固體物堆積集料配比優(yōu)化模型摘要本文研究了用不同粒徑的固體物堆積使密實度達到最大的集料配比問題。對問題一，本文建立了在Gaudin-Schuhmann模型基礎上改進而來的Alfred粒度分布模型m根據(jù)隔層堆積理論［1］⑵確定最優(yōu)模型參數(shù)，進而確定理想篩析曲線［3］，再根據(jù)最小二乘曲線擬合，擬合問題一所給數(shù)據(jù)的實際篩析曲線，通過計算與理想篩析曲線的接近程度，建立目標函數(shù)為偏差平方和最小的非線性規(guī)劃模型，最后求得最大密實度為78.53%的集料配比方案見表4。對問題二，在問題一建立的數(shù)學模型的基礎上，算法一運用lingo軟件分別求解配方一、二不同集料配比下的密實度，分別求得為78.16%和78.35%，可見配方二密實度較高；算法二分別擬合配方一、二所給數(shù)據(jù)的實際篩析曲線，建立目標函數(shù)為偏差平方和最小的非線性規(guī)劃模型，計算得到偏差平方和分別為1.23和1.04,1.23大于1.04,配方一擬合曲線偏離程度較大，配方二密實度較高。本文最大的亮點在于借鑒了Alfred粒度分布模型，得到了理想篩析曲線，從而通過最小二乘曲線擬合得到實際篩析曲線，確定連續(xù)分布顆粒堆積使密實度最大的集料配比問題；問題二的兩種算法相互驗證，檢驗了模型的正確性。關鍵詞：Alfred粒度分布模型；非線性規(guī)劃模型；最小二乘曲線擬合；理想篩析曲線；隔層堆積問題重述在許多生產(chǎn)實際中，都存在如何用不同粒徑的固體物混合配料使固體物堆積最密實的問題，如在混泥土澆注件、陶瓷制品、耐火材料等的制造中根據(jù)產(chǎn)品的要求用不同粒徑的固體物按一定的比例混合就屬這樣的情形?，F(xiàn)有A、B、C、D四種固體物，其密度與粒徑均為已知。問題一，建立數(shù)學模型求使固體物堆積達到最密實的配方，其要求固含量88%（其余部分為液體。不影響固體物堆積），其中，A的質量百分比在10%與20%之間；B的質量百分比在50%與70%之間；C的質量百分比在10%與20%之間；D:質量百分比無限制。問題二，用問題一所建模型對給出的配方進行評價，說明在各種固體物含量質量百分比已知，給定的集料配比方案中，確定哪個方案的密實度相對較高。問題假設（1）不考慮固體顆粒表面特性。（2）固體顆粒之間緊密接觸不流動。（3）固體顆粒堆積擠壓不發(fā)生形變。（4）不考慮固體顆粒間的引力，斥力，懸浮液中的靜電斥力。（5）假設固體顆粒為球體。符號說明B:顆粒直徑與孔隙直徑之比；〃：最優(yōu)模型參數(shù)；E:孔隙率；人：堆積效率；七:顆粒體系中的最大粒度；ds:顆粒體系中的最小粒度；d:為某個粒度;y：為小于粒度d的粒級含量(體積百分比)；Xj(i=1,2,3,4):固體物A.的體積百分比；Xj(i=5,6,7,8,9,10):固體物8?的體積百分比；Xj(i=11,12)：固體物C?的體積百分比；Xj(i=13,14)：固體物Dj的體積百分比。模型建立與求解4.1問題一4.1.1模型準備4.1.1.1多種離散粒徑顆粒的堆積多種離散粒徑顆粒混合堆積時，在小顆粒粒徑小于大顆粒間的孔隙，或者說大顆粒與小顆粒的粒徑比大于前述顆粒直徑與孔隙直徑之比的條件下，小顆粒就有可能充填到大顆粒堆積形成的孔隙中去，這有利于提高粒群的堆積效率，但是小顆粒也有可能在鉆入大顆粒中，將本來呈緊密堆積的大顆粒間的間隙撐開，使顆粒間的孔隙加大，出現(xiàn)不利方面。Fayed指出：當?？妆却笥?：1左右時，前者的影響起主要作用。最終的影響不僅取決于?？妆?和顆粒形狀)，而且還取決于每一種粒級出現(xiàn)的相對數(shù)量。研究多種粒徑顆?；旌隙逊e問題的學者很多，如Furnas、Westman、Suzuki等，但最早的是FurnasEll.zo0他認為在只有兩種粒徑的顆粒體系中，當大顆粒間的間隙恰能為小顆粒所充滿時，可以得到最高的堆積效率。如果兩種顆粒具有相同的密度P與堆積的孔隙率E，對于多粒徑顆粒體系，當最大顆粒的間隙恰能為次大的第二粒級所充滿，第二粒級的間隙又恰能為第三粒級所充滿，并以此類推，則可取得最高的堆積效率。但是，Hudson曾經(jīng)指出，要使小顆粒能完全充填在大顆?？紫吨?，所需要的粒孔比應高達5。實際上，對于離散的顆粒堆積，不會都達到這樣的粒空比。4.1.1.2連續(xù)分布粒徑的堆積

