第八章立體幾何初步8.6空間直線、平面的垂直8.6.1直線與直線垂直內(nèi)容索引學(xué)習(xí)目標(biāo)活動方案檢測反饋學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解兩條異面直線所成角的定義及兩條異面直線互相垂直的概念．2.掌握異面直線所成的角的計算方法．活動方案空間兩條直線的位置關(guān)系：活動一鞏固空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系共面情況公共點個數(shù)相交在同一平面內(nèi)有且只有一個平行在同一平面內(nèi)沒有異面不同在任何一個平面內(nèi)沒有思考1???分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線嗎？【解析】

不一定，可能異面、平行或相交．練習(xí)

在兩個相交平面內(nèi)各畫一條直線，使它們成為：(1)平行直線；(2)相交直線；(3)異面直線．【解析】

略思考2???如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，直線A′C′與直線AB，直線A′D′與直線AB都是異面直線，直線A′C′與A′D′相對于直線AB的位置相同嗎？如果不同，如何表示這種差異呢？活動二了解異面直線所成的角的概念【解析】

不同，我們可以用“異面直線所成的角”來刻畫兩條異面直線的位置關(guān)系．異面直線所成的角：定義前提兩條異面直線a，b作法經(jīng)過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b結(jié)論我們把直線a′與b′所成的角叫作異面直線a與b所成的角(或夾角)范圍記異面直線a與b所成的角為θ，則0°<θ

≤90°特殊情況當(dāng)θ＝90°時，異面直線a，b互相垂直，記作a⊥b例1已知ABCD－A1B1C1D1是棱長為a的正方體．(1)正方體中哪些棱所在的直線與直線BC1是異面

直線？(2)求異面直線AA1與BC所成的角的大??；(3)求異面直線BC1與AC所成的角的大?。窘馕觥?/p>

(1)與BC1是異面直線的有AA1，A1B1，A1D1，DA，DC，DD1.(2)因為DA∥BC，所以∠A1AD即為異面直線AA1與BC所成的角，所以異面直線AA1與BC所成的角為90°.(3)連接A1C1，A1B.因為AA1∥BB1∥CC1，AA1＝BB1＝CC1，所以四邊形AA1C1C是平行四邊形，所以AC∥A1C1，所以異面直線BC1與AC所成的角就是直線BC1與A1C1所成的角．因為A1B＝A1C1＝BC1，所以異面直線BC1與AC所成的角為60°.1.直線a與b所成的角的大小只由a，b的位置關(guān)系來確定，與點O的選擇無關(guān)，為了簡便，點O常取在兩條異面直線中的一條上．3.當(dāng)兩條異面直線a，b所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b.4.兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形．5.通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角．【解析】

如圖，連接CD1，AC.由題意得在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥CD1，所以∠AD1C(或其補(bǔ)角)為異面直線A1B和AD1所成的角．因為異面直線A1B和AD1所成的角為90°，所以∠AD1C＝90°.因為在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)面都是矩形，且AD＝DC，所以△ACD1是等腰直角三角形，例2如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O1為平面A1B1C1D1的中心．求證：AO1⊥BD.活動三兩條直線垂直【解析】

如圖，連接B1D1，AD1，AB1.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1∥DD1，

且BB1＝DD1.所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以B1D1∥BD，所以直線AO1與B1D1所成的角即為直線AO1與BD所成的角．易證AB1＝AD1，O1為B1D1的中點，所以AO1⊥B1D1，所以AO1⊥BD.證明兩條直線垂直的常用方法：1.利用平面幾何的結(jié)論，如矩形，等腰三角形的三線合一，勾股定理等．2.定義法：證明兩條直線的夾角是90°.3.利用一些事實：已知a∥b，若a⊥c，則b⊥c.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，P為A1B的中點，Q為棱C1C的中點，求證：PQ⊥AB.【解析】

如圖，取AB的中點D，連接CD，DP.因為P為A1B的中點，因為Q為CC1的中點，所以PD∥CQ，且PD＝CQ，所以四邊形CDPQ為平行四邊形，所以CD∥PQ.又因為CA＝CB，D為AB的中點，所以CD⊥AB，所以PQ⊥AB.檢測反饋245131.(2022·寧德期末)已知四棱錐P－ABCD的所有棱長均相等，E，F(xiàn)分別為線段PC，PD的中點，則異面直線EF與PB所成角的大小為(

)A.30°B.45°C.60° D.90°【解析】

因為E，F(xiàn)分別為線段PC，PD的中點，所以EF∥DC.又四棱錐P－ABCD的所有棱長均相等，所以四邊形ABCD為菱形，所以DC∥AB，所以EF∥AB，所以異面直線EF與PB所成角為∠PBA或其補(bǔ)角．又四棱錐P－ABCD的所有棱長均相等，所以△PBA為正三角形，即∠PBA＝60°，所以異面直線EF與PB所成角為60°.【答案】

C245132.和兩條異面直線都垂直的直線(

)A.有無數(shù)條

B.有兩條

C.只有一條

D.不存在【解析】

因為和兩條異面直線都垂直相交的直線只有一條，所以所有與這條直線平行的直線都與這兩條異面直線垂直，而與這條直線平行的直線有無數(shù)條，故和兩條異面直線都垂直的直線有無數(shù)條．【答案】

A24533.(多選)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列結(jié)論中正確的是(

)A.AC⊥B1D1B.AC1⊥BCC.直線AB1與BC1所成的角為

60°D.直線AB與AC1所成的角為

45°12453【答案】

AC1【解析】

如圖，因為AC⊥BD，BD∥B1D1，所以AC⊥B1D1，故A正確；因為BC∥B1C1，所以∠AC1B1是異面直線AC1與BC所成的角．因為在△AB1C1中，∠AB1C1＝90°，所以∠AC1B1不是直角，故B錯誤；因為BC1∥AD1，所以∠B1AD1是異面直線AB1與BC1所成

的角，而△AB1D1是等邊三角形，所以∠B1AD1為60°，

故C正確；在Rt△ABC1中，∠ABC1＝90°，但AB≠BC1，

所以Rt△ABC1不是等腰直角三角形，所以AB與AC1所成

的角不為45°，故D錯誤．故選AC.24534.如圖，空間四邊形ABCD的對角線AC＝8，BD＝6，M，N分別為AB，CD的中點，異面直線AC與BD所成的角為90°，則MN＝________.12453【答案】

5124535.在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，且EF＝5，AD＝6，BC＝8.求直線AD與BC所成的角的大?。?【解析】

取BD