例1

6.1方典例選說(shuō)出一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根與平方根的區(qū)別與聯(lián)系．解）一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，其中正的平方根叫做算術(shù)平方根．（2）一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根與平方根的平方都等于這個(gè)數(shù)．例2

如圖，把12個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形拼在一起．（1）算出A點(diǎn)到、CDEF之間的長(zhǎng)度．（2）以圖中ADF中的三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中有沒(méi)有等腰三角形？如果有寫(xiě)出這些三角形，并說(shuō)明它們?yōu)槭裁词堑妊切危治觯豪霉垂啥ɡ砜梢运愠鯝點(diǎn)與DEF各點(diǎn)的距離）找到某一點(diǎn)到另外兩個(gè)點(diǎn)的距離相等可以確定由這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．解1）．4．AD

2

2

4．

2

2

．213cm（2）圖是等腰三角形，因EEF2，因CEF等腰三角形．又因?yàn)?210，因BEF是等腰三角形．例3

在直角三角形中、b是兩條直角邊為斜邊9.23,b13.46，求c長(zhǎng)（精確到0．分析：根據(jù)勾股定2，代入相關(guān)的數(shù)據(jù)，利用平方根的方法可求出c值．1/7

解：a

2

2

2

，a，例4

c2．求下列各數(shù)的平方根．（1）9

（2

2249

（3）081解）∵

3)

2

9∴9平方根3，93．（2）3

2216913()2，497∴

16913的平方根是，349

2213.49（3）(0.9)

2

0.81例5

∴0．的平方根，0.81說(shuō)明：①命題目的：給出一個(gè)正數(shù)，會(huì)求出平方根．②解題關(guān)鍵：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根并互為相反數(shù)．③錯(cuò)解剖析：容易犯漏掉負(fù)的平方根的錯(cuò)誤．求下列各數(shù)的平方根和算術(shù)平方根．（1）

（22

212（3）()49

（47)

2解答1）因(0.08)根是．

2

所以0.0064的平方根算術(shù)平方（2）因2

2100210，()，所的平方根，它的算494974910術(shù)平方根是．71216914425（3）因()2，()，所以1()2的平方131321691691355根，它的算術(shù)平方根是．13（）因?yàn)?

2

，7)

2

，所7)

2

的平方根是7它的算術(shù)平方根是72/7

說(shuō)明：本題考查求平方根和求算術(shù)平方根的方法．因?yàn)橐粋€(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，不要遺漏負(fù)的平方根．當(dāng)被開(kāi)方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，然后再求平方根，當(dāng)被開(kāi)方數(shù)是一個(gè)數(shù)字算式時(shí)，要先算出這算式的值求它的平方根這樣做易造成錯(cuò)誤如(7)平方根，就錯(cuò)了．

2例6

求下列各式中的x：（12289

（2x1)281．分析據(jù)平方根的定義x看成一個(gè)整體，先求(x的，再求x的值．

(a1)解答）∵x

2

289，

2

．∴x．（2）∵

2

81，例7

∴x181，當(dāng)1，8；當(dāng)時(shí)，x已知0，且是正數(shù)，求代數(shù)5值．分析只要求出的值入代數(shù)2可以了鍵是解已知方程．解答：25x2144得

14412，∴，又∵，∴x．2555當(dāng)x

125

12時(shí)25x255解答225x

2

144，

2

(5)

2

例8

5x．5代25x13，5x1312132510.如果x1y3xy0，x,z的值．分析已知條件是含三個(gè)未知數(shù)的等式一般很難求出未知數(shù)的值但注意到算術(shù)平方根非負(fù)這一條件可解．3/7

解答：∵∴

0,yxyz0y∵y3y00∴應(yīng)y

y0,1解y3

z說(shuō)明求解本題的關(guān)鍵抓住了算術(shù)平方根非負(fù)這一隱含條件如果若干個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則每個(gè)非負(fù)數(shù)都必須為零．例9

選擇題：下列命題中真命的個(gè)數(shù)是（（1）

（2）

93;164（3

的平方根；（）(

的算術(shù)平方根；（5

724是1的平方根；（）0的平方根是，沒(méi)有算術(shù)平方根；511（7）的算術(shù)平方根是．24（A）1

（B2

（C）3

（D）分析：判斷上述命題的真假，要依靠各自本身的定義．（1）(0.2)

0.4不的術(shù)平方根．故（1）是命題．（2題中也是假命題．

916

是算術(shù)平方根其結(jié)果是唯一的不可能是兩個(gè)值所（2）（）題中2由平方根性質(zhì)：負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．所以（3也是假命題．4/7

（4中(的算術(shù)平方根應(yīng)是正數(shù)是個(gè)負(fù)數(shù)，不符合算術(shù)平方根的定義．故（4也是假命題．7（5）()5241的平方根．此為真命題．25（6）0的平方根0就是0算術(shù)平方根，故（6）題也不正確．1（7）求的算術(shù)平方根，應(yīng)是對(duì)進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算，而非平方運(yùn)算．此命2題也不是真命題．解答：應(yīng)選（A）說(shuō)明：平方根、算術(shù)平方根是非常重要的概念．其共同點(diǎn)：平方根和算術(shù)平方根都是對(duì)非負(fù)數(shù)的開(kāi)方運(yùn)算的平方根和算術(shù)平方根都只有一個(gè)0其不同點(diǎn)是：一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，兩算術(shù)平方根只有一個(gè)；它們的聯(lián)系是：算術(shù)平方根是平方根中的正的平方根．例

如果一個(gè)數(shù)的平方根a，那么這個(gè)數(shù)是多少？分析首先我們觀察題目中給出的是一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根根據(jù)平方根的性質(zhì)可知它們互為相反數(shù)，其和為0．解答：因?yàn)橐粋€(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，所(a(2解a,a時(shí)7，即兩個(gè)平方根分別為和，故原數(shù)為49說(shuō)明：關(guān)鍵抓住一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為求方程的解．典例：計(jì)器平立方例11）求的近似值（保留五個(gè)有效數(shù)字）（2）求的方根（精確到0.1）.5（3）求12的平方根（保留三個(gè)有效數(shù)字）9解1）按鍵4

x，顯示：，∴24（2）按鍵248

x，顯示：，∴62483的平方根是250.0.5/7

（39＋1＝

5x3.54338193812的平方根是±9說(shuō)明計(jì)算器顯示的是一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根時(shí)，只要在算術(shù)平方根前通常求一個(gè)分?jǐn)?shù)的平方根時(shí)，要先把這個(gè)分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，化小數(shù)的方法除了例題）中介紹的方法外，還可以用如下按鍵法：2＋9＝，所得的結(jié)果相同例21）求的立方根（保留三個(gè)有效數(shù)字（2）求－立方根（保留三個(gè)有效數(shù)字）.解1）按鍵41INV

x，顯示，∴241立方根為6.22.（2按鍵72.＋/INV為－例3用計(jì)算器求4的平方根

x，顯示∴－72.4立方根解：用計(jì)算器的步驟下：按鍵4y2=2說(shuō)明：要熟練掌握計(jì)算器的用.

顯示44422例4解：

用計(jì)算器求結(jié)果保留4有效數(shù)字）按鍵3·6y

顯示6/7

2

2∴

3.4561.859說(shuō)明：①命題目的：考查用計(jì)算器求一個(gè)數(shù)的平方根.②解題關(guān)鍵：正確使用第二功能.③錯(cuò)題剖析a把的平方根寫(xiě)成2，或錯(cuò)寫(xiě)成4.不