研究連續(xù)分布顆粒體系的堆積特性必須先建立描述這種粒度分布的數(shù)學模型。最常用的粒度分布模型主要有Rosin—Rammler，Gaudin—Sehuhmann，Alfred及對數(shù)正態(tài)分布模型。Gaudin-Schuhmann粒度分布模型為：y=（牛）n（4.1）

dL式中：d為某個粒度；y為小于粒度d的粒級含量，此處的y與前式中的R有R+y=1;dL為顆粒體系中的最大粒度；n為模型參數(shù)。Alfred粒度分布模型是在Gaudin-Schuhmann模型基礎上改進而來。Alfred粒度分布模型：dn—dn

dn—dn（4.2）式中：d為某個粒度；y為小于粒度d的粒級含量；dn—dn

dn—dn（4.2）對于這種連續(xù)粒度分布的顆粒體系的堆積效率，用解析法是很難求解的，故多采用物理實驗或在計算機上模擬堆積實驗方法求解。也有將多種離散粒徑顆粒堆積的計算方法近似推廣到連續(xù)粒度分布上去。Andreason用實驗方法確定，對于服從Gaudin一Schuhmann粒度分布模型的顆粒體系，當模型參數(shù)n=0.3?0.5時有最高的堆積效率。Suzuki等人將多種離散粒徑顆粒堆積的計算方法推廣到連續(xù)粒度分布，得出對于服從Gaudin—Schuhmann粒度分布模型的顆粒體系；當模型參數(shù)n=0.5?0.8時有最高的堆積效率。4.1.1.3等徑顆粒的堆積等徑顆粒的堆積是分析實際顆粒堆積的基礎，它們在空間的堆積可能取不同的形態(tài)，因而堆積的緊密度也不會相同。通常采用固體物料在堆積空間中占有的容積濃度表示堆積的緊密度，稱堆積效率以符號人表示。其中空隙所占有的容積濃度，稱空隙率以符號E表示，X+8=1，對于等徑球體緊密接觸的堆積，有兩種典型狀態(tài).即呈最松散的空間正六面體堆積及呈最緊密的空間正四面體（菱形）

堆積。正六面體堆積時的堆積效率為人=0.5236，顆粒直徑與孔隙直徑之比（以下稱“?？妆取保锽=2.44。正四面體堆積時顆粒直徑與孔隙直徑之比為B=6.46,堆積效率為人=0.74。4.1.1.4隔層堆積理論推導最優(yōu)模型參數(shù)Gaudin-Schuhmann及Alfred粒度分布按照“隔層堆積理論”，對于Gaudin-Schuhmann及Alfred粒度分布可以用解析方法求出顆粒體系堆積效率最高的最優(yōu)模型參數(shù)n。所謂最優(yōu)，就像Furnas指出的那樣，粗粒級的間隙恰能為細粒級所充滿。設某個第i粒級的粒度上限為d，則粒度下限為d/B。它的下隔層，即第i+2層的粒度上限為d/B2，粒度下限為d/B3。取e為窄粒級堆積的孔隙率，p為顆粒的密度，則對于Gaudian-Schuhmann粒度分布有：第i個粗粒級中孔隙的體積V=[(d)n—(土)n]X一J(4.3)0d：Bd：(1—e)8第i+2個級中顆粒的體積V=-X[(-^)

