰三角形的底角的度數(shù)為多少？問題2底角為45°的等腰三角形的頂角的度數(shù)為多少？問題3有一個內角為45°的等腰三角形，它的另外兩個內角的度數(shù)為多少？對于問題1、問題2，學生普遍感到比較容易，很快就能說出正確的答案；問題3則具有一定的難度（需要分兩種情況考慮），但由于受前兩個問題的啟發(fā)，學生只要仔細分析，一般都能正確作答。接下來，教師繼續(xù)提問。問題4已知等腰三角形一個內角的度數(shù)，在什么情況下，能唯一確定其余兩個內角的度數(shù)？什么情況下，需要分兩種情況考慮？這時，通常會有許多學生回答：“當已知等腰三角形的頂角或一個底角時，能唯一確定其余兩個內角的度數(shù)；當已知等腰三角形的一個內角的度數(shù)時，需要分兩種情況來考慮。”對于這個回答，教師并沒有多作說明，還是繼續(xù)提出問題讓學生進一步思考。問題5已知等腰三角形的一個內角為135°，求其余兩個內角的度數(shù)。對于該問題，學生有兩種不同的答案：一種是這個135°的內角可能為頂角也可能為底角，所以應分兩種不同的情況考慮；另一種是只有一種情況，理由是這個135°的內角只能為頂角，不可能為底角，否則就不能組成三角形了。經(jīng)過分析、思考，第二種答案得到了全體學生的認可。這時，教師讓學生回顧剛才問題4的答案，學生都感到存在著缺陷，需要進一步修正。二、結論性問題模塊設計這個模塊中的問題應在前一模塊問題的基礎上產(chǎn)生，其特征是從特殊到一般，概括出規(guī)律性結論。對于這些問題的回答，需要學生經(jīng)過一定的思考，通過分析、綜合、概括、驗證等來對問題進行抽象，從而有助于培養(yǎng)學生的思維能力。問題6再次呈現(xiàn)問題4，讓學生解決。在前面問題的啟發(fā)下，大部分學生可以歸納出：當已知等腰三角形的一個內角為鈍角或60°時，能唯一確定其余兩個內角的度數(shù)；當已知等腰三角形的一個內角為銳角（不包括60°），并且沒有指出它是頂角還是底角時，需要分兩種情況考慮。（“當已知等腰三角形的一個內角為60°時，也能唯一確定其余兩個內角的度數(shù)”這一結論，是學生在教師的提示下補充進去的。）問題7已知等腰三角形的一條邊長和一個內角，能確定多少個等腰三角形？受問題6的啟發(fā)，學生經(jīng)過討論得到：已知邊長應分為兩種情況（底邊和腰長）；已知角應分為三種情況（鈍角、除60°以外的銳角和60°角）。結合問題6的結論，就能確定等腰三角形的個數(shù)（如表1）。表1從表1中可以得出，當已知等腰三角形的一條邊長和一個內角為鈍角時，能確定2個等腰三角形；當已知等腰三角形的一條邊長和一個內角為銳角（除60°外）時，能確定4個等腰三角形；當已知等腰三角形的一條邊長和一個內角為60°時，能確定1個等腰三角形，即等邊三角形。三、鞏固性問題模塊設計這個模塊中的問題，需要應用前面得出的結論，通過變式訓練，實施“多題一解”，以培養(yǎng)學生的思維能力和解決問題的能力。問題8已知等腰三角形的一個外角為45°。則它的三個內角度數(shù)分別為多少？有了前面通過分類討論來解決問題的方法的滲透，學生一般會對此問題分兩種情況加以討論：“當頂角的外角為45°時，這個頂角為135°；當?shù)捉堑耐饨菫?5°時，這個底角為135°?！钡R上就有學生提出反對：“因為底角不可能為135°，所以只有頂角為135°這一種可能?！边@時，教師“趁熱打鐵”，又提出問題。問題9已知等腰三角形的一個外角為135°，則它的三個內角的度數(shù)分別為多少？學生在問題8的基礎上不難回答，應分兩種情況加以討論。以上9個問題層層遞進，環(huán)環(huán)相扣，將學生引入問題的“深處”。問題10在一條直線上有一點O，線段OA的長為，它與這條直線的夾角為45°（如圖2）。試在這條直線上找一點P，使△APO為等腰三角形，這樣的點P共有多少個？圖2對于該問題的回答，學生普遍采用了分類討論的方法：這樣，共有4個點符合條件（如圖3）。圖3（“將45°角當作等腰三角形的一個外角，OA當作腰長”這種情況，是學生在教師的提示下補充進去的。）問題11呈現(xiàn)原題，讓學生解決。對于該問題的回答，關鍵要清楚坐標軸包括x軸和y軸，所以共有8個點符合條件。在問題10的基礎上，學生大多可以完整地回答出來。四、發(fā)展性問題模塊設計在這一模塊中，教師要設計一串具有拓展性和創(chuàng)新性的問題，使學生從中感悟數(shù)學思想方法，發(fā)展數(shù)學思維，并培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和實踐能力。問題12在問題11中，把OA繞原點O按逆時針方向繼續(xù)旋轉，當OA與x軸的夾角為60°時（如圖4），試在坐標軸上找一點P，使△APO為等腰三角形，這樣的點P共有多少個？圖4一些學生很快就回答說有8個點，但仔細思考后，發(fā)現(xiàn)實際上在x軸上只有2個點符合條件，在y軸上有4個點符合條件，因此共有6個符合條件的點。這個問題有別于問題11，因為此時線段OA與x軸成60°角，與y軸成30°角，根據(jù)前面的結論，即可得出正確的答案。問題13將OA繼續(xù)繞原點O在第一象限內按逆時針方向旋轉（如圖5），但不與y軸重合，試在坐標軸上找一點P，使△APO為等腰三角形，這樣的點P共有多少個？圖5此時OA與x軸和y軸的夾角均為銳角，因此在x軸和y軸上都能找到4個點符合條件。這樣，符合條件的點P共有8個。圖6教師除了自己設計“問題串”外，還要積極引導學生，鼓勵學生嘗試自己提出問題，只有這樣，學生才能獲得一個完整的體驗與思考的過程。這不僅是教學反饋的需要，還是培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的需要。本節(jié)課，在教師的鼓勵下，一名學生提出了這樣的問題。問題15根據(jù)表1中的結論，已知一條邊長為，一個內角為45°，應該可以確定4個等腰三角形，但在問題10中，為什么只找到了以45°角為內角的3個點，而不是4個點呢？應該說，學生是在深入思考后，才會提出這個問題的。經(jīng)過學生的分析、討論，得出了答案：因為OA與45°角是相鄰的，所以以45°角為頂角，以OA為底邊