pdB2L-(-^)〃](4.4)dB3V=-X[(-^)

pdB2LL即得最優(yōu)解:對于Alfred粒度分布有:81^B2n第i個粗粒級中孔隙的體積（4.5）V=8X[i—對于Alfred粒度分布有:81^B2n第i個粗粒級中孔隙的體積（4.5）（1—8）pdn—dndn—dn第i+2個細粒級中顆粒的體積（）n—dn（）n—dnV=1X[屈―L—―L]（4.7）pdn—dndn—dn令（4.6）式與（4.7）式相等，即可得出與（4.6）式相同的最優(yōu)解。由（4.6）式可求出最佳的模型參數(shù)n。(4.8)ln(1/s)n-2lnB顯然，最優(yōu)的n值與實際發(fā)生的粒孔比B及窄級別堆積的孔隙率s有關，最優(yōu)的n值隨B及s值的增加而減小。(4.8)4.1.2問題分析及模型的建立題目要求建立數(shù)學模型求使固體物堆積達到最密實的配方，其要求固含量88%（其余部分為液體。不影響固體物堆積），其中，A的質量百分比在10%與20之間；B的質量百分比在50%與70%之間；C的質量百分比在10%與20%之間；D:質量百分比無限制。此問題可歸結為離散粒徑顆粒堆積問題，關于此類問題，要達到最密實，就必須使小顆粒能完全充填在大顆粒孔隙中，所需要的?？妆葢哌_5。實際上，對于離散的顆粒堆積，不會都達到這樣的?？毡?。又鑒于已有人將多種離散粒徑顆粒堆積的計算方法近似推廣到連續(xù)粒度分布上去，本文將采用連續(xù)粒徑分布堆積問題來近似求解離散粒徑顆粒堆積問題。對于這種連續(xù)粒度分布的顆粒體系的堆積效率，用解析法是很難求解的，按照“隔層堆積理論”，對于Gaudin-Schuhmann及Alfred粒度分布可以用解析方法求出顆粒體系堆積效率最高的最優(yōu)模型參數(shù)n。所謂最優(yōu)，就是粗粒級的間隙恰能為細粒級所充滿。由上述模型準備中可知：最優(yōu)模型參數(shù)n=里1也，本問題要求最密實，2lnB根據(jù)上述模型準備，可知空間正四面體（菱形）堆積是最緊密的，因此采用正四面體堆積，則B=6.46,s=0.26；此時可求出最優(yōu)模型參數(shù)n，從而可得出理想篩析曲線。因題中所給粒徑并不是均勻分布的，也不是連續(xù)分布的，則其粒徑分布不可能達到上述理想狀態(tài)，即體積含量的累計分布情況不可能達到上述理想篩析曲線，只能盡可能的接近它。因此在本文中采用最小二乘擬合，即偏差平方和最小作為目標函數(shù)，同時給定總質量，根據(jù)題目中質量要求可得到下面的非線性規(guī)劃模型：minz=K(d-a)2i=1?pxxxv=0.88mi=10.1m<ILpxxxv<0.2mi=10.5m<L0pxxxv<0.7mi=50.1m<Lpxxxv<0.2mi=11Lpxxxv<0.88mi=1￡x=1id=0;1d=x+x+x;21910d3=d2+x2;d=d;d5=d4+x8;d=d;d=d+x+x;7634d=d;d=d+x+x;981214d=d;d11=d10+x11;d12=d11+x13;d13=d12+x7;d=d;d15=d14+x6;d=d;d17=d16+x5;其中d(i=1,…,12):實際粒徑分布中的粒級含量(體積含量)，a(i=1,…,17)為理想粒徑分布中的粒級含量，pi為對應的密度，v為固體物的總體積，m為固體物和液體的總質量(已給定)。X對應的粒徑、密度表如下:i表1Xi對應的粒徑、密度表

產(chǎn)品平均粒徑(um)密度(g/cm3)AA11?112.7A211?15A321?27A426?32BB1300?3401.95B2230?240B3130?140B416?18B55?10B61CC190?1101.816C240?50DD11201.85D247X.的含義在符號說明中已給出，現(xiàn)在給出所分區(qū)間及變量x所在粒徑區(qū)間如下表:表2變量x所在粒徑區(qū)間表平均粒徑(um)變量(體積百分比)1?11x1,x9,x1011?15x216?18x821?32x3x440?50x12,x1490?110x11110?130x13130?140x7230?240x6300?340x5a｛為理想篩析曲線在上述分組中對應的前i-1個區(qū)間總的體積含量。在本題中，a.的具體值為下表：表3a.體積含量粒徑大小1111516粒級含量00.191150.230250.23895粒徑大小18213240粒級含量0.255360.277920.346370.38708粒徑大小5090110130粒級含量0.43120.565960.618910.66602

粒徑大小粒級含量粒徑大小粒級含量1400.687853401粒徑大小粒級含量粒徑大小粒級含量1400.6878534012302403000.850120.865430.949684.1.3模型求解運行附錄一中的lingo程序得到問題一集料配比如下表:表4問題一集料配比表原料粒徑(um)體積百分比(%)質量百分比(%)A211?152.903.44A426?329.4311.18B1300?4009.247.91B2230?24013.8611.86B3130?14011.069.47B416?184.173.57B6120.0817.19C190?11012.039.59C240?5013.0610.41D11203.943.20D2470.230.18運用matlab軟件，編寫繪圖程序代碼(見附錄3、附錄4),利用最小二乘曲線擬合，繪出問題一的實際篩析曲線與理想篩析曲線的對比圖如下：圖1最小二乘擬合實際篩析曲線與理想篩析曲線對比圖(問題一)%1量含分百徑粒4.2.1問題分析及模型建立圖1最小二乘擬合實際篩析曲線與理想篩析曲線對比圖(問題一)%1量含分百徑粒此題要求用問題一所建模型對給出的配方進行評價，說明在給定的集料配比方案中，各種固體物含量質量百分比已知，確定哪個方案的密實度相對較高。要比較密實度的高低可轉化為比較偏差平方和的大小。則可將問題一中的模型進行如下修改：根據(jù)題中所給配方的質量百分比，對應可求出其在各個區(qū)間的粒級含量，再求出偏差平方和，同時還滿足問題一的模型中的約束。建立非線性規(guī)劃模型：minz=￡(d-a)2￡p.xXxv=0.88mi0.1mv￡pxxxv<0.2mi=10.5m<￡pxxxv<0.7mi=50.1m<￡pxxxv<0.2mi=11￡pxxxv<0.88mi=1￡x=1id=0;1d=x+x+x;21910d3=d2+x2;d=d;d5=d4+x8;d=d;d=d+x+x;7634d=d;d=d+x+x;981214d10=d9;d11=d10+x11;d12=d11+x;d13=d12+x7;d=d;d15=d]4+x6;d=d;d7=d16+x5;編寫lingo程序（見附錄2）4.2.2模型求解運行附錄2中的lingo程序，求解得到配方一、配方二相應的集料配比的密實度，實際篩析曲線與理想篩析曲線的偏差平方和如下表：表5配方一集料配比表原料粒徑(um)體積百分比(%)質量百分比(%)密實度(%)偏差平方和A321?2715.521878.161.23B1300?34053.745B3130?14011.9410B416?185.975C190?11012.8510表6配方二集料配比表原料粒徑(um)體積百分比(%)質量百分比(%)密實度(%)偏差平方和A321?2713.651678.351.04B1300?34047.2540B3130?14014.1712B4C116?B4C116?1890?1105.9119.0215運用matlab軟件，最小二乘擬合實際篩析曲線與理想篩析曲線對比如下圖:圖2最小二乘擬合實際篩析曲線與理想篩析曲線對比圖（問題二）%1量含分百徑粒圖2最小二乘擬合實際篩析曲線與理想篩析曲線對比圖（問題二）%1量含分百徑粒模型的優(yōu)缺點及改進5.1優(yōu)點（1）利用Gaudin-Schuhmann及Alfred粒度分布函數(shù)得到理想篩曲線，利用偏差平方和的大小判斷所得方案與理想方案接近程度，越接近則其密實度越大，從而經(jīng)問題進行了轉化，是模型簡化。（2）問題二的兩種算法相互驗證，檢驗了模型的正確性。5.2缺點本文用連續(xù)粒徑分布的堆積問題近似代替了多離散粒徑的顆粒堆積問題，存在一定的缺陷。5.3改進將區(qū)間劃分的更細更密一些，得到的結果會更接近真實值。參考文獻張榮曾.水煤漿制漿技術[M].北京市：科學出版社，1996.曾凡、胡永平等.礦物加工顆粒學[M].北京市：中國礦業(yè)大學出版社，1995.喬齡山.水泥的最佳顆粒分布及其評價方法[N].水泥.2001(8).附錄附錄1問題一的lingo程序代碼如下：model:sets:num/1..14/:p,x,b;numa/1..16/:he;numb/1..17/:d,a;endsetsdata:m=1000;p=2.72.72.72.71.951.951.951.951.951.951.8161.8161.851.85;a=@ole(f:/nn,zz);enddatamin=cha;@sum(num(i):p(i)*x(i))*v=0.88*m;@sum(num(i)|i#lt#5:p(i)*x(i))>0.1*m/v;@sum(num(i)|i#lt#5:p(i)*x(i))<0.2*m/v;@sum(num(i)|i#gt#4#and#i#lt#11:p(i)*x(i))>0.5*m/v;@sum(num(i)|i#gt#4#and#i#lt#11:p(i)*x(i))<0.7*m/v;@sum(num(i)|i#gt#10#and#i#lt#13:p(i)*x(i))>0.1*m/v;@sum(num(i)|i#gt#10#and#i#lt#13:p(i)*x(i))<0.2*m/v;he(1)=x(1)+x(9)+x(10);he(2)=x(2);he(3)=0;he(4)=x(8);he(5)=0;he(6)=x(3)+x(4);he(7)=0;he(8)=x(12)+x(14);he(9)=0;he(10)=x(11);he(11)=x(13);he(12)=x(7);he(13)=0;he(14)=x(6);he(15)=0;he(16)=x(5);d(1)=0;@for(numb(i)|i#ne#1:d(i)=@sum(numa(j)|j#lt#i:he(j)););@for(numb(i):d(i)<1;);cha=@sum(numb(i):(d(i)-a(i))八2);@sum(num(i):x(i))=1;han1=@sum(num(i)|i#lt#5:p(i)*x(i))*v/m;han2=@sum(num(i)|i#gt#4#and#i#lt#11:p(i)*x(i))*v/m;han3=@sum(num(i)|i#gt#10#and#i#lt#13:p(i)*x(i))*v/m;han1+han2+han3<0.88;q=v;mishidu=q/(q+m*0.12);@for(num(i):b(i)=p(i)*x(i)*v/m;);End附錄2問題二的lingo程序代碼如下：model:sets:num/1..14/:p,x,b;numa/1..16/:he;numb/1..17/:d,a;endsetsdata:m=1000;p=2.72.72.72.71.951.951.951.951.951.951.8161.8161.851.85;a=@ole(f:/nn,zz);b=@ole(f:/nn,zzz);enddatamin=cha;@sum(num(i):p(i)*x(i))*v=0.88*m;@sum(num(i)|i#lt#5:p(i)*x(i))=0.16*m/v;@sum(num(i)|i#gt#4#and#i#lt#11:p(i)*x(i))=0.57*m/v;@sum(num(i)|i#gt#10#and#i#lt#13:p(i)*x(i))=0.15*m/v;he(1)=x(1)+x(9)+x(10);he(2)=x(2);he(3)=0;he(4)=x(8);he(5)=0;he(6)=x(3)+x(4);he(7)=0